2024年初二下冊數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)分式方程的解法及應(yīng)用（提高）知識講解

2024年初二下冊數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)分式方程的解法及應(yīng)用（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解分式方程的概念和檢驗(yàn)根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程．2.會列出分式方程解簡單的應(yīng)用問題．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂分式方程的解法及應(yīng)用知識要點(diǎn)】要點(diǎn)一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.要點(diǎn)二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點(diǎn)三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個(gè)式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根.要點(diǎn)詮釋：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.要點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫出答案.【典型例題】類型一、判別分式方程1、（2016春?閔行區(qū)期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A．B．C． D．【答案】B．【解析】解：A、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、該方程屬于無理方程，故本選項(xiàng)正確；C、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．【總結(jié)升華】判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)．類型二、解復(fù)雜分式方程的技巧 2、解方程：．【答案與解析】解：方程的左右兩邊分別通分，得，∴，∴，∴，或，由，解得，由，解得．經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的根.【總結(jié)升華】若用常規(guī)方法，方程兩邊同乘，去分母后的整式方程的解很難求出來．注意方程左右兩邊的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右兩邊分別通分的方法來解．舉一反三：【變式】解方程．【答案】解：移項(xiàng)得，兩邊同時(shí)通分得，即，因?yàn)閮蓚€(gè)分式分子相同，分式值相等，則分式分母相等．所以，，，，∴．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．∴是原方程的根．類型三、分式方程的增根【高清課堂分式方程的解法及應(yīng)用例3】3、（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【思路點(diǎn)撥】（1）若分式方程產(chǎn)生增根，則，即或，然后把代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出的值．（2）將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程后，把代入解出的值.【答案與解析】解：（1）方程兩邊同乘，得．∴．∴．由題意知增根為或，∴或．∴或．（2）方程兩邊同乘，得．∴．∴．∵增根為，∴．∴．【總結(jié)升華】(1)在方程變形中，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根做作原方程的增根．在分式方程中，使最簡公分母為零的根是原方程的增根；(2)這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值．舉一反三：【變式】（2015?泰州校級一模）是否存在實(shí)數(shù)x，使得代數(shù)式﹣與代數(shù)式1+的值相等．【答案】解：根據(jù)題意得：﹣=1+，去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4+4x+8，移項(xiàng)合并得：8x=﹣16，解得：x=﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣2是增根，分式方程無解，所以不存在這樣的實(shí)數(shù)x，使得代數(shù)式﹣與代數(shù)式1+的值相等．類型四、分式方程的應(yīng)用【高清課堂分式方程的解法及應(yīng)用例3】4、某市在道路改造過程中，需要鋪設(shè)一條長為1000米的管道，決定由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成這一工程．已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天能多鋪設(shè)20米，且甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同．(1)甲、乙工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米?(2)如果要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊(duì)分配工程量(以百米為單位)的方案有幾種?請你幫助設(shè)計(jì)出來．【思路點(diǎn)撥】(1)題中的等量關(guān)系是甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同．（2）由工期不超過10天列出不等式組求出范圍.【答案與解析】解：(1)設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米．根據(jù)題意，得．解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解且符合題意．故甲、乙兩工程隊(duì)每天分別能鋪設(shè)70米和50米．(2)設(shè)分配給甲工程隊(duì)米，則分配給乙工程隊(duì)米．由題意，得解得500≤≤700．方案一：分配給甲工程隊(duì)500米，分配給乙工程隊(duì)500米．方案二：分配給甲工程隊(duì)600米，分配給乙工程隊(duì)400米．方案三：分配給甲工程隊(duì)700米，分配給乙工程隊(duì)300米．所以分配方案有3種．【總結(jié)升華】本題主要考查列分式方程解應(yīng)用題，考查學(xué)生分析和解決問題的能力.舉一反三：【變式】一慢車和一快車同時(shí)從A地到B地，A，B兩地相距276公里，慢車的速度是快車速度的三分之二，結(jié)果快車比慢車早到達(dá)2小時(shí)，求快車，慢車的速度.【答案】解：設(shè)快車速度為，則慢車速度為依題意，得，去分母，得276×2＝276×3－4，所以，經(jīng)檢驗(yàn)知是原方程的解，所以，答：慢車、快車的速度分別為46、69．【鞏固練習(xí)】一.選擇題1．下列關(guān)于的方程中，是分式方程的是（）A． B．C． D．2．若分式方程的解為則等于（）A． B．5 C． D．－53.（2016?濰坊）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A． B．且C． D．且4．若關(guān)于的方程有增根，則的值是（）A．3 B．2C．1 D．－15．將公式（均不為零，且）變形成求的式子，正確的是（）A． B．C． D．6．若關(guān)于的方程有正數(shù)解，則()．A.＞0且≠3 B.＜6且≠3C.＜0 D.＞6二.填空題7．當(dāng)＝______時(shí)，方程的解為1．8．（2016春?宜賓期末）已知分式方程有增根，則的值為．9．關(guān)于的方程的解為______．10．一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它在江水中航行時(shí)，江水的流速為千米/時(shí)，則它以最大航速順流航行千米所需的時(shí)間是______．11．某人上山，下山的路程都是，上山速度，下山速度，則這個(gè)人上山和下山的平均速度是______．12．若一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)加1，得；若分子、分母同時(shí)減2，則得，這個(gè)分?jǐn)?shù)是______．三.解答題13.已知關(guān)于的方程有一個(gè)正數(shù)解，求的取值范圍．14.甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他們同時(shí)加工1500個(gè)零件，甲比乙提前18個(gè)小時(shí)完工，問他們每人每小時(shí)各加工多少個(gè)零件?15.（2015?沈陽）高速鐵路列車已成為中國人出行的重要交通工具，其平均速度是普通鐵路列車平均速度的3倍，同樣行駛690km，高速鐵路列車比普通鐵路列車少運(yùn)行了4.6h，求高速鐵路列車的平均速度．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).2.【答案】B；【解析】原式化簡為，將代入解得.3.【答案】B；【解析】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，解得：∵方程的解為正數(shù)，∴﹣2m+9＞0，即：，當(dāng)x=3時(shí)，，解得：，故m的取值范圍是：且．4.【答案】B【解析】將代入，解得.5.【答案】A；【解析】，所以.6.【答案】B【解析】原方程化簡為，，，解得＜6且≠3.二.填空題7.【答案】；【解析】將代入，解得.8.【答案】-0.6；【解析】解：去分母得：x+x﹣3=﹣5m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：3+3﹣3=﹣5m，解得：m=﹣0.6，，9.【答案】；【解析】原方程化簡為，所以.10.【答案】；11.【答案】；【解析】由題意上山和下山的平均速度為：.12.【答案】；【解析】設(shè)這個(gè)分?jǐn)?shù)為，，，解之得：，所以這個(gè)分?jǐn)?shù)是.三.解答題13.【解析】解：方程兩邊同乘約去分母，得．整理，得．∵∴解得且，∴當(dāng)且時(shí)，原方程有一個(gè)正數(shù)解．14.【解析】解：設(shè)乙工人每小時(shí)加工個(gè)零件，甲工人每小時(shí)加工個(gè)零件，由題意，得：整理得，，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根..答：甲工人每小時(shí)加工125個(gè)零件，乙工人每小時(shí)加工50個(gè)零件.15【解析】解：設(shè)高速鐵路列車的平均速度為xkm/h，根據(jù)題意，得：，去分母，得：690×3=690+4.6x，解這個(gè)方程，得：x=300，經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是原分式方程的解，答：高速鐵路列車的平均速度為300km/h．矩形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解矩形的概念.2.掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂特殊的平行四邊形（矩形）知識要點(diǎn)】要點(diǎn)一、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點(diǎn)詮釋：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.要點(diǎn)二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.要點(diǎn)詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點(diǎn)的直線）.對稱軸的交點(diǎn)就是對角線的交點(diǎn)（即對稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.要點(diǎn)三、矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.要點(diǎn)四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點(diǎn)詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對一般三角形不可使用.（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半.（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.【典型例題】類型一、矩形的性質(zhì) 1、（2015?云南）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，P是AD上的點(diǎn)，且∠PNB=3∠CBN．（1）求證：∠PNM=2∠CBN；（2）求線段AP的長．【思路點(diǎn)撥】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根據(jù)角的和差不難得出結(jié)論；（2）連接AN，根據(jù)矩形的軸對稱性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根據(jù)等角對等邊得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案與解析】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）連接AN，根據(jù)矩形的軸對稱性，可知∠PAN=∠CBN，∵M(jìn)N∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴DN=2，設(shè)AP=x，則PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【總結(jié)升華】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識的綜合運(yùn)用，難度不大，根據(jù)角的倍差關(guān)系得到∠PAN=∠PNA，發(fā)現(xiàn)AP=PN是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清課堂特殊的平行四邊形（矩形）例7】【變式】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上任一點(diǎn)，過P分別作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF的最小值是_________．【答案】；提示：因?yàn)镋CFP為矩形，所以有EF＝PC.PC最小時(shí)是直角三角形斜邊上的高.類型二、矩形的判定 2、已知：平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接AF、CE.（1）求證：△BEC≌△DFA；（2）連接AC，若CA＝CB，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.【答案與解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴BE＝AB，DF＝CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.（2）四邊形AECF是矩形.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴BE＝AB，DF＝CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四邊形AECF是平行四邊形.∵CA＝CB，E是AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四邊形AECF是矩形.【總結(jié)升華】要證明△BEC和△DFA全等，主要運(yùn)用判定定理（邊角邊）；四邊形AECF是矩形，先證明四邊形AECF是平行四邊形，再證這個(gè)平行四邊形對角線相等或者有一個(gè)角是直角.舉一反三：【變式】（2016·黃岡二模）在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接BE、CF.（1）求證：△BDF≌△CDE；（2）若DE=BC，試判斷四邊形BFCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）證明：∵CE∥BF∴∠CED=∠BFD，∵D是BC邊的中點(diǎn)∴BD=DC．∴在△BDF與△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）四邊形BFCE為矩形．證明：∵△BDF≌△CDE，∴DE=DF，又∵BD=DC，∴四邊形BFCE是平行四邊形，∵BD=DC，DE=BC,∴BD=DC=ED，∴∠BEC=90°，∴平行四邊形BFCE為矩形．3、如圖所示，ABCD四個(gè)內(nèi)角的角平分線分別交于點(diǎn)E、F、G、H．求證：四邊形EFGH是矩形．【思路點(diǎn)撥】AE、BE分別為∠BAD、∠ABC的角平分線，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不難得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案與解析】證明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四邊形EFGH是矩形．【總結(jié)升華】(1)利用角平分線、垂線得到90°的角，選擇“有三個(gè)直角的四邊形是矩形”來判定．(2)本題沒有涉及對角線，所以不會選擇利用對角線來判定矩形．類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)4、如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則△CDE的周長為（）A．20B．12C．14D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，

∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，

∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

∴DE＝CE＝AC＝5，

∴△CDE的周長＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖所示，已知平行四邊形ABCD，AC、BD相交于點(diǎn)O，P是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，且∠APC＝∠BPD＝90°．求證：平行四邊形ABCD是矩形．【答案】解：連接OP．∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AO＝CO，BO＝DO，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴OP＝AC，OP＝BD，∴AC＝BD．∴四邊形ABCD是矩形．【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.下列關(guān)于矩形的說法中正確的是()A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對角線互相垂直且平分D．矩形的對角線相等且互相平分2.矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1和3兩部分，則它的面積為（）A.3B.4C.12D.4或123.（2016春?青浦區(qū)期末）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA到點(diǎn)E，使AE=AB，聯(lián)結(jié)ED，EC，AC，添加一個(gè)條件，能使四邊形ACDE成為矩形的是（）A．AC=CDB．AB=ADC．AD=AED．BC=CE4.把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊,EM、FM為折痕,折疊后的C點(diǎn)落在B′M或B′M的延長線上,那么∠EMF的度數(shù)是()A.85°B.90°C.95°D.100°5．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE＝()A.2 B.3C.D.6.矩形的面積為120，周長為46，則它的對角線長為（）A.15B.16C.17D.18二.填空題7．如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD＝2AB，若沿過點(diǎn)D的折痕DE將A角翻折，使點(diǎn)A落在BC上的A1處，則∠EA1B＝______°.8．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E、F，連結(jié)CE，則CE的長______．9.如圖所示，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，AB＝4，則矩形對角線AC長為________．10.（2016·黃岡）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD、BC上，DC=3DE=，將矩形沿直線EF折疊，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，則FP=_______.11.（2015?南漳縣模擬）矩形ABCD的∠A的平分線AE分BC成兩部分的比為1：3，若矩形ABCD的面積為36，則其周長為．12.如圖所示，將矩形ABCD沿AE向上折疊，使點(diǎn)B落在DC邊上的F處，若△AFD的周長為9，△ECF的周長為3，則矩形ABCD的周長為___________.三.解答題13．（2015?鐵力市二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E；PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正確的有幾個(gè)？

14.已知：如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，又是EF的中點(diǎn)．（1）求證：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝BD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？說明理由．15.已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EF＝ED，EF⊥ED．求證：AE平分∠BAD．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；2.【答案】D；【解析】矩形的短邊可能是1，也可能是3，所以面積為4×1或4×3.3.【答案】D；【解析】添加一個(gè)條件BC=CE.理由：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD且AB=CD，∵AE=AB，∴AE∥CD且AE=CD，∴四邊形DEAC為平行四邊形，∵BC=EC，AE=AB，∴∠EAC=90°，∴平行四邊形ACDE是矩形.4.【答案】B；【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°.5．【答案】C；【解析】過點(diǎn)C做BE垂線，垂足為F，易證△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以總面積＝AE×BE＋CF×EF＝AE×BE＋BE×（BE－AE）＝，.6.【答案】C；【解析】設(shè)邊長為，則解得，所以對角線為.二.填空題7．【答案】60°；【解析】AD＝A1D＝2CD，所以∠CA1D＝30°，∠EA1B＝60°.8.【答案】；【解析】設(shè)AE＝CE＝，DE＝，，.9.【答案】8；【解析】由矩形的性質(zhì)可知△AOB是等邊三角形，∴AC＝2AO＝