2020重慶中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)菱形折疊問題一(含答案解析)

第3頁（共9頁）2020重慶中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)菱形折疊問題（含答案解析）1、如圖，在菱形紙片ABCD中，BC＝4+4，∠B＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處．折痕為MN，點(diǎn)M，N分別在BC，AB上，若PN⊥AB，則折痕MN的長為．2、（2019秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、O分別在邊A，AD上，則EG的長為（）A． B． C．4 D．43、（2019春?西湖區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形紙片ABCD中、AB＝AD＝4，∠A＝60°，將該紙片翻折使點(diǎn)A落在CD邊的中點(diǎn)E處，折為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，則GE的長為（）A．2 B．2﹣1 C．2.8 D．2.24、（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在邊AB，AD上，則△EFG的面積為．5、（2019?鎮(zhèn)海區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，M，N分別是邊AB，AD上的兩個(gè)點(diǎn)，將△AMN沿MN翻折，使A恰好與CD上的點(diǎn)A′重合，此時(shí)BD⊥MA′，若折痕MN＝，則菱形ABCD的面積是．6、（2019?青島模擬）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上．則sin∠EFG的值為．7、（2019?大邑縣模擬）如圖在菱形紙片ABCD中，AB＝4，∠B＝120°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在邊CD的中點(diǎn)G處，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上，則sin∠GEF的值為．8、（2017秋?廣陵區(qū)期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，則cos∠EFG值為（）A． B． C． D．9、（2018春?吳興區(qū)校級月考）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在邊AB，AD上，則sin∠EFG的值為．10、（2018?福田區(qū)一模）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在邊AB，AD上，則tan∠EFG的值為．2020重慶中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)菱形折疊問題（含答案解析）1、如圖，在菱形紙片ABCD中，BC＝4+4，∠B＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處．折痕為MN，點(diǎn)M，N分別在BC，AB上，若PN⊥AB，則折痕MN的長為6．解：如圖：過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，作MF⊥AB于F∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE＝60°，且PE⊥BC，∴∠CPE＝30°∴PC＝2CE，PE＝CE，∵折疊，∴∠BNM＝∠PNM，BM＝PM，∠B＝∠NPM＝60°∵NP⊥BA，∴∠BNP＝90°，∴∠BNM＝∠PNM＝45°，∵∠B+∠BNP+∠NPM+∠BMP＝360°∴∠BMP＝150°，∴∠PME＝30°且PE⊥BC，∴MP＝2PE＝2CE，ME＝PE＝3CE∴MB＝2CE，MC＝2CE，∵BC＝4+4＝2CE+2CE，∴CE＝2，∴MB＝4∵∠B＝60°，MF⊥BA，∴∠BMF＝30°，∴BF＝BM＝2，MF＝BF＝6∵∠BNM＝45°，MF⊥AB，∴∠NMF＝∠BNM＝45°，∴FM＝FN＝6，∴MN＝62、（2019秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、O分別在邊A，AD上，則EG的長為（）A． B． C．4 D．4解：作EM⊥AD于M，如圖所示,∵四邊形ABCD是菱形，AB＝8，∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°，∵E是CD中點(diǎn)，∴DE＝4，∵M(jìn)E⊥AD，∠DMC＝60°，∴∠MED＝30°，且ME⊥AD，∴DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折疊的性質(zhì)得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．∴EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得：EG＝，故選：A．3、（2019春?西湖區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形紙片ABCD中、AB＝AD＝4，∠A＝60°，將該紙片翻折使點(diǎn)A落在CD邊的中點(diǎn)E處，折為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，則GE的長為（）A．2 B．2﹣1 C．2.8 D．2.2解：過點(diǎn)E作EH⊥AD于H，如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝CD＝AB＝4，∴∠A＝∠HDE＝60°，∵E是CD中點(diǎn)，∴DE＝CD＝2，在Rt△DHE中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝DE＝1，HE＝DH＝，由折疊的性質(zhì)得：AG＝GE，在Rt△HGE中，GH＝AD﹣AG+DH＝4﹣GE+1＝5﹣GE，由勾股定理得：GE2＝GH2+HE2∴GE2＝（5﹣GE）2+3，解得：GE＝2.8；故選：C．4、（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在邊AB，AD上，則△EFG的面積為．解：如圖：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，連接BE，BD∵四邊形ABCD是菱形，AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，AB∥DC，∵AB∥CD∴∠A＝∠MDC＝60°，∵E是CD中點(diǎn)，∴DE＝1∵M(jìn)E⊥AD，∠DMC＝60°，∴∠MED＝30°，且ME⊥AD，∴DM＝，ME＝DM＝，∵折疊，∴AG＝GE，∠AFG＝∠EFG，在Rt△GME中，GE2＝GM2+ME2．∴GE2＝（2﹣GE+）2+，∴GE＝，在Rt△AGN中，∠A＝60°，GN⊥AB，∴AG＝2AN，∴AN＝，∴GN＝，∵BC＝CD＝2，∠C＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵E點(diǎn)是CD中點(diǎn)，∴BE⊥CD，DE＝1，∠BDC＝60°，∴BE＝，∵AB∥DC，∴∠ABE＝90°，在Rt△EFB中，EF2＝BE2+BF2，∴EF2＝3+（2﹣EF）2，∴EF＝，∴AF＝，∵NF＝AF﹣AN，∴NF＝，∴S△EFG＝S△AGF＝×AF×GN＝××＝，5、（2019?鎮(zhèn)海區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，M，N分別是邊AB，AD上的兩個(gè)點(diǎn)，將△AMN沿MN翻折，使A恰好與CD上的點(diǎn)A′重合，此時(shí)BD⊥MA′，若折痕MN＝，則菱形ABCD的面積是4+．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠CDB，∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∵BD⊥MA′，設(shè)A′M與BD交于G，過M作MH⊥AB于H，∵將△AMN沿MN翻折，使A恰好與CD上的點(diǎn)A′重合，∴∠AMN＝∠A′MN＝75°，∴∠MNH＝45°，∵M(jìn)N＝，∴MH＝NH＝，∴AM＝A′M＝2，∴MG＝A′M＝1，∴DM＝，∴AD＝2+，∴BD＝2+，∴AC＝2+2，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝×（2+）×（2+2）＝4+．6、（2019?青島模擬）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上．則sin∠EFG的值為．解：如圖：過點(diǎn)E作HE⊥AD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)N，連接BD，BE．∵四邊形ABCD是菱形，AB＝4，∠DAB＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠DAB＝∠DCB＝60°，DC∥AB∴∠HDE＝∠DAB＝60°，∵點(diǎn)E是CD中點(diǎn)∴DE＝CD＝2，在Rt△DEH中，DE＝2，∠HDE＝60°∴DH＝1，HE＝∴AH＝AD+DH＝5，在Rt△AHE中，AE＝＝2∵折疊，∴AN＝NE＝，AE⊥GF，AF＝EF，∵CD＝BC，∠DCB＝60°∴△BCD是等邊三角形，且E是CD中點(diǎn)，∴BE⊥CD，∵BC＝4，EC＝2，∴BE＝2∵CD∥AB，∴∠ABE＝∠BEC＝90°，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+（AB﹣EF）2．∴EF＝∴sin∠EFG＝＝＝7、（2019?大邑縣模擬）如圖在菱形紙片ABCD中，AB＝4，∠B＝120°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在邊CD的中點(diǎn)G處，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上，則sin∠GEF的值為．解：如圖：過點(diǎn)G作HG⊥AD于點(diǎn)H，連接AG交EF于點(diǎn)N，連接BD，BG．∵四邊形ABCD是菱形，AB＝4，∠B＝120°，∴∠DAB＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠DAB＝∠DCB＝60°，DC∥AB，∴∠HDG＝∠DAB＝60°，∵點(diǎn)G是CD中點(diǎn)，∴DG＝CD＝2，在Rt△DGH中，DG＝2，∠HDG＝60°，∴DH＝1，HG＝，∴AH＝AD+DH＝5，，在Rt△EGH中，EG2＝HG2+EH2，∴EG2＝（5﹣EG）2+3，∴EG＝，在Rt△AHG中，AG＝＝2，由折疊的性質(zhì)的，AN＝NG＝，AG⊥EF，∴sin∠GEF＝＝＝，8、（2017秋?廣陵區(qū)期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，則cos∠EFG值為（）A． B． C． D．解：如圖：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，連接BE，BD，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝2∴CD＝AD＝AB＝2，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°∵E是CD中點(diǎn)，∴DE＝1，∵M(jìn)E⊥AD，∠DMC＝60°，∴∠MED＝30°，且ME⊥AD∴DM＝，ME＝DM＝，∵折疊∴AG＝GE，∠AFG＝∠EFG在Rt△GME中，GE2＝GM2+ME2．∴GE2＝（2﹣GE+）2+∴GE＝在Rt△AGN中，∠A＝60°，GN⊥AB∴AG＝2AN，∴AN＝，∴GN＝∵BC＝CD＝2，∠C＝60°，∴△BCD是等邊三角形∵E點(diǎn)是CD中點(diǎn)，∴BE⊥CD，DE＝1，∠BDC＝60°，∴BE＝∵AB∥DC，∴∠ABE＝90°，在Rt△EFB中，EF2＝BE2+BF2．∴EF2＝3+（2﹣EF）2．∴EF＝，∴AF＝，∵NF＝AF﹣AN，∴NF＝，在Rt△GNF中，GF＝＝，∴cos∠EFG＝cos∠GFN＝＝，故選：C．9、（2018春?吳興區(qū)校級月考）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在邊AB，AD上，則sin∠EFG的值為．解：如圖：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，連接BE，BD∵四邊形ABCD是菱形，AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°∵E是CD中點(diǎn)，∴DE＝1，∵M(jìn)E⊥AD，∠DMC＝60°，∴∠MED＝30°，且ME⊥AD∴DM＝，ME＝DM＝，∵折疊，∴AG＝GE，∠AFG＝∠EFG在Rt△GME中，GE2＝GM2+ME2．∴GE2＝（2﹣GE+）2+，∴GE＝，在Rt△AGN中，∠A＝60°，GN⊥AB，∴AG＝2AN，∴AN＝，∴GN＝，∵BC＝CD＝2，∠C＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵E點(diǎn)是CD中點(diǎn)∴BE⊥CD，DE＝1，∠BDC＝60°，∴BE＝，∵AB∥DC，∴∠ABE＝90°在Rt△EFB中，EF2＝BE2+BF2．∴EF2＝3+（2﹣EF）2．∴EF＝，∴AF＝，∵NF＝AF﹣AN，∴NF＝，在Rt△GNF中，GF＝＝，∴sin∠EFG＝sin∠GFN＝＝＝.10、（2018?福田區(qū)一模）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)