2023-2024學(xué)年廣東省惠州市龍門縣八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省惠州市龍門縣八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題3小題，每小題3分，共30分）1．要使得式子有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤22．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．3．下列各式中，能與合并的是（）A． B． C． D．4．以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，5，6 D．8，9，105．下列說法中正確的是（）A．有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是正方形 D．兩條對角線相等的菱形是正方形6．如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，測量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)D、E，測量得DE＝16米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．OA＝OC，OB＝OD8．在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用如圖所示的圖形驗(yàn)證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．統(tǒng)計(jì)思想 B．分類思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．方程思想9．如圖，將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于E，AD＝16，AB＝8，則重疊部分（即△BDE）的面積為（）A．24 B．30 C．40 D．8010．如圖，已知菱形ABCD，AB＝4，∠BAD＝120°，E為BC的中點(diǎn)，P為對角線BD上一點(diǎn)，則PE+PC的最小值等于（）A． B．2 C． D．8二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．比較大小：．12．化簡的結(jié)果為．13．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為6和8，則另一條邊長為．14．如圖，在平行四邊形ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于E，則∠BCE＝度．15．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PA，PC．若BE＝2，PF＝6，則圖中陰影部分的面積為．三、解答題（一）（16題10分，每小題10分，17、18題各7分，共24分）16．計(jì)算題（1）（2）．17．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13，求四邊形ABCD的面積．18．已知：如圖，在?ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：DE＝BF．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）19．閱讀理解題，下面我們觀察：．反之，所以，所以．完成下列各題：（1）把寫成（a+b）2的形式；（2）化簡：；（3）化簡：．20．如圖，平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，連接CM．（1）求證：四邊形ADEC是矩形；（2）若CM＝6.5，且AC＝12，求四邊形ADEB的面積．21．“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某路段MN上限速60千米小時(shí)，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設(shè)立了觀測點(diǎn)C，從觀測點(diǎn)C測得一小車從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B行駛了5秒，已知∠CBN＝60°，BC＝200米，米．（1）請求出觀測點(diǎn)C到公路MN的距離；（2）此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）22．綜合與實(shí)踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，把紙片展平，延長DF與BC交于點(diǎn)G．請寫出線段FG與線段BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）遷移思考：如圖1，若AB＝4，按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，當(dāng)CG＝2時(shí)，求AD的值；（3）拓展探索：如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，其中∠A與∠C是對角，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，把紙片展平，延長DF與射線BC交于點(diǎn)G．若AD＝2，CG＝0.5，請直接寫出線段DG的值．23．已知，如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，3），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在線段BC上以每秒2個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向B運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形；（2）在直線CB上是否存在一點(diǎn)Q，使得O、D、Q、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在線段PB上有一點(diǎn)M且PM＝5，直接寫出四邊形OAMP的周長的最小值，并在圖上畫圖標(biāo)出點(diǎn)M的位置，

參考答案一、選擇題（本大題3小題，每小題3分，共30分）1．要使得式子有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【分析】根據(jù)二次根式有意義，被開方數(shù)大于等于0，列不等式求解．解：根據(jù)題意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查二次根式有意義的條件的知識點(diǎn)，代數(shù)式的意義一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)代數(shù)式是整式時(shí)，字母可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)代數(shù)式是分式時(shí)，分式的分母不能為0；（3）當(dāng)代數(shù)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．2．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則將各式計(jì)算后進(jìn)行判斷即可．解：與無法合并，則A不符合題意；2﹣＝，則B不符合題意；×＝＝，則C符合題意；÷3＝＝，則D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．下列各式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【分析】將化為最簡，再將各選項(xiàng)的二次根式化為最簡即可得出答案．解：＝2，＝2，＝2，＝3，＝4，∴能和合并的是．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查最簡二次根式的知識，難度不大，注意將各項(xiàng)化為最簡后再判斷．4．以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，5，6 D．8，9，10【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答．解：A、能，因?yàn)?2+42＝52；B、不能，因?yàn)?2+32≠42；C、不能，因?yàn)?2+52≠62；D、不能，因?yàn)?2+92≠102．故選：A．【點(diǎn)評】解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則三角形ABC是直角三角形．5．下列說法中正確的是（）A．有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是正方形 D．兩條對角線相等的菱形是正方形【分析】依據(jù)矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正確結(jié)論．解：A．有一個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．兩條對角線相等的菱形是正方形，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．6．如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，測量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)D、E，測量得DE＝16米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米【分析】由三角形中位線定理得到DE＝AB，而DE＝16米，即可求出AB＝32米．解：∵D、E分別是AC、BC中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AB，∵DE＝16米，∴AB＝32米，∴A、B兩點(diǎn)間的距離為32米．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三角形中位線定理，關(guān)鍵是由三角形中位線定理得到DE＝AB．7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】由平行四邊形的定義和判定定理，容易得出結(jié)論．解：∵兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，∴A正確；∵一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，∴B不正確；∵兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，∴C正確；∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴D正確；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的定義、平行四邊形的判定定理；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．8．在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用如圖所示的圖形驗(yàn)證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．統(tǒng)計(jì)思想 B．分類思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．方程思想【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．9．如圖，將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于E，AD＝16，AB＝8，則重疊部分（即△BDE）的面積為（）A．24 B．30 C．40 D．80【分析】由折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可證BE＝DE，設(shè)AE＝x，則BE＝DE＝8﹣x，在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根據(jù)三角形面積公式求解．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，由折疊的性質(zhì)得：∠C'BD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠C'BD，∴BE＝DE，設(shè)AE＝x，則BE＝DE＝16﹣x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，則AE＝6，DE＝16﹣6＝10，則S△BDE＝DE?AB＝×10×8＝40，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換（折疊問題）、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，正確利用勾股定理求得AE的長是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖，已知菱形ABCD，AB＝4，∠BAD＝120°，E為BC的中點(diǎn)，P為對角線BD上一點(diǎn)，則PE+PC的最小值等于（）A． B．2 C． D．8【分析】菱形A與C關(guān)于BD對稱連接AE，即為PE+PC的最小值；在Rt△ABE中即可求解；解：菱形A與C關(guān)于BD對稱，連接AE，即為PE+PC的最小值；∵AB＝4，∠BAD＝120°，E為BC的中點(diǎn)，∴∠ABC＝60°，BE＝2，在Rt△ABE中，AE＝2；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查利用軸對稱求最短距離；通過菱形的軸對稱性確定點(diǎn)C的對稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．比較大?。海荆痉治觥肯劝褍蓚€(gè)實(shí)數(shù)平方，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的大小的比較方法即可求解．解：∵（）2＝75＞（）2＝72，而＞0，＞0，∴＞．故填空答案：＞．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，實(shí)數(shù)大小比較法則：（1）正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小．12．化簡的結(jié)果為．【分析】先將原式化成，然后運(yùn)用逆用積的乘方運(yùn)算法則即可解答．解：＝＝＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了逆用積的乘方、平方差公式等知識點(diǎn)，掌握ambm＝（ab）m成為解題的關(guān)鍵．13．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為6和8，則另一條邊長為10或．【分析】分邊長8為直角邊和斜邊分別求解即可．解：當(dāng)邊長8為直角邊時(shí)，則另一條邊長為；當(dāng)邊長8為斜邊時(shí)，則另一邊長為，故答案為：10或．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的運(yùn)用．14．如圖，在平行四邊形ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于E，則∠BCE＝25度．【分析】平行四邊形對角相等，所以可先求出∠BCD，在等腰三角形中，利用等邊對等角這一性質(zhì)，可以求出∠DBC，再利用直角三角形兩銳角互余即可求解．解：∵A＝65°，∴∠BCD＝65°；∵DB＝DC，∴∠BCD＝∠DBC＝65°，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠DBC＝25°．故答案為：25．【點(diǎn)評】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．15．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PA，PC．若BE＝2，PF＝6，則圖中陰影部分的面積為12．【分析】由矩形的性質(zhì)可證明S△PEA＝S△PFC，即可求解．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如圖2：則四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，∴CF＝BE＝2，∴S△AEP＝S△AMP，S△CFP＝S△CNP，∴S△AEP＝S△CFP＝×PF×CF＝×6×2＝6，∴圖中陰影部分的面積S陰＝6+6＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明S△PEB＝S△PFD．三、解答題（一）（16題10分，每小題10分，17、18題各7分，共24分）16．計(jì)算題（1）（2）．【分析】（1）先把各個(gè)二次根式進(jìn)行化簡，再合并同類二次根式即可；（2）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算．解：（1）＝3﹣2+﹣3＝﹣；（2）＝4××＝．【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．17．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13，求四邊形ABCD的面積．【分析】先利用勾股定理求出AC＝12，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算得到△ACD的面積，然后求得△ABC的面積，相加即可得解．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝＝12．∵AD＝5，CD＝13，AC＝12，∴AD2+AC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°，∴S△ACD＝AD?AC＝×5×12＝30；S△ABC＝AC?BC＝×12×9＝54，∴30+54＝84，∴四邊形ABCD的面積為84．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．18．已知：如圖，在?ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：DE＝BF．【分析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)，證出AD＝CB，AD∥CB，進(jìn)而證出∠DAE＝∠BCF，再結(jié)合已知證得△ADE≌△CBF，最后利用全等三角形的性質(zhì)證出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF．【點(diǎn)評】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，找到圖中的全等三角形是解本題的關(guān)鍵．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）19．閱讀理解題，下面我們觀察：．反之，所以，所以．完成下列各題：（1）把寫成（a+b）2的形式；（2）化簡：；（3）化簡：．【分析】（1）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可；（2）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可；（3）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可．解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確理解二次根式化簡的意義，以及完全平方公式是解題關(guān)鍵．20．如圖，平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，連接CM．（1）求證：四邊形ADEC是矩形；（2）若CM＝6.5，且AC＝12，求四邊形ADEB的面積．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)分析可得∠DAC＝∠ACE＝∠E＝90°，從而求證四邊形ADEC是矩形；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和勾股定理求得BC的長度，從而利用矩形和三角形的面積公式計(jì)算求解．【解答】（1）證明：平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∵AC⊥BC，∴∠ACE＝∠ACB＝90°∴∠DAC＝∠ACE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝90°，∴∠DAC＝∠ACE＝∠E＝90°，∴四邊形ADEC是矩形；（2）解：∵AC⊥BC，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，CM＝6.5，∴AB＝2CM＝13，在Rt△ACB中，，平行四邊形ABCD中，AD＝BC＝5，在矩形ADEC中，AD＝CE＝5，∴四邊形ADEB的面積＝S矩形ADEC+S△ACB＝＝＝＝90．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，理解直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，掌握平行四邊形的性質(zhì)及矩形的判定方法是解題關(guān)鍵．21．“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某路段MN上限速60千米小時(shí)，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設(shè)立了觀測點(diǎn)C，從觀測點(diǎn)C測得一小車從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B行駛了5秒，已知∠CBN＝60°，BC＝200米，米．（1）請求出觀測點(diǎn)C到公路MN的距離；（2）此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【分析】（1）過點(diǎn)C作CH⊥MN于H，先求出BH的長，再用勾股定理求解即可；（2）先求出AH的長，再求出AB的長，進(jìn)而求出汽車的速度，即可得出答案．解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥MN于H，在Rt△BCH中，∵∠CBN＝60°，∴∠BCH＝30°．∵BC＝200米∴米，∴米，即觀測點(diǎn)C到公路MN的距離為米．（2）∵米，∠CHA＝90°，∴米，∴（米），∴車速為（米/秒），∵60千米/小時(shí)＝米秒，，∴此車沒有超速．【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）22．綜合與實(shí)踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，把紙片展平，延長DF與BC交于點(diǎn)G．請寫出線段FG與線段BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）遷移思考：如圖1，若AB＝4，按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，當(dāng)CG＝2時(shí)，求AD的值；（3）拓展探索：如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，其中∠A與∠C是對角，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，把紙片展平，延長DF與射線BC交于點(diǎn)G．若AD＝2，CG＝0.5，請直接寫出線段DG的值．【分析】（1）由“HL”可證Rt△EFG≌Rt△EBG，可得FG＝BG；（2）由勾股定理可求解；（3）分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)可得AD＝DF＝2，∠A＝∠DFE，EF＝AE，由等腰三角形的性質(zhì)可求FG的長，即可求解．解：（1）FG＝BG，理由如下：如圖，連接EG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°．∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AB＝BE．由折疊可知AE＝EF，∴EF＝EB．在Rt△EFG和Rt△EBG中，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），∴FG＝BG；（2）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，∴CD＝AB＝4．∴．令A(yù)D＝x，則DF＝AD＝x，由（1）知FG＝BG＝x﹣2，∴．解得，即AD的長為．（3）當(dāng)點(diǎn)F在DC的下方時(shí)，如圖2，連接BF，∵折疊，∴AD＝DF＝2，∠A＝∠DFE，EF＝AE，∵∠A+∠ABC＝180°，∠DFE+∠EFG＝180°，∴∠EFG＝∠ABC，∵點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴EF＝BE，∴∠EFB＝∠EBF，∴∠GFB＝∠GBF，∴GF＝BG＝BC﹣CG＝2﹣0.5＝1.5，∴DG＝3.5；當(dāng)點(diǎn)F在DC的上方時(shí)，如圖3，連接BF，同理可求：FG＝BG＝BC+CG＝2+0.5＝2.5，∴DG＝4.5，綜上所述：DG的長為3.5或4.5．【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．23．已知，如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，3），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在線段BC上以每秒2個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向B運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形；（2）在直線CB上是否存在一點(diǎn)Q，使得O、D、Q、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在線段PB上有一點(diǎn)M且PM＝5，直接寫出四邊形OAMP的周長的最小值