幾何綜合題2021年一模（解析版）

幾何綜合題2021年一模1．如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)P在AD邊上，連接BP，過點(diǎn)D作BP的垂線交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD．（1）連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交BE于點(diǎn)F．①若，求sin∠DBE的值；②求證：DE=2BF．（2）如圖2，在BE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，連接DG，若∠GDE=∠ADB，取BG的中點(diǎn)M，連接AM，求證：AM=（BE-GE）．【答案】（1）①；②證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）①設(shè)AB=a，則AD=2a，PD=a，PA=a，先由勾股定理得PB=a，BD=a，再證△PDE∽△PBA，得DE：AB=PD：PB，則DE=a，即可求解；②先由相似三角形的性質(zhì)得∠PDE=∠ABF，再證△ABF∽△ADE，得DE：BF=AD：AB=2，即可得出結(jié)論；（2）連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交BE于點(diǎn)F，先證△DEG∽△DAB，得DE：GE=AD：AB=2，則DE=2GE，得BF=GE，再證點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①設(shè)AB=a，則AD=2a，∵∴PD=a，PA=a，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠PAB=90°，由勾股定理得：，，∵DE⊥BP，∴∠PED=∠PAB=90°，又∵∠DPE=∠APB，∴△PDE∽△PBA，∴DE：AB=PD：PB，即，解得：，∴；②證明：∵△PDE∽△PAB，∴∠PDE=∠ABF，∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，∴∠DAE+∠PAF=∠BAF+∠PAF=90°，∴∠DAE=∠BAF，∴△ABF∽△ADE，∴DE：BF=AD：AB=2，∴DE=2BF；（2）證明：連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交BE于點(diǎn)F，如圖所示：∵∠GDE=∠ADB，∠DEG=∠DAB=90°，∴△DEG∽△DAB，∴DE：GE=AD：AB=2，∴DE=2GE，由（1）②得：DE=2BF，∴BF=GE，∵點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，∴MG=MB，∴ME=MF，∴點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，∴AM=EF=（BE-GE）．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理以及證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．如圖，與均為等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且，連接相交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．（1）求的度數(shù)；（2）求證：；（3）若H為的中點(diǎn)，求的值．【答案】（1）60°；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS證明得，再由三角形的外角性質(zhì)可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，得為等邊三角形，，，進(jìn)一步得出，根據(jù)SAS可證明，得到，從而進(jìn)一步得到結(jié)論；（3）證明得，證明得，故可得，由H為的中點(diǎn)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∴．在和中∵，∴；

∴，

∴（2）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使由（1）知，，∴為等邊三角形，

∴，∵∴，∵為等邊三角形，∴，，∴即

在和中∵∴；

∴，

又∵，∴．

（3）解：由（2）得，，∴∵∴，∴，即，

∵，，∴，∴，即，

∴又∵H為的中點(diǎn)，∴，，∴【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．3．如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段EF上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．（1）①如圖1，若P是線段EF的中點(diǎn)，求證：DE＝CQ；②如圖2，若AB＝4，BC＝8，PF＝CQ，求CQ的長(zhǎng)；（2）如圖3，連接AP、AQ，求證：AD平分∠PAQ．【答案】（1）①證明見解析；②；（2）證明見解析．【分析】（1）①先證△ABE≌△DFE，由全等三角形的性質(zhì)得BE＝EF，根據(jù)P是線段EF的中點(diǎn)可得出BP＝3PE，由矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝2DE，AD∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，即BQ＝3DE，即可求證；②設(shè)PF＝CQ＝x，則BQ＝8+x，由題意得AE＝DE＝4，根據(jù)勾股定理得出，由①△ABE≌△DFE可得，則，，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，得出關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）過點(diǎn)P作PH⊥AD于H，設(shè)AB＝m，BC＝n，PE＝x，表示出AB，BQ，PH，AH，根據(jù)tan∠AQB＝tan∠PAH得出∠AQB＝∠PAH，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAQ＝∠AQB，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠EDF＝90°，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∴AD＝BC＝2DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（ASA），∴BE＝FE，∵P是線段EF的中點(diǎn)，∴BE＝EF＝2PE，∴PB＝3PE，∵AD∥BC，∴，∴BQ＝3DE，∵BC＝2DE，∴DE＝CQ；②設(shè)PF＝CQ＝x，則BQ＝8+x，∵AB＝4，BC＝8，E是邊AD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AE＝DE＝4，∠A＝90°，∴，由①知△ABE≌△DFE，∴，∴，，∵AD∥BC，∴，即，解得：，∴；（2）過點(diǎn)P作PH⊥AD于H，如圖所示:設(shè)AB＝m，BC＝n，PE＝x，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵PH⊥AD，∴PH∥AB，∴，∴，∴，，∴，∴tan∠AQB＝tan∠PAH，∴∠AQB＝∠PAH，∵AD∥BC，∴∠DAQ＝∠AQB，∴∠DAQ＝∠PAH，∴AD平分∠PAQ．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)熟練掌握矩形的性質(zhì)，利用銳角三角函數(shù)解決問題．4．如圖①，和中，，，．（1）則的長(zhǎng)為_________（直接寫出結(jié)果）；（2）如圖②，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使恰好在線段的延長(zhǎng)線上．①求的長(zhǎng)；②若點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，求證：．【答案】（1）；（2）①；②證明見解析．【分析】（1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O．證明四邊形ABCD是平行四邊形，推出OD=OB，求出OD，可得結(jié)論．（2）①如圖②中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出HD′，可得結(jié)論．②如圖②中，過點(diǎn)C′作C′T⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于T．通過計(jì)算證明CD′=CC′，再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，即可解決問題．【詳解】解：如答題圖①中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O．∵∠DCA=∠CAB=90°，∴CD∥AB，∵CD=AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=1，OD=OB，AD=BC，∴∴BD=2OD=．故答案為：．（2）①解：如答題圖②中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．∵AB=AC=2，∠BAC=90°，AH⊥BC，∴BC=，CH=HB=，∴AH=BC=，∵AD′=BC，∴AD′=2AH，∴∠AD′H=30°，∴D′H=AH=，∴BD′=D′H-BH=．②證明：如答題圖②中，過點(diǎn)C′作C′T⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于T，連接CC′．由①可知，∠AD′H=30°，∴∠ABC=∠BAD′+∠AD′H=45°，∴∠BAD′=15°，∵∠C′AD′=45°，∴∠C′AT=180°-90°-15°-45°=30°，∴TC′=AC′=1，AT=，∴CT=2+，∴，∴CD′=CC′，∵EC′=ED′，∴EC⊥C′D′．【點(diǎn)睛】本題屬于旋轉(zhuǎn)綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．5．如圖，等腰滿足，點(diǎn)D是中點(diǎn)，延長(zhǎng)至E，使得，交于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）①若上有點(diǎn)G，滿足，求證：．②在①的基礎(chǔ)上，若分別交、于M、N，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【分析】（1）過D作，交BE于K，易知：，從而根據(jù)中位線定理即可證明；（2）①A，G，C三點(diǎn)共圓，利用圓心角與圓周角的關(guān)系即可證明；②如圖所示，以B為原點(diǎn)，以BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，然后求出MN兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)距離公式求解即可．【詳解】（1）證明：過D作，交BE于K∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∴點(diǎn)K是AB中點(diǎn)（中位線定理）∴AK=BK，BD=CD又∵BA=BC∴∵AE=BD故又∵∴（2）∵∴A，G，C以B為圓心，半徑為的圓上，∴即②過E作交于H點(diǎn)，∵，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)∴，∵，ED=EC∴，∴

∴∴如圖所示，以B為原點(diǎn)，以BC為x軸建立直角坐標(biāo)系所以B（0，0）、D（1，0）、C（2，0）、E（，）、A（1，）設(shè)直線EC的解析式為∴解得∴直線EC的解析式為同理直線ED的解析式為，直線AC的解析式為解得（舍去），，代入，得∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（，）同理可以算出BG的解析式為解得∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）同理可以得到N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位線定理，圓周角與圓心角之間的關(guān)系，三角函數(shù)和勾股定理以及一次函數(shù)和距離公式，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．6．如圖，在矩形中，的直角頂點(diǎn)在邊上，的平分線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：；（2）若，求證：；（3）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)證明即可；（2）作，垂足為點(diǎn)，證明，再根據(jù)正弦的定義和平行線分線段成比例定理求解即可；（3）連接，證明四邊形為菱形，得到，即可求解；【詳解】（1）證明：在矩形中，，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，在和中，，∴；（2）證明：如圖，作，垂足為點(diǎn)，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴；（3）解：如圖，連接，∵，∴，∵由（2）知，∴，∴，∴四邊形為菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形綜合，結(jié)合三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．【問題提出】已知一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，怎樣求出其內(nèi)角平分線的長(zhǎng)度？【問題轉(zhuǎn)化】（1）已知：如圖1，中，是內(nèi)角平分線．求證：；（2）已知：如圖2，內(nèi)接于，延長(zhǎng)的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)．求證：；【問題解決】（3）已知：如圖3，中，，，，是的內(nèi)角平分線．求的長(zhǎng)；（4）已知：如圖3，中，，，，是的內(nèi)角平分線．請(qǐng)直接寫出求的計(jì)算公式：__________．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；（4）【分析】（1）過點(diǎn)C作CE∥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，得到，進(jìn)而求解；（2）證明△ABD∽△CED，則BD?CD＝AD?DE，同理可得：△ABD∽△AEC，故AB?AC＝AD?AE，即可求解；（3）由（1）知，，而BC＝5，故BD＝3，CD＝2，則AD2＝AB?AC﹣BD?CD＝24﹣6＝18；（4）由（1）知，，則BDAC，則BC，由AD2＝AB?AC﹣BD?CD＝bc，即可求解．【詳解】解：（1）過點(diǎn)C作CE∥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴，∠DAC＝∠ACE，∠BAD＝∠E∵AD是內(nèi)角平分線，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC，故；（2）連接CE，∵∠AEC＝∠ABC，∠BAD＝∠ECD，∴△ABD∽△CED，∴，即BD?CD＝AD?DE，同理可得：△ABD∽△AEC，故AB?AC＝AD?A