2022-2023學年北師大版九年級數學下冊《第2章二次函數》綜合性解答題優(yōu)生輔導訓練(附答案)

2022-2023學年北師大版九年級數學下冊《第2章二次函數》綜合性解答題優(yōu)生輔導訓練（附答案）1．在平面直角坐標系中，函數y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0）的圖象記為M1，函數y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x＜0）的圖象記為M2，其中a為常數，且a≠0．圖象M1、M2，合起來得到的圖象記為M．（1）直接寫出圖象M2與x軸的交點坐標．（2）當圖象M1的最低點到x軸距離為2時，求a的值．（3）當a＝1時，若（m，﹣）在圖象M上，求m的值．（4）點A、B、C、D的坐標分別為（﹣2，2）、（3，2）、（3，﹣1）、（﹣2，﹣1），當M1、M2的頂點均在矩形ABCD內部時，直接寫出a的取值范圍．2．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知點A（1，0），點C（0，3），且BC＝5．（1）求二次函數的解析式；（2）若點D的坐標為（﹣，0），試判斷△DCB的形狀，并說明理由；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B，C，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．3．拋物線y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C．（1）如圖1，當t＝0時，連接AC、BC．求△ABC的面積；（2）在（1）的條件下，P（﹣7，0）為x軸上一點，在拋物線第四象限的圖象上有一點G，連PG交線段AC于點D，當tan∠PDA＝，求出點G的坐標；（3）如圖2，當﹣1＜t＜3時，若Q是拋物線上A、C之間的一點（不與A、C重合），直線QA、QB分別交y軸于D、E兩點．在Q點運動過程中，是否存在固定的t值，使得2CE＝3CD．若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．4．已知二次函數y＝x2﹣2ax+1（a為常數），若點A、點B是二次函數圖象上兩點，點A的坐標為（a﹣1，y1），點B的坐標為（2a+1，y2），且點A與點B不重合．（1）當y1＝y(tǒng)2時，求函數y＝x2﹣2ax+1的表達式．（2）當y1＜y2時，求a的取值范圍．（3）當a＞0時，若點B到x軸的距離是點A到x軸的距離的2倍，求a的值．（4）以AB為對角線構造矩形ACBD，且矩形兩邊分別與x軸、y軸平行．二次函數圖象與矩形ACBD的邊交于點E，當矩形的一個頂點與點E連線所在直線將矩形ACBD的面積分成1：3兩部分時，直接寫出a的值．5．若二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點在一次函數y＝kx+t（k≠0）的圖象上，則稱y＝ax2+bx+c（a≠0）為y＝kx+t（k≠0）的立信拋物線，y＝kx+t（k≠0）為y＝ax2+bx+c（a≠0）的立信直線，如：y＝x2是y＝x的立信拋物線，y＝x是y＝x2的立信直線．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的立信拋物線，求直線y＝﹣x+p與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若直線y＝mx﹣3（m≠0）與其立信拋物線y＝x2+2x+n的兩個交點間的距離為，求m，n的值．（3）若拋物線的頂點為C，經過點C作它的兩條立信直線分別交拋物線于A，B兩點，連接AB，當∠ACB＝90°時，直線AB是否過定點？若存在，則求出該定點，若不存在，則說明理由6．如圖，在平面直角坐標系中，頂點為A（2cos60°，﹣sin45°）的拋物線經過點B（5，3），且與x軸交于C，D兩點（點C在點D的左側）．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠AOB的值；（3）點M在第二象限內的拋物線上，點N在x軸上，且∠MND＝∠OAB，當△DMN與△OAB相似時，求點M的坐標．7．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（0，2，點C（4，0），且交x軸于另一點B．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點M，求三角形ACM面積的最大值及此時點M的坐標；（3）將線段OA繞x軸上的動點P（m，0）順時針旋轉90°得到線段O'A'，若線段O′A'與拋物線只有一個公共點，請結合函數圖象，求m的取值范圍．8．已知拋物線y＝x2+bx+c經過點A（﹣1，0）和點C（0，﹣3），與x軸交于另一點B．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為第四象限內拋物線上的點，連接CP，AP，AC，如圖1，當CP⊥AC時，求P點坐標；（3）設點M為拋物線上的一點，若∠MAB＝2∠ACO時，求M點坐標．9．如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，OB＝3OA＝3．（1）求拋物線解析式；（2）在拋物線上是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，如果存在，求點P的坐標，如果不存在，說明理由；（3）如圖2，直線y＝kx+n與拋物線交于點E、D．若△AED的內心落在x軸上，求k的值．10．如圖，已知二次函數y＝﹣x2+x+4的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，頂點為D，連接BC．（1）求頂點D的坐標；（2）求直線BC的解析式；（3）點E是第一象限內拋物線上的動點，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值．（4）以AB為直徑，M為圓心作⊙M，試判斷直線CD與⊙M的位置關系，并說明理由．11．已知拋物線y＝mx2﹣3mx﹣18m（m是常數，且m≠0）．（1）證明：拋物線與x軸總有兩個交點；并求出這兩個交點A、B（A在B的左側）的坐標；（2）若點C（1，5）和D（5，n）在拋物線上，點P是線段AB上的點，且有．請判斷△PCD的形狀；（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點Q，使得S△QCD＝S△OCD？若存在，求出滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．12．已知拋物線C1：y＝x2+bx+c（a≠0）經過點（1，c﹣3）．（1）求b的值；（2）將拋物線C1向右平移1個單位，得到拋物線C2，拋物線C2的頂點在直線y＝x+1上，求拋物線C2的函數關系式；（3）設拋物線C1的頂點為P，將拋物線C1沿x軸翻折，得到拋物線C3，拋物線C1與拋物線C3相交于A，B兩點（A在B的左側），拋物線C3的頂點為Q，試判斷四邊形APBQ是否能成為正方形，若能，求出c的值；若不能，請說明理由．13．綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點P是直線BC上方拋物線上一點．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方的拋物線上找一點P，作PG⊥BC，求線段PG的最大值；（3）連接CD、CB，當∠PCB＝∠DCB時，求點P的坐標．（4）若點M為直線BC上一點，N為平面內一點，是否存在這樣的點M和點N使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M坐標；若不存在，說明理由．14．如圖，邊長為5的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點M（0，4）為頂點的拋物線經過點N（﹣4，0），點P是拋物線上第一象限內一動點，過點P作PF⊥BC于點F，點E（0，3），連接PE．（1）求拋物線的解析式；（2）在點P運動過程中，PE﹣PF的值是否改變，若改變，求其取值范圍；若不改變，求出其值；（3）①在點P運動過程中，當∠EPF＝60°時，求點P的坐標；②連接EF，當∠EPF＝60°時，把△PEF沿y軸平移（限定點E在射線MO上），并使拋物線與△PEF的邊始終有兩個交點，直接寫出點P的縱坐標n的取值范圍．15．如圖，四邊形ABCD頂點坐標分別為A（0，），B（﹣，），C（1，0），D（1，），拋物線經過A，B，D三點．（1）請寫出四邊形AOCD是哪種特殊的平行四邊形；（2）求拋物線的解析式；（3）△ACD繞平面內一點M順時針旋轉90°得到△A1C1D1，即點A，C，D的對應點分別為A1，C1，D1，若△A1C1D1恰好兩個頂點落在拋物線上，求此時A1的坐標．16．在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2mx+4m（x≤2m，m為常數）的圖象記為G．（1）當m＝﹣2時，求圖象G最低點的坐標．（2）當圖象G與x軸有且只有一個公共點時，求m的取值范圍．（3）當圖象G的最低點到直線y＝2的距離為3時，求m的值．（4）圖象G上點A的橫坐標為2m，點C的坐標為（﹣2，3），當AC不與坐標軸平行時，以AC為對角線作矩形ABCD，使矩形的邊與坐標軸平行，當圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．17．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，4），對稱軸為直線x＝．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接BC，若點M是線段BC上一動點（不與B，C重合），過點M作MN∥y軸，交拋物線于點N，連接ON，當MN的長度最大時，判斷四邊形OCMN的形狀并說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點N的直線與拋物線交于點E，且∠DNE＝2∠ODN．在y軸上是否存在點F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，請直接寫出點F的坐標，無需說明理由；若不存在，請說明理由．18．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．（1）b＝，c＝；（2）若點D為第四象限內拋物線上的一個動點，過點D作DE∥y軸交BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，過點F作FG⊥y軸于點G，求出DE+FG的最大值及此時點D的坐標；（3）若點P是該拋物線對稱軸上的一點，點Q為坐標平面內一點，那么在拋物線上且位于x軸上方是否存在點M，使四邊形OMPQ為正方形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．19．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C，連接AC，BC．點D是第二象限拋物線上的動點，過點D作BC的平行線l，交AC于點E，交x軸于點F，連接CF．（1）求拋物線的解析式；（2）若S△AEF＝S△EFC，求點D的坐標；（3）在（2）的條件下，直線l上是否存在點P，使△BCP是等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．20．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A，B兩點，與x軸的另一個交點為C，D為直線AB上方拋物線上一動點．（1）求b和c的值；（2）連接DO交AB于點E，當DE：OE＝3：4時，求此時點D的坐標；（3）是否存在點D，使得∠DBA＝2∠BAC？如果存在，直接寫出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．參考答案1．解：（1）對y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x＜0），令y＝0，則﹣ax2﹣2ax+4a＝0（x＜0），∴﹣x2﹣2x+4＝0，解得x＝﹣1（舍去）或x＝﹣﹣1，∴圖象M2與x軸的交點坐標為（﹣﹣1，0）；（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣4a＝a（x﹣1）2﹣5a，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∵x≥0，當a＞0時，函數的最低點的縱坐標為﹣5a，∴|﹣5a|＝2，∴a＝；當a＜0時，函數無最小值，∴此情況不滿足；綜上所述：a＝；（3）當a＝1時，y＝x2﹣2x﹣4（x≥0），y＝﹣x2﹣2x+4（x＜0），當m≥0時，﹣＝m2﹣2m﹣4，解得m＝+1；當m＜0時，﹣＝﹣m2﹣2m+4，解得m＝﹣﹣1；綜上所述：m的值為+1或﹣﹣1；（4）∵y＝ax2﹣2ax﹣4a＝a（x﹣1）2﹣5a，∴圖象M1的頂點（1，﹣5a），∵y＝﹣ax2﹣2ax+4a＝﹣a（x+1）2+5a，∴圖象M2的頂點為（﹣1，5a），如圖1，當a＞0時，﹣5a＞﹣1，5a＜2，∴0＜a＜；如圖2，當a＜0時，﹣5a＜2，5a＞﹣1，∴﹣＜a＜0；綜上所述：a的取值范圍為﹣＜a＜且a≠0．2．解：（1）∵C（0，3），∴OC＝3，在Rt△COB中，OC＝3，BC＝5，∠BOC＝90°，∴OB＝＝4，∴點B的坐標是（4，0），設拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a?（﹣1）?（﹣4）＝3，解得a＝，∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）（x﹣4），即y＝x2﹣x+3；（2）△DCB是直角三角形，理由：∵BC＝5，∴BC2＝52＝25，在Rt△COD中，DC2＝CO2+DO2＝32+（）2＝，∵BD2＝[4﹣（﹣）]2＝，∴BC2+DC2＝BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）在拋物線的對稱軸上存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：∵拋物線的解析式是y＝x2﹣x+3，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝．設點P坐標為（，m）．∵點C（0，3），點B（4，0），∴BP2＝（4﹣）2+m2＝+m2．PC2＝（）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+．BC2＝25．①當∠PCB＝90°時，BP2＝BC2+PC2．∴+m2＝25+m2﹣6m+．解得：m＝．故點P（，）；②當∠PBC＝90°時，PC2＝PB2+BC2．∴m2﹣6m+＝+m2+25，解得：m＝﹣2．故點P（，﹣2）；③當∠BPC＝90°時，有BC2＝BP2+PC2．∴25＝m2﹣6m+++m2．解得：m1＝，m2＝．∴P（，）或P4（，）．綜上所述，存在，點P的坐標為（（，）或（，﹣2）或（，）或（，）．3．解：（1）將t＝0代入拋物線y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3得：y＝x2﹣2x﹣3．當x＝0時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴點C的坐標為（0，﹣3），∴OC＝3，當y＝0時，有x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0）．∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∴S△ABC＝AB?OC＝×4×3＝6．（2）由（1）知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，在Rt△ACO中，AC＝＝＝，在圖1中，過A作AT∥PD，交y軸于T，過點T作TK⊥AC于點K．設T（0，﹣a），則OT＝a，CT＝3﹣a，在Rt△ATO中，AT2＝OA2+OT2＝1+a2，∵sin∠ACO＝＝，即＝，∴TK＝（3﹣a），∵cos∠ACO＝＝，即＝，∴CK＝（3﹣a），∴AK＝AC﹣CK＝﹣（3﹣a）＝a+，∵AT∥PD，∴∠TAK＝∠PDA，∴tan∠TAK＝tan∠PDA＝，∴＝，∴3TK＝4AK，即3×（3﹣a）＝4×（a+），解得：a＝，∴T（0，﹣），設直線AT的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線AT的解析式為y＝x﹣，∵PD∥AT，∴設直線PD的解析式為y＝x+c，∵P（﹣7，0），∴﹣×（﹣7）+c＝0，解得：c＝，∴直線PD的解析式為y＝x，由x＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝，x2＝2，∵點G在第四象限，∴x＞0，∴x＝2，∴G（2，﹣3）；（3）當y＝0時，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3＝0，即[x+（t﹣3）]?[x+（t+1）]＝0，解得：x1＝﹣t+3，x2＝﹣t﹣1，∵﹣1＜t＜3，∴點A的坐標為（﹣t﹣1，0），點B的坐標為（﹣t+3，0）．當x＝0時，y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3＝t2﹣2t﹣3，∴點C的坐標為（0，t2﹣2t﹣3）．設直線AQ的解析式為：y＝k1x+b1，直線BQ的解析式為：y＝k2x+b2．∴點D的坐標為（0，b1），點E的坐標為（0，b2），∴CD＝（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE＝b2﹣（t2﹣2t﹣3）．∵y＝k1x+b1，y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1＝0，∴xA?xQ＝t2﹣2t﹣3﹣b1①．同理：xB?xQ＝t2﹣2t﹣3﹣b2②．由②÷①，得：＝＝﹣，∴＝﹣，∵2CE＝3CD，∴＝，∴＝﹣，∴＝﹣，∴t＝．4．解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1＝（x﹣a）2﹣a2+1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝a，∵y1＝y(tǒng)2，∴2a＝a﹣1+2a+1，∴a＝0，∴y＝x2+1；（2）∵y＝x2﹣2ax+1，∴拋物線的開口向上，∵y1＜y2，∴|2a+1﹣a|＞|a﹣a+1|，解得a＞0或a＜﹣2；（3）∵A的坐標為（a﹣1，y1），點B的坐標為（2a+1，y2），∴A的坐標為（a﹣1，2﹣a2），點B的坐標為（2a+1，2a+2），∴點B到x軸的距離為|2a+2|，A到x軸的距離|2﹣a2|，∵點B到x軸的距離是點A到x軸的距離的2倍，∴|2a+2|＝2|2﹣a2|，解得a＝或a＝或a＝或a＝，∵a＞0，∴a＝或a＝；（4）由題意可得點A的坐標為（a﹣1，2﹣a2），點B的坐標為（2a+1，2a+2），∵點A與點B不重合，∴a﹣1≠2a+1，∴a≠﹣2；如圖1，當a＞0時，D（2a+1，2﹣a2），∵S△BED＝×DE×BD，S矩形ACBD＝AD×BD，∴＝×，∵直線BE將矩形ACBD的面積分成1：3兩部分，∴＝，∴E點是AD的中點，∴E（a，2﹣a2），∴2﹣a2＝（a）2﹣2a×（a）+1，解得a＝2或a＝﹣2（舍）；如圖2，當a＜0時，C（a﹣1，2a+2），∵S△ACE＝×AC×CE，S矩形ACBD＝AC×BC，∴＝×，∵直線AE將矩形ACBD的面積分成1：3兩部分，∴＝，∴E點是BC的中點，∴E（a，2a+2），∴2a+2＝（a）2﹣2a×（a）+1，解得a＝﹣或a＝﹣2（舍）；綜上所述：a的值為﹣或a＝2．5．解：（1）∵y＝x2﹣4，∴其頂點坐標為（0，﹣4），∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的立信拋物線，∴（0，﹣4）在直線y＝﹣x+p上，∴﹣4＝0+p．∴p＝﹣4，∴一次函數為：y＝﹣x﹣4，∴一次函數與坐標軸的交點分別為（0，﹣4），（﹣4，0），∴直線y＝﹣x+p與兩坐標軸圍成的三角形的兩直角邊都為|﹣4|＝4，∴直線y＝﹣x+p與兩坐標軸圍成的三角形的面積為：×4×4＝8．（2）∵y＝x2+2x+n＝（x+1）2+n﹣1，∴拋物線y＝x2+2x+n的頂點為（﹣1，n﹣1），∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的立信拋物線，∴（﹣1，n﹣1）在直線y＝mx﹣3上，∴n﹣1＝﹣m﹣3，∴m+n＝﹣2，設直線y＝mx﹣3（m≠0）與其立信拋物線y＝x2+2x+n的兩個交點坐標為（x1，y1）、（x2，y2），將y＝mx﹣3代入y＝x2+2x+n，得x2+（2﹣m）x+n+3＝0，∴x1+x2＝m﹣2，x1x2＝n+3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（m﹣2）2﹣4（n+3）＝m2，∴（y1﹣y2）2＝[（mx1﹣3）﹣（mx2﹣3）]2＝m2（x1﹣x2）2＝m4，根據題意，得：（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝（）2，∴m4+m2﹣2＝0，∴（m+1）（m﹣1）（m2+2）＝0，∵m2+2≠0，∴m＝1，n＝﹣3或m＝﹣1，n＝﹣1；（3）如圖，設A（t，+1），B（r，+1），過點C作EF∥x軸，過點A作AE⊥EF于點E，過點B作BF⊥EF于點F，則∠AEC＝∠BFC＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，∴△ACE∽△CBF，∴＝，∵C（0，1），∴E（t，1），F（r，1），∴AE＝t2，CE＝﹣t，BF＝，CF＝r，∴＝，∴tr＝﹣16，設直線AB的解析式為：y＝ex+f，則，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝（t+r）x+5，當x＝0時，y＝5，∴P（0，5），∴直線AB恒過定點P（0，5）．6．解：（1）∵A（2cos60°，﹣sin45°），∴A（1，﹣1），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣1，將B點坐標代入函數解析式，得：a（5﹣1）2﹣1＝3，解得：a＝．∴該拋物線的解析式為：y＝（x﹣1）2﹣1；（2）如圖1，過點A作EF∥x軸交y軸于E，過點B作BF∥y軸交EF于F，∵A（1，﹣1），B（5，3），∴AE＝OE＝1，AF＝BF＝4，∵∠AEO＝∠AFB＝90°，∴△AEO和△AFB均為等腰直角三角形，∴∠OAE＝∠BAF＝45°，OA＝，AB＝4，∴∠OAB＝180°﹣∠OAE﹣∠BAF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠AOB＝＝＝4，∴tan∠AOB＝4；（3）設M（a，b），N（a，0），當y＝0時，（x﹣1）2﹣1＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴D（3，0），∴DN＝3﹣a．①當△MND∽△OAB時，如圖2，則＝，即，化簡，得：4b＝3﹣a①，∵M在拋物線上，∴b＝（a﹣1）2﹣1②，聯立①②，得，解得：a1＝3（不符合題意，舍），a2＝﹣2，b＝，M1（﹣2，），當△MND∽△BAO時，如圖3，則＝，即＝，化簡，得b＝12﹣4a③，聯立②③，得：，解得：a1＝3（不符合題意，舍），a2＝﹣17，b＝12﹣4×（﹣17）＝80，M2（﹣17，80）．綜上所述：當△DMN與△OAB相似時，點M的坐標為（﹣2，）或（﹣17，80）．7．解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（0，2），點C（4，0），∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）過點M作MN⊥x軸，與AC交于點N，如圖1，設直線AC的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+2，設M（a，﹣a2+a+2），且0＜a＜4，則N（a，a+2），∴MN＝﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）＝﹣a2+a，∴S△ACM＝MN?OC＝×（﹣a2+a）×4＝a2+2a＝﹣（a﹣2）2+2，∵＜0，∴當a＝2時，S△ACM取得最大值，S△ACM的最大值為2，此時，點M的坐標為（2，2）；（3）過點A'作A'E⊥x軸交于點E，①當P點在x軸正半軸上時，即m＞0時，如圖2：當A'在拋物線上時，∵AP＝A'P，∵∠APA'＝90°，∴∠APO+∠A'PE＝90°，∵∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠A'PE，∴△AOP≌△PEA'（AAS），∴A'E＝OP，PE＝AO，∵AO＝2，∴PE＝2，∵P（m，0），∴A'（m+2，m），∵A'在拋物線y＝﹣x2+x+2上，∴m＝﹣（m+2）2+（m+2）+2，解得：m＝﹣3+或m＝﹣3﹣（舍）；如圖3，當O'在拋物線上時，∵OA＝O'A'＝2，∴O'（m，m），∴m＝﹣m2+m+2，∴m＝2或m＝﹣4（舍）；∴﹣3+≤m≤2；②當P點在x軸負半軸上時，即m＜0時，如圖4，當A'在拋物線上時，∵AP＝A'P，∵∠APA'＝90°，∴∠APO+∠A'PE＝90°，∵∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠A'PE，∴△AOP≌△PEA'（AAS），∴A'E＝OP，PE＝AO，∵AO＝2，∴PE＝2，∵P（m，0），∴A'（m+2，m），∵A'在拋物線y＝﹣x2+x+2上，∴m＝﹣（m+2）2+（m+2）+2，解得m＝﹣3+（舍）或m＝﹣3﹣；如圖5，當O'在拋物線上時，∵OA＝O'A'＝2，∴O'（m，m），∴m＝﹣m2+m+2，∴m＝2（舍）或m＝﹣4；∴﹣3﹣≤m≤﹣4；綜上所述：當﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2時，線段O′A′與拋物線只有一個公共點．8．解：（1）將點A、C的坐標代入拋物線表達式得，，解得，故拋物線的表達式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖所示，過點C作平行于x軸的直線，過點A作AM垂直于過點C平行于x軸的直線交這條直線于M，過點P作PN垂直于這條直線交這條直線于N，∴∠AMC＝∠CNP＝90°，∴∠ACM+∠CAM＝90°，∵AC⊥CP，即∠ACP＝90°，∴∠ACM+∠PCN＝90°，∴∠MAC＝∠NCP，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AM＝3，AO＝1，∴tan∠MAC＝tan∠NCP＝，∴CN＝3PN，設CN＝3PN＝3m，∴點P的坐標為（3m，﹣3+m），∴﹣3+m＝（3m）2﹣2×3m﹣3，解得m＝或m＝0（舍去），∴點P的坐標為（，﹣）；（3）如圖，取點D（1，0），連接CD，在CD上取一點E，使得AE＝AD，連接AE，并延長交拋物線于點M，∵A（﹣1，0），點D關于y軸對稱，∴AC＝DC，∠ACO＝∠DCO，∴∠ACD＝2∠ACO＝∠MAB，∠CAD＝∠CDA，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝∠CAD＝∠CDA，∴△CAD∽△AED，∴∠EAD＝∠ACD＝2∠ACO，設直線CD的解析式為y＝kx+b1，∴，∴，∴直線CD的解析式為y＝3x﹣3，設E（n，3n﹣3），∴AE2＝（n+1）2+（3n﹣3）2＝22，解得n＝或n＝1（舍去），∴E（），設直線AE的解析式為y＝k1x+b2，∴，∴，∴直線AE的解析式為y＝﹣x﹣，聯立，得x2﹣＝0，解得x＝或x＝﹣1（舍去），∴M點的坐標為（，﹣），由對稱性可知F點的坐標為（，）時，直線AF與拋物線的另一個交點也滿足題意，同理可求出此時M點的坐標為（，），綜上所述，點M的坐標為（，﹣）或（，）．9．解：（1）∵OB＝3OA＝3，∴OA＝1，OB＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），將點A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，理由如下：令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），設P（t，t2﹣2t﹣3），如圖1，當∠PAC＝90°時，過點A作MN∥y軸，過點P作PN⊥MN于點N，過點C作MC⊥MN于點M，∴∠NAP+∠MAC＝90°，∵∠NAP+∠NPA＝90°，∴∠MAC＝∠NPA，∴△ANP∽△CMA，∴＝，∵A（﹣1，0），∴AN＝t2﹣2t﹣3，NP＝t+1，AM＝3，MC＝1，∴＝，∴t＝﹣1（舍）或t＝，∴P（，）；如圖2，當∠ACP＝90°時，過點C作DE∥x軸，過點A作AD⊥DE交于D，過點P作PE⊥DE交于點E，∴∠ACD+∠PCE＝90°，∵∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠PCE＝∠DAC，∴△ACD∽△CPE，∴＝，∵AD＝3，CD＝1，CE＝t，PE＝t2﹣2t，∴＝，∴t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；綜上所述：P點的坐標為（，）或（，﹣）；（3）過點D作DG⊥x軸交于點G，過點E作EH⊥x軸交于點H，設D（m，m2﹣2m﹣3），E（p，p2﹣2p﹣3），聯立方程組，整理得，x2﹣2x﹣kx﹣3﹣n＝0，∴m+p＝2+k，∵△ACD的內心落在x軸上，∴∠EAH＝∠HAD，∴tan∠EAH＝tan∠HAD，即＝，∴m+p＝6，∴2+k＝6，∴k＝4．10．解：（1）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣3）2+．∴拋物線的頂點D（3，）．（2）令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），令y＝0，則x＝﹣2或8，∴A（﹣2，0），B（8，0）．設直線BC的解析式為：y＝kx+b，∴，解得．∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+4．（3）如圖，過點E作y軸的平行線交BC于點F，設點E的橫坐標為m，∴E（m，﹣m2+m+4），F（m，﹣m+4）．∴EF＝﹣m2+2m．∴S△BCE＝（xB﹣xC）?EF＝×（8﹣0）×（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16．∴當m＝4時，S△BCE的最大值為16．（4）相切，理由如下：∵C（0，4），D（3，）．∴直線CD的解析式為：y＝x+4．設直線CD與x軸交于點G，連接DM，CM，∴G（﹣，0），∵點M為AB中點，∴M（3，0），且DM⊥AB，∴∠DMG＝90°，AM＝BM＝5．∴CD＝，DG＝，DM＝，∴CD：DM＝DM：DG＝3：5，∵∠CDM＝∠MDG，∴△DCM∽△DMG，∴∠DCM＝∠DMG＝90°，∴點M到CD的距離即為CM的長，∴CM＝5＝AM．∴直線CD與⊙M相切．11．（1）證明：令y＝mx2﹣3mx﹣18m＝0，∵Δ＝（3m）2﹣4m?（﹣18m）＝81m2＞0（m≠0），∴方程mx2﹣3mx﹣18m＝0有兩個不相等的根，即拋物線與x軸總有兩個交點；∵m（x﹣6）（x+3）＝0，∴x＝6或x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（6，0）．（2）將點C（1，5）的坐標代入解析式y(tǒng)＝mx2﹣3mx﹣18m，∴m﹣3m﹣18m＝5，解得m＝﹣．∴y＝﹣x2+x+．令x＝5，則y＝﹣×52+×5+＝2．∴D（5，2），∴CD＝5，由（1）知A（﹣3，0），B（6，0）．∵點P是線段AB上的點．且有，∴設點P的橫坐標為t，則（t+3）：（6﹣t）＝3：5，解得t＝，∴P（，0），∴PC＝，PD＝，∴PC＝PD，∴△PCD是等腰三角形且PC＝PD．（3）存在，理由如下：如圖，過點O作CD的平行線分別與拋物線交于點Q1，Q2，則S△Q1CD＝S△Q2CD＝S△OCD，設直線CD的解析式為：y＝kx+b，∵C（1，5），D（5，2），∴，解得．∴直線CD的解析式為：y＝﹣x+．∴直線OQ1的解析式為：y＝﹣x，令y＝﹣x2+x+＝﹣x，解得x＝3+3或x＝3﹣3．∴點Q的坐標為：（3+3，﹣﹣）或（3﹣3，﹣+）．12．解：（1）將點（1，c﹣3）代入拋物線解析式y(tǒng)＝x2+bx+c，∴1+b+c＝c﹣3，解得b＝﹣4．（2）由（1）知拋物線C1：y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，∴將拋物線C1向右平移1個單位，得到拋物線C2：y＝（x﹣3）2+c﹣4，∴拋物線C2的頂點為（3，c﹣4），∵拋物線C2的頂點在直線y＝x+1上，∴3+1＝c﹣4，解得c＝8，∴拋物線C2：y＝（x﹣3）2+8﹣4＝x2﹣6x+13．（3）能，理由如下：由（2）知拋物線C1的頂點為P（2，c﹣4），將拋物線C1沿x軸翻折，得到拋物線C3：y＝﹣（x﹣2）2﹣c+4，∴拋物線C3的頂點為Q（2，﹣c+4），∴PQ＝2|c﹣4|．令（x﹣2）2+c﹣4＝﹣（x﹣2）2﹣c+4，整理得x2﹣4x+c＝0，∴16﹣4c＞0，∴c＜4，∴xA+xB＝4，xA?xB＝c，∴AB＝xB﹣xA＝＝，由拋物線的對稱性可知，PQ⊥AB，且PQ與AB互相平分，∴四邊形APBQ是菱形，若菱形APBQ是正方形，只需AB＝PQ，∴＝2|c﹣4|，解得c＝4或c＝3，∴c＝3．∴能，當c＝3時，四邊形APBQ是正方形．13．解：（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖1，過P點作PH∥y軸交BC于點H，令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，設P（t，﹣t2+2t+3），則H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+3t，∵C（0，3），B（3，0），∴BC＝3，∴S△PBC＝×BC×PG＝×BO×PH，∴PG×3＝3（﹣t2+3t），∴PG＝﹣（t﹣）+，∵點P是直線BC上方拋物線上，∴0＜t＜3，∴當t＝時，PG有最大值；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴D（1，0），作D點關于直線BC的對稱點F，交BC于點E，連接CF，過點F作x軸的垂線交于點H，∴∠DCB＝∠FCB，∵∠PCB＝∠DCB，∴∠FCB＝∠PCB，∴F在直線CP上，∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∴DE＝BE，∵BD＝2，∴DE＝，∴DF＝2，∵∠EDB＝45°，∴FH＝DH＝2，∴H點與B點重合，∴F（3，2），設直線CF的解析式為y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+3，聯立方程組，解得或（舍），∴P（，）；（4）存在點M和點N，使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，理由如下：設M（m，﹣m+3），N（x，y），D（1，0），C（0，3），①當CD為菱形對角線時，CM＝DM，∴m2+m2＝（m﹣1）2+（m﹣3）2，解得m＝，∴M（，）；②當DM為菱形對角線時，CD＝CM，∴10＝m2+m2，解得m＝±，∴M（，3﹣）或（﹣，3+）；③當CM為菱形對角線時，DM＝CD，∴10＝（m﹣1）2+（m﹣3）2，解得m＝4或m＝0（舍），∴M（4，﹣1）；綜上所述：M點的坐標為（，）或（，3﹣）或（﹣，3+）或（4，﹣1）．14．解：（1）∵拋物線的頂點為M（0，4），設拋物線的解析式為y＝ax2+4，將點N（﹣4，0）代入y＝ax2+4，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+4；（2）PE﹣PF的值不改變，理由如下：∵邊長為5的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，∴A（5，0），C（0，5），B（5，5），設P（t，﹣t2+4），∵PF⊥BC，∴F（t，5），∴PF＝5+t2﹣4＝t2+1，∵E（0，3），∴PE＝＝t2+1，∴PE﹣PF＝0，∴PE﹣PF的值不變，始終是0；（3）①∵PE＝PF，∠EPF＝60°，∴△PEF是等邊三角形，∴EF＝PE，∴＝t2+1，解得t2＝12，∴t＝±2，∵P點在第一象限內，∴t＝2，∴P（2，1）；②當△PEF沿y軸向上平移時，E點平移到M點的過程中，拋物線與△PEF的邊始終有兩個交點，∵M（0，4），E（0，3），∴1≤n≤2；當△PEF沿y軸向下平移時，當F點平移到P點的過程中，拋物線與△PEF的邊始終有兩個交點，∵F（2，1），∴﹣3＜n＜1；綜上所述：當﹣3＜n≤2時，拋物線與△PEF的邊始終有兩個交點．15．解：（1）∵A（0，），C（1，0），D（1，），∴AC＝2，OD＝2，∴平行四邊形AOCD是矩形；（2）設y＝ax2+bx+c，將A（0，），B（﹣，），D（1，）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+；（3）如圖1，當C1，D1在拋物線上時，∵A（0，），C（1，0），D（1，），∴AD＝1，CD＝，∵AD⊥CD，∴A1D1⊥D1C1，∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+，∴拋物線的對稱軸為直線x＝，∴D1的橫坐標為+，∴﹣×（+）2+×（+）+＝，∴D1（+，），∴A1（+，+）；如圖2，當C1，A1在拋物線上時，設C1（m，﹣m2+m+），則D1（m+，﹣m2+m+），A1（m+，﹣m2+m++1），∴﹣m2+m++1＝﹣（m+﹣）2+，解得m＝﹣+，∴A1（+，+）；綜上所述：A1點的坐標為（+，+）或（+，+）．16．解：（1）當m＝﹣2時，y＝x2+4x﹣8，∴y＝x2+4x﹣8＝（x+2）2﹣12，∵x≤﹣4，∴當x＝﹣4時，y＝﹣8，∴圖象G最低點的坐標（﹣4，﹣8）；（2）∵y＝x2﹣2mx+4m＝（x﹣m）2﹣m2+4m，∴拋物線的對稱軸為直線x＝m，令y＝0，則x2﹣2mx+4m＝0，∴Δ＝4m2﹣16m＝0，∴m＝0或m＝4，當m≤0時，2m≤m，∴圖象G與x軸始終有一個公共點，當m＝4時，圖象G與x軸只有一個公共點，當m＞4時，2m＞m，圖象G與x軸始終有兩個公共點；當0＜m＜4時，Δ＜0，此時圖象G與x軸無公共點；綜上所述：m≤0或m＝4時，圖象G與x軸只有一個公共點；（3）∵圖象G的最低點到直線y＝2的距離為3，∴圖象G的最低點的縱坐標為﹣1或5，當m＜0時，m＞2m，此時當x＝2m時，y＝4m，此時最低點的縱坐標為4m，∴4m＝﹣1，∴m＝﹣；當m＞0時，2m＞m，∴當x＝m時，y＝4m﹣m2，此時最低點的縱坐標為4m﹣m2，∴4m﹣m2＝﹣1或4m﹣m2＝5，解得m＝2+或m＝2﹣（舍）；綜上所述：m的值為﹣或2+；（4）∵點A在圖象G上，∴圖象G與矩形ABCD一定有一個公共點，∵圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點，∴只需圖象G與矩形ABCD的邊再由一個公共點即可；∵點A的橫坐標為2m，∴A（2m，4m），當x＝﹣2時，y＝4+8m，當4+8m＝4m時，m＝﹣1，如圖1，當m＜﹣1時，圖象G在x≤2m時，y隨x的增大而減小，∴矩形與圖象G只有一個交點A；當﹣1＜m≤0時，圖象G與矩形有兩個交點；當4m＝3時，m＝，如圖3，當0＜m＜時，2m＞m，∴圖象G與矩形ABCD有三個交點；當y＝3時，x2﹣2mx+4m＝3，整理得，x2﹣2mx+4m﹣3＝0，∴Δ＝4m2﹣16m+12＝0，∴m＝1或m＝3，此時圖象G與BC邊有一個交點，如圖4，當＜m≤1時，圖象G與矩形有三個交點；如圖5，當1＜m＜3時，圖象G與矩形有兩個交點；當m＝3時，圖象G與矩形有三個交點；當m＞3時，圖象G與矩形有四個交點；綜上所述：﹣1＜m≤0或1＜m＜3時，圖象G與矩形ABCD有兩個交點．17．解：（1）將點A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，得a+b+4＝0，∵對稱軸為直線x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣5a，∴a﹣5a+4＝0，∴a＝1，∴b＝﹣5，∴y＝x2﹣5x+4；（2）四邊形OCMN是平行四邊形，理由如下：令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），令y＝0，則x2﹣5x+4＝0，∴x＝4或x＝1，∴A（1，0），B（4，0），設直線BC的解析式為y＝kx+d，∴，∴，∴y＝﹣x+4，設M（t，﹣t+4），則N（t，t2﹣5t+4），∴MN＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴當t＝2時，MN的長度最大，∴M（2，2），N（2，﹣2），∴MN＝4，ON＝2，∵CO＝4，∴四邊形OCMN是平行四邊形；（3）存在點F，使得△BEF為等腰三角形，理由如下：過點N作x軸的垂線，過點N作NQ⊥y軸交于點Q，過點E作y軸的垂線EP，∵PN∥y軸，∴∠ODN＝∠PND，∵∠DNE＝2∠ODN，∴∠PNE＝∠ODN，∵C（0，4），D是OC的中點，∴D（0，2），∵N（2，﹣2）∴tan∠ODN＝＝，∴＝，設E（m，m2﹣5m+4），∴＝，解得m＝2（舍）或m＝5，∴E（5，4），∴BE＝，設F（0，y），①當BF＝BE時，＝，∴y＝±1，∴F（0，1）或（0，﹣1）；②當EF＝BE時，＝，此時y無解；③當BF＝EF時，BE的中點T（，2），∴BF＝＝，∴y＝，∴F（0，）．綜上所述：點F的坐標為（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．18．解：（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，∴，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3，故答案為：﹣2，﹣3；（2）延長DE交x軸于點K，延長GF交ED于點H，令