新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教案：8-6-3平面與平面垂直 教案

8.6.3平面與平面垂直

課題平面與平面的垂直單元第八單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二

本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面垂直，由生活實(shí)際立體圖形導(dǎo)入，進(jìn)而引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。

教材

分析

教學(xué)1.數(shù)學(xué)抽象：通過(guò)將實(shí)際物體抽象成空間圖形并觀察平面與平面垂直關(guān)系。

目標(biāo)2.邏輯推理：通過(guò)例題和練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實(shí)際的。

與核3.數(shù)學(xué)建模：本節(jié)重點(diǎn)是數(shù)學(xué)中的形在講解時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生立體感及邏輯推理能力，有利

心素于數(shù)學(xué)建模中推理能力。

養(yǎng)4.空間想象：本節(jié)重點(diǎn)是考查學(xué)生空間想象能力。

重點(diǎn)平面垂直判定、二面角、面面垂直性質(zhì)

難點(diǎn)平面垂直判定、二面角、面面垂直性質(zhì)

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課豎電線(xiàn)桿時(shí)，電線(xiàn)桿所在的直線(xiàn)與地面應(yīng)滿(mǎn)足怎樣學(xué)生思考問(wèn)利用生活實(shí)際引

的位置呢？為了讓一面墻砌的穩(wěn)固，不易倒塌，不

易倒塌，墻面所在的平面與地面又應(yīng)該滿(mǎn)足怎樣的題，引出本節(jié)出本節(jié)新課內(nèi)

位置關(guān)系呢？新課內(nèi)容。容。

講授新課1.二面角根據(jù)實(shí)例觀通過(guò)具體立體圖

定義從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖察空間中的形體會(huì)面面垂直

形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，每面面垂直

個(gè)半平面叫做二面角的面。

記法

棱為1,兩個(gè)面分別為a、B的二面角記作a-1-B。

2.思考：二面角的平面角的大小，與角的頂點(diǎn)在

棱上的位置有關(guān)嗎，為什么？

答：無(wú)關(guān).如圖，根據(jù)等角定理可知，ZAOB=ZA,

O'B',即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位

置無(wú)關(guān)，只與二面角的大小有關(guān).

給出二面角培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形

3.二面角的平面角的特點(diǎn)：特點(diǎn)結(jié)合思想

(1)角的頂點(diǎn)在二面角的棱上

(2)角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)

(3)角的兩邊都與棱垂直

4.例一：已知，如圖所示銳二面角a-1-B,A為面

a內(nèi)一點(diǎn)，A到B的距離為2,到1的距離為4.求

二面角a-1-B的大小.

5.利用平面角求二面角大小的步驟:

(1)作二面角的平面角

(2)證明該角為平面角

(3)歸納到三角形求值

簡(jiǎn)記：一作、二找、三求解

小

6.例二：如圖，AB是。0的直徑，PA垂直于。。所

在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA=AC,求二面

角P—BC—A的大小.學(xué)生獨(dú)立思段煉學(xué)生解決問(wèn)

考例二題能力

;

解:由已知PAJ_平面ABC,BC在平面ABC內(nèi)/.PA±

BC

「AB是。。的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，；.AC_LBC

又?/PAAAC=A,PA,AC在平面PAC內(nèi)，,BC_L平面PAC

又PC在平面PAC內(nèi),.*.PC±BC

又：BC是二面角P-BC-A的棱，.NPCA是二面角

P-BC-A的平面角

由PA=AC知aPAC是等腰直角三角形.IZPCA=45°,

即二面角P-BC-A的大小是45°

7.面面垂直定義

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是

直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直，平面a與6

垂直，記作a

P--------1

%7

8.探究：建筑工人在砌墻時(shí)，常用鉛錘來(lái)檢測(cè)所砌段煉學(xué)生獨(dú)立解

小組討論探

的墻面與地面是否垂直，如果系有鉛錘的細(xì)繩緊貼決問(wèn)題能力

究一并給出

墻面，工人師傅被認(rèn)為墻面垂直于地面，否則他就

答案

認(rèn)為墻面不垂直于地面，這種方法說(shuō)明了什么道

理？

這個(gè)方法說(shuō)明，如果墻面經(jīng)過(guò)地面的垂線(xiàn)，那么墻

面與地面垂直。

9.定理：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，那么

這兩個(gè)平面垂直。

符號(hào)語(yǔ)言：1在a內(nèi)，1_LB,則a

10.例三：如圖所示，在四面體A—BCD中，BD=

儂，AB=AD=CB=CD=AC=a.求證：平面ABD加深對(duì)知識(shí)的掌

學(xué)生獨(dú)立完

平面BCD.握

成例三

A

/.....\\D

\/

C

總結(jié)用定義證明兩個(gè)平面垂直的步驟

利用兩個(gè)平面互相垂直的定義可以直接判定兩個(gè)平

面垂直，判定的方法是：

①找出兩個(gè)相交平面的平面角；

②證明這個(gè)平面角是直角；

③根據(jù)定義，這兩個(gè)平面互相垂直.

11.練習(xí)一：如圖所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'

中,求證：平面ABD垂直平面ACCA

Ary-c

c

A--"

證明：：ABCD-ABC'D'是正方體

.,.AA'J_平面ABCD

AAA'IBD

又BD_LAC

.*.BD_L平面ACC'A'

...平面ABDJ_平面ACC'A'

12.例四：如圖，AB是圓0的直徑，PA垂直于

段煉學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)

圓。所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任意一小組討論例

作能力

點(diǎn)，求證:平面PACJ_平面PBC

證明：；PAL平面ABC

BC在平面ABC內(nèi)

APA±BC

???點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，AB是圓

0的直徑

/.ZBCA=90°BPBC1AC

又PACAC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC

中

ABC在平面PBC內(nèi)

二平面PAC_L平面PBC

1、

1*

4

13.練習(xí)二：如圖，棱柱ABC-AIBICI的側(cè)面

BCGBi是菱形，BiClAiB.

證明：平面ABC平面AiBCi

學(xué)生獨(dú)立思段煉學(xué)生對(duì)于新

考練習(xí)二知識(shí)的掌握

&B

證明：：四邊形BCCB為梯形，...BCiLBiC,又已

知BiClAiB,

AiBCBC產(chǎn)B,...BiCJ■平面AiBG,又；BiC在平面

ABiC內(nèi)，

平面ABiClAiBC,

學(xué)生小組探段煉其數(shù)學(xué)建模

探究：如L即，設(shè)a_LB,aGB=a,則B內(nèi)任意一條究面面垂直思想

直線(xiàn)上與a有什么關(guān)系？相應(yīng)的b與a有什么位置性質(zhì)

關(guān)系?

/

V

證明：顯夕生b與a平行或相交，當(dāng)b〃a時(shí)，b〃a；當(dāng)

b與a相及邛寸，b與a也相交。而當(dāng)b垂直a時(shí)，b

也垂上Ia

14.練二習(xí)三如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面

ABCD為菱形，ZBAD=60°,側(cè)面4PAD為等邊

三角形.

⑴求證：AD1PB；

(2)若E為BC邊上的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一

點(diǎn)F,使平面DEF_L平面ABCD?并證明你的結(jié)論.

P

AB

證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG,BG,如圖，

因?yàn)?PAD為等邊三角形，所以PGLAD,在菱形

ABCD中，ZDAB=60°,G為AD中點(diǎn)，所以BG

±ADo又因?yàn)锽GCPG=G,所以AD_L平面PGB。

因?yàn)镻B屬于平面PGB,所以AD1.PB。

P

AB

(2)當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足平面DEF,平面

ABCD如圖設(shè)F為PC的中點(diǎn)，連接DF,EF,DE,

則在4PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而

EF屬于平面DEF,DE屬于平面DEF,EFADE=E,

所以平面DEF//平面PGB,由(1)得ADJ_平面PGB,

而AD屬于平面ABCD,所以平面PGB_L平面

ABCD,所以平面DEF_L平面ABCD

規(guī)律方法證明兩兩垂直常用的方法：

(1)定義法：即說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二

面角.

(2）判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線(xiàn)與

另一個(gè)平面垂直，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直

(3）性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平

面,則另一個(gè)也垂直于此平面.

15.練習(xí)四：如圖PA_L平面ABC,平面PAB_L平面

鍛煉其思考及總

PI3C,求證：ABXBC

學(xué)生獨(dú)立思結(jié)能力

p考探究二

B

16.探究二：設(shè)平面a，平面I3,點(diǎn)P在平面。內(nèi)，

過(guò)點(diǎn)P作平面B的垂線(xiàn)a,直3吉a與平面a有什么位

置關(guān)系？

/A

A/Jo

4I____

I'I

WLj/c/

////

證明：我們知道，過(guò)一點(diǎn)只能做一條直線(xiàn)與

已知平面垂直，因此，如果過(guò)一點(diǎn)有兩條直

線(xiàn)與平面垂直，那么這兩條直線(xiàn)重合。如圖，

設(shè)aCB=c，過(guò)點(diǎn)P在平面a內(nèi)作直線(xiàn)b±c,

根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，b，B,因

為過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與平面P垂直，

所以直線(xiàn)a與直線(xiàn)b重合，因此a在a內(nèi)。

17.平面與平面垂直性質(zhì)

兩個(gè)平面垂直，如累一個(gè)平面內(nèi)有一直線(xiàn)垂直于這兩個(gè)平面的交

文字語(yǔ)言

線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面_垂直______

符號(hào)語(yǔ)言a±l(aca)=#_a±。______

段煉學(xué)生獨(dú)立解

置形語(yǔ)言B

學(xué)生獨(dú)立完決問(wèn)題能力

①面面垂直C線(xiàn)面垂直

作用

②作面的垂線(xiàn)

成例五

例五：如圖，已知平面a垂直平面B,直線(xiàn)a_LB,

a不在a內(nèi)，判斷a與a的位置關(guān)系。

解：在a內(nèi)作垂直于a與B的直線(xiàn)b

a±P,AbiB

又a_L6a〃b

又a不在a內(nèi)

/.a//a

即直線(xiàn)a與平面a平行

例六:如圖，已知PA_L平面ABC,平面PAB_L平面PBC,

求證：BCJ_平面PAB

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEJ_PB,垂足為E

.平面PABJ_平面PBC,平面PABA平面PBC

，AE_L平面PBC

VBC在平面PBC內(nèi)Z.AE1BC

,.?PA_L平面ABC,BC在平面ABC內(nèi)

.*.PA_LBC又PACAE=A

.?.BC_L平面PAB

18.例七：如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外

的一點(diǎn)，四邊形ABCD是NDAB=60°且邊長(zhǎng)為a的

菱形.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底

面ABCD.

⑴若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG，平面PAD：

(2)求證：AD1PB.

P

a

?C

證明(1)連接BD,如圖，在菱形ABCD中，

DAB=60°AAABD為正三角形又；G是AD的中點(diǎn)

BG_LAD又.平面PAD_L平面ABCD,平面PADA平面

ABCD=AD,BG在平面ABCD內(nèi)，；.BG_L平面PAD

Bc

(2):△PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，.'.PG加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的掌

±AD握