2024年中考數(shù)學(xué)沖刺：動手操作與運(yùn)動變換型問題-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）

2024年中考數(shù)學(xué)沖刺：動手操作與運(yùn)動變換型問題—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運(yùn)動；同時，動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運(yùn)動，將△PQC沿BC翻折，點P的對應(yīng)點為點P′.設(shè)Q點運(yùn)動的時間t秒，若四邊形QPCP為菱形，則t的值為（）.A.B.2C.D.32．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，F(xiàn)是弦BC的中點，∠ABC=60°.若動點E以2cm/s的速度從A點出發(fā)沿著A→B→A的方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0≤t＜3)，連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時，t的值為（）.A.B.1C.或1D.或1或3.（2015?盤錦）如圖，邊長為1的正方形ABCD，點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點B運(yùn)動，點N從點A出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿A→D→C→B的路徑向點B運(yùn)動，當(dāng)一個點到達(dá)點B時，另一個點也隨之停止運(yùn)動，設(shè)△AMN的面積為s，運(yùn)動時間為t秒，則能大致反映s與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）.A． B． C． D．二、填空題4．如圖,已知點A（0,2）、B（,2）、C(0,4),過點C向右作平行于x軸的射線,點P是射線上的動點,連結(jié)AP,以AP為邊在其左側(cè)作等邊△APQ,連結(jié)PB、BA.若四邊形ABPQ為梯形,則（1）當(dāng)AB為梯形的底時,點P的橫坐標(biāo)是；（2）當(dāng)AB為梯形的腰時,點P的橫坐標(biāo)是.5．如圖，矩形紙片ABCD，AB=2，點E在BC上，且AE=EC．若將紙片沿AE折疊，點B恰好落在AC上，則AC的長是.6.（2016?東河區(qū)二模）如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正確結(jié)論的是．三、解答題7．如圖所示是規(guī)格為8×8的正方形網(wǎng)格，請在所給網(wǎng)格中，按下列要求操作：(1)請在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，使A點坐標(biāo)為(-2，4)，B點坐標(biāo)為(-4，2)；(2)在第二象限內(nèi)的格點上畫一點C，使點C與線段AB組成一個以AB為底的等腰三角形，且腰長是無理數(shù)，則C點的坐標(biāo)是________，△ABC的周長是________(結(jié)果保留根號)；(3)畫出△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)180°后的△A′B′C，連接AB′和A′B，試說出四邊形是何特殊四邊形，并說明理由．8.(1)觀察與發(fā)現(xiàn)小明將三角形紙片ABC(AB＞AC)沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片(如圖①)；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF(如圖②)．小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．(2)實踐與運(yùn)用將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE(如圖③)；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D′處，折痕為EG(如圖④)；再展平紙片(如圖⑤)．求圖⑤中∠α的大?。?.如圖(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角形板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)在圖(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①證明：DM＝ND；②在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的；若不發(fā)生變化，求出其面積；(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖(2)所示的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖(3)所示的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，請寫出結(jié)論，不用證明．10.（2016?綿陽）如圖，以菱形ABCD對角線交點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（0，﹣），直線DE⊥DC交AC于E，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著A→D→C的路線向終點C勻速運(yùn)動，設(shè)△PDE的面積為S（S≠0），點P的運(yùn)動時間為t秒．（1）求直線DE的解析式；（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（3）當(dāng)t為何值時，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此時直線BP與直線AC所夾銳角的正切值．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】連接PP′交BC于點D，若四邊形QPCP為菱形，則PP′⊥BC，CD＝CQ=（6-t），∴BD=6-（6-t）=3+t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=6-t，而PB=BD，∴6-t=（3+t），解得：t=2，故選B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；

∴AB=2BC=4cm.①當(dāng)∠BFE=90°時；Rt△BEF中，∠ABC=60°，則BE=2BF=2cm；故此時AE=AB-BE=2cm；∴E點運(yùn)動的距離為：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0≤t＜3，故t=3s不合題意，舍去；所以當(dāng)∠BFE=90°時，t=1s；②當(dāng)∠BEF=90°時；同①可求得BE=0.5cm，此時AE=AB-BE=3.5cm；∴E點運(yùn)動的距離為：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；綜上所述，當(dāng)t的值為1、1.75或2.25s時，△BEF是直角三角形．故選D．3.【答案】D.【解析】（1）如圖1，當(dāng)點N在AD上運(yùn)動時，s=AM?AN=×t×3t=t2．（2）如圖2，當(dāng)點N在CD上運(yùn)動時，s=AM?AD=t×1=t．（3）如圖3，當(dāng)點N在BC上運(yùn)動時，s=AM?BN=×t×（3﹣3t）=﹣t2+t綜上可得，能大致反映s與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是選項D中的圖象．故選：D．二、填空題4.【答案】（1）；（2）0，；【解析】（1）由題意知，當(dāng)AB為梯形的底時，AB∥PQ，即PQ⊥y軸，又△APQ為等邊三角形，AC＝2，由幾何關(guān)系知，點P的橫坐標(biāo)是.（2）當(dāng)AB為梯形的腰時，當(dāng)PB∥y軸時，滿足題意，此時AQ=4，由幾何關(guān)系得，點P的橫坐標(biāo)是.5.【答案】4；【解析】由折疊可知∠BAE=∠CAE，因為AE=EC所以∠CAE=∠ACE，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE，三角的和為90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①②③．【解析】①正確．因為AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正確．因為：EF=DE=CD=2，設(shè)BG=FG=x，則CG=6﹣x．在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正確．因為CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④錯誤．過F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比為：==，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）=≠3．故答案為：①②③．三、解答題7．【答案與解析】(1)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系．(2)如圖畫出點C，C(-1，1)．△ABC的周長是．(3)如圖畫出△A′B′C，四邊形ABA′B′是矩形．理由：∵CA＝CA′，CB＝CB′，∴四邊形ABA′B′是平行四邊形.又∵CA＝CB，∴CA＝CA′＝CB＝CB′．∴AA′＝BB′．∴四邊形ABA′B′是矩形．8．【答案與解析】解：(1)同意．如圖所示，設(shè)AD與EF交于點G．由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD．又由折疊知，∠AGE＝∠AGF＝90°，所以∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，即△AEF為等腰三角形．(2)由折疊知，四邊形ABFE是正方形∠AEB＝45°，所以∠BED＝135°．又由折疊知，∠BEG＝∠DEG，所以∠DEG＝67.5°．從而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9．【答案與解析】解：(1)①連接DB，利用△BMD≌△CND或△ADM∽△BDN即可證明DM＝DN．②由△BMD≌△CND知，，∴．即在直角三角板DEF旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形DMBN的面積始終等于，不發(fā)生變化．(2)連接DB，由△BMD≌△CND可證明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．(3)連接DB．由△BMD≌△CND，可證明DM＝ND仍成立．10．【答案與解析】解：由菱形的對稱性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直線DE解析式為y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根據(jù)勾股定理得，DE==，∴菱形的邊長為5，如圖1，過點E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，當(dāng)點P在AD邊上運(yùn)動，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如圖2，點P在DC邊上運(yùn)動時，即＜t≤5時，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）設(shè)BP與AC相交于點Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，當(dāng)點P在AD上運(yùn)動時，如圖3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分線PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此時AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，當(dāng)點P在DC上運(yùn)動時，如圖4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此時CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：當(dāng)t=時，∠EPD+∠DCB=90°．此時直線BP與直線AC所夾銳角的正切值為．當(dāng)t=時，∠EPD+∠DCB=90°．此時直線BP與直線AC所夾銳角的正切值為1．中考沖刺：動手操作與運(yùn)動變換型問題—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（2015春?撫州期末）將一張正方形紙片按如圖所示對折兩次，并在如圖位置上剪去一個圓形小洞后展開鋪平得到的圖形是（）A． B． C． D．2.（2016?邢臺校級三模）一張正方形的紙片，如圖1進(jìn)行兩次對折，折成一個正方形，從右下角的頂點，沿斜虛線剪去一個角剪下的實際是四個小三角形，再把余下的部分展開，展開后的這個圖形的內(nèi)角和是多少度？（）A．1080° B．360° C．180° D．900°3.如圖，把矩形ABCD對折，折痕為MN（圖甲），再把B點疊在折痕MN上的B′處.得到Rt△AB′E（圖乙），再延長EB′交AD于F，所得到的△EAF是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.等腰直角三角形D.直角三角形4.如圖，已知邊長為5的等邊三角形ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿著EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且ED⊥BC，則CE的長是（）A、B、C、D、二、填空題5.如圖(1)是一個等腰梯形，由6個這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖(2)所示的一個菱形．對于圖(1)中的等腰梯形，請寫出它的內(nèi)角的度數(shù)或腰與底邊長度之間關(guān)系的一個正確結(jié)論： ．6．如圖,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=,D是線段BC上的一個動點,以AD為直徑畫⊙O分別交AB,AC于E,F,連接EF,則線段EF長度的最小值為___________7．（2015?太倉市模擬）如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．動點Q從點B出發(fā)，以1cm/S的速度沿BC運(yùn)動到點C停止，同時，動點P也從B點出發(fā)，沿折線B→A→D運(yùn)動到點D停止，且PQ⊥BC．設(shè)運(yùn)動時間為t（s），點P運(yùn)動的路程為y（cm），在直角坐標(biāo)系中畫出y關(guān)于t的函數(shù)圖象為折線段OE和EF（如圖②）．已知點M（4，5）在線段OE上，則圖①中AB的長是cm．三、解答題8．閱讀下列材料：小明遇到一個問題：5個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖(1)所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形．他的做法是：按圖(2)所示的方法分割后，將三角形紙片①繞AB的中點D旋轉(zhuǎn)至三角形紙片②處，依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個新的正方形DEFG．請你參考小明的做法解決下列問題：(1)現(xiàn)有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖(3)所示．請將其分割后拼接成一個平行四邊形．要求：在圖(3)中畫出并指明拼接成的平行四邊形(畫出一個符合條件的平行四邊形即可)；(2)如圖(4)，在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，分別連結(jié)AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形MNPQ．請在圖(4)中探究平行四邊形MNPQ面積的大小(畫圖并直接寫出結(jié)果)．9.如圖(a)，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙……．已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為a．(1)如圖(b)，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊：第一步將矩形的短邊AB與長邊AD對齊折疊，點B落在AD上的點B′處，鋪平后得折痕AE；第二步將長邊AD與折痕AE對齊折疊，點D正好與點E重合，鋪平后得折痕AF；則AD:AB的值是________，AD，AB的長分別是________，________；(2)“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等?若相等，直接寫出這個比值；若不相等，請分別計算它們的比值；(3)如圖(c)，由8個大小相等的小正方形構(gòu)成“L”型圖案，它的4個頂點E，F(xiàn)，G，H分別在“16開”紙的邊AB，BC，CD，DA上，求DG的長；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四個頂點M，N，P，Q都在“4開”紙的邊上，請直接寫出兩個符合條件且大小不同的直角梯形的面積．10.操作與探究(1)圖(a)是一塊直角三角形紙片．將該三角形紙片按圖中方法折疊，點A與點C重合，DE為折痕．試證明△CBE是等腰三角形；(2)再將圖(b)中的△CBE沿對稱軸EF折疊(如圖(b))．通過折疊，原三角形恰好折成兩個重合的矩形，其中一個是內(nèi)接矩形，另一個是拼合(指無縫重疊)所成的矩形，我們稱這樣的兩個矩形為“組合矩形”．你能將圖(c)中的△ABC折疊成一個組合矩形嗎？如果能折成，請在圖(c)中畫出折痕；(3)請你在圖(d)的方格紙中畫出一個斜三角形，同時滿足下列條件：①折成的組合矩形為正方形；②頂點都在格點(各小正方形的頂點)上；(4)有一些特殊的四邊形，如菱形，通過折疊也能折成組合矩形(其中的內(nèi)接矩形的四個頂點分別在原四邊形的四邊上)．請你進(jìn)一步探究，一個非特殊的四邊形(指除平行四邊形、梯形外的四邊形)滿足什么條件時，一定能折成組合矩形?11.在圖1至圖5中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE＝2b，且邊AD和AE在同一直線上．操作示例：當(dāng)2b＜a時，如圖1，在BA上選取點G，使BG＝b，連接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分別拼接到△FEH和△CHD的位置構(gòu)成四邊形FGCH．思考發(fā)現(xiàn)：小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法是先將△FAG繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上，連接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，從而又可將△CGB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CHD的位置．這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH(如圖所示)，過點F作FM⊥AE于點M(圖略)，利用SAS公理可判斷△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．進(jìn)而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形．實踐探究：(1)正方形FGCH的面積是________；(用含a、b的式子表示)(2)類比圖1的剪拼方法，請你就圖2至圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．聯(lián)想拓展：小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b≤a時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移．當(dāng)b＞a時，如圖所示的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由．12.（2016?宿遷）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點（A、B兩點除外），將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CEF，其中點E是點A的對應(yīng)點，點F是點D的對應(yīng)點．（1）如圖1，當(dāng)α=90°時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC；（2）如圖2，當(dāng)90°≤α≤180°時，AE與DF相交于點M．①當(dāng)點M與點C、D不重合時，連接CM，求∠CMD的度數(shù)；②設(shè)D為邊AB的中點，當(dāng)α從90°變化到180°時，求點M運(yùn)動的路徑長．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】由折疊可知，得到的四個圓形小洞一定不在一條直線上，故D不正確；四個圓形小洞不靠近原正方形的四個角，所以A不正確；選項C的位置也不符合原題意的要求，故只有B是按要求得到的．故選B．2.【答案】A；【解析】展開圖的這個圖形是八邊形，故內(nèi)角和為：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】證明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF為等邊三角形.4.【答案】D.二、填空題5.【答案】答案不唯一．可供參考的有：①它內(nèi)角的度數(shù)為60°、60°、120°、120°；②它的腰長等于上底長；③它的上底等于下底長的一半．【解析】拼圖注意研究重疊的邊和有公共點的角，由圖可以看出三個下底上的角拼成一個平角，上底和腰相等.6.【答案】；【解析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，當(dāng)半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH．如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為2，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=，由垂徑定理可知EF=2EH=，故答案為：．7.【答案】10；【解析】解：設(shè)OE的解析式為y=kt，∵點M（4，5），∴k=，如圖，當(dāng)Q運(yùn)動到G點時，點P運(yùn)動到A點，BQ=t，AB=，∵AG⊥BC，∴四邊形ADCG是矩形，∴AG=DC=6，∴AB2=BG2+AG2，∴（）2=t2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm）．三、解答題8．【答案與解析】解：(1)拼接成的平行四邊形是ABCD(如圖所示)．(2)正確畫出圖形(如圖所示)．平行四邊形MNPQ的面積為．9．【答案與解析】解：(1)，，．(2)相等，比值為．(3)設(shè)DG＝x．在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝∠90°．∵∠HGF＝90°，∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，∴△HDG∽△GCF，∴．∴CF＝2DG＝2x．同理∠BEF＝∠CFG．∵EF＝FG．∴△FBE∽△GCF，∴BF＝CG＝．∴．解得，即．(4)，．10．【答案與解析】(1)由對稱性可證∠ECB＝∠B．(2)如圖所示，有3種折法．(3)答案不唯一．只要有一條邊與該邊上的高相等即可．(4)當(dāng)一個四邊形的兩條對角線互相垂直時，可以折成一個組合矩形．11．【答案與解析】解：實驗探究(1)(2)剪拼方法如圖(1)(2)(3)．聯(lián)想拓展能，剪拼方法如圖(4)(圖中BG＝DH＝b)．(注意；圖(4)用其他剪拼方法能拼接成面積為的正方形均可)12.【答案與解析】解：（1）如圖1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF是由△CAD旋轉(zhuǎn)逆時針α得到，α=90°，∴CB與CE重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．（2）①如圖2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四點共圓，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如圖3中，O是AC中點，連接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四點共圓，∴當(dāng)α從90°變化到180°時，點M在以AC為直徑的⊙O上，運(yùn)動路徑是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的長==．∴當(dāng)α從90°變化到180°時，點M運(yùn)動的路徑長為．中考沖刺：動手操作與運(yùn)動變換型問題—知識講解（基礎(chǔ)）【中考展望】1．對于實踐操作型問題，在解題過程中學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣與價值，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過程，不斷提高自己的創(chuàng)新意識與綜合能力，這是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》的基本要求之一，因此，近年來實踐操作性試題受到命題者的重視，多次出現(xiàn).2．估計在今年的中考題中，實踐操作類題目依舊是出題熱點，仍符合常規(guī)題型，與三角形的全等和四邊形的性質(zhì)綜合考查．需具備一定的分析問題能力和歸納推理能力．圖形的設(shè)計與操作問題，主要分為如下一些類型：1．已知設(shè)計好的圖案，求設(shè)計方案(如：在什么基本圖案的基礎(chǔ)上，進(jìn)行何種圖形變換等)．2．利用基本圖案設(shè)計符合要求的圖案(如：設(shè)計軸對稱圖形，中心對稱圖形，面積或形狀符合特定要求的圖形等)．3．圖形分割與重組(如：通過對原圖形進(jìn)行分割、重組，使形狀滿足特定要求)．4．動手操作(通過折疊、裁剪等手段制作特定圖案)．解決這樣的問題，除了需要運(yùn)用各種基本的圖形變換(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似)外，還需要綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何知識對圖形進(jìn)行分析、計算、證明，以獲得重要的數(shù)據(jù)，輔助圖案設(shè)計．另外，由于折疊操作相當(dāng)于構(gòu)造軸對稱變換，因此折疊問題中，要充分利用軸對稱變換的特性，以獲得更多的圖形信息．必要時，實際動手配合上理論分析比單純的理論分析更為快捷有效．從歷年中考來看，動態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的.動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合題，在坐標(biāo)系中有動點，動直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解.另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動點、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分析能力進(jìn)行考查.所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只有完全掌握，才有機(jī)會拼高分.【方法點撥】實踐操作問題：解答實踐操作題的關(guān)鍵是要學(xué)會自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、抽象、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問題．解答實踐操作題的基本步驟為：從實例或?qū)嵨锍霭l(fā)，通過具體操作實驗，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，提出問題，檢驗猜想．在解答過程中一般需要經(jīng)歷操作、觀察、思考、想象、推理、探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納等實踐活動過程，利用自己已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識去感知發(fā)生的現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)所得到的結(jié)論，進(jìn)而解決問題．動態(tài)幾何問題：1、動態(tài)幾何常見類型（1）點動問題（一個動點）（2）線動問題（二個動點）（3）面動問題（三個動點）2、運(yùn)動形式平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動3、數(shù)學(xué)思想函數(shù)思想、方程思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想4、解題思路（1）化動為靜，動中求靜（2）建立聯(lián)系，計算說明（3）特殊探路，一般推證【典型例題】類型一、圖形的折疊 1．（2016?濟(jì)南）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=8，AD=10，點E是CD中點，將這張紙片依次折疊兩次；第一次折疊紙片使點A與點E重合，如圖2，折痕為MN，連接ME、NE；第二次折疊紙片使點N與點E重合，如圖3，點B落到B′處，折痕為HG，連接HE，則tan∠EHG=．【思路點撥】如圖2中，作NF⊥CD于F．設(shè)DM=x，則AM=EM=10﹣x，利用勾股定理求出x，再利用△DME∽△FEN，得=，求出EN，EM，求出tan∠AMN，再證明∠EHG=∠AMN即可解決問題．【答案】45°．【解析】解：如圖2中，作NF⊥CD于F．設(shè)DM=x，則AM=EM=10﹣x，∵DE=EC，AB=CD=8，∴DE=CD=4，在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（4）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴=，∴=，∴EN=，∴AN=EN=，∴tan∠AMN==，如圖3中，∵M(jìn)E⊥EN，HG⊥EN，∴EM∥GH，∴∠NME=∠NHG，∵∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，∴∠AMN=∠EHG，∴tan∠EHG=tan∠AMN=．故答案為．【總結(jié)升華】本題考查翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化，證明∠AMN=∠EHG是關(guān)鍵，屬于中考填空題中的壓軸題．舉一反三：【變式】如圖所示，已知四邊形紙片ABCD，現(xiàn)需將該紙片剪拼成一個與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有兩條，能否做到：________(用“能”或“不能”填空)．若填“能”，請確定裁剪線的位置，并說明拼接方法；若填“不能”，請簡要說明理由．【答案】解：能.如圖所示，取四邊形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，連接EG，F(xiàn)H，交點為O．以EG，F(xiàn)H為裁剪線，EG，F(xiàn)H將四邊形ABCD分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，拼接時圖中的Ⅰ不動，將Ⅱ，Ⅳ分別繞E，H旋轉(zhuǎn)180°，將Ⅲ平移，拼成的四邊形OO1O2O3即為所求．沿CA方向平移，將點C平移到點A位置．類型二、實踐操作2．如圖,在等腰梯形ABCD中AB∥CD,AB＝,DC＝,高CE＝,對角線AC、BD交于H，平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G；當(dāng)直線RQ到達(dá)點C時，兩直線同時停止移動.記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的面積為，被直線RQ掃過的面積為，若直線MN平移的速度為1單位/秒,直線RQ平移的速度為2單位/秒,設(shè)兩直線移動的時間為x秒.(1)填空:∠AHB＝____________；AC＝_____________；(2)若,求x；(3)若,求m的變化范圍.【思路點撥】(1)如例2圖-1所示,平移對角線DB,交AB的延長線于P.則四邊形BPCD是平行四邊形,BD＝PC,BP＝DC＝.因為等腰梯形ABCD,AB∥CD,所以AC＝BD.所以AC＝PC.又高CE＝,AB＝,所以AE＝EP＝.所以∠AHB＝90°AC＝4；⑵直線移動有兩種情況:及,需要分類討論.①當(dāng)時,有.∴②當(dāng)時,先用含有x的代數(shù)式分別表示,,然后由列出方程,解之可得x的值；(3)分情況討論:①當(dāng)時,.②當(dāng)時,由,得＝.然后討論這個函數(shù)的最值,確定m的變化范圍.【答案與解析】解：(1)90°,4；(2)直線移動有兩種情況:和.①當(dāng)時,∵M(jìn)N∥BD,∴△AMN∽△ARQ,△ANF∽△AQG..∴②當(dāng)時,如例2圖-2所示,CG＝4－2x,CH＝1,.,由,得方程,解得(舍去),.∴x＝2.(3)當(dāng)時,m＝4當(dāng)時,由,得＝＝.M是的二次函數(shù),當(dāng)時,即當(dāng)時,M隨的增大而增大.當(dāng)時,最大值m＝4.當(dāng)x＝2時,最小值m＝3.∴3≤m≤4.【總結(jié)升華】本題是一道幾何代數(shù)綜合壓軸題,重點考查等腰梯形,相似三角形的性質(zhì),二次函數(shù)的增減性和最值及分類討論,由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想等的綜合應(yīng)用.解題時,(1)小題,通過平移對角線,將等腰梯形轉(zhuǎn)化為等腰三角形,從而使問題得以簡化,是我們解決梯形問題常用的方法.(2)小題直線移動有兩種情況:及,需要分類討論.這點萬不可忽略,解題時用到的知識點主要是相似三角形面積比等于相似比的平方.(3)小題仍需要分情況討論.對于函數(shù),討論它的增減性和最值是個難點.討論之前點明我們把這個函數(shù)看作“M是的二次函數(shù)”對順利作答至關(guān)重要.3．已知等邊三角形紙片ABC的邊長為8，D為AB邊上的點，過點D作DG∥BC交AC于點G，DE⊥BC于點E，過點G作GF⊥BC于點F，把三角形紙片ABC分別沿DG、DE、GF按圖①所示方式折疊．點A、B、C分別落在A′、B′、C′處．若點A′、B′、C′在矩形DEFG內(nèi)或其邊上．且互不重合，此時我們稱(即圖中陰影部分)為“重疊三角形”．(1)若把三角形紙片ABC放在等邊三角形網(wǎng)格圖中(圖中每個小三角形都是邊長為l的等邊三角形)，點A、B、C、D恰好落在網(wǎng)格圖中的格點上，如圖②所示，請直接寫出此時重疊三角形A′B′C′的面積；(2)實驗探究：設(shè)AD的長為m，若重疊三角形A′B′C′存在，試用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A′B′C′的面積，并寫出m的取值范圍(直接寫出結(jié)果，備用圖供實驗探究使用)．【思路點撥】本題是折疊與對稱類型操作題，折疊實質(zhì)為對稱變換，故軸對稱的性質(zhì)運(yùn)用是解本類型題的關(guān)鍵．另外，本題對新概念“重疊三角形”的理解正確才能求得m的取值范圍．【答案與解析】解：(1)重疊三角形A′B′C′的面積為．理由：如題圖，△A′B′C′是邊長為2的等邊三角形．∴其高為，面積為．(2)用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A′B′C′的面積為，m的取值范圍是≤m＜4．理由：如圖(1)，AD＝m，則BD＝GC＝8-m，由軸對稱的性質(zhì)知DB′＝DB＝8-m．DA′＝DA＝m．∴A′B′＝DB′－DA′＝8－m—m＝2(4－m)，由△ABC是等邊三角形及折疊過程知AA′B′C′是等邊三角形．∴它的高是．．以下求m的取值范圍：如圖(1)，若B′與F重合，則C′與E重合．由折疊過程知BE＝EB′＝EF．CF＝FC′＝FE．∴BE＝EF＝FC＝．∵∠B＝60°，BD＝2BE＝，，即．若，如圖(2)，點B′、C′落在矩形DEFG外，不合題意．∴．又由A′B′＝2(4-m)＞0，得m＜4．∴m的取值范圍是．【總結(jié)升華】親自操作實驗有助于突破難點．舉一反三：【高清課堂：圖形的設(shè)計與操作及運(yùn)動變換型問題例2】【變式】閱讀下面問題的解決過程：問題：已知△ABC中，P為BC邊上一定點，過點P作一直線，使其等分△ABC的面積．解決：情形1：如圖①，若點P恰為BC的中點，作直線AP即可．情形2：如圖②，若點P不是BC的中點，則取BC的中點D，聯(lián)結(jié)AP，過點D作DE∥AP交AC于E，作直線PE，直線PE即為所求直線．問題解決：如圖③，已知四邊形ABCD，過點B作一直線（不必寫作法），使其等分四邊形ABCD的面積，并證明．【答案】解：如圖③，取對角線AC的中點O，聯(lián)結(jié)BO、DO、BD,

過點O作OE∥BD交CD于E,

∴直線BE即為所求直線類型三、動態(tài)數(shù)學(xué)問題4．如圖①，有一張矩形紙片，將它沿對角線AC剪開，得到△ACD和△A′BC′.(1)如圖②，將△ACD沿A′C′邊向上平移，使點A與點C′重合，連接A′D和BC，四邊形A′BCD是形；（2）如圖③，將△ACD的頂點A與A′點重合，然后繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A、B在同一直線上，則旋轉(zhuǎn)角為度；連接CC′，四邊形CDBC′是形；（3）如圖④，將AC邊與A′C′邊重合，并使頂點B和D在AC邊的同一側(cè)，設(shè)AB、CD相交于E，連接BD，四邊形ADBC是什么特殊四邊形？請說明你的理由.【思路點撥】（1）利用平行四邊形的判定，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CE，即可得出答案．【答案與解析】解：（1）平行四邊形；證明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C與BD互相平分，∴四邊形A′BCD是平行四邊形；（2）∵DA由垂直于AB，逆時針旋轉(zhuǎn)到點D、A、B在同一直線上，∴旋轉(zhuǎn)角為90度；證明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B在一條直線上，∴CD∥BC′，∴四邊形CDBC′是直角梯形；故答案為：90，直角梯；（3）四邊形ADBC是等腰梯形；證明：過點B作BM⊥AC，過點D作DN⊥AC，垂足分別為M，N，∵有一張矩形紙片，將它沿對角線AC剪開，得到△ACD和△A′BC′．∴△ACD≌△A′BC′，∴BM=ND，∴BD∥AC，∵AD=BC，∴四邊形ADBC是等腰梯形．【總結(jié)升華】此題主要考查了圖形的剪拼與平行四邊形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知識，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．舉一反三：【高清課堂：圖形的設(shè)計與操作及運(yùn)動變換型問題例1】【變式】（2015秋?莘縣期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原點為位似中心，將△ABC縮小，位似比為1：2，則線段AC中點P變換后對應(yīng)點的坐標(biāo)為．【答案】（）或（）.【解析】解：如圖，∵A（2，2），C（6，4），∴點P的坐標(biāo)為（4，3），∵以原點為位似中心將△ABC縮小位似比為1：2，∴線段AC的中點P變換后的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（﹣2，﹣）或（2，）．故答案為：（2，）或（﹣2，﹣）．5．如圖①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，動點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度沿著A→B→C→D的方向不停移動，直到點P到達(dá)點D后才停止．已知△PAD的面積S（單位：cm2）與點P移動的時間（單位：s）的函數(shù)如圖②所示，則點P從開始移動到停止移動一共用了秒（結(jié)果保留根號）．【思路點撥】根據(jù)圖②判斷出AB、BC的長度，過點B作BE⊥AD于點E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根據(jù)t=2時△PAD的面積求出AD的長度，過點C作CF⊥AD于點F，然后求出DF的長度，利用勾股定理列式求出CD的長度，然后求出AB、BC、CD的和，再根據(jù)時間=路程÷速度，計算即可得解．【答案】（4+2）．【解析】解：由圖②可知，t在2到4秒時，△PAD的面積不發(fā)生變化，∴在AB上運(yùn)動的時間是2秒，在BC上運(yùn)動的時間是4-2=2秒，∵動點P的運(yùn)動速度是1cm/s，∴AB=2cm，BC=2cm，過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于點F，則四邊形BCFE是矩形，∴BE=CF，BC=EF=2cm，∵∠A=60°，∴BE=ABsin60°=2×=，AE=ABcos60°=2×=1，∴×AD×BE=3，即×AD×=3，解得AD=6cm，∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，在Rt△CDF中，CD===2，所以，動點P運(yùn)動的總路程為AB+BC+CD=2+2+2=4+2，∵動點P的運(yùn)動速度是1cm/s，∴點P從開始移動到停止移動一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）．故答案為：（4+2）．【總結(jié)升華】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖②的三角形的面積的變化情況判斷出AB、BC的長度是解題的關(guān)鍵，在梯形的問題中，作過梯形的上底邊的兩個頂點的高線是常見的輔助線．中考沖刺：動手操作與運(yùn)動變換型問題—知識講解（提高）【中考展望】1．對于實踐操作型問題，在解題過程中學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣與價值，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過程，不斷提高自己的創(chuàng)新意識與綜合能力，這是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》的基本要求之一，因此，近年來實踐操作性試題受到命題者的重視，多次出現(xiàn).2．估計在今年的中考題中，實踐操作類題目依舊是出題熱點，仍符合常規(guī)題型，與三角形的全等和四邊形的性質(zhì)綜合考查．需具備一定的分析問題能力和歸納推理能力．圖形的設(shè)計與操作問題，主要分為如下一些類型：1．已知設(shè)計好的圖案，求設(shè)計方案(如：在什么基本圖案的基礎(chǔ)上，進(jìn)行何種圖形變換等)．2．利用基本圖案設(shè)計符合要求的圖案(如：設(shè)計軸對稱圖形，中心對稱圖形，面積或形狀符合特定要求的圖形等)．3．圖形分割與重組(如：通過對原圖形進(jìn)行分割、重組，使形狀滿足特定要求)．4．動手操作(通過折疊、裁剪等手段制作特定圖案)．解決這樣的問題，除了需要運(yùn)用各種基本的圖形變換(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似)外，還需要綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何知識對圖形進(jìn)行分析、計算、證明，以獲得重要的數(shù)據(jù)，輔助圖案設(shè)計．另外，由于折疊操作相當(dāng)于構(gòu)造軸對稱變換，因此折疊問題中，要充分利用軸對稱變換的特性，以獲得更多的圖形信息．必要時，實際動手配合上理論分析比單純的理論分析更為快捷有效．從歷年中考來看，動態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的.動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合題，在坐標(biāo)系中有動點，動直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解.另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動點、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分析能力進(jìn)行考查.所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只有完全掌握，才有機(jī)會拼高分.【方法點撥】實踐操作問題：解答實踐操作題的關(guān)鍵是要學(xué)會自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、抽象、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問題．解答實踐操作題的基本步驟為：從實例或?qū)嵨锍霭l(fā)，通過具體操作實驗，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，提出問題，檢驗猜想．在解答過程中一般需要經(jīng)歷操作、觀察、思考、想象、推理、探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納等實踐活動過程，利用自己已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識去感知發(fā)生的現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)所得到的結(jié)論，進(jìn)而解決問題．動態(tài)幾何問題：1、動態(tài)幾何常見類型（1）點動問題（一個動點）（2）線動問題（二個動點）（3）面動問題（三個動點）2、運(yùn)動形式平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動3、數(shù)學(xué)思想函數(shù)思想、方程思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想4、解題思路（1）化動為靜，動中求靜（2）建立聯(lián)系，計算說明（3）特殊探路，一般推證【典型例題】類型一、圖形的剪拼問題 1．直角三角形通過剪切可以拼成一個與該直角三角形面積相等的矩形．方法如下(如圖所示)：請你用上面圖示的方法，解答下列問題：(1)對下圖中的三角形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形；(2)對下圖中的四邊形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原四邊形面積相等的矩形．【思路點撥】對于三角形的分割重組，要想拼成一個矩形，則分割時必須構(gòu)造出直角來，示例中通過作中位線的垂線段而分割出①③兩個直角三角形．對于四邊形的分割重組，可以先把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的問題，再利用三角形的分割重組方法進(jìn)行．【答案與解析】解：(1)如圖所示：(2)如圖所示：【總結(jié)升華】按照三角形的剪拼方法，探索規(guī)律，將任意四邊形先分割成三角形，再進(jìn)行剪拼，使學(xué)生經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜的探索過程．舉一反三：【變式】（2016?綏化）把一張正方形紙片如圖①、圖②對折兩次后，再按如圖③挖去一個三角形小孔，則展開后圖形是（）A． B． C． D．【答案】A.當(dāng)正方形紙片兩次沿對角線對折成為一直角三角形時，在直角三角形中間的位置上剪三角形，則直角頂點處完好，即原正方形中間無損，且三角形關(guān)于對角線對稱，三角形的AB邊平行于正方形的邊．再結(jié)合C點位置可得答案為C．故選C．類型二、實踐操作2．如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）要證APB=BPH，由內(nèi)錯角APB=PBC，即證PBC=BPH，折疊后EBP=EPB=90°，再由性質(zhì)等角的余角相等即可得證．（2）△PHD的周長為PD+DH+PH．過B作BQ⊥PH構(gòu)造直角三角形，再利用三角形全等：△ABP≌△QBP和△BCH≌△BQH．證明AP=QP，CH=QH，可得其周長為定值．（3），關(guān)鍵是用x來表示BE、CF．過F作FM⊥AB，垂足為M，先由邊角關(guān)系得△EFM≌△BPA，得=x．在Rt△APE中可由勾股定理表示出BE，再由，很容易用x表示出S，再配方求最值．【答案與解析】解：（1）∵PE=BE，∴EBP=EPB．又∵EPH=EBC=90°，∴EPH-EPB=EBC-EBP．即PBC=BPH．又∵AD∥BC，∴APB=PBC．∴APB=BPH．（2）△PHD的周長不變，為定值8．證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知APB=BPH，又∵A=BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP．∴AP=QP,AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵C=BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.（3）過F作FM⊥AB，垂足為M，則.又EF為折痕，∴EF⊥BP.∴，∴．又∵A=EMF=90°，∴△EFM≌△BPA．∴=x．∴在Rt△APE中，．解得，．∴．又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，∴．即：．配方得，，∴當(dāng)x=2時，S有最小值6．【總結(jié)升華】本題將函數(shù)和幾何知識較好的綜合起來，對能力的要求較高．本題考查了三角形全等、正方形的性質(zhì)、勾股定理、梯形的面積公式、折疊的性質(zhì)、二次函數(shù)等相關(guān)知識．難度較大，是一道很好的壓軸題，通過此題能夠反映出學(xué)生的思維能力及數(shù)學(xué)知識的掌握程度，解答本題要學(xué)會將題目中的已知量與待求量聯(lián)系起來．此題的關(guān)鍵是證明幾組三角形的全等，以及用x來表示S．3．劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B＝90°，∠C＝60°，∠A＝30°，BC＝6cm；圖②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時點D與點A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸________．(填“不變”、“變大”或“變小”)(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：問題①：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行?問題②：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形?問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由．請你分別完成上述三個問題的解答過程．【思路點撥】本題以動三角形為背景，考查特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理．【答案與解析】解：(1)變小．(2)問題①：∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴AC＝12．∵∠FDE＝90°，∠DEF＝45°，DE＝4，∴DF＝4．連結(jié)FC，設(shè)FC∥AB，∴∠FCD＝∠A＝30°∴在Rt△FDC中，DC＝．∴AD＝AC－DC＝即AD＝cm時，F(xiàn)C∥AB．問題②：設(shè)AD＝x，在Rt△FDC中，F(xiàn)C2＝DC2+FD2＝(12-x)2+16．(i)當(dāng)FC為斜邊時，由AD2+BC2＝FC2得，．(ii)當(dāng)AD為斜邊時，由得，(不符合題意，舍去)．(iii)當(dāng)BC為斜邊時，由得，，△＝144－248＜0，∴方程無解．另解：BC不能為斜邊．∵FC＞CD．∴FC+AD＞12．∴FC、AD中至少有一條線段的長度大于6．∴BC不能為斜邊．∴由(i)、(ii)、(iii)得，當(dāng)cm時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形．問題③：解法一：不存在這樣的位置，使得∠FCD＝15°．理由如下：假設(shè)∠FCD＝15°．由∠FED＝45°，得∠EFC＝30°．作∠EFC的平分線，交AC于點P，則∠EFP＝∠CFP＝∠FCP＝15°，∴PF＝PC．∠DFP＝∠DFE+∠EFP＝60°．∴PD＝，PC＝PF＝2FD＝8．∴PC+PD＝8+．∴不存在這樣的位置，使得∠FCD＝15°．解法二：不存在這樣的位置，使得∠FCD＝15°．假設(shè)∠FCD＝15°，設(shè)AD＝x．由∠FED＝45°，得∠EFC＝30°．作EH⊥FC，垂足為H．∴HE＝EF＝，CE＝AC－AD－DE＝8-x，且．∵∠FDC＝∠EHC＝90°，∠DCF為公共角，∴△CHE∽△CDF．∴．又，∴．整理后，得到方程．