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浙江省溫州市龍灣區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中,若,則△ABC是(
)A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形參考答案:A【分析】首先根據(jù)降冪公式把等式右邊降冪你,再根據(jù)把換成與的關(guān)系,進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可?!驹斀狻?,,,選A.2.若函數(shù)為奇函數(shù),且在上是減函數(shù),又,則的解集為(
) A.(-3,3)
B. C.
D.
參考答案:D3.(5分)設(shè)α∈,則使函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有α的值為() A. ﹣1,1,3 B. ,1 C. ﹣1,3 D. 1,3參考答案:D考點(diǎn): 冪函數(shù)的性質(zhì).專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì),我們分別討論a為﹣1,1,,3時(shí),函數(shù)的定義域和奇偶性,然后分別和已知中的要求進(jìn)行比照,即可得到答案.解答: 當(dāng)a=﹣1時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},不滿足定義域?yàn)镽;當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù),滿足要求;當(dāng)a=函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥0},不滿足定義域?yàn)镽;當(dāng)a=3時(shí),函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù),滿足要求;故選:D點(diǎn)評(píng): 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇函數(shù),函數(shù)的定義域及其求法,其中熟練掌握冪函數(shù)的性質(zhì),特別是定義域和奇偶性與指數(shù)a的關(guān)系,是解答本題的關(guān)鍵.4.(5分)下列四個(gè)數(shù)中最小者是() A. log3 B. log32 C. log23 D. log3(log23)參考答案:A考點(diǎn): 對(duì)數(shù)值大小的比較.專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.解答: 解:∵0=log31<<=<log32<log33=1,=<log23<log24=2,∴<log3(log23)<log32<log23.∴四個(gè)數(shù)中最小的是.故選:A.點(diǎn)評(píng): 本題考查四個(gè)數(shù)中的最小者的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.5.函數(shù)的定義域是
A.
B.
C.
D.R參考答案:B6.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,則(
)A.
B. C.
D.參考答案:D將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為;再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為.又函數(shù)解析式為,∴.故選D.
7.設(shè)集合,,則A∪B=(
)A.[-1,4) B.[-1,3) C.(0,3] D.(0,3)參考答案:A【分析】先分別求出集合,,再根據(jù)集合并集的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,集合,,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了并集的概念及運(yùn)算,其中解答中熟記集合的并集的概念及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.
8.函數(shù)f(x)=log3(2﹣x)的定義域是(
)A. [2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(﹣∞,2]
D.(﹣∞,2)參考答案:D9.不等式6x2﹣13x+6<0的解集為(
)A.{x|x<﹣或x>} B.{x|x<或x>} C.{x|﹣<x<} D.{x|<x<}參考答案:D【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法.【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;不等式的解法及應(yīng)用.【分析】把不等式6x2﹣13x+6<0化為(2x﹣3)(3x﹣2)<0,求出它的解集即可.【解答】解:不等式6x2﹣13x+6<0可化為(2x﹣3)(3x﹣2)<0,該不等式對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為和,所以該不等式的解集為{x|<x<}.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一元二次不等式的解集的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.10.在△中,角所對(duì)的邊分別為.若,則(
)A.-
B.
C.-
D.參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知偶函數(shù)()的值域?yàn)?則該函數(shù)的解析式為
▲
.參考答案:12.向邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)隨機(jī)投10000粒豆子,其中1968粒豆子落在到正方形的頂點(diǎn)A的距離不大于1的區(qū)域內(nèi)(圖中陰影區(qū)域),由此可估計(jì)π的近似值為_(kāi)_____.(保留四位有效數(shù)字)參考答案:3.149【分析】根據(jù)已知條件求出滿足條件的正方形的面積,及到頂點(diǎn)A的距離不大于1的區(qū)域(圖中陰影區(qū)域)的面積比值等于頻率即可求出答案.【詳解】依題意得,正方形的面積,陰影部分的面積,故落在到正方形的頂點(diǎn)A的距離不大于1的區(qū)域內(nèi)(圖中陰影區(qū)域)的概率,隨機(jī)投10000粒豆子,其中1968粒豆子落在到正方形的頂點(diǎn)A的距離不大于1的區(qū)域內(nèi)(圖中陰影區(qū)域)的頻率為:,即有:,解得:,故答案為3.149.【點(diǎn)睛】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”,可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等,而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān),而與形狀和位置無(wú)關(guān).解決的步驟均為:求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N(A),再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N,最后根據(jù)求解.利用頻率約等于概率,即可求解。13.在等比數(shù)列{an}中,,,公比,則n=______.參考答案:4【分析】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為,將題目已知條件代入中,即可求出項(xiàng)數(shù)n.【詳解】解:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為,得,即14.若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間[2,2b],則b的取值為.參考答案:2【考點(diǎn)】函數(shù)的值域;函數(shù)的定義域及其求法.【分析】聯(lián)系二次函數(shù)圖象特點(diǎn),注意函數(shù)在閉區(qū)間[2,2b]是單調(diào)增函數(shù).【解答】解:函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,對(duì)稱軸是x=2,∴函數(shù)在閉區(qū)間[2,2b]上是單調(diào)增函數(shù),函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間[2,2b]∴x=2b時(shí),函數(shù)有最大值2b,∴?4b2﹣2?2b+4=2b,∴b=1(舍去)或b=2,∴b的取值為2.15.已知等差數(shù)列中,的等差中項(xiàng)為5,的等差中項(xiàng)為7,則
.參考答案:2n-316.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則f(2x﹣1)的定義域.參考答案:[,]【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.【分析】由題意得不等式0≤2x﹣1≤2,解出即可.【解答】解:∵0≤2x﹣1≤2,∴≤x≤,故答案為:[,].17.已知{an}是遞增數(shù)列,且對(duì)任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是_______________.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(12分)已知圓Cx2+y2+2x﹣4y+3=0(1)已知不過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相切,且在x軸,y軸上的截距相等,求直線l的方程;(2)求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且被圓C截得的線段長(zhǎng)為2的直線方程.參考答案:考點(diǎn): 直線與圓的位置關(guān)系;直線的截距式方程.專題: 計(jì)算題;直線與圓.分析: (1)已知切線不過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相切,且在x軸,y軸上的截距相等,設(shè)出切線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出變量即可求直線l的方程;(2)利用斜率存在與不存在兩種形式設(shè)出直線方程,通過(guò)圓心到直線的距離、半徑半弦長(zhǎng)滿足勾股定理,求出經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且被圓C截得的線段長(zhǎng)為2的直線方程.解答: (1)∵切線在兩坐標(biāo)軸上截距相等且不為零,設(shè)直線方程為x+y+c=0…1分圓C:x2+y2+2x﹣4y+3=0圓心C(﹣1,2)半徑為,圓心到切線的距離等于圓半徑:,…3分解得c=1或c=﹣3…4分∴l(xiāng)或δ=1…5分所求切線方程為:x+y+1=0或x+y﹣3=0…6分(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線即為y軸,此時(shí),交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),(0,3),線段長(zhǎng)為2,符合故直線x=0…8分當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx,即kx﹣y=0由已知得,圓心到直線的距離為1,…9分則,…11分直線方程為綜上,直線方程為x=0,…12分.點(diǎn)評(píng): 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.19.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):34562.5344.5
(1)已知產(chǎn)量和能耗呈線性關(guān)系,請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(2)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)耗能為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?參考公式:參考答案:(1)由對(duì)照數(shù)據(jù),計(jì)算得:,,,,∴,所以回歸方程為.(2)當(dāng)時(shí),(噸標(biāo)準(zhǔn)煤),預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).20.已知a>1,=log(a-a).⑴求的定義域、值域;⑵判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明;
⑶解不等式:>參考答案:解析:為使函數(shù)有意義,需滿足a-a>0,即a<a,當(dāng)注意到a>1時(shí),所求函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,1),又log(a-a)<loga=1,故所求函數(shù)的值域?yàn)?-∞,1).⑵設(shè)x<x<1,則a-a>a-a,所以-=log(a-a)-log(a-a)>0,即>.所以函數(shù)為減函數(shù).⑶易求得的反函數(shù)為=log(a-a)(x<1),由>,得log(a-a)>log(a-a),∴a<a,即x-2<x,解此不等式,得-1<x<2,再注意到函數(shù)的定義域時(shí),故原不等式的解為-1<x<1.
21.(14分)某企業(yè)打算購(gòu)買(mǎi)工作服和手套,市場(chǎng)價(jià)為每套工作服53元,每副手套3元,該企業(yè)聯(lián)系了兩家商店A和B,由于用貨量大,這兩家商店都給出了優(yōu)惠條件:商店A:買(mǎi)一贈(zèng)一,買(mǎi)一套工作服,贈(zèng)一副手套;商店B:打折,按總價(jià)的95%收款.該企業(yè)需要工作服75套,手套x副(x≥75),如果工作服與手套只能在一家購(gòu)買(mǎi),請(qǐng)你幫助老板選擇在哪一家商店購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)?參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.【專題】應(yīng)用題;函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】分別計(jì)算按商店A和B優(yōu)惠付款數(shù),作差比較,即可得出結(jié)論.【解答】解:設(shè)按商店A和B優(yōu)惠付款數(shù)分別為f(x)和g(x)商店A:f(x)=75×53+(x﹣75)×3=3x+3750(x≥75)…商店B:g(x)=(75×53+3x)×95%=2.85x+3776.25(x≥75)…令f(x)=g(x),解得x=175選擇A與B是一樣的
…令y=f(x)﹣g(x)=0.15x﹣26.25,當(dāng)75≤x<175時(shí),y<0,選擇商店A;
…當(dāng)x>175時(shí),y>0,選擇商店B;
…(14分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,正確求出按商店A和B優(yōu)惠付款數(shù)是關(guān)鍵.22.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C.(2)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng).參考答案:(1)由,.........2分即,因?yàn)?,所以,解得,又因?yàn)椋?........
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