2021年河南省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：輔助圓問(wèn)題

2021年河南省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)輔助圓問(wèn)題微專題輔助圓問(wèn)題模型一定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓平面內(nèi)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長(zhǎng)度固定，則點(diǎn)B的軌跡在以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上(如圖①).依據(jù)的是圓的定義：圓是所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.(10年9考，常在幾何圖形折疊與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中涉及考查)模型分析圖①圖②推廣：如圖②，點(diǎn)E為定點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)(不含點(diǎn)B)，將△BEF沿EF折疊得到△B′EF，則點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)E為圓心，以線段BE為半徑的一段圓弧.針對(duì)演練第1題圖1.如圖，已知OC＝3，點(diǎn)A、B分別是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且OA＝2，BC＝4，請(qǐng)?jiān)谄矫鎯?nèi)畫出點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)軌跡.第1題解圖解：如解圖，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為⊙O，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡為⊙C.第2題圖2.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF折疊得到△A′EF，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)A′在?ABCD內(nèi)(含邊上的點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)軌跡.第2題解圖解：如解圖，點(diǎn)A′的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的⊙E上的劣弧.模型二直角對(duì)直徑模型分析1.半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是90°.如圖①，△ABC中，∠C＝90°，AB為⊙O的直徑；2.90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑(定弦對(duì)定角的特殊形式).如圖②，△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的⊙O(不包含A、B兩點(diǎn)).針對(duì)演練第3題圖3.如圖，已知線段AB.請(qǐng)你在圖中畫出使∠APB＝90°的所有點(diǎn)P.第3題解圖

解：如解圖，⊙O(不含A、B兩點(diǎn))即為所求P點(diǎn)的軌跡.模型三定弦對(duì)定角(非90°)模型分析固定的線段只要對(duì)應(yīng)固定的角度(可以不是90°)，那么這個(gè)角的頂點(diǎn)軌跡為圓的一部分.圖①圖②如圖①，在⊙O中，若弦AB長(zhǎng)度固定，則弦AB所對(duì)的圓周角都相等.(注意：弦AB的劣弧上也有圓周角，需要根據(jù)題目靈活運(yùn)用)如圖②，若有一固定線段AB及線段AB所對(duì)的∠C大小固定，根據(jù)圓的知識(shí)可知點(diǎn)C不唯一.當(dāng)∠C小于90°，則點(diǎn)C在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)；等于90°，則點(diǎn)C在半圓上運(yùn)動(dòng)；大于90°，則點(diǎn)C在劣弧上運(yùn)動(dòng).針對(duì)演練4.如圖，已知四邊形ABCD.(1)如圖①，在矩形ABCD中，請(qǐng)你在矩形ABCD的邊上畫出使∠APB＝30°的所有點(diǎn)P；(2)如圖②，在矩形ABCD中，請(qǐng)你在矩形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝60°的所有點(diǎn)P；(3)如圖③，在矩形ABCD中，請(qǐng)你在矩形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝45°的所有點(diǎn)P.第4題圖第4題解圖解：(1)如解圖①所示，點(diǎn)P1，P2即為所求；(2)如解圖②所示，點(diǎn)P1、P2、P3即為所求；(3)如解圖③所示，點(diǎn)P1、P2即為所求.模型四四點(diǎn)共圓模型分析1.

如圖①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊，取AB的中點(diǎn)O，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.即共斜邊的兩個(gè)直角三角形，直角頂點(diǎn)在斜邊同側(cè)或異側(cè)，都可得到四點(diǎn)共圓.得到四點(diǎn)共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等，完成角度等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，這是證明角度相等重要的途徑之一.2.

圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，因此遇到四邊形ABCD中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，若滿足其中一組對(duì)角角度之和等于180°，可考慮作它的外接圓解題.如圖③，在四邊形ABCD中，滿足∠ABC＋∠ADC＝180°，可知四邊形ABCD有外接圓⊙O，其圓心O為任意一組鄰邊的垂直平分線的交點(diǎn)(點(diǎn)O為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)).圖③針對(duì)演練第5題圖5.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，O為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥OF，OE、OF分別交AC、BC于點(diǎn)E、F，則EF的最小值為

.5模型五點(diǎn)圓最值模型分析平面內(nèi)一定點(diǎn)D和⊙O上動(dòng)點(diǎn)E的連線中，當(dāng)連線過(guò)圓心O時(shí)，線段DE有最大值和最小值.具體分以下三種情況討論(規(guī)定：OD＝d，⊙O半徑為r)：1.當(dāng)D點(diǎn)在⊙O外時(shí)，d>r，如圖①、②：當(dāng)D、

E、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r，DE的最小值為d－r；2.

當(dāng)D點(diǎn)在⊙O上時(shí)，d＝r，如圖③、④：當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE出現(xiàn)最值，

DE的最大值為d＋r＝2r(即為⊙O的直徑)，DE的最小值為d－r＝0(點(diǎn)D、E重合)；3.若D點(diǎn)在⊙O內(nèi)時(shí)，d<r，如圖⑤、⑥：當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r，DE的最小值為r－d.針對(duì)演練8第6題圖6.已知點(diǎn)O及其外一點(diǎn)C，OC＝5，點(diǎn)A、B分別是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且OA＝4，BC＝3，在平面內(nèi)畫出點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則OB長(zhǎng)的最大值為

，OB長(zhǎng)的最小值為

，AC長(zhǎng)的最大值為

，AC長(zhǎng)的最小值為

，AB長(zhǎng)的最大值為

，AB長(zhǎng)的最小值為

.291120模型六線圓最值模型分析1.如圖，AB為⊙O的一條定弦，點(diǎn)C為圓上一動(dòng)點(diǎn).(1)如圖①，若點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，當(dāng)CH⊥AB且CH過(guò)圓心O時(shí)，線段CH即為點(diǎn)C到弦AB的最大距離，此時(shí)S△ABC的面積最大.(2)如圖②，若點(diǎn)C在劣弧AB上，當(dāng)CH⊥AB且CH的延長(zhǎng)線過(guò)圓心O時(shí)，線段CH即為點(diǎn)C到弦AB的最大距離，此時(shí)S△ABC的面積最大.2.如圖，⊙O與直線l相離，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)圓心O到直線l的距離為d，⊙O的半徑為r，則點(diǎn)P到直線l的最小距離是

(如圖③)，點(diǎn)P到直線l的最大距離是

(如圖④).d－rd＋r針對(duì)訓(xùn)練B7.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是(

)A.1B.