湖南省婁底市漣源湄江鎮(zhèn)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

湖南省婁底市漣源湄江鎮(zhèn)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知,圓內(nèi)的曲線與軸圍成的陰影部分區(qū)域記為(如圖),隨機(jī)往圓內(nèi)投擲一個(gè)點(diǎn),則點(diǎn)落在區(qū)域的概率為A． B．

.C D．參考答案：B2.函數(shù)的部分圖象如圖所示，將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)＝A.

B.C.

D.參考答案：D3.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)在上的最小值為A．

B． C． D．參考答案：函數(shù)向左平移個(gè)單位得，又其為奇函數(shù)，故則，，解得，又，令，得，∴，又∵，∴，即當(dāng)時(shí)，，故選．4.若函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．(－∞,1] B．(－∞,1) C．(－∞,2] D．(－∞,2)參考答案：C；由已知條件知時(shí)，恒成立；設(shè)，則在上恒成立；問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，而函數(shù)，故，故選C．5.函數(shù)y=的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象．【分析】觀察四個(gè)圖象知，A與B、C、D不同（在y軸左側(cè)沒有圖象），故審定義域；同理審B、C、D的不同，從而利用排除法求解．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0且x≠±1}，故排除A，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴排除C，當(dāng)x=2時(shí)，y=＞0，故排除D，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及排除法的應(yīng)用．6.已知函數(shù)F（x）=ex滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若?x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出g（x），h（x）的表達(dá)式，然后將不等式恒成立進(jìn)行參數(shù)分離，利用基本不等式進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．【解答】解：∵F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，∴g（x）+h（x）=ex，則g（﹣x）+h（﹣x）=e﹣x，即g（x）﹣h（x）=e﹣x，解得g（x）=，h（x）=，則?x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，等價(jià)為﹣a?≥0恒成立，∴a≤==（ex﹣e﹣x）+，設(shè)t=ex﹣e﹣x，則函數(shù)t=ex﹣e﹣x在（0，2]上單調(diào)遞增，∴0＜t≤e2﹣e﹣2，此時(shí)不等式t+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=時(shí)，取等號(hào)，∴a≤2，故選：B．7.

高為8的圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)半徑為2的球O1，球心O1在圓臺(tái)的軸上，球O1與圓臺(tái)的上底面、側(cè)面都相切，圓臺(tái)內(nèi)可再放入一個(gè)半徑為3的球O2，使得球O2與球O1、圓臺(tái)的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn)，除球O2，圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是(

)

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4參考答案：解：O2與下底距離=3，與O1距離=2+3=5，與軸距離=4，問題轉(zhuǎn)化為在以4為半徑的圓周上，能放幾個(gè)距離為6的點(diǎn)？右圖中，由sin∠O2HC=3/4>0．707，即∠O2HO3>90°，即此圓上還可再放下2個(gè)滿足要求的點(diǎn)．故選B．8.某校高級(jí)職稱教師104人，中級(jí)職稱教師46人，其他教師若干人．為了了解該校教師的工資收入情況，若按分層抽樣從該校的所有教師中抽取42人進(jìn)行調(diào)查，已知從其它教師中共取了12人，則該校共有教師人()

A．60

B．200

C．210

D．224參考答案：C略9.函數(shù)在定義域R上不是常數(shù)函數(shù)，且滿足條件：對(duì)任意的x∈R，都有，則是（

）

A．奇函數(shù)但非偶函數(shù)

B．偶函數(shù)但非奇函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)參考答案：B略10.已知集合M={0，1，2，3}，N={x|x2﹣3x＜0}，則M∩N=（）A．{0} B．{x|x＜0} C．{x|0＜x＜3} D．{1，2}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出N中不等式的解集確定出N，再找出兩集合的交集即可．【解答】解：由N中的不等式變形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即N=（0，3），∵M(jìn)={0，1，2，3}，∴M∩N=[1，2}．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，使恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為

．參考答案：12.若函數(shù)的定義域是R,則的取值范圍是參考答案：略13.已知f(x)＝ln(eax＋1)－bx(b≠0)是偶函數(shù)，則＝

參考答案：214.已知函數(shù)f（x）=若關(guān)于x的方程|f（x）|﹣ax﹣5=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則滿足條件的所有實(shí)數(shù)a的取值集合為

．參考答案：{﹣e，﹣，2，}．【分析】作出y=|f（x）|的函數(shù)圖象，根據(jù)直線y=ax+5與y=|f（x）|有3個(gè)交點(diǎn)得出兩函數(shù)圖象的關(guān)系，從而得出a的值．【解答】解：令f（x）=0得x=2或x=ln5，∵f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴|f（x）|=，作出y=|f（x）|的函數(shù)圖象如圖所示：∵關(guān)于x的方程|f（x）|﹣ax﹣5=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴直線y=ax+5與y=|f（x）|有3個(gè)交點(diǎn)，∴y=ax+5過點(diǎn)（﹣2，0）或過點(diǎn)（ln5，0）或y=ax+5與y=|f（x）|的圖象相切，（1）若y=ax+5過點(diǎn)（﹣2，0），則a=，（2）若y=ax+5過點(diǎn)（ln5，0），則a=﹣，（3）若y=ax+5與y=|f（x）|在（﹣2，0）上的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則，解得a=2，（4）若y=ax+5與y=|f（x）|在（0，ln5）上的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為（x1，y1），則，解得a=﹣e，∴a的取值集合為{﹣e，﹣，2，}．故答案為{﹣e，﹣，2，}．15.已知是邊長(zhǎng)為4的正三角形,D、P是內(nèi)部?jī)牲c(diǎn),且滿足,則的面積為__________.

參考答案：略16.在等差數(shù)列中，，，則的前項(xiàng)和___________．參考答案：17.已知一正整數(shù)的數(shù)陣如下圖所示(從上至下第1行是1，第2行是3、2，......)，則數(shù)字2014是從上至下第__________行中的從左至右第__________個(gè)數(shù)．

參考答案：63,61.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（1）若關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題；51：函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】（1）將方程變形，利用x=1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且僅有一個(gè)等于1的解或無解，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）將不等式分離參數(shù)，確定函數(shù)的值域，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，變形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，顯然，x=1已是該方程的根，從而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且僅有一個(gè)等于1的解或無解，∴a＜0．…（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）對(duì)x∈R恒成立，①當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)a∈R；②當(dāng)x≠1時(shí)，（*）可變形為a≤，令φ（x）==因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＞2，當(dāng)x＜1時(shí)，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此時(shí)a≤﹣2．綜合①②，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤﹣2．…19.如圖，扇形ABC是一塊半徑為2千米，圓心角為60°的風(fēng)景區(qū)，P點(diǎn)在弧BC上，現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道，要求街道PQ與AB垂直，街道PR與AC垂直，線段RQ表示第三條街道．（1）如果P位于弧BC的中點(diǎn)，求三條街道的總長(zhǎng)度；（2）由于環(huán)境的原因，三條街道PQ、PR、RQ每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每千米300萬元、200萬元及400萬元，問：這三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少？（精確到1萬元）參考答案：【考點(diǎn)】HU：解三角形的實(shí)際應(yīng)用；HS：余弦定理的應(yīng)用．【分析】（1）由P為于∠BAC的角平分線上，利用幾何關(guān)系，分別表示丨PQ丨，丨PR丨，丨RQ丨，即可求得三條街道的總長(zhǎng)度；（2）設(shè)∠PAB=θ，0＜θ＜60°，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系及余弦定理，即可求得丨PQ丨，丨PR丨，丨RQ丨，則總效益W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400，利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：（1）由P位于弧BC的中點(diǎn)，在P位于∠BAC的角平分線上，則丨PQ丨=丨PR丨=丨PA丨sin∠PAB=2×sin30°=2×=1，丨AQ丨=丨PA丨cos∠PAB=2×=，由∠BAC=60°，且丨AQ丨=丨AR丨，∴△QAB為等邊三角形，則丨RQ丨=丨AQ丨=，三條街道的總長(zhǎng)度l=丨PQ丨+丨PR丨+丨RQ丨=1+1+=2+；（2）設(shè)∠PAB=θ，0＜θ＜60°，則丨PQ丨=丨AP丨sinθ=2sinθ，丨PR丨=丨AP丨sin（60°﹣θ）=2sin（60°﹣θ）=cosθ﹣sinθ，丨AQ丨=丨AP丨cosθ=2cosθ，丨AR丨=丨AP丨cos（60°﹣θ）=2cos（60°﹣θ）=cosθ+sinθ由余弦定理可知：丨RQ丨2=丨AQ丨2+丨AR丨2﹣2丨AQ丨丨AR丨cos60°，=（2cosθ）2+（cosθ+sinθ）2﹣2×2cosθ（cosθ+sinθ）cos60°，=3，則丨RQ丨=，三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益W，W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400=300×2sinθ+（cosθ﹣sinθ）×200+400=400sinθ+200cosθ+400，=200（2sinθ+cosθ）+400，=200sin（θ+φ）+400，tanφ=，當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，W取最大值，最大值為200+400≈1222，三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高約為1222萬元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查余弦定理，正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，輔助角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．20.（本題12分）如圖，橢圓的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為為右焦點(diǎn)，離心率，過作平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，作平行四邊形，求證：在此橢圓上．參考答案：21.已知函數(shù),，其中R.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí)，若，，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，且?/p>

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ），的定義域?yàn)?/p>

因?yàn)樵谄涠x域內(nèi)為增函數(shù)，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以

（