2019-2020學(xué)年山東省煙臺(tái)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2019-2020學(xué)年山東省煙臺(tái)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目要求.

1.（5分）設(shè)X6R,則“x>l”是“/>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2.（5分）設(shè)命題p：梯形的對(duì)角線相等，則「p為（）

A.梯形的對(duì)角線不相等

B.有的梯形對(duì)角線相等

C.有的梯形對(duì)角線不相等

D.不是梯形的四邊形對(duì)角線不相等

3.（5分）下列命題中假命題為（）

A.VxGR,2XI>0B.VxG[0,IT],x>siar

C.3xoGR,tam：o=2D.3xoG（0,+°°）,log2xo>l

4.（5分）已知空間向量a=（A+l,1,入），b—（6,|i-1,4）,若@〃卜貝!!入十四=（）

A.3B.-3C.5D.-5

22

5.（5分）已知橢圓兒：-^+^-=1（a>fe>0）,過(guò)M的右焦點(diǎn)/（3,0）作直線交橢圓于

J

A,5兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,則橢圓“的方程為（）

A.B.-^-+y2=l

2222

xynXy

C.—+--D.----十=1

123189

6.（5分）在三棱錐尸中，M為出的中點(diǎn)，N在BC上，旦BN=2NC,則（）

A.誦?瓦V通?kj■而B.而=卷而q由《正

C誦V近V說(shuō)看記D.誦=6■而■說(shuō)V而

7.（5分）如圖，已知兩條異面直線a,b所成的角為。，點(diǎn)M,N分別在a,b上，且MN

±a,MNLb,P,。分別為直線a,b上位于線段MN同側(cè)的兩點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)為（）

B-VMP2+NQ2+MN2+2MP'NQcose

C-VMP2+NQ2+MN2-2MP-NQsin6

D-VMP2+NQ2+MN2+2MP'NQsin6

8.（5分）設(shè)拋物線V=8x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線/與拋物線交于點(diǎn)A,B,與圓/+y-

4x+3=0交于點(diǎn)P,Q,其中點(diǎn)A,P在第一象限，則21Api+|。8|的最小值為（）

A.2A/2+3B.272+5C.472+5D.472+3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（5分）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外的任一點(diǎn)，則“點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C

共面”的充分條件的是（）

A.0M=20A-0B-0CB.0M=0A+0B-0C

c-0M=0A-fy0B-tj0CD-ON0AOB+1-0C

10.（5分）在長(zhǎng)方體ABC。-A1B1C1O1中，AB=BC=1,卜卜廣如,E,F,P,Q分別為

棱AB,AD,DDx,881的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ACA.BP

B.BiO_L平面EfPQ

C.EFPQ

D.直線A,。和AC所成角的余弦值為返

4

n.（5分）已知拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過(guò)尸的直線與E交于A,B兩點(diǎn)，

C,。分別為A,8在/上的射影,且=3由回,M為A8中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（)

A.ZCFD=90°B.△CM。為等腰直角三角形

C.直線A8的斜率為土返D.ZvlOB的面積為4

12.（5分）己知為，b2分別是雙曲線￡-J=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，A為左頂

2,2x

ab

點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若|PA|=2|Pb2|且△尸人尸2的最小內(nèi)角為30°,則（）

A.雙曲線的離心率?

B.雙曲線的漸近線方程為y=±&x

C.ZP4F2=45°

D.直線x+2y-2=0與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）“尤<0”是“x〈a”的充分非必要條件，則a的取值范圍是.

14.（5分）若TxoHl,2],x^-axo-1>0"為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

22

15.（5分）過(guò)橢圓C：之且?=1（心6>0）的左焦點(diǎn)/作斜率為工的直線/與C交于A,

2,29

ab匕

B兩點(diǎn),若|。月=|。4],則橢圓C的離心率為.

16.（5分）如圖所示的平行六面體A8CD-A1B1C1D1中，已知4B=A4i=A。，/BAD=N

DAAi=6Q°,ZBAAi=30°,N為AAiDi上一點(diǎn)，且4N=AAiDi.BD1AN,貝U人

的值為;若M為棱。的中點(diǎn)，3M〃平面A81N,則人的值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

22

17.（10分）給出以下條件：①VxeR,（vr+ax+1^0,②方程R—-=1表示焦點(diǎn)在y

a-l5-a

軸上的橢圓，③函數(shù)/（無(wú)）=Lx3￡2x?+x無(wú)極值點(diǎn).從中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面

32

問題中，并給出問題的詳細(xì)解答.已知p：實(shí)數(shù)〃滿足/-（2m+l）a+m（m+1）WO,q：

實(shí)數(shù)〃滿足,若p是夕的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

18.(12分)求滿足下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(1)短軸長(zhǎng)等于2?,離心率等于工的橢圓；

2

22

(2)與橢圓幺義_=1共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(4,5)的雙曲線.

1625

19.(12分)如圖，四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD^60°,FD_L平面ABC。,

BE//FD,且DF=2BE=2.

(1)求直線和平面AEF所成角的大小；

(2)求二面角的平面角的大小.

20.(12分)如圖，在三棱錐P-A8C中，平面以CJ_平面ABC,ZACB=90°,PA=AC

=2BC.

(1)若求證：平面E4B_L平面PBC；

(2)若剛與平面ABC所成的角為60°,求二面角C-PB-A的余弦值.

線于A,8兩點(diǎn)，|AB|=8.

(1)求拋物線的方程：

(2)已知尸(xo,-1)為拋物線上一點(diǎn)，M,N為拋物線上異于尸的兩點(diǎn)，且滿足kPM

,kpN=-2,試探究直線MN是否過(guò)一定點(diǎn)？若是，求出此定點(diǎn)；若不是，說(shuō)明理由.

22.（12分）已如橢圓C：孑三=1（。>6>0）,四點(diǎn)尸1（2,0）,p?（旦，—）-P3（1,旦），

a222

p4（-l,梳）中恰有三點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)月的直線/交橢圓于A,8兩點(diǎn)，若直線AH、I、8乃的斜率依次

成等差數(shù)列，求直線/的斜率上的取值范圍.

2019-2020學(xué)年山東省煙臺(tái)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目要求.

1.（5分）設(shè)x€R,則“x>l”是“7>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【分析】直接利用充要條件的判定判斷方法判斷即可.

【解答】解：因?yàn)閍x>r,則“/>i"；但是“/>i”不一定有“尤>i”，

所以“尤>i"，是“/>i”成立的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查充要條件的判定方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

2.（5分）設(shè)命題小梯形的對(duì)角線相等，則「°為（）

A.梯形的對(duì)角線不相等

B.有的梯形對(duì)角線相等

C.有的梯形對(duì)角線不相等

D.不是梯形的四邊形對(duì)角線不相等

【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可

【解答】解：全稱命題的否定是特稱命題，

所以命題：梯形的對(duì)角線相等的否定形式是：有的梯形對(duì)角線不相等.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，基本知識(shí)的考查.

3.（5分）下列命題中假命題為（）

A.VxGR,2Xl>0B.Vxe[0,TT],x>sinx

C.3xoGR,tanxo=2D.3xoE（0,+°°）,logzro>l

【分析】根據(jù)函數(shù)的值域逐一進(jìn)行判斷即可

【解答】解：對(duì)于A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域?yàn)椋?,+8）,所以VXCR,2》一1>0,故A正確;

對(duì)于5,當(dāng)％=0時(shí)，x=sinx,故5錯(cuò)誤；

對(duì)于C,不妨取sinxo=上義￡,cosxo=義T止匕時(shí)tanw=2,故C正確；

55

對(duì)于。，不妨取xo=4,則logzxo=2>l,故。正確.

故選：B,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假性的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值域，屬于

基礎(chǔ)題.

4.（5分）已知空間向量a=（A+l,1,入），b=（6,|i-1,4）,若@〃卜貝入+四=（）

A.3B.-3C.5D.-5

【分析】利用向量平行的性質(zhì)直接求解.

【解答】解：?.?Z=（A+l,1,人），b=（6,廠1,4）,W,

.X+11X

??-----=------=---,

6乩-14

解得入=2,>=3,

???入+|i=2+3=5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式求和，考查向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

22

5.（5分）己知橢圓兒：￥三=1（a>b>0）,過(guò)M的右焦點(diǎn)尸（3,0）作直線交橢圓于

A,3兩點(diǎn)，若A5中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,則橢圓M的方程為（）

B.-^-+y2=l

2222

xy1D

C.-----------=1-瑞哈=1

123

【分析】利用“點(diǎn)差法”即可得出：今-4r-=0,又C=3,a1=b2+c2.即可得出.

2

ab

【解答】解：直線的斜率左=上色=

48-1,

2-3

設(shè)A（xi,yi）,B（x2,>2）,代入橢圓方程可得:

2222

X\yi_1生了2_]

abab

相減化為：----^-=0,又c=3,a2=b2+c2.

2,2

ab

聯(lián)立解得：a2=18,b2=9.

22

可得：橢圓"的方程為：工-2-=l.

189

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于中檔題.

6.(5分)在三棱錐P-ABC中，M為E4的中點(diǎn)，N在上，且BN=2NC,則()

B

A.MN=^-PA-^PB-tyPC-誦?河寺而居正

C誦《談拜卷正D.誦=弓?瓦卷瓦V麗

【分析】利用向量的加法法則以及減法法則可以直接得到結(jié)果.

【解答】解：由M為抬的中點(diǎn)，N在BC上，且BN=2NC,MN=MA+AB+BN

=yPA+AB-^BC

1.??p??

=^PA+(PB-PA)號(hào)(PC-PB)

=與房森尊.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的加法與減法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)如圖，已知兩條異面直線a,6所成的角為。，點(diǎn)M,N分別在a,b上，且MN

.La,MNLb,P,Q分別為直線a,6上位于線段MN同側(cè)的兩點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)為()

B-VMP2+NQ2+MN2+2MP-NQcose

C-7MP2+NQ2+MN2-2MP'NQsin6

D-VMP2+NQ2+MN2+2MP-NQsin6

【分析】由題意作輔助面，作出兩條異面直線。、6所成的角，再由垂直關(guān)系通過(guò)作輔助

線把PQ放在直角三角形中求解.

【解答】解：設(shè)經(jīng)過(guò)。與a平行的平面為a,經(jīng)過(guò)。和MN的平面為0,aCB=c,則c

//a,

因而兒C所成的角等于e,且

?:MNLb,：.MN±a.

根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理，0_La.

在平面0內(nèi)作PGLc,垂足為G,則PG=MN.

根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，PG±a.連接QG,則PGJ_QG.

在RtzXPQG中，PQ2=PG2+QG2.

在△NQG中，QG2=N02+NG2-2NQ?NG?cos。.

又MP=NG,PG=MN,

因此，P°=dMN2+NQ2+Mp2-2Mp?NQcos8,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查與直線上兩點(diǎn)間距離的求法，考查空間圖形的線面關(guān)系，空間想象能

力和邏輯思維能力，是中檔題.

8.（5分）設(shè)拋物線/=8x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線/與拋物線交于點(diǎn)A,8,與圓x2+y2-

4x+3=0交于點(diǎn)P,Q,其中點(diǎn)A,P在第一象限，則2|4P|+|QB|的最小值為（）

A.242+3B.2^2+5C.472+5D.4\歷+3

【分析】根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系，利用拋物線的焦半徑公式，將2IAPI+IQBI表示為焦

半徑與半徑的關(guān)系，然后根據(jù)坐標(biāo)X4,期的特點(diǎn)結(jié)合基本不等式求解出21Api+IQBI的最

小值.

【解答】解：如圖所示:

因?yàn)閳A的方程為了+/-4x+3=0即為(%-2)2+/=1,所以圓心(2,0),半徑R=l,

因?yàn)?1Api+|。8|=2(|AF|-R)+C\BF\-R),

所以21Api+|Q8|=2|AF|+|B/|-3,

因?yàn)閨AF|=X4+R=XA+2,IBF\=XB+^-=XB+2,

22

所以21Api+|QB|=2XA+XB+3,

fx=my+2,,

設(shè)/：x—my+2,所以《，整理得x2-(4+8〃，)+4=0,

、y"=8x

所以XAXB=4,則21Api+|。8|=2XA+XB+3^R+3=4&+3,當(dāng)XA=&,XB=2”用時(shí)

取等號(hào)，

綜上可知21Api+|。2|最小值為例歷+3,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了拋物線的焦半徑公式的運(yùn)用，難

度較難.(1)已知拋物線/=2px(p>0)上任意一點(diǎn)M(xo,yo)以及焦點(diǎn)R則有心

=XQ+￡-；(2)當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線/與拋物線y2=2px相交于A(x4,ya)B(XB,ys),則

2

有XAXB=^~.yjy2=-P2

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(5分)已知A,B,C三點(diǎn)不共線，。為平面4BC外的任一點(diǎn)，則“點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C

共面”的充分條件的是（）

......,?，

A.0M=20A-0B-0CB.OM=OA+OB-OC

COM=OA-^OB^OCD.0M=10A+y0B^0C

【分析】A，B,C三點(diǎn)不共線，。為平面ABC外的任一點(diǎn)，則“點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C共

面”的充分條件的是：OM=^OA+>OB+zOC，且x+y+z=l.即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：.A.2-1-1=0#1,因此點(diǎn)〃與點(diǎn)A,B,C不共面；

B.等式化為：AM=CB，因此點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C共面.

C.l+X^A^l,因此點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C不共面；

。工二+工=1,因此點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C共面.

236

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了共面向量基本定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.（5分）在長(zhǎng)方體ABC。-421C1D1中，AB=BC=1,卜卜廣圾,E,F,P,Q分別為

棱AB,AD,DDi,的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AC±BP

B.8i￡）_L平面EFPQ

C.8cl〃平面EFPQ

D.直線4,。和AC所成角的余弦值為返

4

【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合空間中直線與直線，直線與平面位置關(guān)系逐一判定四個(gè)

選項(xiàng)得答案.

【解答】解：如圖，

對(duì)于A,8尸在底面上的射影為BD,-：AC±BD,：.AC±BP,故A正確；

對(duì)于8,假設(shè)B1O_L平面貝IjB1O_LP。，[fffPQ//B1D1,則而。D

±B1D1,假設(shè)錯(cuò)誤，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,BCi//ADi//FP,FPc5]2?EFPQ,BC1C平面EFP。，貝118cl〃平面EFPQ,故

C正確；

對(duì)于D,直線AiD與AC所成角為NZM1C1,連接AiCi,。。，求解三角形可得cos/ZMiCi

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線，直線與平面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用，考查異面

直線所成角的求法，是中檔題.

11.(5分)已知拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為/,過(guò)尸的直線與E交于A,B兩點(diǎn),

C,。分別為在/上的射影，且|AF|=3|2R,M為A3中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.ZCFD=90°B.△CM。為等腰直角三角形

C.直線AB的斜率為土愿D.△A08的面積為4

【分析】由題意寫出焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)直線AB的方程及A,B的坐標(biāo)，可得

C,。的坐標(biāo)，再由|4日=3|8回，求出直線A8的參數(shù)，進(jìn)而判斷出所給命題的真假.

【解答】解：由題意由拋物線的對(duì)稱性，焦點(diǎn)/(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

由題意可得直線AB的斜率不為0,由題意設(shè)直線48的方程為：x=my+\,

設(shè)A(xi,yi),B(x2,”)，由題意可知C(-1,yi),Z)(-1,”)，

將直線AB與拋物線聯(lián)立整理得：y2-4my-4=0,yi+y2=4m，yiy2=-4,

A中，?.,FOFDn(-2,yi)?-2,”)=(-2)(-2)+yi"=4-4=0,FC1FD，

即NCF￡)=90°,所以A正確；

8中，由A正確，不可能CAf_LOM,更不會(huì)/C或/。為直角，所以8不正確；

C中，因?yàn)镠fl=3|8尸所以AF=3FB，即yi=-3”，yi+y2=4m,yiy2=-4,

1一2丫y2=4刎m一.1'歷..............廠.一

?,解得租2=工，機(jī)=+乂色，所以直線A8的斜率為±b，所以C正確;

2

-3y2=-43-3

D中，由題意可得弦長(zhǎng)以引=4l+m2j01+了2）2-4丫逐2=｛（4.2+16

0到直線AB的距離d=I1=

，所以SAOAB

￡?|四|?01=/?畢?李=挈，所以。不正確，

乙乙JAJ

【點(diǎn)評(píng)】考查拋物線的性質(zhì)及命題真假的判斷，屬于中檔題.

12.（5分）已知八"分別是雙曲線4-g=l（4。，心。）的左、右焦點(diǎn)，A為左頂

ab

點(diǎn)，尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，若|尸為|=2|尸尸2|且△尸尸1尸2的最小內(nèi)角為30°，則（）

A.雙曲線的離心率?

B.雙曲線的漸近線方程為丫=士后x

C.ZB4F2=45°

D.直線x+2y-2=0與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)

【分析】利用已知條件畫出圖形，求解雙曲線的離心率以及漸近線方程，判斷直線與雙

曲線的位置關(guān)系，推出選項(xiàng)即可.

【解答】解：Fi,放分別是雙曲線￡-￡=1（。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，A為左頂

ab

點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若|PFI|=2|PF2|且△PFLF2的最小內(nèi)角為30°,如圖，三角

卜2廠

形△尸為尸2是直角三角形，并且==2ctan30°，可得：e=J5,所以A正確；

a

2哂可得

aa

漸近線方程：y=±J定，所以8正確；

直線x+2y-2=0與雙曲線的漸近線不平行,所以直線與雙曲線由2個(gè)交點(diǎn)，所以。正確;

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）“x<0”是的充分非必要條件，則a的取值范圍是（0,+8）.

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求出。的范圍即可.

【解答】解：若“x<0”是“x<a”的充分非必要條件，

則。的取值范圍是（0,+°°）,

故答案為：（0,+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題.

14.（5分）若“3xoe［l,2］,比2-以0-1>0”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（-8,

3）.

2-

【分析】由題意可得。<尤0-1-在口，2］的最大值，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得最大值，即

X。

可得到所求。的范圍

【解答】解：命題u3xoG［l,2］,XO2-6ZX0-1是真命題，

即有a<xo-」-在［1,2］的最大值，

X。

由尤在［1,2］遞增，可得xo=2取得最大值3,

X。2

可得a<—,

2

故答案為：（-°°,—

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查存在性命題的真假問題解法，注意運(yùn)用分離參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性,

考查運(yùn)算能力，屬于中檔題

22

15.（5分）過(guò)橢圓C：2kg?=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)P作斜率為上的直線/與C交于A,

ab乙

B兩點(diǎn)，若［0川=|。4|,則橢圓C的離心率為逅.

一3—

【分析】利用己知條件求出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可.

22

【解答】解：過(guò)橢圓C：（?>&>0）的左焦點(diǎn)尸作斜率為上的直線/與C交

2k22

ab乙

于A,8兩點(diǎn)，可知tan/AFO=工，\OF\=\OA\,

2

2Xy

所以tan/AOx=-二=9，所以A（冬匚星C），

」355c

4

2

代入橢圓方程可得：區(qū)一

2525b2

嚼2宗解"亨

故答案為：亞■.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，考查計(jì)算能力.

16.（5分）如圖所示的平行六面體ABC。-A1B1C1D1中，已知AB=A4i=A。，NBAD=N

DAAi=60°,ZBAAi=30°,N為AAiDi上一點(diǎn)，且4N=AAiD.若BDLAN,貝U人

的值為若M為棱。的中點(diǎn)，〃平面A81N,則入的值為_Z_.

3

【分析】①BD，AN，不妨取AB=A4i=A￡?=l,利用BD，AN=（AD-AB）?（嬴丁人AD）

=加，AA；+2AT?AD-AB?AA；一人N?鄴=°，即可得出入.

②連接48,與AB1交于點(diǎn)E.連接A1M,交AN于點(diǎn)F,連接EF.8M〃平面A81N,

可得BM〃EF.根據(jù)E點(diǎn)為48的中點(diǎn)，可得F點(diǎn)為4M的中點(diǎn).延長(zhǎng)AN交線段

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.利用平行線的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：?BD±AN,不妨取AB=A4i=A￡>=l,

BD*AN=（AD-AB*AA；+）知）=QAA；+入AE?AD-AB?AA；-入AD，AB=COS60°

+A-cos30°-Acos60°=■1-返+工入=0.

222

.'.A=V3-i-

②連接42,與421交于點(diǎn)E.連接交AN于點(diǎn)、F,連接所.

?/〃平面ABiN,：.BM//EF.

點(diǎn)為42的中點(diǎn)，尸點(diǎn)為4M的中點(diǎn).

延長(zhǎng)AN交線段。八1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

'：AAi//DD\,AiF^FM.

：.AAi=MP=2DiP.

.A[N_AAi一

??----------------乙,

NDtDjP

=

A1N-|A1D1-

則入=z.

3

故答案為：Vs-1?—

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線面平行的性

質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

22

17.(10分)給出以下條件：①VxeR,辦2+辦+120,②方程表示焦點(diǎn)在y

a_l5-a

軸上的橢圓，③函數(shù)/(x)=春*3^^工乂2+尤無(wú)極值點(diǎn).從中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面

問題中，并給出問題的詳細(xì)解答.已知p：實(shí)數(shù)。滿足屋-(2m+l)a+m(m+1)WO,q：

實(shí)數(shù)a滿足若選①：0W〃W4；

若選②：]<〃V3；

若選⑶：-,若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【分析】P：因?yàn)?〃-m)(4?-m-1)W0,所以znWaW根+1.分別就選①②③，得出

〃的范圍，可得加的取值范圍.

【解答】解：p：因?yàn)?a-m)(a-m-1)WO,所以m^a^m+1

若選①：當(dāng)4=0時(shí)，符合題意；當(dāng)〃?0時(shí)，得0V〃W4,所以0WaW4,

由已知得:\m,m+l]^[0,4],

所以,得0《mW3.

lm+l<4

22（5-a^>a-l

若選②：方程U^-=l表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，,：.l<a<3,

a-15-aa-l>0L

由已知得：777+1狂（1,3）,

所以，得1<%<2

若選③：f（x）—X1-（?-1）x+l,

則4=（cz-1）2-4W0,；.-lWaW3

由已知得：［m,MJ+1］氧T,3］,所以，得-lWmW2.

故答案為：選①：0Wa<4,得0W機(jī)W3.

若選②：l<a<3,得1cm<2

若選③：-得-lWmW2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程與不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)

算能力，屬于中檔題.

18.（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）短軸長(zhǎng)等于2?,離心率等于上的橢圓；

2

22

（2）與橢圓—+匚=1共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（4,5）的雙曲線.

1625

【分析】（1）求出5二回，工工，求出處然后分類討論焦點(diǎn)的位置，求解橢圓方程.

a2

22

（2）求出橢圓的焦點(diǎn)為（0,±3）,設(shè)雙曲線方程為2--工-=i，利用已知條件求出的

m9-m

即可得到雙曲線方程.

【解答】解：（1）由題意可知，b=V3>￡］，

a2

因?yàn)椤?=/+02,可得。=2,

若焦點(diǎn)在X軸上，

22

橢圓的方程為幺+^—=1，

43

若焦點(diǎn)在y軸上，

22

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工耳=1，

43

22

（2）橢圓的焦點(diǎn)為（0,±3）,

1625

22

可設(shè)雙曲線方程為匚_±_=1,

m9-m

將點(diǎn)（4,5）代入可得空上_=i

m9-m

整理可得，m2-50m+225=0,

解得機(jī)=5或相=45（不合題意），

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為匚

54

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,

是中檔題.

19.（12分）如圖，四邊形A8C￡＞是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=60°,FZ）_L平面ABC。,

BE//FD,且DF=2BE=2.

（1）求直線和平面AE尸所成角的大??；

（2）求二面角的平面角的大小.

【分析】（1）推導(dǎo)出8,E,F,。四點(diǎn)共面，AC±BD,設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為。以。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,08以及垂直于平面ABC的方向?yàn)閤,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz,利用向量法能求出直線和平面AEF所成角.

（2）求出平面的一個(gè)法向量和平面F的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角

E-AF-。的平面角.

【解答】解：（1）因?yàn)锽E〃ED,所以2,E,F,。四點(diǎn)共面，

因?yàn)樗倪呅蜛8CD是菱形，所以ACL8。，

設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4,02以及垂直于平面ABC的方向?yàn)橛?

y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖所示，

則A(“，0,0),F(0,-1,2),E(0,1,1),

AF=-1，2)，AD=(-?,-1,0)，AE=(-?,1,1),

設(shè)ir=（無(wú)，y,z）為平面AEB的一個(gè)法向量，

n.fm*AF=-V3x-y+2z=0.ZH-,r-、

貝山_.，令y=l,得ir=（v3>1>2）

m*AE=-V3x+y+z=0

設(shè)直線AD和平面AEF所成角為。，

|AD*m|_|-41_V2

則sin0=

|AD|-|m|2X?T

所以直線AD和平面AEF所成角為45

（2）由（1）可知，平面AEF的一個(gè)法向量為7=（毒，1，2）,

設(shè)口=（無(wú)，》z）為平面ADF的一個(gè)法向量，

則巧亍Mx-y+2z=。，令x=y,得短電，30）,

AD,n=-V3x-y=0

因?yàn)閙，n=O，

所以二面角的平面角為90°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角、二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.（12分）如圖，在三棱錐P-A8C中，平面以C_L平面ABC,ZACB=90°,PA=AC

2BC.

(1)若求證：平面B43_L平面P8C；

(2)若B4與平面ABC所成的角為60°,求二面角C-P8-A的余弦值.

【分析】(1)推導(dǎo)出BC_L平面出C,PALBC,PAA.PB,從而以，平面P8C,由此能證

明平面E4B_L平面PBC.

(2)過(guò)P作PH±AC,由平面出C_L平面ABC,得P8_L平面ABC,ZPAH=6Q,設(shè)PA

=2,則PHf巧，以C為原點(diǎn)，分別以CA,CB所在的直線為x,y軸，以過(guò)C點(diǎn)且平行

于PH的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-P8-A的余弦

值.

【解答】解：(1)證明：因?yàn)槠矫鍮4CL平面A8C,平面E4CC平面A3C=AC,BCu平

面ABC,BC-LAC,

所以8C，平面PAC,

由B4u平面B4C,所以B4_LBC,

又因?yàn)镻ALPB,PBCBC=B,所以B4_L平面PBC,P4u平面PAB,

所以平面B4B_L平面PBC；

(2)解：過(guò)P作尸HJ_AC,因?yàn)槠矫鍮4C_L平面ABC,

所以/W_L平面ABC,所以/E4H=60,

不妨設(shè)必=2,所以PH*,

以C為原點(diǎn)，分別以C4,CB所在的直線為無(wú)，y軸，以過(guò)C點(diǎn)且平行于的直線為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,1,0),P(l，?；?,

AB=(-2,1,0)，AB=(-2,1,0),AP=(-1,0,正)，CB=(0,1,0)-

CP=(1,073)-

設(shè)口=(XI,yi,zi)為面的一個(gè)法向量,

則有舊'更=°，即1"Cl°,令0=百，可得短(3,6,病),

ln-AP=Ol-X1W3Z1=0zi73

設(shè)ir=（%2,”，z2）為面尸8C的一個(gè)法向量,

則,弊

了2=。令Z2=J^，得ir=(-3,0,V3)?

m-CP=O

所以cos</.>=+9+3—=-二,所以二面角C-P3-A的余弦值為上

m,n4^X2V344

【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線

面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

21.（12分）已知E為拋物線尸=2度（p>0）的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為45°的直線交拋物

線于A,3兩點(diǎn)，|AB|=8.

（1）求拋物線的方程：

（2）已知尸（猶，-1）為拋物線上一點(diǎn)，M,N為拋物線上異于尸的兩點(diǎn)，且滿足好M

?kPN=-2,試探究直線MN是否過(guò)一定點(diǎn)？若是，求出此定點(diǎn)；若不是，說(shuō)明理由.

【分析】（1）求得拋物線的焦點(diǎn)/和直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理

和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求拋物線方程；

（2）求得尸的坐標(biāo)，不妨設(shè)直線MN的方程為（m^O）,M（xi,yi）,N（x2,

”），聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)可得tJ-ir，由直線恒

4

過(guò)定點(diǎn)的求法，可得所求定點(diǎn).

【解答】解：（1）由已知F4，0），直線的方程為y=x-￡，

聯(lián)立拋物線方程y2=2px,消y可得，

X2_3PX+PL=0,

所以Xl+X2=3〃，

因?yàn)閈AB\=xi+x2+p=4p=8,

所以2夕=4,

即拋物線的方程為y2=4x.

(2)將P(xo,-1)代入『=4?？傻?1),

不妨設(shè)直線MN的方程為％=切+/(m70),M(xi,yi),N(x2,y2),則y/=4xi,y^

=4x2,

聯(lián)立拋物線的方程y2=4x,消％得/一4在廠書=0,

則有yi+〉2=4zn,yiy2=-4r,/\=16m2+16t,

Yi+iy+14

2416

由題息kpM.k