高中數(shù)學統(tǒng)計與概率主線分析

高中數(shù)學統(tǒng)計與概率主線分析湖南省高中數(shù)學骨干教師培訓

高中數(shù)學統(tǒng)計與概率主線分析

主講：肖三杏

第2頁,共62頁，2024年2月25日，星期天提綱一、標準解讀二、教材分析三、教學建議四、解題之道五、互動交流高中數(shù)學統(tǒng)計與概率主線分析第3頁,共62頁，2024年2月25日，星期天一、標準解讀1、基本理念（1）開展數(shù)學建?；顒樱?）體驗數(shù)學有用（3）統(tǒng)計概率：必備常識

(4)與時俱進地認識“雙基”第4頁,共62頁，2024年2月25日，星期天一、標準解讀2、課程設置義務教育階段《義務教育數(shù)學課程標準（實驗）》將“統(tǒng)計與概率”分三個階段學習學段第一學段（1～3年級）第二學段（4～6年級）第三學段（7～9年級）統(tǒng)計與概率·數(shù)據(jù)統(tǒng)計活動初步·不確定現(xiàn)象·簡單數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程·可能性·統(tǒng)計·概率第5頁,共62頁，2024年2月25日，星期天《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》將“統(tǒng)計與概率”分必修3和（文）選修1-2或（理）選修2-3學習高中數(shù)學統(tǒng)計與概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計統(tǒng)計案例概率隨機變量及其分布數(shù)學3第二章隨機抽樣用樣本估計總體變量間的相關關系1-2第一章2-3第三章回歸分析的基本思想及其初步應用獨立性檢驗的基本思想及其初步應用隨機事件的概率古典概型幾何概型離散型隨機變量及其分布二項分布及其應用離散型隨機變量的均值與方差正態(tài)分布數(shù)學3第三章2-3第二章第6頁,共62頁，2024年2月25日，星期天一、標準解讀3、內(nèi)容標準（主要觀點）◆在知識與技能層面上，統(tǒng)計與概率內(nèi)容屬于“了解”和“理解”水平，不要求達到“掌握”水平；◆在過程與方法層面上，統(tǒng)計與概率的學習強調(diào)操作和體驗；◆在情感、態(tài)度與價值觀層面上，注重貼近生活，注重實際問題的解決。第7頁,共62頁，2024年2月25日，星期天一、標準解讀◆統(tǒng)計教學必須通過案例來進行?！舨粦呀y(tǒng)計處理成數(shù)字運算和畫圖表，要引導學生根據(jù)實際問題的需求選擇不同的方法合理地選取樣本，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征。◆注意統(tǒng)計結(jié)果具有隨機性和統(tǒng)計推斷有可能犯錯誤，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異?！魬M量給學生提供一定實踐活動的機會，可結(jié)合數(shù)學建模的活動，選擇一個案例，要求學生親自實踐。第8頁,共62頁，2024年2月25日，星期天一、標準解讀3、內(nèi)容標準（主要觀點）◆對于統(tǒng)計中的概念和統(tǒng)計案例內(nèi)容，應結(jié)合具體問題進行描述性說明和初步了解，對其理論基礎不作要求，不追求嚴格的形式化定義?！艄膭顚W生盡可能使用計算器、計算機等現(xiàn)代技術手段來處理數(shù)據(jù)，進行模擬活動。第9頁,共62頁，2024年2月25日，星期天一、標準解讀3、內(nèi)容標準（主要觀點）◆概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義，正確理解隨機事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，體會或然與必然的數(shù)學思想方法?！艄诺涓判偷慕虒W應讓學生通過實例理解古典概型的特征：實驗結(jié)果的有限性和每一個實驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性。教學中不要把重點和興奮點放在“如何計算”上。第10頁,共62頁，2024年2月25日，星期天一、標準解讀3、內(nèi)容標準（主要觀點）◆研究一個隨機現(xiàn)象，就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率，分布列正是描述了離散隨機變量取值的概率規(guī)律，二項分布和超幾何分布是兩個應用廣泛的概率模型，要求通過實例引入這兩個概率模型，不追求形式化的描述。教學中，應引導學生能利用所學知識解決一些實際問題。第11頁,共62頁，2024年2月25日，星期天高中數(shù)學統(tǒng)計與概率，文科約34課時、25個知識點，理科約46課時、37個知識點

簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣、頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線、莖葉圖、用樣本的頻率分布估計總體分布、樣本的數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、方差）、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征、散點圖、兩個變量的線性相關、回歸直線、最小二乘法、回歸分析、獨立性檢驗、隨機事件、頻率、概率、概率的基本性質(zhì)（互斥事件、互為對立事件）、古典概型、（整數(shù)值）隨機數(shù)的產(chǎn)生、幾何概型、均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生、離散型隨機變量、概率分布列、兩點分布、超幾何分布、條件概率、事件的相互獨立性、獨立重復試驗、二項分布、離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）、離散型隨機變量的方差（標準差）、正態(tài)曲線（正態(tài)分布密度曲線）、正態(tài)分布。第12頁,共62頁，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（一）必修“統(tǒng)計”內(nèi)容分析總體思路：通過實際問題情境，引導學生學習隨機抽樣、用樣本估計總體、線性回歸的基本方法，使他們了解用樣本估計總體及其特征的思想，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異；通過實習作業(yè)，讓學生較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過程，進一步體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。第13頁,共62頁，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（一）必修“統(tǒng)計”內(nèi)容分析主線：從數(shù)據(jù)收集到數(shù)據(jù)分析整理。統(tǒng)計的全過程：確定統(tǒng)計問題→數(shù)據(jù)收集→數(shù)據(jù)整理→數(shù)據(jù)描述→數(shù)據(jù)特征→用樣本估計總體→解決實際問題。

第14頁,共62頁，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（二）選修“統(tǒng)計案例”內(nèi)容分析教科書給出了兩件模型擬合效果的分析工具：殘差分析和指標教科書從殘差分析的角度解釋了的統(tǒng)計意義：越大，模型的擬合效果越好教科書從殘差分析和的角度討論了模型選擇問題，引導學生初步體會模型診斷的思想教科書強調(diào)了用解釋變量（自變量）估計預報變量（因變量）時需要注意的問題，總結(jié)建立回歸模型的基本步驟第15頁,共62頁，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（二）選修“統(tǒng)計案例”內(nèi)容分析獨立性檢驗的基本思想和反證法類似，它們都是假設結(jié)論不成立，反證法的原理是：在否定結(jié)論的假設下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設不成立，于是結(jié)論成立；獨立性檢驗的原理是：在否定結(jié)論的假設下，如果一個與該假設矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個假設不可靠，于是認為結(jié)論在很大程度上是成立的。第16頁,共62頁，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)隨機現(xiàn)象的試驗具有以下特點：①可重復性試驗可以在相同條件下重復進行多次，甚至進行無數(shù)次；②可觀測性每次試驗的所有可能結(jié)果都是明確的、可觀測的，并且試驗的可能結(jié)果有兩個或兩個以上；③隨機性每次試驗結(jié)果是不確定的，在試驗之前無法預先確定究竟出現(xiàn)哪一個結(jié)果。第17頁,共62頁，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（三）必修“概率”內(nèi)容分析（1）利用隨機事件的頻率給出概率的定義與性質(zhì)。（2）通過試驗模擬等方法澄清日常生活中對概率的錯誤認識。給出應用概率解決實際問題的幾個例子，包括用概率檢驗游戲的公平性，概率在決策中的應用，概率在天氣預報中的應用等等。（3）給出兩個概率模型（古典概型和幾何概型）下概率的計算公式。（4）有兩種產(chǎn)生隨機數(shù)的方法，一種是由試驗產(chǎn)生的隨機數(shù)，另一種是利用計算器或計算機產(chǎn)生的（偽）隨機數(shù)，通過模擬的方法估計隨機事件發(fā)生的概率。（5）通過閱讀與思考等欄目加深對隨機現(xiàn)象的理解，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程是逐步深入的，了解概率這門學科在實際中有廣泛的應用。第18頁,共62頁，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（四）選修“隨機變量及其分布”內(nèi)容分析（1）通過簡單的例子，介紹取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念；（2）通過具體實例，介紹超幾何分布模型及其應用；（3）通過具體實例，介紹條件概率和兩個事件相互獨立的概念，在此基礎上介紹二項分布模型及其應用；（4）通過具體實例，介紹離散型隨機變量的均值和方差的含義及其計算公式，這里僅限于取有限值的離散型隨機變量，并解決一些具體問題；（5）通過高爾頓板試驗，引入正態(tài)分布密度曲線，借助圖象介紹正態(tài)分布曲線的特點及其所表示的意義。第19頁,共62頁，2024年2月25日，星期天超幾何分布與二項分布的區(qū)別和聯(lián)系①超幾何分布定義：一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，隨機取出的n件產(chǎn)品中，次品數(shù)x服從超幾何分布，超幾何分布滿足兩個條件：一是抽取的產(chǎn)品不再放回，二是總產(chǎn)品數(shù)量N較小。②二項分布定義：在n次獨立重復試驗中，每次試驗A發(fā)生的概率均為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率，則稱X服從二項分布，記為X~B（n,p）二項分布也滿足兩個條件：一是有放回、獨立重復；二是恰好發(fā)生k次。③當抽取的方式從無放回變?yōu)橛蟹呕鼗蛘呖偖a(chǎn)品數(shù)量N很大時，超幾何分布變?yōu)槎椃植?第20頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量，結(jié)果重量不超過500克的產(chǎn)品有28件，重量超過500克的產(chǎn)品有12件,現(xiàn)從該流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有3件產(chǎn)品的重量超過500克的概率。下面給出該題的兩種解法，請問哪種解法是正確的？為什么？第21頁,共62頁，2024年2月25日，星期天幾何分布將二項分布中的“事件A恰好發(fā)生k次”改為“事件A恰好在第k次發(fā)生”，則P(X=k)=(1-p)k-1p,稱X服從幾何分布。例如，某人有10把形狀大致相同的鑰匙，只有1把鑰匙能打開房門。他每次隨機地取出1把鑰匙開門，試開后放回，問他恰好在第4次打開房門的概率是多少？解：設X表示某人用鑰匙打開房門所需要試開的次數(shù)，則X服從幾何分布。這里p=0.1，∴P(X=4)=(1-0.1)3×0.1=0.0729.第22頁,共62頁，2024年2月25日，星期天三、教學建議（一）通過走進教材領會學習目標（二）通過方法比較提高思維能力（三）通過問題解決突破重點難點（四）通過親身經(jīng)歷獲得數(shù)學體驗第23頁,共62頁，2024年2月25日，星期天三、教學建議我國是世界上第13個貧水國，人均淡水占有量排列世界第109位。（一）通過走進教材領會學習目標章頭圖章引言“走進統(tǒng)計”第24頁,共62頁，2024年2月25日，星期天走進統(tǒng)計一、三個主要問題：①為什么要學統(tǒng)計？②統(tǒng)計將要學習什么？③怎樣學習統(tǒng)計？二、情景引入；問題展示。三、歸納小結(jié)，搭建統(tǒng)計知識框架。第25頁,共62頁，2024年2月25日，星期天走進統(tǒng)計第26頁,共62頁，2024年2月25日，星期天思維與知識

思維與知識，好比植物的根莖與枝葉，離開根莖，枝葉無所依托；好比動物的皮與毛，皮之不存，毛將焉附？相對于知識學習來說，在課堂教學中培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)更重要、更基本、更長遠。第27頁,共62頁，2024年2月25日，星期天三、教學建議（二）通過方法比較提高思維能力甲乙兩選手比賽，假設每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？你對局制長短的設置有何認識？

---人教A版《高中數(shù)學選修2-3》P59B組第1題

第28頁,共62頁，2024年2月25日，星期天設甲獲勝的局數(shù)為X,X服從二項分布。（1）在采用3局2勝制中，事件甲獲勝的概率為(2)在采用5局3勝制中，事件

表示“甲獲勝”，.

甲獲勝的概率為表示“甲獲勝”，第29頁,共62頁，2024年2月25日，星期天設甲在第X局勝出，則（1）在采用3局2勝制中，甲獲勝的概率為(2)在采用5局3勝制中，甲獲勝的概率為

第30頁,共62頁，2024年2月25日，星期天三、教學建議（三）通過問題解決突破重點、難點

“古典概型”教學過程設計及其意圖第31頁,共62頁，2024年2月25日，星期天1、問題驅(qū)動

問題1概率是隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量，由頻率的穩(wěn)定性，我們可以用頻率估計事件的概率。但這種方法耗時多，而且得到的僅是概率的近似值。那么滿足什么條件的隨機試驗可以直接計算事件的概率呢？請舉例說明。問題2在擲硬幣和擲骰子的實驗中，為什么要求硬幣和骰子的質(zhì)地均勻？1、問題驅(qū)動第32頁,共62頁，2024年2月25日，星期天問題3在“擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗”中，結(jié)果只有兩個，即“正面朝上”或“正面朝下”，他們都是隨機事件；在“擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗”中，所有可能的結(jié)果有6種，即出現(xiàn)“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”、“6點”，他們也都是隨機事件。我們把這類隨機事件稱為基本事件。請思考①一個隨機試驗中各個基本事件之間是什么關系？②一個隨機試驗中的隨機事件與基本事件是什么關系？2、模型歸納2、模型歸納第33頁,共62頁，2024年2月25日，星期天問題4擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗，請回答①A=﹛向上的一面的點數(shù)大于3﹜是基本事件嗎？若不是基本事件，那么事件A包含哪些基本事件？②B=﹛向上的一面的點數(shù)是偶數(shù)﹜包含哪些基本事件？2、模型歸納第34頁,共62頁，2024年2月25日，星期天基本事件真的是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件嗎？對于“A=﹛向上的一面的點數(shù)大于3﹜”：如果試驗有六種情況，那么事件A就不是基本事件。如果試驗只有兩種情況（比如可以想象把骰子面上顯示1，2，3點的面涂成黑色，把點數(shù)大于3點的面涂成紅色），那么事件A就是基本事件。第35頁,共62頁，2024年2月25日，星期天問題5同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的面上的點數(shù)，請回答①如何表示這個試驗的所有可能結(jié)果？②所有可能結(jié)果一共有多少個？③所有可能結(jié)果是否都等可能發(fā)生？④事件A=﹛向上的點數(shù)之和是5﹜發(fā)生的概率是多少？2、模型歸納第36頁,共62頁，2024年2月25日，星期天問題6小強認為既然兩個骰子是相同的，類似于（1,2）和（2,1）的結(jié)果應該沒有區(qū)別。試驗的所有可能結(jié)果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，6）共21種，事件“點數(shù)之和是5”包含2個結(jié)果，所以問題5中P(A)=2/21。你認為小強的解法正確嗎？如果錯誤，錯在哪里？2、模型歸納第37頁,共62頁，2024年2月25日，星期天問題7單項選擇題型，一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案?，F(xiàn)假定某考生不會做，他隨機地選擇一個答案，問他答對的概率是多少？3、思維訓練第38頁,共62頁，2024年2月25日，星期天問題8不定項選擇題型，一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一個或多個正確答案。如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇正確的答案?，F(xiàn)假定某考生不會做，在隨機地選擇任何答案都是等可能的情況下，問他答對的概率是多少？3、思維訓練第39頁,共62頁，2024年2月25日，星期天問題9設袋子中有3個紅球，2個黃球，除顏色外無其他區(qū)別，從袋子中不放回地隨機摸出兩個球，求兩個球都是紅球的概率。問題10設袋子中有3個紅球，2個黃球，除顏色外無其他區(qū)別，若從袋子中隨機摸出一個球記下顏色后放回袋子中，再隨機摸出一個球，求兩個球都是紅球的概率。3、思維訓練第40頁,共62頁，2024年2月25日，星期天問題11通過前面的學習，請思考對于一個隨機試驗，如何判斷它是不是古典概型問題？如何求一個古典概型問題中事件發(fā)生的概率？4、反思小結(jié)第41頁,共62頁，2024年2月25日，星期天三、教學建議（四）通過親身經(jīng)歷獲得數(shù)學體驗實習作業(yè)：清楚設計意圖制定活動方案組織活動交流開展成果評價看重過程看重參與看重數(shù)據(jù)的真實性不苛求結(jié)果的準確性第42頁,共62頁，2024年2月25日，星期天參與到實習作業(yè)全過程讓學生的興趣在了解探究任務中產(chǎn)生讓學生的思考在分析真實數(shù)據(jù)中形成讓學生的理解在集體討論過程中加深第43頁,共62頁，2024年2月25日，星期天靈活運用

【例】有一幢樓房共19層，現(xiàn)若選擇其中某一層作為會議室，開會時每層去1人，則會議室設在第幾層時，可使每人所走過的路程最短（每層樓高度相同）？第44頁,共62頁，2024年2月25日，星期天分析：大多數(shù)學生拿到該題首先想到利用等差數(shù)列的前項和公式建立路程與之間的關系，然后求最值，，這樣，我們“希望”會議室所在的樓層即為隨機的分布列如下：

12…19P…

于是，會議室設在第10層為所求。這是一種常規(guī)的思路。如果我們換一個角度思考：會議室設在哪一層是隨機的，而設在任一層樓的概率都為的數(shù)學期望。由題意得會議室所在的樓層第45頁,共62頁，2024年2月25日，星期天第46頁,共62頁，2024年2月25日，星期天高中數(shù)學《題說》……

做之不能以其道，思之不能盡其法，錯之而不能知其意，執(zhí)筆而臨之，曰：“此題難矣！”嗚呼！其真難邪？其真不會做也。第47頁,共62頁，2024年2月25日，星期天四、解題之道“模式識別”是解統(tǒng)計與概率問題的關鍵

第48頁,共62頁，2024年2月25日，星期天2010-2014年高考湖南卷（理）試題分析一：第49頁,共62頁，2024年2月25日，星期天例12012湖南卷理·15第50頁,共62頁，2024年2月25日，星期天2010-2014年高考湖南卷（理）試題分析一：第51頁,共62頁，2024年2月25日，星期天例22013湖南卷理·18第52頁,共62頁，2024年2月25日，星期天2010-2014年高考湖南卷（理）試題分析一：

1、若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生。

2、若A∩B為不可能事件，且A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中有且只有一個發(fā)生。

3、設A，B是兩個事件，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立，其含義是：事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率。

模式三：互斥事件和相互獨立事件的概率第53頁,共62頁，2024年2月25日，星期天“互斥”與“對立”、“互斥”與“獨立”4、區(qū)別與聯(lián)系①對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。②如果事件A和事件B發(fā)生的概率都大于0，那么事件A與事件B：互斥一定不獨立，獨立一定不互斥。③若事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A與事件B互為對立，則P(AUB)=P(A)+P(B)=1④如果事件A與事件B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)

第54頁,共62頁，2024年2月25日，星期天例32014湖南卷理·17第55頁,共62頁，2024年2月25日，星期天2010-2014年高考湖南卷（理）試題分析一：第56頁,共62頁，2024年2月25日，星期天例4