數(shù)值分析大作業(yè)

2016級《數(shù)值分析》課程課外大作業(yè)論文題目：復合梯形與龍貝格求積方法比較與學院：航空制造工程學院二0一六年十二月復合梯形與龍貝格求積方法比較與MATLAB求解(南昌航空大學航空制造工程學院，江西南昌330063)摘要：幾十年來，由于計算機的快速發(fā)展，求解各種數(shù)學問題的數(shù)值方法也越來越發(fā)蓬勃(Nanchangaviationuniversityinstituteofaviationmanufacturingengineering,NanchangofJiangxiprovince,330063)Abstract:Fordecades,duetosolvingvariousmathematicalproblemsisbecomingmoreandmorevigorousdevelopment,numericalanalysisisabranchofmathematics,computernumericalmethodforsolvingvariousmathematicalproblemsanditstheoryandsoftwareimplemathematicalmodelissetup,andthengivestheresultsofnumericalcalculationmethodandprogrammingcalculation;Thispaperdescribesthecompoundtrapezoidformulquadratureformulaofthebasicprincipleandmethodsteps,throughtheMATLABprogram,itisconcludedthatthecalculationresults,thefinalanalysis,comparethetwodifferentmethodsofKeywords:numericalanalysis;Compoundtrapezoidformula;Longbergformula;MATLAB數(shù)學乃科學之母，任何科學技術都離不開數(shù)學。數(shù)值分析也稱為計算方法，在實際問題中，處理數(shù)學模型中發(fā)現(xiàn)，給出的計算方法中需要計算類似ecosxdx的積分，我們知道，按照我們之前所學高數(shù)里面求積分的知識往往算方法和過程，同時，通過進行編程，得出滿足要求精度的結果，并對2.1數(shù)值積分的基本思想積分中值定理告訴我們，在區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點§,就有相等，那么問題來了，如何確定點§的具體位置呢?所以要算出f(ξ)的值就變得棘手了；換個角度，不妨我們設f(ξ)為區(qū)間[a,b]上的平均高度，那么,只要一般化在區(qū)間[a,b]取點，并對f(ξ)加權得出機械求積公式：特點：將積分求值問題轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)值計算問題，便于在計算機上使用2.2復合梯形公式區(qū)間[x,xk](k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得記由于f(x)∈C2[a,b],且于是復合梯形公式的余項為2.3龍貝格公式k+1→k轉(zhuǎn)(2)繼續(xù)計算表2-1T表kh0T?2)√②2T(1)2n(0)12134:由表中可知，如果f(x)充分光滑，那么T表每一列的元素及對角線元素均收斂到所求的積分值I,即對于f(x)不充分光滑的函數(shù)也可以用龍貝格算法計算，只是收斂慢一些。3.1提出問題試用不同的數(shù)值方法計算要求：1)用復合梯形公式計算，使其精度達到10?;2)用龍貝格求積公式計算；3)比較、分析上述兩種計算方法的精度。4.1復合梯形公式復合梯形公式求解過程：根據(jù)題目我們知道，被積函數(shù)為f(x)=ecosx,積分的上下限分別為a=0,b=pi,所需要的精度要求我們記為eps;定義簡單函數(shù)functiony=f(x)y=exp(x)*cos(x);……定義函數(shù)初始化過程：b=pi;a=0;eps=10^(-6)n=1;h=(b-a)/2;I1=0;I2=(f(a)+f(b))/h;whileabs(I2-I1)>epsn=n+1:h=(b-a)/n;I1=I2:I2=0;forj=0:n-1x=a+h*i;I2=I2+(h/2)*(f(x)+f(x1));fprintf('復合梯形法在精度=%i下的計算結果’,eps);復合梯形法在精度=1.000000e-06下的計算結果4.2龍貝格公式龍貝格公式求解過程：同理，我們通過y=exp(x)*cos(x);n=5;h=(b-a)./(2.^(0:n-1));r(1,1)=(b-a)*(f(a)+f(b))/2;……定義函數(shù)forj=2:nsubtotal=0;subtotal=subtotal+f(r(j,1)=r(j-1,1)/2+h(j)*subtotal;forr(j,(4^(k-1)*r(j,k-1)-r(j-1,k-1))/(4^(k-1)-1)fprintf('龍貝格在n=%i下的計算結果\n',n);r龍貝格在n=5下的計算結果r=0000-12.01110-12.0704-12.1480-12.0700-12.0703-12.0703-12.0703結果分析：由計算結果我們知道，在給定相同精度10?要求下，在復合梯形公式計算方法得到的結果為I?=-12.0705,在龍貝格求積公式方法下得到的結果為r=-12.0703;對于龍貝格算法，我們知道，它是從梯形公式出發(fā)，將區(qū)間逐次附頁：1試題一：1)復合梯形程序如下：functiony=f(x)y=exp(x)*cos(x);b=pi;a=0;eps=10^(-6);n=1;h=(b-a)/2;I1=0;I2=(f(a)+f(b))/h;whileabs(I2-Il)>epsn=n+1;h=(b-a)/n;I1=I2;I2=0;fori=0:n-1x=a+h*i;x1=x+h;I2=I2+(h/2)*(f(x)+f(x1));fprintf'復合梯形法在精度=%i下的計算結果’,eps);復合梯形法在精度=1.000000e-06下的計算結果-12.07052)龍貝格程序如下：functiony=f(x)y=exp(x)*cos(x);n=5;b=pi;a=0;h=(b-a)./(2.^(0:n-1));r(1,1)=(b-a)*(f(a)+f(b))/2;forj=2:nsubtotal=0;fori=1:2^(j-2)附頁：2subtotal=subtotal+f(a+(2*i-1)*h(j));r(j,1)=r(j-1,1)/2+h(j)*subtotal;forj,(4^(k-1)*r(j,k-1)-r(j-1,k-1))/(4^(k-1)-1);fprintf('龍貝格在n=%i下的計算結果\n',n);r龍貝格在n=5下的計算結果r=-34.778500000-13.3360-11.9849-12.01110-12.3822-12.0642-12.0695-12.0704-12.1480-12.0700-12.0703-12.0703-12.0703試題二：程序x=0:5:55:x2=polyfit(x,y,2)plot(x,y,’o’)ylabel('valueofy’);plot(x,y,’o',x,y1,'-',x,y2,'r-')xlabel'iterationtime');ylabel('valueofy’);iterationtime圖1濃度隨時間的變化的散點圖iterationtime圖2濃度隨時間的變化的擬合值試題三：程序x=(0:8).^2;y=0:8;x2=0:64;plot(x,y,’rp',x1,y1)plot(x,y,'rp',x2,y2)三次樣條插值數(shù)值分析課程學習心得體會時光匆匆，有些事情，它來的那么突然，又走的那么突然。數(shù)值分析，作為2016級入學研究生的我來說，一門多么有意思的課程，然而，里面的各種巧妙又精美的算法讓我久久不能忘卻，眼看就要學期就要結束了，對它的思念化作了一次很現(xiàn)實的期末考，雖然我學習數(shù)值分析這門課的時間不是很多，但它所覆蓋的知識是這短短的半年無法學完的，更多的只是為如今特別現(xiàn)實的考試制度而感慨萬千。我想說，就算這門課結束了，我還是愛學它的。言歸正傳，接下來讓我談談對本門課程的一些體會和看法。首先，理論與實踐結合的考核方式讓我大贊不已，為什么呢?因為……學了半年的數(shù)值分析課程，我們對書中的原理算法等從頭到尾的過了一遍，甚至在老師辛勤的付出下我們期末又對它進行了又一次的地毯式的“轟炸”也就是說，我們對數(shù)值分析這門課中的原理與方法進行了一次又一次的了解，加深和掌握復習，拉格朗日插值，牛頓插值，埃爾米特插值，最小二乘法曲線擬合，復合梯形公式，龍貝格求積公式，高斯消去法，Doolittle分解，雅可比、高斯迭代法，牛頓法等等等等無一不深深留在我們的腦海中，但是，卻缺少對它們的應用，因此我們對之還是不知道怎么使用，然而，恰好是老師明智的抉擇布置了大作業(yè)，這讓我們對它們的應用有了一個很好的平臺，于是我們自然而然地就接觸了MATLAB,為此，我們就可以親身感受到算法的強大與巧妙，感受到不同算法的過程及優(yōu)劣，也感受到了數(shù)值