2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第三章　函數(shù)的概念與性質(zhì)復(fù)習(xí)提升

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

易錯(cuò)點(diǎn)1忽視函數(shù)的定義域?qū)е洛e(cuò)誤

1.(2021北京八中期中)給出下列三個(gè)函數(shù):①丫=三六②y=f^；③丫仆必.

其中與函數(shù)y=x是同一個(gè)函數(shù)的序號(hào)是.

2.已知f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f(x)是減函數(shù)，若f(m-2)+f(2m-3)>0,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

3.設(shè)函數(shù)f(x)*"'若f(a)=4,則實(shí)數(shù)a=

4.(2022重慶南開中學(xué)期中)函數(shù)f(x)=x-&與的值域?yàn)?

5.(2020河南洛陽(yáng)一高月考)函數(shù)f(x)=，％2+x-6的單調(diào)遞增區(qū)間是.

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略分段函數(shù)自變量的范圍一一分段點(diǎn)處的情況導(dǎo)致

錯(cuò)誤

6.(2022山西大同期中)若函數(shù)f(x)=1￥+ax,x<1,在R上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a

(.(4-a)x,x>1

的取值范圍為.

7.對(duì)任意x￡R,函數(shù)f(x)=max1-x+3,|x+g,x2-4x+3),則f(x)的最小值

是.

易錯(cuò)點(diǎn)3忽視對(duì)參數(shù)取值范圍的討論導(dǎo)致錯(cuò)誤

8.(多選)(2022廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)下列圖象中,可能是f(x)=ax+工(a￡R)的圖象

X

的是()

9.已知函數(shù)f(x)=x、kx-8在定義域［5,10］內(nèi)是單調(diào)函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使函數(shù)f(x)的最小值為7?若存在,求出k的值;若不存在,說

明理由.

10.(2020山西長(zhǎng)治二中期末)已知函數(shù)f(x)=［X'°<x<2，其中a

-x2+(a+2)x-2a,x>2,

為實(shí)數(shù).

(1)若函數(shù)f(x)為定義域上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍；

⑵若a〈7,使不等式f(x)-a>0成立的正整數(shù)解有且僅有一個(gè),求a的取值范圍.

思想方法練

一、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的運(yùn)用

1.(2021山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=ax+工與g(x)=ax?的圖

a

象可能是()

AR

2.(2022河北張家口期中)若關(guān)于x的方程|x2-l|-x-m有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

二、分類討論思想在函數(shù)中的運(yùn)用

3.(2022北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)如圖分別為函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象,則不等

式f(x)-g(x)<0的解集為()

A.(-?=,-1)U(-1,0)B.(—,-1)U(0,1)

C.(-1,0)U(1,+8D.(0,1)U(1,+8

4.(2022天津耀華中學(xué)期中)已知函數(shù)y=f(x)(x￡R)是偶函數(shù).當(dāng)xNO

時(shí)，f(x)=x2-2x.

⑴求函數(shù)f(x)的解析式；

⑵若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,a+2］上單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)當(dāng)a>-l時(shí),記f(x)在區(qū)間［a,a+2］上的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式.

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想在函數(shù)中的運(yùn)用

5.(2021山西太原期中)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí),

f(x)=x+V%+l,貝I」f(X)<3的解集是()

A.[0,1]

B.[-1,1]

C.[-2,1]

D.(-°°,-1]U[1,+8)

6.已知函數(shù)f(x)=ax3-bx+l,若f(2)=5,貝I]f(一2)=.

7.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x)=2設(shè)函2),且當(dāng)xG[-2,0)

時(shí),f(x)=-2x(x+2).若對(duì)任意x￡[m,+8),都有f(x)求m的取值范圍.

四、方程思想在函數(shù)中的運(yùn)用

8.(2020江西臨川一中月考)已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)=xfP)+-,則f(3)=()

\xJX

3B1

23一

A.C.9D.3-

9.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=2+14/(%)-[/(%)]2,則f(2

021)二

答案全解全析

易混易錯(cuò)練

1.答案②

解析易知y=x的定義域?yàn)镽.

①的定義域?yàn)椋鹸|x#2｝,定義域不同,與y=x不是同一個(gè)函數(shù)；

x-2

3

②%二2+1x與y=x的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域也相同,故兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；

③y=V^=|x|,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，與y=x不是同一個(gè)函數(shù).

易錯(cuò)警示研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)時(shí),應(yīng)先求定義域,看定義域是否相

同,若定義域不同，則不是同一個(gè)函數(shù);若定義域相同,則再判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相

同.

2.答案(1,|)

解析:f(x)是定義在(T,1)上的奇函數(shù)，

f(-x)=-f(x),Z.f(m-2)+f(2m-3)>0可化為f(m-2)>-f(2m-3)=f(-2m+3),Vf(x)是

-1<m-2<1,

減函數(shù)，T<2m-3<1,

,m-2<-2m+3,

易錯(cuò)警示解題時(shí)若只考慮單調(diào)性，忽視了函數(shù)的定義域,則會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)

果.

3.答案-4或2

解析因?yàn)楹瘮?shù)且f(a)=4,

所以踮=°；或｛：2：°4解得a=-4或a=2.

4.答案(-8,2]

解析根據(jù)題意，可知2-xN0,則xW2,

令t=，2-％,貝ljtNO,x=2-11

貝I］y=2_t2_t=_(t+3+［(t，0),

可知當(dāng)t=0時(shí),y取得最大值2,無最小值，

所以函數(shù)f(x)=x-V^7的值域?yàn)?-8,2］.

易錯(cuò)警示解題時(shí)利用換元得到新的函數(shù)后,應(yīng)注意新函數(shù)的定義域.

5.答案［2,+8)

解析由x2+x-6^0得x，2或x<-3,設(shè)t=x2+x-6,貝|g(t)=Vt(t^O)^［0,+°°)

上單調(diào)遞增,t=x2+x-6在(-8,一3］上單調(diào)遞減,在［2,+8)上單調(diào)遞增,所以

f(X)=7x2+X-6的單調(diào)遞增區(qū)間是［2,+8).

解后反思求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先要考慮函數(shù)的定義域.

6.答案［2,|'

解析若函數(shù)、)=匕父?區(qū)］<1,在R上單調(diào)遞增

(4-a>0,

則，之1,解得2WaW/

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2,|1

易錯(cuò)警示與分段函數(shù)有關(guān)的問題,解題時(shí)應(yīng)注意分段點(diǎn)及分段點(diǎn)處的函數(shù)值.

7.答案2

解析在同一直角坐標(biāo)系中畫出y=-x+3,y=|x+|,y=x?-4x+3的圖象,則f(x)的圖

象如圖中實(shí)線部分所示.

由圖可得，f(X)min=f(1)=2.

8.ACD當(dāng)a=0時(shí),f(x)為反比例函數(shù),A選項(xiàng)滿足；

X

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax+%為奇函數(shù)，易知f(x)在(0,區(qū))上單調(diào)遞減,在(區(qū)，+-U

單調(diào)遞增,D選項(xiàng)滿足；

當(dāng)a〈0時(shí)，f(x)=ax+三為奇函數(shù),且函數(shù)y=ax與y」在(0,+8)上均單調(diào)遞減,故f(x)

XX

在(0,+8)上單調(diào)遞減,C選項(xiàng)滿足.故選ACD.

易錯(cuò)警示當(dāng)參數(shù)的取值對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及圖象產(chǎn)生影響時(shí),應(yīng)注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分

類討論.

9.解析(1)易知函數(shù)y=x2-kx-8的圖象的對(duì)稱軸方程為x=*

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-kx-8在定義域［5,10］內(nèi)是單調(diào)函數(shù),所以或geio,即

kWIO或k220,

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-8,io］u［20,+8).

⑵當(dāng)k<10時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-kx-8在區(qū)間［5,10］上單調(diào)遞增，

因此函數(shù)在區(qū)間［5,10］上的最小值是f(5)=17-5k=7,解得k=2;

當(dāng)k220時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-kx-8在區(qū)間［5,10］上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)在區(qū)間［5,10］上的最小值是f(10)=92-10k=7,解得k岑(舍去).

綜上,存在k=2,使函數(shù)f(x)的最小值為7.

10.解析(1)當(dāng)0〈xW2時(shí)，f(x)=±-x,為減函數(shù)，若f(x)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，

X

則當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=-x2+(a+2)x-2a也為減函數(shù),且f(x)Wf(2)=0,

“+22

故尸一’解得aW2.

t-22+2(a+2)-2a<0,

故a的取值范圍為(-8,2］.

(2)易得f⑴=3,f(2)=0.

當(dāng)a〈0時(shí)，f(2)=0>a,f(l)=3>a,不符合題意；

當(dāng)0WaW2時(shí)，由⑴知f(x)為定義域上的減函數(shù)，僅有f(l)=3>a成立,符合題意;

當(dāng)2<a<3時(shí),在(0,2］上，僅有f(1)=3>a,

2

在(2,+8)上，f(x)的最大值為f(等)=處了<3a不存在X滿足f(x)-a>0,符合

題意；

當(dāng)3<a<7時(shí),在(0,2］上,不存在整數(shù)x滿足f(x)-a>0,

在⑵+8)上,不存在x滿足f(x)-a>0,不符合題意.

444

綜上所述,0<a<3.

思想方法練

1.A在函數(shù)f(x)=ax+工中，由a與工同號(hào),可排除B、D,

aa

根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)分析圖象特點(diǎn).

在選項(xiàng)A、C中，由f(x)的圖象可知a>0,此時(shí)g(x)的圖象應(yīng)為開口向上的拋物線,

故選A.

2.答案Km<f

4

解析關(guān)于X的方程IX2-1l-x-m有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=|x2-l|的圖象和

直線y=x+m有4個(gè)交點(diǎn).

方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，通過作圖解決問題.

作出函數(shù)y=Ix2-l|的圖象如圖所示：

直線y=x+m過點(diǎn)(-1,0)時(shí),m=l;

直線y=x+m與y=l-x?的圖象相切時(shí),x+m=l-x?有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即

A=1-4(m-l)=0,解得m=-.

4

由“形”一定性地確定直線y=x+m與y=|x2-l|的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)的位置，由“數(shù)”

定量地計(jì)算邊界直線中m的值.

故1x2-l-x=m有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是Kmd

4

思想方法在解決函數(shù)問題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，利用函數(shù)圖象直觀地

研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，可避免復(fù)雜的計(jì)算和推理,實(shí)現(xiàn)解題快速準(zhǔn)確.

3.D由于f(x)?g(x)〈0,因此可就其中一個(gè)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，如分

￡(戲-W-和-工-(冬)22兩種情況過論

當(dāng)f(x)<0時(shí),x￡(-8,-1)u(0,1),此時(shí)需滿足g(x)>0,則xe(-1,1),故

xe(0,1)；

當(dāng)f(x)>0時(shí),x￡(-1,0)U(1,+8),此時(shí)需滿足g(x)〈0,則

x￡-1)U(1,+°°),故xQ(1,+8).

綜上所述,不等式f(X)?g(x)<0的解集為(0,1)U(1,+℃).故選D.

4.解析⑴當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,可得f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

又f(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),

所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x?+2x,

所以

Lx2+2x,x<0.

(2)作出函數(shù)f(x)的圖象如圖：

\01/,,

34

Lx=i

可得f(x)的增區(qū)間為［1,+8),［-1,0］,減區(qū)間為(-8,—1］,［0,1］.

若函數(shù)f(X)在區(qū)間［a,a+2］上單調(diào)，

則［a,a+2］旦(-8,一1］或［a,a+2］&［1,+°°),即a+2WT或a21,解得a<-3或

a21,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{aa<-3或a21}.

⑶由于a的取值范圍不同會(huì)影響函數(shù)f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而影響f(x)的最小值，故

應(yīng)對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論.

當(dāng)T〈aW1時(shí)，l〈a+2W3,此時(shí)g(a)=f(1)=12-2Xl=-1；

當(dāng)a>l時(shí)，f(x)在區(qū)間［a,a+2］上單調(diào)遞增，所以g(a)=f(a)=a2-2a.

1,~1<a<1,

綜上可知,g(a)=■

2a,a>1.

思想方法在含參函數(shù)中,參數(shù)的取值不同，函數(shù)的圖象、性質(zhì)可能有不同的變化,

解題時(shí)要依據(jù)題意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.涉及分段函數(shù)時(shí),要注意自變量的取值

范圍對(duì)解題的影響.

5.B當(dāng)x三。時(shí),f(x)=x+y+l,則f(x)在[0,+8)上為增函數(shù)，且f(1)=1+1+1=3,

又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以f(x)W30f(|x|)⑴o|x|W1,

利用特殊值、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，將不等式脫去“f”,進(jìn)而解決問題.…

解得TWxWl,故f(x)W3的解集為[-1,1吊故選B.

思想方法轉(zhuǎn)化與化歸思想在函數(shù)中常見的運(yùn)用：利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性對(duì)

自變量的范圍進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將不等式恒(能)成立等問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大(小)值問

題等.

6.答案-3

解析設(shè)g(x)=f(x)-l=ax3-bx,則g(x)的定義域?yàn)镽,g(-x)=-ax3+bx=-g(x),故

g(x)為奇函數(shù)，

構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值.

故g(-2)=-g(2),即f(-2)-l=-[f(2)-l],

即f(-2)=-f(2)+2=-5+2=-3.

7.解析由f(x)=2f(x+2)得f(x+2)=|f(x),則f(x)=|f(x-2).

當(dāng)x￡[-2,0)時(shí)，f(x)=-2(x+l)2+2,其最大值為2.

當(dāng)x￡[0,2)時(shí),x-2G[-2,0),f(x)=|xf(x-2)=|x[-2(x-2+1)2+2]=-(x-1)2+l,

其最大值為1,

將x￡[0,2）轉(zhuǎn)化到已知解析式的自變量的取值范圍，根據(jù)條件求出解析式.

同理，當(dāng)x￡⑵4)時(shí)，f(x)max=|,f(x