空間向量的數(shù)量積運算6種常見考法歸類（解析版） - 【考點通關】2023-2024學年高二數(shù)學高頻考點與解題策略(人教A版2019選擇性必修第一冊)

專題02空間向量的數(shù)量積運算6種常見考法歸類

三解題策略

i.空間向量的夾角

(1)夾角的定義

B

已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點。，作a=a,OB=b,則乙4。8叫做向量a,的夾角，記

作(a,b).

(2)夾角的范圍

空間任意兩個向量的夾角6的取值范圍是［0,河.特別地，當9=0時，兩向量同向共線；當。=兀時,

7T

兩向量反向共線，所以若。〃》，則(a,b)=0或兀；當〈a,b>=］時，兩向量垂直，記作。J_6.

2.空間向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個非零向量a,b,則⑷|b|cos(a,b)叫做。，一的數(shù)量積,記作〃?力.即。力=|。仙|cos〈a,

b).

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.

(2)常用結(jié)論(a,?為非零向量)

①a_L〃s6=0.

?a-a=\a\\a\cos〈a,a)=|a|2.

③cos〈a,b)=獻

(3)數(shù)量積的運算律

數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律

交換律ab=ba

分配律a(b+c)=ab+ac

思考：(1)若a仍=0,則一定有嗎？

(2)若。方>0,則(a,b)一定是銳角嗎?

［提示］(1)若。仍=0,則不一定有也可能a=0或b=0.

(2)當(a,b>=0時，也有ab>0,故當a為>0時，〈06〉不一定是銳角.

3.投影向量

(1)投影向量

在空間，向量。向向量6投影，可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得

到與向量力共線的向量c,c=|a|cos<o,b)則向量c稱為向量。在向量分上的投影向量，同理向量力

在向量。上的投影向量是出|cos〈Q,b｝高

(2)向量Q在平面夕上的投影向量

向量”向平面￡投影，就是分別由向量a的起點A和終點8作平面夕的垂線，垂足分別為4,B',得

到向量加，，則向量加啾為向量a在平面/?上的投影向量.這時，向量。，泥，的夾角就是向量a所在直線

與平面夕所成的角.

［提醒］(1)兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負數(shù)或零；

⑵向量數(shù)量積的運算不滿足消去律、作商和乘法的結(jié)合律，即ab—ac^>b=c,ab=k^b=^,(ab)c

=a-("c)都不成立.

4.空間向量夾角定義的三個關注點

(1)任意兩個空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面向量夾角的定義一樣.

(2)作空間兩個向量夾角時要把兩個向量的起點放在一起.

(3)兩個空間向量的夾角是唯一的，且〈a,b)=(b,a).

5.空間向量的夾角與向量位置關系

(1)(.a,b)=0時，向量“，b方向相同.

(2)〈。，b〉=兀時，向量。方向相反.

7T

(3)〈a,b)=1時，向量a-L6.

6.對空間向量的數(shù)量積的兩點說明

(1)運算結(jié)果：空間向量數(shù)量積的結(jié)果是個實數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余

弦值的乘積.

(2)運算符“?”：其中〃為中的圓點是數(shù)量積運算的符號，不能省略也不能用“X”代替.

7.對空間向量數(shù)量積性質(zhì)的三點說明

(1)向量模的應用：式子團=而可以解決有關空間長度問題.

(2)向量夾角的應用：空間中兩條直線(特別是兩條異面直線)的夾角，可以通過求出這兩個向量的夾角而

求得.

(3)數(shù)量積的應用：兩非零向量a,b,若a協(xié)=0則兩向量對應的直線相互垂直.

8.空間向量數(shù)量積運算的兩種方法

(1)利用定義：利用a3=|a||b|cos〈a,b)并結(jié)合運算律進行計算.

(2)利用圖形：計算兩個向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量

積公式進行運算.

9.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟

(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.

(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.

(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.

(4)代入公式步|cos[a,b)求解.

10.用向量法證明垂直關系的步驟

(1)把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)用已知向量表示所證向量；

(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運算律證明數(shù)量積為0；

(4)將向量問題回歸到幾何問題.

11.利用空間向量解決垂直問題的方法

(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0

來判斷兩直線是否垂直.

(2)證明與空間向量a,b,c有關的向量m,n垂直的方法：先用向量a,b,c表示向量m,n,再求解

向量m,n的數(shù)量積判斷是否垂直.

12.利用向量數(shù)量積求夾角問題的思路

(1)求兩個向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意

向量夾角的范圍；②先求。b,再利用公式cos〈a,b)=5后求出cos(a,b)的值，最后確定〈a,b)的

值.

圖示如下:

(2)求兩條異面直線所成的角，步驟如下：

①根據(jù)題設條件在所求的異面直線上取兩個向量(即直線的方向向量)；

②將異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；

③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大?。?/p>

④異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值時應將余弦值加上絕對值,

從而求出異面直線所成的角的大小.

注：求異面直線所成的角(或余弦值)時，易忽視向量的夾角與異面直線所成角的區(qū)別.

13.求兩點間的距離或線段長的方法

(1)將相應線段用向量表示，通過向量運算來求對應向量的模.

(2)因為°“=同2,所以同=[菽，這是利用向量解決距離問題的基本公式.另外，該公式還可以推廣為

\a±b\—y](a+b)2--\Ja2±2a-b+b2.

(3)可用|a-e|=|a||cos"(e為單位向量，8為a,e的夾角)來求一個向量在另一個向量所在直線上的投影.

14.利用數(shù)量積解決立體幾何問題

空間向量數(shù)量積的性質(zhì)可以看作其定義的引申和拓展，空間向量數(shù)量積與向量的模和夾角有關，可以

以它為工具，解決立體幾何中與夾角和距離有關的問題.

常有以下應用：

(1)求空間兩點間的距離或線段長度轉(zhuǎn)化為求相應向量的模；

(2)求空間兩條直線的夾角轉(zhuǎn)化為求兩條直線方向向量的夾角，但要注意空間兩條直線的夾角與方向向

量的夾角的范圍限制；

(3)和垂直相關的問題可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零的相關問題.

雷'高頻考點

考點一空間向量數(shù)量積的概念辨析(二)利用空間向量數(shù)量積證明垂直

考點二空間向量數(shù)量積的運算考點四利用空間向量數(shù)量積解決夾角問題

考點三利用空間向量數(shù)量積解決垂直問題考點五利用空間向量數(shù)量積解決距離問題

(-)已知垂直求參數(shù)考點六利用空間向量數(shù)量積解決投影向量問題

第E看

考點精析

考點一空間向量數(shù)量積的概念辨析

1.（2023?江蘇?高二專題練習）在正四面體ABC。中，BC與CD的夾角等于（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

【答案】D

【分析】根據(jù)正三角內(nèi)角為60°求解.

【詳解】由正四面體每個面都是正三角形可知，

<BC,CD>=180°-<CB,CD>=180°-60°=l20°

故選：D

2.（20223?高二課時練習）如圖，已知正方體AfiCD-A'B'CZ）',設AB=n，AD=h，A4，=c，則（48,8'。'）=

nc?！溉?2萬

A.-B.-C.-D.—

6323

【答案】D

【分析】利用A'8-B'D'=^A'A+A孫(B'A'+A。')求出AB?8'。'=(A'A+(B'A'+A。')，再求出

.ABB，D'

,則根據(jù)cos(A'8,B7X)=西西可得答案.

【詳解】設正方體的棱長為1,

A'B-B'D'=(A'A+AB^B'A'+A'。')=A'4?B'A'+A'AA'D'+AB-B'A!+AB-A'D'

因為A'A_LB'A',A'A1A'D',AB±A'D'

乂IAB卜VF+F=0MM=+F=0,

cos(/VR,&D)=A?B方1

,’8'8'必2,

又句,

故選：D.

3.（2023春?高二課時練習）如圖，在正方體ABC。一AEC。中，求向量4c分別與向量A?，BA'AD-

CD18'。'的夾角?

【答案】45°；135°：60°；120°；90°

【分析】由圖形特征求向量夾角.

【詳解】連接B。，則在正方體A8CQ—AEC7y中，AC1BD,ZBAC=45°,AC=AD'=CD',

所以(AC,A'B')=(AC,AB)=45°,

AC,B'A')=180°-(AC,AB)=135°,

(AC,A￡?)=N￡MC=60。，

(AC,CD)=120。，

(AC,B'D)=(AC,BD)=90°.

4.（20223?高二課時練習）已知a,b是空間向量，根據(jù)下列各條件分別求也,3：

(1)a-b=-\a\\b\；

(2)\a\=\b\=\a-b\；

(3)\a\=]b\=\a+b\；

(4)\a+b\=\a-b\.

【答案】（1）〈凡力=兀

TT

(2)〈。]〉=]

2兀

(3)<?^)=y

(4)〈”,歷

【分析】(1)利用空面向量的余弦夾角公式進行求解；(2)根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則計算出cos〈a,6〉=；,

進而求出夾角；(3)根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則計算出cos〈a/〉=-g,進而求出夾角；(4)根據(jù)向量數(shù)量

積運算法則計算出°力=0，得到夾角.

【詳解】(1)cos{a,b)=-a-.-=-1,<a,i)e[0,7tl,故〈°,6〉=兀

(2)因為|a|=|6|=|a-b|,所以-彳4小雙出切+忖,故cos〈a,力=g,因為力e[0,兀],所以

〈”,力=]

⑶因為|a|=U"=l“+/”，所以|。+6『=,『+2忖?陣0$(0,6〉+，，故8$〈4,3=-3，因為〈〃向€[0,可，所

以位為=年

(4)|a+'H，兩邊平方得:忖+2a包+忖=忖-2/6+忖~,故￡力=0,故2_LB,因為位，〉?0,可,

所以3,力=]

5.(2023春?高二課時練習)設“，6，c都是非零空間向量，則下列等式不一定正確的是()

A.(a+人)+C=a+(b+C)

B.+/7j-c=a-c+b-c

C.(a/Jc=(/?.c).a

D.(?+/>)-(a+c)=|?|2+[^b+c^-a+b-c

【答案】C

【分析】本題考查空間向量加減法和數(shù)量積的運算律，根據(jù)運算律判斷即可.

【詳解】由向量加法的結(jié)合律知A項正確；由向量數(shù)量積的運算律知B項、D項正確；C項若d,C不共

線且a,6,6,c不垂直，則(a?6)?c=MWcos(a,6>cx?c>a=M|dcosk，cba,故C不一定正確.

故選：C.

6.（20223?高二課時練習）判斷正誤

（1）向量AB與C￡?的夾角等于向量AB與DC的夾角.（）

（2）若〃力=0，則。=0或6=。.（）

（3）對于非零向量°,b，〈”,切與〈a,-力相等.（）

（4）a-b=b-c>且6=0，則a=c.（）

（5）若a，&均為非零向量，則a-b=|q||b|是“與/，共線的充要條件.（）

【答案】XXXXX

【詳解】（1）向量4B與CD的夾角與向量4B與OC的夾角互補，錯誤；

⑵比如a_L6，錯誤；

（3）由非零向量“，人〈〃力〉與〈〃,_力互補，錯誤：

（4）a,c不一定相等，錯誤;

（5）若人均為非零向量，ab=\a^b\,則〈“涉〉=0,

若a與6共線，則〈a,b〉=0或"，錯誤.

考點二空間向量數(shù)量積的運算

7.（2023春?江蘇徐州?高二徐州高級中學?？计谥校┰诶忾L為1的正方體A8C￡>-AaGA中，用為C￡上

任意一點，則用4出0=（）

A.-V2B.-1C.1D.72

【答案】B

［分析］根據(jù)空間向量的線性運算法則可得AM=MC+CB+CO，再根據(jù)數(shù)量積的運算律和運算公式結(jié)合圖

形求

【詳解】由圖形可得MA=MC+CA=MC+CB+CD，

所以M4?8C=（MC+C3+C￡>）?KG=MC?B?+CB-B,C,+CD-,

由正方體性質(zhì)可得MC±B?,CD14G,所以用。4G=0,co-4G=0,

所以,

乂|CB卜1,,G卜1，CB與B￡方向相反,

所以M4-4G=-!■

故選：B.

8.（2023,江蘇?高二專題練習）設正四面體A-BCD的棱長為2,E,尸分別是BC,AO的中點，則

的值為()

A

R

A.1B.73

C.2D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的線性運算以及數(shù)量積的定義即可求解.

【詳解】依題意，由

網(wǎng)=圖=同=2,<AB,AD>=<AC,AD>=60,

^AB-AD=AC-AD=^AB^AD^cos<AB,AD>=2x2xg=2,

11.1

所以AE-A尸=—(AB+AC>(-AC)=-(AB-AO+AC-AZ))

224

=^-[|AB||AD|cos<AB,AZ)>+|AC|網(wǎng)cos<AC,AD>]

=-(2+2)=l.

4

故選:A.

9.（2023春?高二課時練習）如圖所示，已知正四面體OA8C的棱長為1,點￡尸分別是。4,。。的中點.求

下列向量的數(shù)量積:

WOAOB

(2)EF-CB

⑶(OA+O6)(C4+C8)

【答案】⑴3

⑵-;

(3)1

【分析】（1）正四面體的每個面均為等邊三角形，夾角為60。，再結(jié)合空:間向量數(shù)量積的運算法則，得解;

（2）由EF=gAC,代入運算，即可得解:

（3）取43的中點Z）,連接。O,DC,可推出（OA+O8A（CA+CB）=4OOC￡>,再在一OCD中，利用余弦

定理求出cosN8C的值，從而得解.

【詳解】(1)OAOB=\OA[\OB\cosNAOB=Ixlxcos60°=—

2

(2)EFCB=-ACCB=-xlxlxcosl20°=-

224

（3）取AB的中點￡）,連接。。，DC.則04+08=2。。，CA+CB=2CD，

在工08中，DO=DC=—,OC=1,

2

+(9-i

由余弦定理知，COSN0DC=￥

2—若

22

所以(04+0或(6+0?)=40。。=4乂且乂正'』=1.

223

o

10.（2023春?江蘇鹽城?高二江蘇省響水中學?？茧A段練習）平行六面體ABC。-A8G，中，以頂點A為端

點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60,求3R-AC的值是.

【答案】1

【分析】選定基底，根據(jù)空間向量的加減運算表示出30,AC,再根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運算，即可求得

答案.

【詳解】由題意得8￡>|=帖+4。+￡）￡）1=40-43+/141,AC=AB+AD，

則叫.AC=(AO-A8+A4,).(A8+A。)=AO?一而+的?A8+9?A。

=l-l+lxlxcos60+1x1xcos60=1,

故答案為：1.

11.（2023春?陜西西安,高一長安一中?？计谀┰谡忮F尸-A3c中，。是,ABC的中心，PA=AB=2,

則PO（PA+PB）等于（）

A.9B.巫C.晅D.3

9333

【答案】D

【分析】將承轉(zhuǎn)化為「。+。4，方轉(zhuǎn)化為尸。+O巨，由三棱錐是正三棱錐可知POJ_A。，POLBO,即

可將尸0-E4轉(zhuǎn)化為I地|2，PO/A轉(zhuǎn)化為|P0|2,結(jié)合勾股定理即可求解.

【詳解】?'P—ABC為正三棱椎，。為認BC的中心,

:.P01平面ABC,AO、80u平面ABC,

：.POLAO,POLBO.

△ABC是等邊三角形,

.II1\AB\273,,1AB2G

..POOA=Q,\AO\=——!~=,POOB=（）,\BO\=——!~L=」￡

112sin603112sin603

222

故尸（？.PA=P0?（PO+OA）=|PO|=|PA|-|OA|=4-1=1

POPB=PO（PO+OB）=|PO|2=|PB2|-|OB|2=4-^=1,

則尸0（尸4+28）=/>0,4+/>0尸3=個.

故選：D.

P

12.(20223?高二課時練習)如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，A8是一條側(cè)棱，與(i=l，2,,8)

是上底面上其余的八個點，則片(i=l,2,,8)的不同值的個數(shù)為()

C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的加法分解向量，結(jié)合線面位置關系，利用數(shù)量積性質(zhì)，可得答案.

L

【詳解】ABAPI=AB\AB+BP^=AB+ABBPI.

因為AB/平面即[乙，所以AB_L電，所以g期=0,所以=|何+0=1.

則A"A/i=l,2,,8）的不同值的個數(shù)為1.

故選：A.

13.（2023?江蘇?高二專題練習）在三棱錐O-43C中，ZAOB=ZAOC=ZBOC=60,OB=OC=2OA=2,E

為OC的中點，則AE8c等于（）

A.-1B.0C.ID.3

【答案】C

【分析】由題意可得AE=[OC-OA,BC=OC-OB,再由數(shù)量積的運算律代入求解即可.

【詳解】因為NAOB=ZAOC=NBOC=60,OB=OC=2OA=2,

所以OC-O8=|oC,Oqcos6（）o=2x2xg=2,

07\OB=|（?/l||OB|cos600=lx2xl=l,

OA<9C=|OA|-|OC|COS60°=1X2X1=1,

因為AE=goC-OA,BC=OC-OB,

AEBC=\^OC-OA^（OC-OB^=^OC-^OCOB-OAOC+OAOB

=：lx4--x2-l+l=2-l-l+l=l.

22

故選：C.

14.（2023?陜西西安??？寄M預測）已知點P在棱長為2的正方體A8CO-A8cA的表面上運動，則P4P8

的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】取AB中點。，連接P。，利用向量的線性運算及數(shù)量積的運算性質(zhì)可得.

【詳解】取AB中點。，連接PO,如圖,

!)IIJP4PB=(PO+04MPO+OB)=POLOA2=P02-1,

當P在正方體表面上運動時，運動到R或G處時，尸。最大,

222

所以PoL=DtD+DA+AO=9.

所以PA?尸8的最大值為8.

故選：C

15.(20223秋?江西?高二校聯(lián)考階段練習)如圖，球。為長方體ABCO-AMGR內(nèi)能放入的體積最大的球，

EF是球0的一條直徑，P為該長方體表面上的動點，且A4,=248=24。=4,則PE.PF的最大值為.

【答案】10

【分析】根據(jù)空間向量的加法運算和數(shù)量積的運算律求解.

【詳解】根據(jù)題意，球。的半徑為1,

…_e..一.-,，2

PEPF=(PO+OE)?(PO+OF)=PO~+POOF

.2.2

+POOE+OEOF=PO'+OEOF=PO~-\,

當球。與平面A與GR相切，點尸為四邊形"8頂點時,

取得最大值,所以|叫-14“1-1=10,

故答案為:1().

考點三利用空間向量數(shù)量積解決垂直問題

（-）已知垂直求參數(shù)

16.（2023?全國?高一專題練習）在空間，已知q,6為單位向量，且q，/，若。=2q+3e2,a=ke[-4e2,

atb，則實數(shù)2的值為（）

A.-6B.6

C.3D.-3

【答案】B

（分析】由a和匕的數(shù)量積為0,解出k的值.

【詳解】由題意可得〃力=0，//=（）,同=同=1,

所以（2q+招）?（如一他心。，即24—12=0,得k=6.

故選：B.

17.（20223?高二課時練習）已知。，匕是異面直線，且。_L6,e_e2分別為直線明匕上的單位向量，且

m-2et+3e2,n-ke}-4e2,mln>則實數(shù)k的值為（）

A.-6B.1C.3D.-3

【答案】B

【分析】根據(jù)%，得到《仁=0,再根據(jù)相，〃，列出方程，即可求解.

【詳解】由題意，異面直線a,方，且。_L力，e；,02分別為直線°力上的單位向量，所以'?6=（）,

因為,〃_L〃，可得"〃=0，即（2q一4%）=。，

可得2立2+（34一8鳩4-12622=0所以兼-12=0,解得左=6.

故選：B.

18.（20223秋?高二課時練習）已知a、b是相互垂直的異面直線，小6分別為取自直線。、人上的單位向量，

^d=2el+3e2,b=ke]—4e2,akb?則實數(shù)攵的值為（）.

A.-6B.6C.3D.-3

【答案】B

【分析】由己知得q,e2,人結(jié)合向量的數(shù)量積運算即可求;HZ的值.

【詳解】因為〃、b是異面直線，且公1分別為取自直線。、。上的單位向量，

所以耳,有qe2=0

又4=2%+3?2，b=ke]—4e2,aVh,

得1為=0,即（2q+3電）.（攵6-4色）=0，

有2攵一12二0,所以上6.

故選：B

19.（20223秋?浙江?高二於潛中學校聯(lián)考期中）在如圖所示的平行六面體MCO-AH'C。中，已知

1,,,UUUUUUUU,.

AB=AA^AD>ABAD=ZBAA'=ZDAA'=60，BM=^BC,N為C'D上■一點、，且D'N=AD'C'，若DM上AN,

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】設AB=a,AO=b,A4'=c，

貝IJAN=AA'+A'D'+D'N=AA'+AD+AD'C=AA'+AD+AAB=Aa+h+c.

444

DM=DC+CM=AB+-CB=AB——AD=a——b,

555

AN?力用=(/ta+/，+c){a-g/7)=0,

-244-24

A,ci—九?a?b+a?b----b+c?a------c,b=0,

555

設AB=A4=AO=m,ZBAD=ZBAA,=ZDAA,=60,

匚二*>4.24221421八

)才以4?，療^rnr—FW---m~+m----------?—=0,

5225252

解得2=(,

故選：B

(-)利用空間向量數(shù)量積證明垂直

20.(2023?北京?高三強基計劃)已知空間有A,B,C,。四個點，滿足AC/3。，空間中還有

四點，滿足A3'=AB,A〃=AO,8'C'=BC,CZ>'=C￡>,求證：A'C'IB'D'.

【答案】證明見解析.

【分析】利用空間向量的數(shù)量積可證明A'C'L377.

【詳解】根據(jù)題意，^ACLBD=>AC(AD-AB)=()^ACAD=ACAB,

根據(jù)余弦定理，AC2+Alf-CI)=AB2+AC2-BC2=>AB2+CD2=AD2+BC2'

從而AB'2+C'D'2=AD'2+B'C21

故A'B'2-AD'1=B'C'1-CD'1即-AD'~=B'C'2-C'D'，

D'B'(A'B'+A'D'+B'C-C'D']=0,

A'C'-B'b'=0=>A'C'lB'D'

命題得證.

21.(2023春?高二課時練習)已知：如圖，。8是平面a的斜線，。為斜足，ABVa,A為垂足，CDua,

且COLQ4.求證：CDLOB.

【答案】證明見解析

【分析】要證CDLOB,只要證a?J_08，即證C￡>.08=0,結(jié)合空間向量分析運算.

【詳解】因為CDLOA,所以CDQ4=0，

因為AB_La,CDua,所以ABLCO,CDAB=0.

又OA+AB=OB，所以COO8=C￡>(OA+A3)=CDOA+COAB=0,

故CO_LO8.

22.(20223秋?重慶九龍坡?高二重慶實驗外國語學校?？计谀?如圖，已知平行六面體ABCD-A4Gp中,

底面ABC￡＞是邊長為1的菱形，CC,=2,“CB=NBCD="CD=60

(1)求線段CA的長；

(2)求證：CA1B.O,.

【答案】(i)VH

(2)證明見解析

【分析】(I)CAt=CD+CB+CC],結(jié)合向量數(shù)量積運算，求模即可.

(2)BR=-CB+CD,由向量數(shù)量積關于垂直的表示即可判斷.

【詳解】⑴設CD=a,CB=6,Ct；=c,則卜卜忖=1,口=2,

VZC.CB=ZBCD=ZC.CD=60,則a?ch?c2創(chuàng)cos60?1,a?b1創(chuàng)cos60?

VCA,=CD+CB+CCt^a+b+c,：.

故線段CA的長為而.

(2)證明：VBtDt=BD=-CB+CD=a-h,：.

11

CA、-BQ=(a+b+c^-(a-h^=a-b-b-c+a-c=\-\----1----=0.

22

故

23.(2023春?江蘇常州?高二常州市第一中學?？茧A段練習)平行六面體A8CD-A4GA的底面ABCD是菱

CD

形，且/6(78=/購。。=/8。。=60。.當后的值為時，能使AC_L平面GBD

【答案】1

CD

【分析】設k=x，x>。，cc,=l,則CO=x,由AC_L平面GB。，可得所以

uuuuuuutun,air,tunturuuuur

/\CC1D=0,即G。-一cr>~+GC-AO+CDAO=0，根據(jù)向量的數(shù)量積得3/—x—2=0,求解即可.

【詳解】解：如圖所示:

因為ACJ?平面G8。，

GB,CQU平面GBQ,所以AC，C|B，AC，G。，

ULKMlUUUUUUUUUUUUUUUUUUUULUUUUUUUCLUl

CjZ)=CjC+CD，AyC=+0G+CJC=AD4-DC+C(C,

UUUUUUUUUUUUUUUUUUULUULU

由AC?GO=0,得(AQ+DC+GC)(GC+CQ)=O,

iur2tui2uuiinturuiruuir

即G。-。。“+”4。+8仞=。，

LULUuirturuirry

又因為GCAO+C?AO=1-X?COS60Q+X-”COS(180°—6()O)=5-E，

y一無2

則有1一3+=0,即3f7—2=0,

2

2

解得x=l或x=-((舍去)，

因此當黑=1時，能使AC，平面GBZ).

故答案為：1

考點四利用空間向量數(shù)量積解決夾角問題

24.(2023?江蘇?高二專題練習)已知空間向量.，6，何=1,忖=夜，且〃_匕與°垂直，則0與6的夾角

為()

A.60B.30C.135D.45

【答案】D

【分析】根據(jù)已知可得?-6”=0,根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求出cos(a,6)=等，進而求出結(jié)果.

【詳解】因為a-b與一垂直，所以(a-b>a=0,

即m二,『_口.MCOS（a,^=1-5/2cosG，f=0,

所以COS<〃,/?）=

rr

又0<（?,*）<180,所以卜力）=45".

故選：D.

25.（20223秋?山東臨沂?高二統(tǒng)考期中）四面體A8C￡>中，AC=AD^2AB=2,ZBAD-60°,A3C￡>=2,

則NBAC=（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得

ABCD=AB（AD-AC）,由數(shù)量積公式計算即可.

【詳解】由題知，AC=AD=2AB=2,ZBAD=60°

所以

ABCD=AB（AD-AC）=ABAD-ABAC=\AB\\AD\COSZBAD-\AB\\AC\COSZBAC=2,

所以1?2cos60°-1?2cosABAC=2,解得ZBAC=120°,

故選：C

26.（2023?全國?高二專題練習）空間四邊形。WC中，OB=OC,ZAOBZAOC=^,則cos（OA,BC）的

值是（）

A.0B.C.JD.—

222

【答案】A

【分析】根據(jù)向量關系可得。4-8。=。4-（。。一。8）,再化簡計算求得OA-BC=0即可求出.

【詳解】因為。A8C=0A（。。-08）=0A0C-0A0B

=|（?A|?|（?c|.cos￡-畫?|（?B|.COS￡

因為O8=OC,所以O4.3C=0,

所以c°s3,5C）=氤后=0,

故選：A.

27.（2023?全國?高二專題練習）平行六面體A5C。—44GA,ABAD=ZBAA.=AA,AD=0,

AB=AD=AAi=1,若AC,=2,則cos0=.

【答案】I

6

【分析】由幾何體中線段對應向量的數(shù)量關系有A￡=45+M+AB,應用向量數(shù)量積的運算律、定義列

方程即可求cos。.

如上圖知：A￡=AD+A4,+AB，

2222

所以A￡=M+A<+A3+2AD^+2ADAB+2ADAA,=3+6COS/9=4,

故COS6=L

6

故答案為：I

0

28.（2023春?甘肅金昌?高二永昌縣第一高級中學?？计谥校┤鐖D,在平行六面體ABCD-AgCQ中，AB=2,

AD=2>AA|=2,ABAA}=Z.DAA}=6(）°,ABAD=90°,則8G與CA,所成角的余弦值為（）

ATYC.一正D.與

44

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和向量的數(shù)量積的定義即可求解.

【詳解】設A8=a,AD=b，M=c,

因為a也c?向量不共面，故｛〃也4可構(gòu)成空間的一組基底，

結(jié)合卜卜2,|/?|=2,卜|=2,ZBAAi=ADAA^=60°,ZBAD=90°,

所以。?匕=0，ac=2x2x—=2,b,c=2x2x-=2,

貝ijBC]=b+c,C\=-a-b+c,

可得BC}-CAy=(b+c).^—a—b+c)=_a.b—ac-b—b?c+cb+c

=0—2—4+4=一2,

8C|?CA__2V3

所以cos（BG，CA）=

\BC^CA,\~2yf3x2~6

乂因為異面直線所成角的范圍是（0,^

所以即與室所成角的余弦值為正.

6

故選：B.

29.（2023?江蘇?高二專題練習）如圖：正三棱錐ABCD中，E尸分別在棱A&AO±,AE:EB=AF:FD=l:2,

且尸=0，則N54C的余弦值為.

11

【分析】設㈤。=/由AE:E8=AF:fD=l:2可得==乂CEB戶=0，得

3

（CA+AE）（BA+AF）^O,利用數(shù)量積的運算律可得cos6=：

【詳解】正三棱錐A3CD中，設N54C="且側(cè)棱長相等，

因為A￡:￡B=AF:￡0=1:2,

所以AE=gAB,AF=：A。，又CEB/=0，

所以（CA+4E）-（B4+AF）=0,

.-.CABA+CAAF+AEBA+AEAF=O

.■.|CA|x|BA|cos6>+|G4|xl|A￡>|cos（7t-（9）--|AB|x|BA|+-|AB|xi|AZj|cos^=0

3333

艮|Jcos。一qcose—，+gcos夕=0,

33

解得cosO=,,即N84C的余弦值為

3

故答案為：—

30.（20223秋?廣東江門?高二江門市棠下中學?？茧A段練習）棱長為2的正方體中，E,尸分別是。R,DB

的中點，G在棱C。上，且CG=：CD,"是C?的中點.

⑴求cos（EF，CG）.

⑵求出的長.

【答案】（1）回

15

⑵叵

3

【分析】⑴將麗分別用以DC,皿表示,再根據(jù)數(shù)量積的運算律分別求出同,|C4麗再

根據(jù)c°s（EF，GG1向前

即可得解;

（2）將尸”用/%,DC即表示，再根據(jù)數(shù)量積的運算律即可得解.

【詳解】（1）由題意,

11/

EF=ED+DF=--DDt+-(DA+

C.G=C,C+CG=-DD,--DC,

3

則網(wǎng)=JOR++￡>C

1/2~22

=-^DDx+OA+OC-2DD,-DA-2D￡>,-DC+2DC-DA

=—J4+4+4=>/3,

=卜叫℃）==當

EFCfi=_gOQ+；(DA+OCj].(_￡>2_gOC)

121111124

=-DD,+-DD,DC——DD,■DA——DA-DC——DD,■DC——DC=-,

2162162163

4

所以cos(EF,CtG)==——^-7==—.

3

(2)FH=FB+BC+CCt+CtH=^DA+DC)-DA+DDt+；CQ

=g(￡M+DC)-OA+D￡)1+；(-￡)q-；OC)

=-^DA+^DC+^DDt,

所以kM=J\--DA+-DC+-DD.

2321

”II2+1嚴工21產(chǎn)--1產(chǎn).-I產(chǎn)皿+|嚴”

所以尸，的長為叵.

3

TT

31.（20223秋?河南洛陽?高二校聯(lián)考階段練習）已知不共面的三個向量〃,6,c都是單位向量，且夾角都是

則向量a-6-c和b的夾角為（）

兀C.生5TT

A.B.-D.

744

【答案】c

【分析】根據(jù)題意計算得卜-。-4=血，（。-6-。力=-1,進而計算夾角即可得答案.

【詳解】解：由題意，得忖=慟=卜|=1,〃,。=4,。=6。=；,

所以,一/_,=J（a-〃-c）2=\la+b+c1-2a-b-2a-c+2b-c=>/2，

（a-h-c^-b=a-b-b-b-c=-\

\a-b-c\-b_iJ2

設向量a-〃-c和b的夾角為6，則cosdM'j----------n-r=-7=—=--—,

|a-&-c|.|Z?|V2xl2

又問0,司，所以。=手

故選：C.

32.（2023秋?貴州銅仁?高三統(tǒng)考期末）在三維空間中，三個非零向量OAO&OC滿足

OA±OB,OB1OC,OC±OA,則.A5C是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.直角或銳角三角形

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件推出48.AC>0,得NC4B為銳角.同理可得ZABGZBC4也為銳角.由此可得答案.

【詳解】因為OAJLOB,O31OC,OC1OA，

所以。4。8=0,。3"=0,00。4=0,

ABAC=(OB-OA)■(OC-OA)

2、

=OBOC-OAOB-OCOA+OA=|OA/>0,

ABAC

所以cos/CA3=>0

\AB\^\AC\

即知/CAB為銳角.同理可知ZA8CNBC4也為銳角.

故是銳角三角形.

故選：A.

33.（2023春?山東淄博?高一山東省淄博實驗中學?？茧A段練習）已知空間向量詢』=訓=1,（謫=60。，則

使向量q+/lb與義“-2b的夾角為鈍角的實數(shù)幾的取值范圍是.

【答案】(-1-石,7+6)

【分析】先利用空間向量的數(shù)量積運算性質(zhì)求得3+孫(羽-2刀，卜+同，2d關于4的表達式,

再由兩向量夾角為鈍角得到關于2的不等式組，解之即可得解.

【詳解】因為卜卜2,啊=1,〈感〉=60。，

所以〃/=卜卜忖8$(<7,/?)=2*1、；=1,a=|a|"=4,=|ft|'=1,

Ak(a+Ab)■(2?-lb)=Aa-2^a-b—2A.b=42.+—2^—2A.=A-+2A—2,

\ci+Ab\=ci+24。?/?+2"/?=A,+22+4,

,。-2目~=A2a~-44〃包+4月=422-42+4=4(22-2+1),

因為向量Q+"與彳〃-2b的夾角為鈍角，

(a+4.)?(丸4—2.)<0(?+/iZ?)-(2(7-2Z?)<0

cosa+Ab,Aa-2b^-1*(〃+勸)-2/7)工一%+明卜〃一24

>+2A-2<0

則[幾2+2/_2r-2&+2/1+4.力2一彳+1'

解?,-1—1—>/3<A<—1+^3?U|JAG(―1—\/3,—1+?x/^).

故答案為：(-1-瓜-1+6).

考點五利用空間向量數(shù)量積解決距離問題

34.(2004?全國?高考真題)已知d,〃均為空間單位向量，它們的夾角為60。，那么k+3可等于()