北師大版年八年級數(shù)學(xué)下冊《同步考點解讀專題訓(xùn)練》(培優(yōu)特訓(xùn))專項1.1等腰三角形綜合應(yīng)用(原卷版+解析)

（培優(yōu)特訓(xùn)）專項1.1等腰三角形綜合應(yīng)用1.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）一個等腰三角形的兩條邊分別是2cm和5cm，則第三條邊的邊長是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能確定2.（2022秋?蘇州期中）已知等腰三角形的周長為20，一邊長為5，則此等腰三角形的底邊長是（）A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.53.（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為（）A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°4.（2022秋?白云區(qū)校級期末）等腰三角形的一個內(nèi)角等于70°，則它的底角是（）A．70° B．55° C．60° D．70°或55°5.（2022秋?九龍坡區(qū)期末）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線的夾角是40°，則底角的度數(shù)是（）A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°6.（2021春?埇橋區(qū)期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中存在點A（3，2），點B（1，0），以線段AB為邊作等腰三角形ABP，使得點P在坐標(biāo)軸上．則這樣的P點有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個7.（2022秋?高安市期中）如圖，已知D、E分別是△ABC的邊BC、AC上的點，且AB＝AC，AD＝AE．（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度數(shù)；（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度數(shù)；（3）設(shè)∠BAD＝α，∠EDC＝β，請你判斷α、β是否存在數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明．8.（2022秋?泰州月考）如圖，長方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)有一動點P從A出發(fā)以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到點A停止，設(shè)點P運動的時間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時，BP＝cm；（2）當(dāng)t為何值時，連接CP，DP，△CDP是等腰三角形？9．（2022秋?南開區(qū)校級期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將三角形的周長分成27和18兩部分．求這個等腰三角形的腰長及底邊長；（2）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為42°，求這個等腰三角形底角的度數(shù)．10．（2020秋?雄縣期中）如圖，在等邊△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，現(xiàn)有M，N兩點分別從點A，B同時出發(fā)，沿△ABC的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s，當(dāng)點N第一次到達(dá)B點時，M，N同時停止運動，設(shè)運動時間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時，M，N兩點重合？兩點重合在什么位置？（2）當(dāng)點M，N在BC邊上運動時，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，請求出此時點M，N運動的時間；若不存在，請說明理由．11．（2022秋?寬城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當(dāng)點Q在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？12．（2022秋?青山區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點D，BD＝AD．（1）如圖1，求∠BAC的度數(shù)；（2）如圖2，E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF．求證：AF＝AB+BC．13．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在底邊BC上，AE＝AD，連接DE．（1）當(dāng)∠BAD＝60°時，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點D在BC（點B、C除外）上運動時，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．14．（2022秋?江津區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC．（1）試問△ADE是否是等腰三角形，并說明理由．（2）若M為DE上的點，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周長為20，BC＝8．求△ABC的周長．15．（2019秋?慶云縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若點M從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點A運動，點N從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點C運動，設(shè)M、N分別從點B、A同時出發(fā)，運動的時間為ts．（1）用含t的式子表示線段AM、AN的長；（2）當(dāng)t為何值時，△AMN是以MN為底邊的等腰三角形？（3）當(dāng)t為何值時，MN∥BC？并求出此時CN的長．（培優(yōu)特訓(xùn)）專項1.1等腰三角形綜合應(yīng)用1.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）一個等腰三角形的兩條邊分別是2cm和5cm，則第三條邊的邊長是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能確定【答案】B【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2cm，底邊長為5cm時，∵2+2＝4＜5，∴不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5cm，底邊長為2cm時，∴等腰三角形的三邊長分別為5cm，5cm，2cm，綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長是5cm，故選：B．2.（2022秋?蘇州期中）已知等腰三角形的周長為20，一邊長為5，則此等腰三角形的底邊長是（）A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5【答案】A【解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰長為5時，等腰三角形的底邊長＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，∵5+5＝10，∴不能組成三角形，當(dāng)?shù)走呴L為5時，等腰三角形的腰長＝×（20﹣5）＝7.5，綜上所述：此等腰三角形的底邊長為5，故選：A．3.（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為（）A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°【答案】C【解答】解：當(dāng)這個內(nèi)角為頂角時，則頂角為40°，當(dāng)這個內(nèi)角為底角時，則兩個底角都為40°，此時頂角為：180°﹣40°﹣40°＝100°，故選：C．4.（2022秋?白云區(qū)校級期末）等腰三角形的一個內(nèi)角等于70°，則它的底角是（）A．70° B．55° C．60° D．70°或55°【答案】D【解答】解：①當(dāng)這個角為頂角時，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②當(dāng)這個角是底角時，底角＝70°．故選：D．（2022秋?臨高縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線把三角形的周長分為24cm和30cm的兩部分，求這個三角形的邊BC的長．【解答】解法1：設(shè)AB＝AC＝2xcm，BC＝y(tǒng)cm，∵點D是AC的中點，∴AD＝CD＝AC＝xcm，∵AC邊上的中線把三角形的周長分為24cm和30cm的兩部分，∴①，解得，∴BC＝22cm，②，解得，∴BC＝14cm，解法2、∵BD是△ABC的中線，∴AC＝CD＝2AD，設(shè)AD＝CD＝acm，∴AB＝AC＝2acm，∵AC邊上的中線把三角形的周長分為24cm和30cm的兩部分，∴BC＝24+30﹣4a＝54﹣4a，①當(dāng)AB+AD＝24cm時，∴2a+a＝24，∴a＝8，∴BC＝54﹣4a＝54﹣32＝22cm，②當(dāng)AB+AD＝30cm時，∴2a+a＝30，∴a＝10，∴BC＝54﹣4a＝54﹣40＝14cm5.（2022秋?九龍坡區(qū)期末）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線的夾角是40°，則底角的度數(shù)是（）A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°【答案】B【解答】解：①如圖，三角形是銳角三角形時，∠A＝90°﹣40°＝50°底角為：×（180°﹣50°）＝65°，②如圖2，三角形是鈍角三角形時，∵∠BAC＝90°+40°＝130°，底角為：×（180°﹣130°）＝25°，綜上所述，底角為65°或25°．故選：B6.（2021春?埇橋區(qū)期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中存在點A（3，2），點B（1，0），以線段AB為邊作等腰三角形ABP，使得點P在坐標(biāo)軸上．則這樣的P點有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】D【解答】解：如圖，以A為圓心，AB長為半徑，畫圓，與x軸有一個交點，以B為圓心，AB長為半徑，畫圓，與x軸有兩個交點，與y軸有兩個交點，作AB的垂直平分線，與x軸，y軸各有一個交點，∴這樣的P點有7個，故選：D．7.（2022秋?高安市期中）如圖，已知D、E分別是△ABC的邊BC、AC上的點，且AB＝AC，AD＝AE．（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度數(shù)；（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度數(shù)；（3）設(shè)∠BAD＝α，∠EDC＝β，請你判斷α、β是否存在數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+20°，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+20°，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+20°，∴2∠CDE＝20°，∴∠CDE＝10°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴2∠CDE＝∠BAD，∴∠BAD＝40°；故答案為：40°．（3）2β＝α，理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+α，∠AED＝∠C+β，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+α，即∠C+β+β＝∠B+α，∴2β＝α．8.（2022秋?泰州月考）如圖，長方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)有一動點P從A出發(fā)以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到點A停止，設(shè)點P運動的時間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時，BP＝cm；（2）當(dāng)t為何值時，連接CP，DP，△CDP是等腰三角形？【解答】解：（1）當(dāng)t＝2時，點P走過的路程為：2×2＝4（cm），∵AB＝6cm，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣4＝2（cm），故答案為：2；（2）①當(dāng)點P在AB上時，△CDP是等腰三角形，∴PD＝CP，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，∴△DAP≌△CBP（HL），∴AP＝BP，∴AP＝AB＝3（cm），∴t＝3÷2＝1.5（秒），②當(dāng)點P在BC上時，△CDP是等腰三角形，∵∠C＝90°，∴CD＝CP＝6cm，∴BP＝CB﹣CD＝2（cm），∴t＝（AB+BP）÷2＝（6+2）÷2＝4（秒），③當(dāng)點P在AD上時，△CDP是等腰三角形，∵∠D＝90°，∴DP＝CD＝6cm，∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷2＝（6+8+6+6）÷2＝13（秒），綜上所述，t＝1.5秒或4秒或13秒時，△CDP是等腰三角形．9．（2022秋?南開區(qū)校級期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將三角形的周長分成27和18兩部分．求這個等腰三角形的腰長及底邊長；（2）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為42°，求這個等腰三角形底角的度數(shù)．【解答】解：（1）∵BD是AC邊上的中線，∴AD＝CD＝AC，∵AB＝AC，∴設(shè)AB＝AC＝2x，BC＝y(tǒng)，則AD＝CD＝x，分兩種情況：①，解得：，∴AB＝AC＝18，∴這個等腰三角形的腰長為18，底邊長為9，②，解得：，∴AB＝AC＝12，∴這個等腰三角形的腰長為12，底邊長為21，綜上所述：這個等腰三角形的腰長為8，底邊長為9或腰長為12，底邊長為21，（2）分兩種情況：當(dāng)∠A＜90°時，如圖：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝42°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，∴這個等腰三角形的底角的度數(shù)為66°；當(dāng)∠A＞90°時，如圖：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝42°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝48°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝132°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣132°）＝24°，∴這個等腰三角形的底角的度數(shù)為24°；綜上所述：這個等腰三角形的底角的度數(shù)為66°或24°．10．（2020秋?雄縣期中）如圖，在等邊△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，現(xiàn)有M，N兩點分別從點A，B同時出發(fā)，沿△ABC的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s，當(dāng)點N第一次到達(dá)B點時，M，N同時停止運動，設(shè)運動時間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時，M，N兩點重合？兩點重合在什么位置？（2）當(dāng)點M，N在BC邊上運動時，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，請求出此時點M，N運動的時間；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)點M、N運動t秒時，M、N兩點重合，由題意，t×1+12＝2t，解得：t＝12．∴當(dāng)t＝12時，M，N兩點重合，此時兩點在點C處重合．（2）結(jié)論：當(dāng)點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形．理由：由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，設(shè)當(dāng)點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y(tǒng)﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，∴y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假設(shè)成立．∴當(dāng)點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M、N運動的時間為16秒．11．（2022秋?寬城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當(dāng)點Q在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【解答】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案為：（16﹣t）cm；（2）當(dāng)點Q在邊BC上運動，△PQB為等腰三角形時，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出發(fā)秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①當(dāng)△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②當(dāng)，△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，綜上所述：當(dāng)t為11或12時，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．故答案為：11秒或12．12．（2022秋?青山區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點D，BD＝AD．（1）如圖1，求∠BAC的度數(shù)；（2）如圖2，E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF．求證：AF＝AB+BC．【解答】（1）解：設(shè)∠ABD＝x°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°，又∵BD＝AD，∴∠A＝x°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，∴∠BDC＝∠C＝2x°，∴BD＝BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°，∴∠BAC的度數(shù)為36°；（2）∵E是AB的中點，BD＝AD，∴EF是AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴∠FBA＝∠FAB＝72°，∴∠AFB＝∠FAC＝36°，∴CA＝CF，∴AB＝AC＝CF，∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．13．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在底邊BC上，AE＝AD，連接DE．（1）當(dāng)∠BAD＝60°時，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點D在BC（點B、C除外）上運動時，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）設(shè)∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x；（3）設(shè)∠BAD＝x，∠C＝y(tǒng)，∵AB＝AC，