常微分方程的數(shù)值解法

第6章

常微分方程數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法緒論

在工程和科學(xué)計(jì)算中，所建立的各種常微分方程的初值或邊值問題，除很少幾類的特殊方程能給出解析解，絕大多數(shù)的方程是很難甚至不可能給出解析解的，其主要原因在于積分工具的局限性。因此，人們轉(zhuǎn)向用數(shù)值方法去解常微分方程，并獲得相當(dāng)大的成功，討論和研究常微分方程的數(shù)值解法是有重要意義的。常微分方程的數(shù)值解法6.1初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法初值問題的Euler方法常微分方程的數(shù)值解法xEuler法y改進(jìn)的Euler法y精確解01.0000001.0000001.0000000.11.0000001.0959091.0954450.21.1918181.1840971.1832160.31.2774381.2662011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859561.4832400.71.5803381.5525141.5491930.81.6497831.6164751.6124520.91.7177791.6781661.6733201.01.7847701.7378671.732051常微分方程的數(shù)值解法誤差概述常微分方程的數(shù)值解法誤差概述常微分方程的數(shù)值解法誤差概述常微分方程的數(shù)值解法誤差概述常微分方程的數(shù)值解法數(shù)值穩(wěn)定性分析常微分方程的數(shù)值解法數(shù)值穩(wěn)定性分析定義若某數(shù)值算法的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域包含hλ平面上的左半平面Re(hλ)＜0，則稱該方法是A穩(wěn)定的。隱式Euler法是A穩(wěn)定的。常微分方程的數(shù)值解法6.2Runge-Kutta方法常微分方程的數(shù)值解法Runge-Kutta方法常微分方程的數(shù)值解法Runge-Kutta方法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法Runge-Kutta方法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法四階Runge-Kutta方法常微分方程的數(shù)值解法四階Runge-Kutta方法常微分方程的數(shù)值解法法的穩(wěn)定性常微分方程的數(shù)值解法R-K法的穩(wěn)定性常微分方程的數(shù)值解法R-K法的穩(wěn)定性常微分方程的數(shù)值解法隱式R-K法常微分方程的數(shù)值解法隱式R-K法常微分方程的數(shù)值解法隱式R-K法常微分方程的數(shù)值解法隱式R-K法常微分方程的數(shù)值解法隱式R-K法常微分方程的數(shù)值解法6.3線形多步法單步法主要依據(jù)yn的信息去計(jì)算yn+1

。線性多步法是想依據(jù)yn，yn-1…，yn-r(r≥1)的信息去計(jì)算yn+1?？紤]到線性組合較為方便，因此，線性多步法一般形式可設(shè)為

常微分方程的數(shù)值解法基于數(shù)值積分的方法常微分方程的數(shù)值解法基于數(shù)值積分的方法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法基于數(shù)值積分的方法常微分方程的數(shù)值解法基于數(shù)值積分的方法常微分方程的數(shù)值解法基于數(shù)值積分的方法常微分方程的數(shù)值解法基于數(shù)值積分的方法Adams預(yù)估—校正法預(yù)估

校正并取常微分方程的數(shù)值解法基于Taylar展開式的方法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法基于Taylar展開式的方法常微分方程的數(shù)值解法基于Taylar展開式的方法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法6.4一階常微分方程組數(shù)值解法在許多實(shí)際問題中，常常出現(xiàn)高階微分方程和高階微分方程組，通過引入新的變量，總可化為一階微分方程組。由此可知，討論一階常微分方程組的數(shù)值解法是很有意義的。常微分方程的數(shù)值解法解一階常微分方程組的R-K方法常微分方程的數(shù)值解法一階常微分方程組的R-K方法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法一階常微分方程組的R-K方法常微分方程的數(shù)值解法一階常微分方程組的R-K方法常微分方程的數(shù)值解法一階常微分方程組的R-K方法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法一階常微分方程組的R-K算法常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法一階常微分方程組的R-K方法常微分方程的數(shù)值解法剛性方程組常微分方程的數(shù)值解法剛性方程組常微分方程的數(shù)值解法剛性方程組常微分方程的數(shù)值解法6.5常微分方程邊值問題的數(shù)值解法設(shè)二階線性常微分方程為常見邊界條件有三類：常微分方程的數(shù)值解法差分方程的建立常微分方程的數(shù)值解法差分方程的建立常微分方程的數(shù)值解