湖南省長沙市湘一實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

湖南省長沙市湘一實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.根據(jù)程序設(shè)定，機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作：先從原點(diǎn)O沿正東偏北（）方向行走一段時(shí)間后，再向正北方向行走一段時(shí)間，但的大小以及何時(shí)改變方向不定.如右圖.假定機(jī)器人行走速度為10米/分鐘，設(shè)機(jī)器人行走2分鐘時(shí)的可能落點(diǎn)區(qū)域?yàn)镾，則S的面積（單位：平方米）等于（

）

A.

B.C.

D.參考答案：B2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，,則（A）38

（B）20

（C）10

（D）9參考答案：C3.在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AD上并且AF=2DF，設(shè)=，=，則=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)向量的加減的幾何意義和向量的三角形法則計(jì)算即可．【解答】解：，故選D．【點(diǎn)評】本題考查了向量的加減的幾何意義和向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題．4.某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）A．4 B． C．D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】通過三視圖復(fù)原的幾何體是正四棱錐，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積．【解答】解：由題意三視圖可知，幾何體是正四棱錐，底面邊長為2的正方形，一條側(cè)棱垂直正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，長度為2，所以四棱錐的體積．故選D．5.

函數(shù)y=logax和y=(1－a)x+a的圖象只可能是…………（

）

A．

B． C．

D．

參考答案：答案：D

6.已知函數(shù)的圖象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，則（

）A.-2 B.2 C.-1 D.1參考答案：D【分析】根據(jù)題意得到，，畫出函數(shù)圖像，可知切線方程過點(diǎn)，由切線的幾何意義得到：，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，則，易知直線過定點(diǎn)，如圖，由對稱性可知，直線與三角函數(shù)圖象切于另外兩個(gè)點(diǎn)，∴，則切線方程過點(diǎn)，∴，即，則，∴.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．在研究函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，有一種方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢，得出結(jié)論．7.已知命題使得；命題,都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A為真

B為假

C為真

D為真參考答案：A略8.已知兩條直線

：y=m和：y=(m＞0)，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A，B，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a、b,當(dāng)m變化時(shí)，的最小值為(

)A．16

B.8

C.

D.參考答案：D9.已知0＜a1＜a2＜a3，則使得都成立的x的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】先解出不等式（1﹣aix）2＜1的解集，再由0＜a1＜a2＜a3確定x的范圍【解答】解：因?yàn)椴坏仁剑?﹣aix）2＜1的解集解集為（0，），又0＜a1＜a2＜a3，則，所以使得都成立的x的取值范圍是（0，）；故選B10.已知全集U=R，集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，則A∩?UB等于（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≤2}參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義及運(yùn)算求解即可．【解答】解：?UB={x|x≤2}；∴A∩?UB={x|1＜x≤2}；故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在100件產(chǎn)品中有90件一等品，10件二等品，從中隨機(jī)取出4件產(chǎn)品，則至少含1件二等品的概率是____________（結(jié)果精確到0.01）參考答案：0.3512.（幾何證明選講選做題）如圖，已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，且，，若與圓相切，則線段的長為

.參考答案：13.是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)， .參考答案：略14.已知等差數(shù)列{an}中，a2=2，a4=8，若abn=3n﹣1，則b2015=

．參考答案：2016考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知條件推導(dǎo)出an=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4，從而an+1=3n﹣1，由此得到bn=n+1，進(jìn)而能求出b2015．解答： 解：∵等差數(shù)列{an}中，a2=2，a4=8，∴d=（8﹣2）=3，a1=2﹣3=﹣1，an=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4，an+1=3n﹣1，∵abn=3n﹣1，∴bn=n+1，∴b2015=2015+1=2016．故答案為：2016．點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的第2015項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．15.若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則函數(shù)的反函數(shù)=

.參考答案：（）略16.非零向量m,n滿足3|m|=2|n|,且n(2m+n),則m,n夾角的余弦值為

．參考答案：

17.在直角坐標(biāo)系中，有一定點(diǎn)，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是

．參考答案：線段的斜率，中點(diǎn)坐標(biāo)為。所以線段的垂直平分線的斜率為，所以O(shè)A的垂直平分線的方程是y?，令y=0得到x=．所以該拋物線的準(zhǔn)線方程為.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC平面ABC,，BE．

（1）證明：平面ACD平面；

（2）記，表示三棱錐A－CBE的體積，求的最大值及相應(yīng)的取值.

參考答案：（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形

∴，---------1分∵DC平面ABC,平面ABC

∴．----------2分∵AB是圓O的直徑

∴且∴平面ADC．

∵DE//BC

∴平面ADC-------------5分又∵平面ADE

∴平面ACD平面----------------6分

（2）在Rｔ△ABC中∵（）∴-----------------8分∴（）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“＝”成立，----------12分19.（本題滿分14分）在中，的對邊分別為且成等差數(shù)列。（1）求的值；(2)求的取值范圍。參考答案：⑴由題意得，又，，得，即，在中，，∴，∴，又，∴。⑵∵，∴，∴≤，∴的取值范圍是．20.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）若AB=1，求四棱錐C﹣ABED的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何．【分析】（Ⅰ）取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG，欲證AF∥平面BCE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面BCE內(nèi)一直線平行即可，而AF∥BG，滿足定理；（Ⅱ）證明AF⊥平面CDE，利用BG∥AF，可得BG⊥平面CDE，即可證明平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）取AD中點(diǎn)M，連接CM，而CM⊥平面ABED，則CM為四棱錐C﹣ADEB的高，根據(jù)體積公式V=CM?SABED求解即可．【解答】（Ⅰ）證明：取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG．∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE；（Ⅱ）證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD

∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．

又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG?平面BCE，∴平面平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）解：取AD中點(diǎn)M，連接CM，∵△ACD為等邊三角形，則CM⊥AD，∵DE⊥平面ACD，且DE?平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，又平面ACD∩平面ABED=AD，∴CM⊥平面ABED，∴CM為四棱錐C﹣ADEB的高，∴V=CM?SABED=AF?SABED=．【點(diǎn)評】本小題主要考查直線與平面平行，平面與平面垂直，以及棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．21.如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上（點(diǎn)在第一象限），∥．記，梯形面積為．（Ⅰ）求面積以為自變量的函數(shù)式；（Ⅱ）若，其中為常數(shù)，且，求的最大值．

參考答案：（Ⅰ）解：依題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

………………1分點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程，解得，舍去．

……………2分所以．……4分

由點(diǎn)在第一象限，得．所以關(guān)于的函數(shù)式為，．

………………5分（Ⅱ）解：由

及，得．

………………6分記，則．

………………8分

令，得．

………………9分①若，即時(shí)，與的變化情況如下：↗極大值↘所以，當(dāng)時(shí)，取得