四川省成都市溫江中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

四川省成都市溫江中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為4，點(diǎn)H在棱AA1上，且HA1=1．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)作邊長為1的正方形EFGC1，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長．則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，|HP|2的最小值是(

) A．21 B．22 C．23 D．25參考答案：B考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：建立空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)H作HM⊥BB′，垂足為M，連接MP，得出HP2=HM2+MP2；當(dāng)MP最小時(shí)，HP2最小，利用空間直角坐標(biāo)系求出MP2的最小值即可．解答： 解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，過點(diǎn)H作HM⊥BB′，垂足為M，連接MP，則HM⊥PM，∴HP2=HM2+MP2；當(dāng)MP最小時(shí)，HP2最小，過P作PN⊥CC′，垂足為N，設(shè)P（x，4，z），則F（1，4，3），M（4，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；∵PN=PF，∴=x，化簡(jiǎn)得2x﹣1=（z﹣3）2；∴MP2=（x﹣4）2+（z﹣3）2=（x﹣4）2+2x﹣1=x2﹣6x+15≥6，當(dāng)x=3時(shí)，MP2取得最小值，此時(shí)HP2=HM2+MP2=42+6=22為最小值．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用問題，也考查了空間中的距離的最值問題，是較難的題目．2.有一平行六面體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和左視圖均為矩形，則這個(gè)平行六面體的表面積為A．

B．

C．

D．42參考答案：3.設(shè)α是第二象限角，P（x，4）為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝x，則tanα＝

A．

B．

C．－

D．－參考答案：D略4.等差數(shù)列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，則a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10參考答案：C【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)得到：a1+a7=a3+a5，代入數(shù)據(jù)求出a7的值．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故選：C．5.已知某批電子產(chǎn)品的尺寸服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其尺寸落在區(qū)間(3,5)的概率為(）（附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則A.0.3174 B.0.2718 C.0.1359 D.0.0456參考答案：C【分析】由已知可得，再由求解．【詳解】解：由已知，得，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱性，屬于簡(jiǎn)單題．6.設(shè)集合，則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.已知平面向量夾角為，且，，則等于

A.

B.

C.

D.參考答案：8.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)，則的值在到之間的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：幾何概型，，答案A9.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,其中，i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（

）A． B． C． D．參考答案：B在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，∴，解得a＜0．

10.已知過雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F（﹣c，0）和虛軸端點(diǎn)E的直線交雙曲線右支于點(diǎn)P，若E為線段EP的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（）A．+1 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意，P（c，2b），代入雙曲線方程，即可轉(zhuǎn)化求出該雙曲線的離心率．【解答】解：由題意過雙曲線的左焦點(diǎn)F（﹣c，0）和虛軸端點(diǎn)E的直線交雙曲線右支于點(diǎn)P，若E為線段EP的中點(diǎn)，可得P（c，2b），由雙曲線方程，可得=1，∴e=，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，記BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，則

=__________.參考答案：12.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則

.參考答案：13.若集合，集合,,,,，則

.參考答案：由得，即，所以，即，所以。14.設(shè)x，y滿足約束條件，則的取值范圍為

.參考答案：[－1，6]15.如右圖，橢圓的長軸為A1A2，短軸為B1B2，將坐標(biāo)平面沿y軸折成一個(gè)二面角，使點(diǎn)A2在平面B1A1B2上的射影恰好是該橢圓的左焦點(diǎn)，則此二面角的大小為____．

參考答案：

略16.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線的焦距為6，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)m構(gòu)成的集合是

．參考答案：{}【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，先由雙曲線的方程分析可得m的取值范圍，進(jìn)而又由該雙曲線的焦距為6，則有c=3，即=3，解可得m的值，結(jié)合m的范圍可得m的值，用集合表示即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：，則有，解可得m＞0，則有c=，又由該雙曲線的焦距為6，則有c=3，即=3，解可得：m=﹣3或，又由m＞0，則m=；即所有滿足條件的實(shí)數(shù)m構(gòu)成的集合是{}；故答案為：{}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意焦距是2c．17.已知向量,的夾角為45°，且||=1，||=，則|－|=____________．參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)A，設(shè)是上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP（1）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）已知T（1，-1），設(shè)H是E上動(dòng)點(diǎn),求+的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)T（1，-1）且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率k的取值范圍。參考答案：解：（1）如圖1，設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q，

因此即

①

另一種情況，見圖2（即點(diǎn)M和A位于直線OP的同側(cè)）。

MQ為線段OP的垂直平分線，

又

因此M在軸上，此時(shí)，記M的坐標(biāo)為

為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點(diǎn)

由

（即）得，

故的軌跡方程為

②

綜合①和②得，點(diǎn)M軌跡E的方程為

（2）由（1）知，軌跡E的方程由下面E1和E2兩部分組成（見圖3）：

；

當(dāng)時(shí)，過Ｔ作垂直于的直線，垂足為，交E1于。

再過H作垂直于的直線，交

因此，（拋物線的性質(zhì)）。

（該等號(hào)僅當(dāng)重合（或H與D重合）時(shí)取得）。

當(dāng)時(shí)，則

綜合可得，|HO|+|HT|的最小值為3，且此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為

（3）由圖3知，直線的斜率不可能為零。

設(shè)

故的方程得：

因判別式

所以與E中的E1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

又由E2和的方程可知，若與E2有交點(diǎn)，

則此交點(diǎn)的坐標(biāo)為有唯一交點(diǎn)，從而表三個(gè)不同的交點(diǎn)。

因此，直線的取值范圍是19.對(duì)于數(shù)列,若存在常數(shù)M>0,對(duì)任意,恒有，則稱數(shù)列為數(shù)列.求證：⑴設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和,若是數(shù)列，則也是數(shù)列.⑵若數(shù)列都是數(shù)列，則也是數(shù)列.參考答案：證明：(1)∵｛Sn｝為數(shù)列，∴存在M>0,使

∴，又.

∴｛an｝也是數(shù)列.

(2)∵數(shù)列｛an｝｛bn｝都是數(shù)列，∴存在M,M'使得：

，對(duì)任意都成立.考慮

∴

同理，

∴

∴｛anbn｝也是數(shù)列.

20.（本小題滿分12分）已知正方形的邊長為2，．將正方形沿對(duì)角線折起，，得到三棱錐，如圖所示．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求二面角的正切值．參考答案：解：（1）證明：根據(jù)題意，在中，，，所以，所以．因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線，所以．因?yàn)?，所以．?）解法1：由（1）知，，如圖，以為原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，．設(shè)，則，．又設(shè)面的法向量為，則即

所以，令，則．所以．因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，且二面角的大小為，所以，得．因?yàn)椋裕獾茫裕O(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，則，即令，則．所以．設(shè)二面角的平面角為，所以．所以．所以二面角的正切值為．解法2：折疊后在△中，，在△中，．所以是二面角的平面角，即。在△中，，所以．如圖，過點(diǎn)作的垂線交延長線于點(diǎn)，因?yàn)?，，且，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，且，所以平面．過點(diǎn)作作，垂足為，連接，因?yàn)?，，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕詾槎娼堑钠矫娼牵凇髦?，，，則，，所以．在△中，，所以在△中，．所以二面角的正切值為．略21.（本題滿分12分）已知函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線．(Ⅰ)求,,,的值；(Ⅱ)若時(shí)，≤，求的取值范圍．參考答案：(Ⅰ)由已知得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,設(shè)函數(shù)==(),==,有題設(shè)可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)若,則-2<≤0,∴當(dāng)時(shí),<0,當(dāng)時(shí),>0,即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在=取最小值,而==≥0,∴當(dāng)≥-2時(shí),≥0,即≤恒成立,(2)若,則=,∴當(dāng)≥-2時(shí),≥0,∴在(-2,+∞)單調(diào)遞增,而=0,∴當(dāng)≥-2時(shí),≥0,即≤恒成立,(3)若,則==<0,∴當(dāng)≥-2時(shí),≤不可能恒成立,綜上所述,的取值范圍為[1,].22.（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF.（1）求證：BD⊥平面AED；（4分）（2）求二面角F-BD-C的余弦值.（8分）參考答案：解析：

（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，∴又CB=CD,∴∴,即:BD⊥AD

………2分

又BD⊥AE