2024年中考數(shù)學(xué)沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）

2024年中考數(shù)學(xué)沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1．若自然數(shù)n使得三個(gè)數(shù)的加法運(yùn)算“n+(n+1)+(n+2)”產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“連加進(jìn)位數(shù)”．例如：2不是“連加進(jìn)位數(shù)”，因?yàn)?+3+4＝9不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；4是“連加進(jìn)位數(shù)”，因?yàn)?+5+6＝15產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；51是“連加進(jìn)位數(shù)”，因?yàn)?1+52+63＝156產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．如果從0，1，2，…，99這100個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，那么取到“連加進(jìn)位數(shù)”的概率是()A．0.88B．0.89C．0.90D．0.912．如圖，點(diǎn)A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若點(diǎn)M是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，要使△ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)M有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．（2016秋?永定區(qū)期中）下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形有1顆棋子，第②個(gè)圖形一共有6顆棋子，第③個(gè)圖形一共有16顆棋子，…，則第⑧個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為（）A．226 B．181 C．141 D．106二、填空題4．（2015秋?淮安校級(jí)期中）電子跳蚤游戲盤為△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果電子跳蚤開始時(shí)在BC邊上的P0點(diǎn)，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC邊上P1點(diǎn)，且CP1=CP0；第二步跳蚤從P1跳到AB邊上P2點(diǎn)，且AP2=AP1；第三步跳蚤從P2跳回到BC邊上P3點(diǎn)，且BP3=BP2；…跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2015次落點(diǎn)為P2016，則P3與P2016之間的距離為．5．下圖為手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A，B，C，D，請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向(如A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)從A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是________；當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是________；當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(shí)(n為正整數(shù))，恰好數(shù)到的數(shù)是________(用含n的代數(shù)式表示)．6.(1)如圖(a)，∠ABC＝∠DCB，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：________，使△ABC≌△DCB．(2)如圖(b)，∠1＝∠2，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：________，使△ABC≌△ADE．三、解答題7．如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與B，C兩點(diǎn)重合)，EF∥BD交AC于點(diǎn)F，EG∥AC交BD于點(diǎn)G．(1)求證：四邊形EFOG的周長(zhǎng)等于2OB；(2)請(qǐng)你將上述題目的條件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC”改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結(jié)論“四邊形EFOG的周長(zhǎng)等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證，不必證明．8．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩條直線，，直線的解析式為．如果將坐標(biāo)紙折疊，使直線與重合，此時(shí)點(diǎn)(-2，0)與點(diǎn)(0，2)也重合．(1)求直線的解析式；(2)設(shè)直線與相交于點(diǎn)M．問：是否存在這樣的直線，使得如果將坐標(biāo)紙沿直線折疊，點(diǎn)M恰好落在x軸上？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．（2015?黃陂區(qū)校級(jí)模擬）正方形ABCD中，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，一條直角邊與邊BC交于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），另一條直角邊與邊CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）如圖①，求證：AE=AF；（2）如圖②，此直角三角板有一個(gè)角是45°，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，連接EG，求證：EG=BE+DG；（3）在（2）的條件下，如果=，那么點(diǎn)G是否一定是邊CD的中點(diǎn)？請(qǐng)說明你的理由．10.（2016?天門）如圖①，半圓O的直徑AB=6，AM和BN是它的兩條切線，CP與半圓O相切于點(diǎn)P，并于AM，BN分別相交于C，D兩點(diǎn)．（1）請(qǐng)直接寫出∠COD的度數(shù)；（2）求AC?BD的值；（3）如圖②，連接OP并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)Q，連接DQ，試判斷△PQD能否與△ACO相似？若能相似，請(qǐng)求AC：BD的值；若不能相似，請(qǐng)說明理由．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】A；【解析】不是“連加進(jìn)位數(shù)”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12個(gè)．∴P(取到“連加進(jìn)位數(shù)”)＝．2.【答案】D；【解析】如圖，①過圓點(diǎn)O作AB的垂線交和于M1，M2．②以B為圓心AB為半徑作弧交圓O于M3．③以A為圓心，AB為半徑弧作弧交圓O于M4．則M1，M2，M3，M4都滿足要求．3.【答案】C；【解析】設(shè)第n個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為an（n為正整數(shù)），觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，…，∴an=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n﹣2）+…+n=n2+=n2﹣n+1，當(dāng)n=8時(shí)，a8=×82﹣×8+1=141．二、填空題4.【答案】1．【解析】∵BC=10，BP0=4，知CP0=6，∴CP1=6．∵AC=9，∴AP2=AP1=3．∵AB=8，∴BP3=BP2=5．∴CP4=CP3=5，∴AP4=4．∴AP5=AP4=4，∴BP5=4．∴BP6=BP5=4．此時(shí)P6與P0重合，即經(jīng)過6次跳，電子跳蚤回到起跳點(diǎn)．2016÷6=336，即P2016與P0重合，∴P3與P2016之間的距離為P3P0=1．故答案為：1．5.【答案】B；603；6n+3．【解析】由題意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6個(gè)數(shù)重復(fù)一次“A→B→C→D→C→B→”，所以，當(dāng)數(shù)到12時(shí)對(duì)應(yīng)的字母是B；當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是201×3＝603；當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(shí)(n為正整數(shù))，恰好數(shù)到的數(shù)是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如圖(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)圖(b)中∠D＝∠B，或等．三、解答題7.【答案與解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝CB，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB．∴∠1＝∠2．又∵GE∥AC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG＝BG．∵EG∥OC，EF∥OB，∴四邊形EGOF是平行四邊形．∴EG＝OF，EF＝OG．∴四邊形EGOF的周長(zhǎng)＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．(2)方法1：如圖乙，已知矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與B，C兩點(diǎn)重合)，EF∥BD，交AC于點(diǎn)F，EG∥AC交BD于點(diǎn)G．求證：四邊形EFOG的周長(zhǎng)等于2OB．圖略．方法2：如圖丙，已知正方形ABCD中，……其余略．8.【答案與解析】解：(1)直線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)．由題意，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，0)．又∵直線與直線的交點(diǎn)為(-3，3)，∴直線過點(diǎn)(-1，0)和(3，3)．設(shè)直線的解析式為y＝kx+b．則有解得所求直線的解析式為．(2)∵直線與直線互相垂直，且點(diǎn)M(-3，3)在直線上，∴如果將坐標(biāo)紙沿直線折疊，要使點(diǎn)M落在x軸上，那么點(diǎn)M必須與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，此時(shí)直線過線段OM的中點(diǎn)．將，代入y＝x+t，解得t＝3．∴直線l的解析式為y＝x+3．9．【答案與解析】解：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（ASA）∴AE=AF；（2）如圖②，連接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．∵點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°．∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAG=∠FAG．在△AGE和AGF中，，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴EG=BE+DG；（3）G不一定是邊CD的中點(diǎn)．理由：設(shè)AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x，在Rt△ECG中，由勾股定理，得（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k．∴點(diǎn)G不一定是邊CD的中點(diǎn)．10．【答案與解析】解：（1）∠COD=90°．理由：如圖①中，∵AB是直徑，AM、BN是切線，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵CA、CP是切線，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．（2）如圖①中，∵AB是直徑，AM、BN是切線，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD，∴RT△AOC∽R(shí)T△BDO，∴=，即AC?BD=AO?BO，∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC?BD=9．（3）△PQD能與△ACQ相似．∵CA、CP是⊙O切線，∴AC=CP，∠1=∠2，∵DB、DP是⊙O切線，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4，①如圖②中，當(dāng)△PQD∽△ACO時(shí)，∠5=∠1，∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO，∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2，∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3，在RT△ACO，RT△BDO中，分別求得AC=，BD=3，∴AC：BD=1：3．②如圖②中，當(dāng)△PQD∽△AOC時(shí)，∠6=∠1，∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠6=∠CQD，∴CQ=CD，∵S△CDQ=?CD?PQ=?CQ?AB，∴PQ=AB=6，∵CO∥QD，∴=，即=，∴AC：BD=1：2中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（2016?重慶校級(jí)二模）下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有1個(gè)空心小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有6個(gè)空心小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)空心小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第⑦個(gè)圖形中空心圓圈的個(gè)數(shù)為（）A．61 B．63 C．76 D．782．如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交與點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設(shè)Pn﹣1Dn﹣2的中點(diǎn)為Dn﹣1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn﹣1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n＞2），則AP6的長(zhǎng)為（） A． B． C．D． 3．下面兩個(gè)多位數(shù)1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個(gè)位數(shù)字寫在第2位．對(duì)第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字……，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的．當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時(shí)，仍按如上操作得到一個(gè)多位數(shù)，則這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是()A．495B．497C．501D．503二、填空題4.（2015?合肥校級(jí)三模）如圖，一個(gè)3×2的矩形（即長(zhǎng)為3，寬為2）可以用兩種不同方式分割成3或6個(gè)邊長(zhǎng)是正整數(shù)的小正方形，即：小正方形的個(gè)數(shù)最多是6個(gè)，最少是3個(gè)．（1）一個(gè)5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個(gè)數(shù)可以是個(gè)，最少是個(gè)；（2）一個(gè)7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個(gè)數(shù)最多是個(gè)，最少是個(gè)；（3）一個(gè)（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個(gè)數(shù)最多是個(gè)；最少是個(gè)．（n是正整數(shù)）5.一園林設(shè)計(jì)師要使用長(zhǎng)度為4L的材料建造如圖1所示的花圃，該花圃是由四個(gè)形狀、大小完全一樣的扇環(huán)面組成，每個(gè)扇環(huán)面如圖2所示，它是以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過O點(diǎn)的兩條直線段圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環(huán)面積最大．(1)使圖①花圃面積為最大時(shí)R－r的值為，以及此時(shí)花圃面積為，其中R、r分別為大圓和小圓的半徑；(2)若L＝160m，r＝10m，使圖面積為最大時(shí)的θ值為．6．如圖所示，已知△ABC的面積，在圖(a)中，若，則；在圖(b)中，若，則；在圖(c)，若，則．…按此規(guī)律，若，則________．三、解答題7．（2016?丹東模擬）已知，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．（l）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出CE、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、E分別在直線BC的兩側(cè)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF、CF，其他條件不變，請(qǐng)判斷△ACF的形狀，并說明理由．8.如圖(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形、正四邊形、正五邊形，BE，CD相交于點(diǎn)O．(1)①如圖(a)，求證：△ADC≌△ABE；②探究：圖(a)中，∠BOC＝________；圖(b)中，∠BOC＝________；圖(c)中，∠BOC＝________；(2)如圖(d)，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊．BE，CD的延長(zhǎng)相交于點(diǎn)O．①猜想：圖(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)②根據(jù)圖(d)證明你的猜想．9.如圖(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在線段BC上任取一點(diǎn)P(P不與B，C重合)，連接DP，作射線．PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E．(1)試確定CP＝3時(shí)，點(diǎn)E的位置；(2)若設(shè)CP＝x(x＞0)，BE＝y(tǒng)(y＞0)，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；(3)若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P1，P2，使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)a的取值范圍．10.點(diǎn)A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點(diǎn)，在直線n上找一點(diǎn)C，使BC＝k·AB．連接AC，在直線AC上任取一點(diǎn)E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直線m于點(diǎn)F．(1)如圖(a)，當(dāng)k＝1時(shí)，探究線段EF與EB的關(guān)系，并加以說明；說明：①如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題，請(qǐng)寫出探索過程(要求至少寫三步)；②在完成①之后，可以自己添加條件(添加的條件限定為∠ABC為特殊角)，在圖(b)中補(bǔ)全圖形，完成證明．(2)如圖(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究線段EF與EB的關(guān)系，并說明理由．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】A；【解析】∵第①個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)數(shù)為：4×1﹣3+1×0=1個(gè)；第②個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)數(shù)為：4×2﹣4+2×1=6個(gè)；第③個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)數(shù)為：4×3﹣5+3×2=13個(gè)；…∴第⑦個(gè)圖形中空心圓圈的個(gè)數(shù)為：4×7﹣9+7×6=61個(gè)；2.【答案】A；【解析】由題意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，ADn=，故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，故可得AP6=.故選A.3.【答案】A；【解析】根據(jù)題意，當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時(shí)，按操作要求得到的數(shù)字是3624862486248…，從第2位數(shù)字起每隔四位數(shù)重復(fù)一次6248，因?yàn)?100-1)被4整除得24余3，所以這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之間和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案選A．二、填空題4.【答案】（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．【解析】（1）一個(gè)5×2的矩形最少可分成4個(gè)正方形，最多可分成10個(gè)正方形；（2）一個(gè)7×2的矩形最少可分成5個(gè)正方形，最多可分成14個(gè)正方形；（3）第一個(gè)圖形：是一個(gè)3×2的矩形，最少可分成1+2個(gè)正方形，最多可分成1×4+2個(gè)正方形；第二個(gè)圖形：是一個(gè)5×2的矩形，最少可分成2+2個(gè)正方形，最多可分成2×4+2個(gè)正方形；第三個(gè)圖形：是一個(gè)7×2的矩形，最少可分成3+2個(gè)正方形，最多可分成3×4+2個(gè)正方形；…第n個(gè)圖形：是一個(gè)（2n+1）×2的矩形，最多可分成n×4+2=4n+2個(gè)正方形，最少可分成n+2個(gè)正方形．故答案為：（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．5.【答案】（1）R－r的值為，以及此時(shí)花圃面積為；（2）θ值為．【解析】要使花圃面積最大，則必定要求扇環(huán)面積最大．設(shè)扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，根據(jù)題意得：，∴∴．∵，∴S在時(shí)取最大值為．∴花圃面積最大時(shí)R－r的值為，最大面積為．(2)∵當(dāng)時(shí)，S取大值，∴(m)，(m)，∴．6.【答案】．【解析】

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三、解答題7．【答案與解析】（1）證明：如圖1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ACB+∠ACE=90°∴∠ECB=90°，∴BD⊥CE，CE=BC﹣CD．（2）如圖2中，結(jié)論：CE=BC+CD，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴CE=BC+CD．（3）如圖3中，結(jié)論：△ACF是等腰三角形．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABD=135°，∴∠DCE=90°，又∵點(diǎn)F是DE中點(diǎn)，∴AF=CF=DE，∴△ACF是等腰三角形．8．【答案與解析】(1)證法一：∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．∴△ADC≌△ABE．證法二：∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴△ADC可由△ABE繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到．∴△ABE≌△ADC．②120°，90°，72°．(2)①．②證法一：依題意，知∠BAD和∠CAE都是正n邊形的內(nèi)角，AB＝AD，AE＝AC，∴∠BAD＝∠CAE＝．∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ADC．∴∠ABE＝∠ADC．∵∠ADC+∠ODA＝180°，∴∠ABO+∠ODA＝180°．∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．∴∠BOC+∠DAB＝180°．∴∠BOC＝180°－∠DAB＝．證法二：延長(zhǎng)BA交CO于F，證∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．證法三：連接CE．證∠BOC＝180°－∠CAE．9．【答案與解析】解：(1)作DF⊥BC，F(xiàn)為垂足．當(dāng)CP＝3時(shí)，四邊形ADFB是矩形，則CF＝3．∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合．又∵BF⊥FD，∴此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．(2)(i)當(dāng)點(diǎn)P在BF上(不與B，F(xiàn)重合)時(shí)，(見圖(a))∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°，∴∠DPF＝∠PEB．∴Rt△PEB∽△ARt△DPF．∴．①又∵BE＝y(tǒng)，BP＝12-x，F(xiàn)P＝x-3，F(xiàn)D＝a，代入①式，得∴，整理，得②(ii)當(dāng)點(diǎn)P在CF上（不與C，F(xiàn)重合）時(shí)，（見上圖(b))同理可求得．由FP＝3-x得．∴(3)解法一：當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，y＝EB＝a，此時(shí)點(diǎn)P在線段BF上．由②式得．整理得．③∵在線段BC上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P1與P2滿足條件，∴方程③有兩個(gè)不相等的正實(shí)根．∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0．解得．又∵a＞0，∴．解法二：當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，∵∠APD＝90°，∴點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上．設(shè)圓心為M，則M為AD的中點(diǎn)．∵在線段BC上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P1與P2滿足條件，∴線段BC與⊙M相交．即圓心M到BC的距離d滿足．④又∵AD∥BC，∴d＝a．∴由④式得．10．【答案與解析】解：(1)EF＝EB．證明：如圖(d)，以E為圓心，EA為半徑畫弧交直線m于點(diǎn)M，連接EM．∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．∴∠MAC＝∠CAB．∴∠CAB＝∠EMA．∵∠BEF＝∠ABC，∴∠BEF＝∠FAB．∵∠AHF＝∠EHB，∴∠AFE＝∠ABE．∴△AEB≌△MEF．∴EF＝EB．探索思路：如上圖(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．添加條件：∠ABC＝90°．證明：如圖(e)，在直線m上截取AM＝AB，連接ME．∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°．∵m∥n，∴∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．∵AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．∴EM＝EB，∠AME＝∠ABE．∵∠BEF＝∠ABC＝90°，∴∠FAB+∠BEF＝180°．又∵∠ABE+∠EFA＝180°，∴∠EMF＝∠EFA．∴EM＝EF．∴EF＝EB．(2)EF＝EB．說明：如圖(f)，過點(diǎn)E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足為M，N．∴∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．∵m∥n，∠ABC＝90°，∴∠MAB＝90°．∴四邊形MENA為矩形．∴ME＝NA，∠MEN＝90°．∵∠BEF＝∠ABC＝90°．∴∠MEF＝∠NEB．∴△MEF∽△NEB．∴，∴在Rt△ANE和Rt△ABC中，，∴．中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【中考展望】所謂開放探索型問題指的是有些數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)進(jìn)行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個(gè)、多個(gè)或所有答案)或探索出解決問題的多種方法．由于開放探究型問題對(duì)考查學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)．通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結(jié)論開放和探索，條件與結(jié)論都開放與探索及方案設(shè)計(jì)、命題組合型、問題開放型等．【方法點(diǎn)撥】由于開放探究型試題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)，首先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：1．利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．2．反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致．3．分類討論法．當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果．4．類比猜想法．即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證．以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時(shí)，應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用．【典型例題】類型一、探究規(guī)律 1．觀察下列各式：，，，，…想一想，什么樣的兩數(shù)之積等于這兩數(shù)之和？設(shè)n表示正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律．【思路點(diǎn)撥】所給各式中的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)是分?jǐn)?shù)，一個(gè)是整數(shù)，且分?jǐn)?shù)的分子比分母大1，分子與整數(shù)相等，因此得出規(guī)律.【答案與解析】所給各式中的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)是分?jǐn)?shù)，一個(gè)是整數(shù)，且分?jǐn)?shù)的分子比分母大1，分子與整數(shù)相等，因此得到規(guī)律：(n為正整數(shù))【總結(jié)升華】這個(gè)規(guī)律是否正確呢？可將等式左右兩邊分別化簡(jiǎn)，即能得出結(jié)論．對(duì)于“數(shù)字規(guī)律”的觀察，要善于發(fā)現(xiàn)其中的變量與不變量，以及變量與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，將規(guī)律用代數(shù)式表示出來．舉一反三：【變式】（2015秋?日照期中）如圖，把一條繩子折成3折，用剪刀從中剪斷，如果剪一刀得到4條繩子，如果剪兩刀得到7條繩子，如果剪三刀得到10條繩子，…，依照這種方法把繩子剪n刀，得到的繩子的條數(shù)為（）A．n B．4n+5 C．3n+1 D．3n+4【答案】C【解析】解：設(shè)段數(shù)為x則依題意得：n=0時(shí)，x=1，n=1，x=4，n=2，x=7，n=3，x=10，…所以當(dāng)n=n時(shí)，x=3n+1．故選：C．類型二、條件開放型2．如圖所示，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的點(diǎn)．(1)若________________________，則△DEC≌△BFA(請(qǐng)你填上能使結(jié)論成立的一個(gè)條件)；(2)證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）已知了一邊AD=BC，和一角（AD∥BC，∠DAC=∠BCA）相等．根據(jù)全等三角形的判定AAS、SAS、ASA等，只要符合這些條件的都可以．

（2）按照（1）中的條件根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行證明即可．【答案與解析】解：(1)AE＝CF；(OE＝OF；DE⊥AC，BF⊥AC；DE∥BF等等)(2)以AE＝CF為例．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF．又∵AE＝CF．∴AC－AE＝AC－CF．∴AF＝CE，∴△DEG≌△BAF．【總結(jié)升華】這是一道探索條件、補(bǔ)充條件的開放型試題，解決這類問題的一般方法是：從結(jié)論出發(fā)，由果尋因，逆向推理，探尋出使結(jié)論成立的條件；有時(shí)也采取把可能產(chǎn)生結(jié)論的條件一一列出，逐個(gè)分析考察．舉一反三：【高清課堂：創(chuàng)新、開放與探究型問題例1】【變式】如圖，飛機(jī)沿水平方向（A，B兩點(diǎn)所在直線）飛行，前方有一座高山，為了避免飛機(jī)飛行過低，就必須測(cè)量山頂M到飛行路線AB的距離MN．飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行距離（因安全因素，飛機(jī)不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測(cè)飛行距離），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)求距離MN的方案，要求：（1）指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；（2）用測(cè)出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟．【答案】解：此題為開放題，答案不唯一，只要方案設(shè)計(jì)合理，可參照給分⑴如圖，測(cè)出飛機(jī)在A處對(duì)山頂?shù)母┙菫?，測(cè)出飛機(jī)在B處對(duì)山頂?shù)母┙菫?，測(cè)出AB的距離為d，連接AM，BM．⑵第一步，在中，∴；第二步，在中，∴；其中，解得．類型三、結(jié)論開放型3．已知：如圖(a)，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，試以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)，連接兩條線段，如果你所連接的兩條線段滿足相等、垂直或平行關(guān)系中的一種，那么請(qǐng)你把它寫出來并證明．【思路點(diǎn)撥】此題需分三種情況討論：第一種相等CD=BE，第二種垂直AF⊥BD，第三種是平行DB∥CE．首先利用全等三角形的性質(zhì)，再利用三角形全等的判定定理分別進(jìn)行證明即可．【答案與解析】解：可以寫出的結(jié)論有：CD＝BE，DB∥CE，AF⊥BD，AF⊥CE等．(1)如圖(b)，連接CD，BE，得CD＝BE．證明：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE．又∠CAB＝∠EAD，∴∠CAD＝∠E1AB．∴△ADC≌△ABE．∴CD＝BE．(2)如圖(c)，連接DB，CE，得DB∥CE．證明：∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB．∴∠ADB＝∠ABD．∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BDF＝∠FBD．由AC＝AE可得∠ACE＝∠AEC．∵∠ACB＝∠AED，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠BDF+∠FBD＝∠FCE+∠FEC，∴∠FCE＝∠DBF．∴DB∥CE．(3)如圖(d)，連接DB，AF，得AF⊥BD．∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE＝90°．又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF．∴∠DAF＝∠BAF．∴AF⊥BD．(4)如圖(e)，連接CE、AF，得AF⊥CE．同(3)得∠DAF＝∠BAF．可得∠CAF＝∠EAF．∴AF⊥BD．【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；要對(duì)全等三角形的性質(zhì)及三角形全等的判斷定理進(jìn)行熟練掌握、反復(fù)利用，達(dá)到舉一反三．舉一反三：【高清課堂：創(chuàng)新、開放與探究型問題例2】【變式】數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，P為邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊AB的延長(zhǎng)線于N.當(dāng)CP=6時(shí)，EM與EN的比值是多少？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線平行于BC交DC，分別于F，G，如圖，則可得：，因?yàn)?，所?可求出和的值，進(jìn)而可求得EM與EN的比值.(1)請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程.(2)小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）解：過作直線平行于交，分別于點(diǎn)，，則，，.∵，∴.∴，.∴.（2）證明：作∥交于點(diǎn)，則，.∵，∴.∵，，∴.∴.∴.類型四、動(dòng)態(tài)探究型4．（2016?平南縣二模）已知：在△AOB與△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．（1）如圖1，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM．請(qǐng)你判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)C落在OB上，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想，并加以證明．【思路點(diǎn)撥】（1）AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系為AD=2OM，位置關(guān)系是AD⊥OM；（2）（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，利用中位線定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD與三角形FOC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到FC=AD，等量代換得到AD=2OM；由OM為三角形BCF的中位線，利用中位線定理得到OM與CF平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠BOM=∠F，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠F=∠OAD，等量代換得到∠BOM=∠OAD，根據(jù)∠BOM與∠AOM互余，得到∠OAD與∠AOM互余，即可確定出OM與AD垂直，得證；（3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化，理由為：如圖3所示，延長(zhǎng)DC交AB于E，連結(jié)ME，過點(diǎn)E作EN⊥AD于N，由三角形COD與三角形AOB都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到四個(gè)角為45度，進(jìn)而得到三角形MCE與三角形AED為等腰直角三角形，根據(jù)EN為直角三角形ADE斜邊上的中線得到AD=2EN，再利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OMEN為矩形，可得出EN=OM，等量代換得到AD=2OM．【答案與解析】解：（1）線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是AD=2OM，位置關(guān)系是AD⊥OM；（2）（1）的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，理由為：證明：如圖2，延長(zhǎng)BO到F，使FO=BO，連結(jié)CF，∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，O為BF中點(diǎn)，∴MO為△BCF的中位線，∴FC=2OM，∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC，在△AOD和△FOC中，，∴△AOD≌△FOC（SAS），∴FC=AD，∴AD=2OM，∵M(jìn)O為△BCF的中位線，∴MO∥CF，∴∠MOB=∠F，又∵△AOD≌△FOC，∴∠DAO=∠F，∵∠MOB+∠AOM=90°，∴∠DAO+∠AOM=90°，即AD⊥OM；（3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化，理由為：證明：如圖3，延長(zhǎng)DC交AB于E，連結(jié)ME，過點(diǎn)E作EN⊥AD于N，∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°，∴AE=DE，BE=CE，∠AED=90°，∴DN=AN，∴AD=2NE，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴EM⊥BC，∴四邊形ONEM是矩形．∴NE=OM，∴AD=2OM．故答案為：AD=2OM；AD⊥OM．【總結(jié)升華】此題考查了幾何變換綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，是一道多知識(shí)點(diǎn)探究性試題．類型五、創(chuàng)新型5．認(rèn)真觀察圖3的4個(gè)圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：圖3圖4圖3圖4（1）請(qǐng)寫出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征．特征1：_________________________________________________；特征2：_________________________________________________．（2）請(qǐng)?jiān)趫D4中設(shè)計(jì)出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征【思路點(diǎn)撥】本題主要考查軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的知識(shí)點(diǎn)，以及學(xué)生的觀察能力及空間想象能力．【答案與解析】（1）特征1：都是軸對(duì)稱圖形；特征2：都是中心對(duì)稱圖形；特征3：這些圖形的面積都等于4個(gè)單位面積等．（2）滿足條件的圖形有很多，只要畫正確一個(gè)，就可以得滿分．圖5【總結(jié)升華】本題為開放型試題，答案并不唯一，只要考生能夠?qū)懗鲆环N符合要求的情景即可，該題為考生提供了一個(gè)廣闊的發(fā)揮空間，但是學(xué)生必須通過前四個(gè)圖形發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的規(guī)律，依照此規(guī)律來畫出自己想象中的美妙圖形．中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題—知識(shí)講解（提高）【中考展望】所謂開放探索型問題指的是有些數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)進(jìn)行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個(gè)、多個(gè)或所有答案)或探索出解決問題的多種方法．由于開放探究型問題對(duì)考查學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)．通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結(jié)論開放和探索，條件與結(jié)論都開放與探索及方案設(shè)計(jì)、命題組合型、問題開放型等．【方法點(diǎn)撥】由于開放探究型試題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)，首先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：1．利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．2．反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致．3．分類討論法．當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果．4．類比猜想法．即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證．以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時(shí)，應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用．【典型例題】類型一、探索規(guī)律 1．（2015?武漢校級(jí)二模）如圖，△ABC面積為1，第一次操作：分別延長(zhǎng)AB，BC，CA至點(diǎn)A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，順次連接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分別延長(zhǎng)A1B1，B1C1，C1A1至點(diǎn)A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2014，最少經(jīng)過（）次操作．A．7 B．6 C．5 D．4【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面積，再根據(jù)兩三角形的倍數(shù)關(guān)系求解即可．【答案】D.【解析】解：△ABC與△A1BB1底相等（AB=A1B），高為1：2（BB1=2BC），故面積比為1：2，∵△ABC面積為1，∴S△A1B1B=2．同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2，∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7；同理可證△A2B2C2的面積=7×△A1B1C1的面積=49，第三次操作后的面積為7×49=343，第四次操作后的面積為7×343=2401．故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2014，最少經(jīng)過4次操作．故選D．【總結(jié)升華】考查了三角形的面積，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是找出相鄰兩次操作之間三角形面積的關(guān)系，再根據(jù)此規(guī)律求解即可．舉一反三：【變式】（2016?撫順）如圖，△A1A2A3，△A4A5A5，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n為正整數(shù)）均為等邊三角形，它們的邊長(zhǎng)依次為2，4，6，…，2n，頂點(diǎn)A3，A6，A9，…，A3n均在y軸上，點(diǎn)O是所有等邊三角形的中心，則點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為.【答案與解析】解：∵△A1A2A3為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A3，A6，A9，…，A3n均在y軸上，點(diǎn)O是所有等邊三角形的中心，∴A3的坐標(biāo)為（0，），∵2016÷3=672，∴A2016是第672個(gè)等邊三角形的第3個(gè)頂點(diǎn)，∴點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為（0，×），即點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為（0，448）；故答案為：（0，448）．類型二、條件開放型、結(jié)論開放型2．在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2）．

（1）若底邊BC在x軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)：；（2）若底邊BC的兩端點(diǎn)分別在x軸、y軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)：.【思路點(diǎn)撥】（1）首先由BC在x軸上，在等腰△ABC中，即可過頂點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于D，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得BD=CD，即B，C關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，則可求得滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）連接OA，由等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），易證得△AOB≌△AOC，則可知OB=OC，繼而可得滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案與解析】解：（1）∵BC在x軸上，在等腰△ABC中，過頂點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于D，

∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），

∴D的坐標(biāo)為（2，0），

在等腰△ABC中，有BD=CD，

∴B，C關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，

∴一組滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)為：B（0，0），C（4，0）；

（2）連接OA，

∵等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），

∴∠AOC=∠AOB=45°，

∴當(dāng)OB=OC時(shí)，

在△AOB與△AOC中，∴△AOB≌△AOC，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形，

∴一組滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)：（0，1），（1，0）．【總結(jié)升華】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．舉一反三：【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)．(1)若底邊BC在x軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)：________________；設(shè)點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(m，0)，(n，0)，你認(rèn)為m，n應(yīng)滿足怎樣的條件？(2)若底邊BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸，y軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)：______________；設(shè)點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(m，0)，(0，n)，你認(rèn)為m，n應(yīng)滿足怎樣的條件?【答案】解：可以通過等腰三角形的作法來探求符合題意的條件：由于AB＝AC，故點(diǎn)B和點(diǎn)C在以A為圓心的同一個(gè)圓上．(1)如圖(a)，作AE⊥x軸于E，以大于AE的長(zhǎng)度為半徑畫弧，與x軸的交點(diǎn)即為符合題意的點(diǎn)B和點(diǎn)C．易知E(2，0)為線段BC的中點(diǎn)，故CE＝EB，即n－2＝2－m；如：點(diǎn)B(0，0)，點(diǎn)C(4，0)；m+n＝4且m≠n．(2)類似于(1)作OA，與兩條坐標(biāo)軸分別交于B1，B2，C1，C2，顯然當(dāng)A，B，C三點(diǎn)不共線時(shí)這樣確定的點(diǎn)B，C均符合題意．如：點(diǎn)B(1，0)，點(diǎn)C(0，1)，或點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)C(0，1)；m＝n，且m，n不為0和4；或m+n＝4．類型三、條件和結(jié)論都開放的問題3．如圖(1)，四邊形ABCD中，AD與BC不平行，現(xiàn)給出三個(gè)條件：①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD，③AD＝BC．請(qǐng)你從上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件，使得加上這兩個(gè)條件后能夠推出ABCD是等腰梯形，并加以證明(只需證明一種情況)．【思路點(diǎn)撥】有兩種方法，第一種是：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD；第二種是：②AC=BD，③AD=BC，均可利用等腰梯形的判定方法進(jìn)行驗(yàn)證．【答案與解析】解：第一種選擇：①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD．證明：由△ACB≌△BDA，可得AD＝BC，∠ABC＝∠BAD．如圖(2)作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，則∠DEA＝∠CBA．∴∠DAE＝∠DEA，AD＝ED＝BC．由ED＝BC及DE∥BC知，四邊形DEBC是平行四邊形，所以AB∥CD．∵AD與．BC不平行，∴四邊形ABCD是等腰梯形．第二種選擇：②AC＝BD，③AD＝BC．證明：如圖(3)，延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E．由△DAB≌△CBA，可得∠DAB＝∠CBA，∴EA＝EB．由AD＝BC，可得DE＝CE，∠EDC＝∠ECD．再由三角形內(nèi)角和定理可得∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB．∵AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是等腰梯形．【總結(jié)升華】此題一道開放性的題目，主要考查學(xué)生對(duì)等腰梯形的判定的掌握情況．舉一反三：【高清課堂：創(chuàng)新、開放與探究型問題例3】【變式】如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK的度數(shù)．（2）△MNK的面積能否小于？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由．（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值．（備用圖）【答案】解：（1）∵ABCD是矩形，∴AM∥DN．∴∠KNM=∠1．∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°．（2）不能．過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為E，則ME=AD=1．∵∠KNM=∠KMN，∴MK=NK，又MK≥ME，∴NK≥1．∴△MNK的面積=NK?ME≥．∴△MNK的面積不可能小于．（3）分兩種情況：情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合．MK=MD=x，則AM=5﹣x．由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2，解得x=2.6．∴MD=ND=2.6．S△MNK=S△MND==1.3．情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕即為AC．MK=AK=CK=x，則DK=5-x．同理可得MK=NK=2.6．∵M(jìn)D=1∴S△MNK=S△MND==1.3．△MNK的面積最大值為1.3．類型四、動(dòng)態(tài)探究型4．如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F．另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：EF=EG；（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立．請(qǐng)說明理由：（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，其他條件不變，若AB=a、BC=b，求的值．【思路點(diǎn)撥】（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性質(zhì)，可利用SAS證得Rt△FED≌Rt△GEB，則問題得證；（2）首先點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，然后利用SAS證得Rt△FEI≌Rt△GEH，則問題得證；（3）首先過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，易證EM∥AB，EN∥AD，則可證得△CEN∽△CAD，△CEM