高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.5.2簡單的線性規(guī)劃省公開課一等獎新名師獲獎?wù)n件

3.5.2簡單線性規(guī)劃1/321：畫出不等式（組）表示平面區(qū)域：⑴y≥2x+1⑵4x-3y>9x+2y<4說明：直線定界、特殊點定域劃分區(qū)域時，找好特殊點，注意不等號。y=2x+1x+2y=4o-1yx112233-2xo123-1-2-3y4x-3y=92/323x+5y≤25x-4y≤-3x≥1在該平面區(qū)域上

問題1：ｘ有沒有最大(小)值？問題２：ｙ有沒有最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1問題３：2ｘ+ｙ有沒有最大(小)值？CAB3/32引例

設(shè)z=2x+y，式中變量x、y滿足以下條件．求z最大值和最小值．4/32xyO1234567654321ABC

分析：不等式組表示區(qū)域是圖中

ABC．z=2x+y5/32xyO1234567654321ABCl2l1求最值方法1.

截距法

在經(jīng)過不等式組表示公共區(qū)域內(nèi)點且平行于l0直線中，以經(jīng)過點A(5，2)直線

l2

所對應(yīng)截距最大故zmax=2×5+2=12，以經(jīng)過點B(1，1)直線l1所對應(yīng)z最小故zmin=2×1+1=3．6/32xyO1234567654321ABC思索:2x+y-z=0(z

R)可看作什么?

一組平行直線,都與直線l0：2x+y=0平行.求最值方法2.距離法

7/32xyO1234567654321ABC

作一組與直線l0平行直線(或平行移動直線l0)l：2x+y=z，z

R．

求最值方法2.距離法

8/32xyO1234567654321ABC

在經(jīng)過不等式組所表示公共區(qū)域內(nèi)點且平行于l直線中，以經(jīng)過點A(5，2)直線l2所對應(yīng)d最大，l2求最值方法2.距離法

9/32

以經(jīng)過點B(1，1)直線l1所對應(yīng)d最小．所以：zmax=2×5+2=12，zmin=2×1+1=3．xyO1234567654321ABCl2l1求最值方法2.距離法

10/32

在上述問題中，不等式組是一組對變量x、y約束條件，因為這組約束條件都是關(guān)于x、y一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z=2x+y是欲到達最大值或最小值所包括變量x、y解析式，我們把它稱為目標函數(shù)．因為z=2x+y又是關(guān)于x、y一次解析式，所以又可叫做線性目標函數(shù)．線性規(guī)劃相關(guān)概念：11/32線性規(guī)劃概念：問題：設(shè)z=2x+y，式中變量滿足以下條件： 求z最大值與最小值。

目標函數(shù)（線性目標函數(shù)）線性約束條件12/32

注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．普通地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．比如：我們剛才研究就是求線性目標函數(shù)z=2x+y在線性約束條件下最大值和最小值問題，即為線性規(guī)劃問題．線性規(guī)劃相關(guān)概念：13/32

滿足線性約束條件解(x，y)叫做可行解，由全部可行解組成集合叫做可行域．在上述問題中，可行域就是陰影部分表示三角形區(qū)域．其中可行解(5，2)和(1，1)分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題最優(yōu)解．線性規(guī)劃相關(guān)概念：14/32解線性規(guī)劃問題基本步驟：

第一步在平面直角坐標系中畫出可行域.第二步：平移直線在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對應(yīng)點(找使縱截距取得最值時點).第三步：解方程組，從而求出目標函數(shù)最大值或最小值．簡記為:

畫….移….求15/32

例1已知x、y滿足，試求z=300x+900y最大值．經(jīng)典例題：

分析：先畫出平面區(qū)域，然后在平面區(qū)域內(nèi)尋找使z=300x+900y取最大值時點．16/32

例1已知x、y滿足，試求z=300x+900y最大值．經(jīng)典例題：

解：作出可行域，見圖中四邊形AOBC表示平面區(qū)域．x+2y=2502x+y=300xy250150COBA17/32經(jīng)典例題：

作出直線l0：300x+900y=0，即x+3y=0，將它平移至點A，顯然，點A坐標是可行域中最優(yōu)解，它使z=300x+900y到達最大值．易得點A(0，125)，所以zmax=300×0+900×125=112500．l0：x+3y=0xy250150COBAx+2y=2502x+y=30018/32經(jīng)典例題：

變題1：在例1中，若目標函數(shù)設(shè)為z=400x+300y，約束條件不變，則z最大值在點C處取得．l0：4x+3y=0xy250150COBAx+2y=2502x+y=300

變題2：若目標函數(shù)設(shè)為z=300x+600y，約束條件不變，則z最大值?可在線段AC上任一點處取得．19/32

實際上，可行域內(nèi)最優(yōu)解對應(yīng)點在何處，與目標函數(shù)z=ax+by(a

0，b

0)所確定直線l0：ax+by=0斜率(

)相關(guān)．就本例而言，若

=

(直線x+2y=250斜率)，則線段AC上全部點都使z取得最大值(如：z=300x+600y時)；20/32

當

<

<0時，點A處使z取得最大值(比如：例1)；當

2<

<

時，點C處使z取得最大值(比如：z=400x+300y時)，其它情況請同學(xué)們課外思索．21/32BCxyox－4y=－33x+5y=25x=1Ａ

例2：設(shè)z＝2x－y,式中變量x、y滿足以下條件求ｚ最大值和最小值。3x+5y≤25x

－4y≤－3x≥1解：作出可行域如圖：當ｚ＝0時，設(shè)直線l0：2x－y＝0

當l0經(jīng)過可行域上點A時，－z最小，即ｚ最大。

當l0經(jīng)過可行域上點C時，－ｚ最大，即ｚ最小。由得A點坐標_____；

x－4y＝－3

3x＋5y＝25由得C點坐標_______；

x=1

3x＋5y＝25∴zmax＝2×5－2＝8zmin＝2×1－4.4＝

－2.4(5,2)(5,2)(1,4.4)(1,4.4)平移l0，平移l0

，(5,2)2x－y＝0(1,4.4)(5,2)(1,4.4)22/32轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化三個轉(zhuǎn)化圖解法想一想(結(jié)論):線性約束條件可行域線性目標函數(shù)Z=Ax+By一組平行線最優(yōu)解尋找平行線組

最大（小）縱截距求最值方法:1,距離法;2,截距法.23/321．（年高考（遼寧文理））設(shè)變量x,y滿足則2x+3y最大值為（）A．20 B．35 C．45 D．551.【答案】D【解析】畫出可行域,依據(jù)圖形可知當x=5,y=15時2x+3y最大,最大值為55,故選DD24/322．（年高考（天津文））設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)最小值（）

A．-5 B．-4 C．-2 D．3【解析】做出不等式對應(yīng)可行域如圖,由圖象可知當直線經(jīng)過點時,直線截距最大,而此時最小為,選B.B25/323．（年高考（浙江文））設(shè)z=x+2y,其中實數(shù)x,y滿足,則z取值范圍是

_______________.【解析】利用不等式組,作出可行域,可知區(qū)域表示四邊形,

但目標函數(shù)過點(0,0)時,目標函數(shù)最小,當目標函數(shù)過點時最大值為.[0,]26/321.求z=600x+300y最大值，使式中x，y滿足約束條件．附加練習(xí)

分析：畫出約束條件表示平面區(qū)域即可行域再解．xyO252100CBA3x+y=300x+2y=2522x+y=0zmax

=600×70+300×90=69000．27/322.已知x、y滿足不等式組求z=3x+y最小值．附加練習(xí)分析：可先找出可行域,平行移動直線l0：3x+y=0，找出可行解，進而求出目標函數(shù)最小值.zmin

=1．2x+y=1xy20.5OPx+2y=2l0：3x+y=028/32

3．滿足線性約束條件可行域內(nèi)共有_______個整數(shù)點．4

4．設(shè)z=x

y，式中變量x，y滿足求z最大值和最小值．zmax=1，zmin=

3．附加練習(xí)：29/32

(1)求z=2x+y最大值，使式中x、y

滿足約束條件附加練習(xí)5小結(jié)xy(12,12)(-1,-1)(2,-1)2x+y=0x+y-1=0x-y=0CBAO21-1-2-