2024年云南師大附中高三數(shù)學(xué)4月高考模擬試卷附答案解析

年云南師大附中高三數(shù)學(xué)4月高考模擬試卷2024.04注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．已知集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知滿(mǎn)足，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A．B．C． D．3．已知向量，滿(mǎn)足，，且，的夾角為，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在處取得最大值，則（

）A． B． C． D．5．?dāng)?shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和.記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C． D．6．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，記的面積為，已知，，，求外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比為（

）A．B．C． D．7．隨著互聯(lián)網(wǎng)普及和技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)游戲已成為當(dāng)今社會(huì)的一種流行文化，也是青少年學(xué)習(xí)、娛樂(lè)和社交的重要方式.但隨著網(wǎng)絡(luò)游戲的推廣發(fā)展，一些青少年對(duì)其過(guò)度依賴(lài)，甚至對(duì)心理健康產(chǎn)生了不可忽視的影響.“預(yù)防網(wǎng)絡(luò)游戲沉迷，關(guān)愛(ài)青少年心理健康，已成為亟需破解的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.”某款網(wǎng)絡(luò)游戲的規(guī)則如下：參與者每一局需投一枚游戲幣，每局通關(guān)的概率為50%，若該局通關(guān)，參與者可以贏(yíng)得兩個(gè)游戲幣.遇到兩種情況會(huì)自動(dòng)結(jié)束游戲：一種是手中沒(méi)有游戲幣；一種是手中游戲幣到預(yù)期的個(gè).設(shè)當(dāng)參與者手中有個(gè)（）游戲幣時(shí)，最終手中沒(méi)有游戲幣的概率為，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．，B．記參與者通關(guān)的局?jǐn)?shù)，在前13局中，，C．D．若參與者最初手中有20個(gè)游戲幣，他希望贏(yíng)到100個(gè)，則他輸光的概率為8．已知實(shí)數(shù)，，不全為0，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)于單峰的頻率分布直方圖，單峰不對(duì)稱(chēng)且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)B．回歸分析中，線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)的取值范圍為C．回歸分析中，決定系數(shù)越大，擬合效果越好D．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，當(dāng)（為的臨界值）時(shí)，推斷零假設(shè)不成立10．已知平面向量，，滿(mǎn)足，，，則的取值可能為（

）A．5 B．6 C．7 D．811．已知為雙曲線(xiàn)：（，）右支上一點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)角平分線(xiàn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)，分別作的垂線(xiàn)，垂足分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．三角形面積的最大值是C．三角形的內(nèi)切圓與軸相切于雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)D．設(shè)雙曲線(xiàn)的離心率為，則有三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意的，，都有，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足上述條件的函數(shù).13．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍九章算術(shù)中有一種名為“羨除”的幾何體，它由古代的隧道形狀抽象而來(lái).如圖所示，在五面體中，，四邊形，，為等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距離為，和的距離為，若，，，，，則該“羨除”的體積為.14．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15．已知總體分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總樣本的平均數(shù)為，樣本方差為.(1)試證明：；(2)在對(duì)某高中1500名高三年級(jí)學(xué)生的身高的調(diào)查中，采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取100人，已知這1500名高三年級(jí)學(xué)生中男生有900人，且抽取的樣本中男生的平均數(shù)和方差分別為170cm和12，女生的平均數(shù)和方差分別為160cm和38.試用（1）證明的公式估計(jì)高三年級(jí)全體學(xué)生身高的方差.16．在如圖所示的直四棱柱中，連接，，，，，，，.(1)求證：，，，四點(diǎn)共面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.17．刻畫(huà)曲線(xiàn)的彎曲程度是幾何研究的重要內(nèi)容，曲線(xiàn)的曲率是針對(duì)曲線(xiàn)上某個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，曲線(xiàn)的曲率越大，表示曲線(xiàn)的彎曲程度越大.若記，則函數(shù)在點(diǎn)處的曲率.(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率；(2)已知函數(shù)，，若存在，使得的曲率為0，求證：.18．在直角坐標(biāo)系中，已知定圓，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線(xiàn).(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，，（），直線(xiàn)，分別與曲線(xiàn)交于點(diǎn)，（，異于），問(wèn)直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)，求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．若項(xiàng)數(shù)為（）的數(shù)列：，，…，滿(mǎn)足：.定義變換：將數(shù)列中原有的每個(gè)0都變成0，1，原有的每個(gè)1都變成1，0，若，1，.(1)求；(2)若中0的個(gè)數(shù)記為，1的個(gè)數(shù)記為，，求；(3)記中連續(xù)兩項(xiàng)都是1的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)記為，求.1．A【分析】分別求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】由題意，，或所以.故選：A．2．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模化簡(jiǎn)可解.【詳解】由題意，由，即，化簡(jiǎn)得.故選：B．3．D【分析】利用投影向量的公式即可求解.【詳解】向量在向量方向上的投影向量，故選：D．4．C【分析】借助輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】，其中，，又當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，即，所以，故選：C．5．B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系采用疊加法即可.【詳解】根據(jù)題意，，，，，…，，，則，，…，，，將上述各式兩邊相加得，，所以.故選：B．6．B【分析】根據(jù)三角形面積公式和余弦定理，結(jié)合輔助角公式可得角和，再利用正弦定理可求外接圓半徑，等面積法求內(nèi)切圓半徑，從而求解.【詳解】因?yàn)椋裕?，由余弦定理，得，，，在三角形中，則或(舍)，故，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，則，因?yàn)?，所以，所?故選：B.7．C【分析】根據(jù)游戲規(guī)則可直接判定A；根據(jù)，可計(jì)算，，判斷B；由全概率公式判斷C；由選項(xiàng)C可得為等差數(shù)列，結(jié)合1數(shù)列通項(xiàng)公式可判斷D.【詳解】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，游戲幣已經(jīng)輸光了，因此，當(dāng)時(shí)，參與者已經(jīng)到了終止游戲的條件，因此輸光的概率，故A正確；對(duì)于B，由題意可得，，所以，故B正確；對(duì)于C，參與者有n個(gè)游戲幣的狀態(tài)，可能來(lái)源于有個(gè)游戲幣再贏(yíng)一局，也可能來(lái)源于有個(gè)游戲幣再輸一局，由全概率公式，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C得，所以為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)，設(shè)公差為，則，即，，所以，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：C．8．D【分析】對(duì)式子變形后利用基本不等式求解最值即可.【詳解】由題意實(shí)數(shù)，，不全為0，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.9．ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖數(shù)據(jù)分布判斷A，根據(jù)回歸分析線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)范圍判斷B，根據(jù)回歸分析決定系數(shù)的定義判斷C，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷D.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得，單峰不對(duì)稱(chēng)且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)變大，中位數(shù)變小，故平均數(shù)大于中位數(shù)，A正確；回歸分析中，線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；回歸分析中，決定系數(shù)越大，擬合效果越好，故C正確；在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，當(dāng)（為的臨界值）時(shí)，推斷零假設(shè)不成立，故D正確.故選：ACD10．BCD【分析】作，，，由已知得A，B在以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)矩形性質(zhì)得點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，8為半徑的圓上，從而得，根據(jù)選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】如圖，作，，，由，可知A，B在以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓上，以，為鄰邊作矩形，由矩形的性質(zhì)可知，，可得，即點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，8為半徑的圓上，所以，即，所以.故選：BCD11．ABC【分析】延長(zhǎng)到M，交延長(zhǎng)線(xiàn)于M，利用雙曲線(xiàn)定義即可判斷A，根據(jù)三角形面積和正弦函數(shù)性質(zhì)判斷B，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義和焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓性質(zhì)得到其中一個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)的方程，解出即可判斷C，利用雙曲線(xiàn)定義及正弦定理化簡(jiǎn)即可判斷D.【詳解】如圖，延長(zhǎng)到M，交延長(zhǎng)線(xiàn)于M，則，為三角形的中位線(xiàn)，所以，故A正確；結(jié)合選項(xiàng)A，同理，所以三角形面積，故B正確；如圖，設(shè)內(nèi)切圓與內(nèi)切的切線(xiàn)長(zhǎng)分別為，由雙曲線(xiàn)的定義知，即，又，所以，又，所以的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)，故C正確；由題意，，則①，記，如圖：由正弦定理得②，由①、②得：，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分利用三角形內(nèi)切圓性質(zhì)和雙曲線(xiàn)定義從而判斷C選項(xiàng)，利用雙曲線(xiàn)定義及正弦定理建立方程，利用三角恒等變換及離心率的定義判斷D選項(xiàng).12．（答案不唯一）【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知指數(shù)函數(shù)符合題意.【詳解】根據(jù)題意，且，則，有，，所以定義域內(nèi)任意的，，都有，所以指數(shù)函數(shù)符合題意.故答案為：（答案不唯一）13．40【分析】將“羨除”分割為兩個(gè)四棱錐和一個(gè)直棱柱求體積.【詳解】如圖，平面內(nèi)，過(guò)分別作的垂線(xiàn)，垂足分別為，平面內(nèi)，過(guò)分別作的垂線(xiàn)，與分別交于，將“羨除”分割為兩個(gè)四棱錐，和直棱柱，由，四邊形，，為等腰梯形，且平面平面.則，，，故所求幾何體的體積為．故答案為：4014．【分析】由題意有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性并畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合得，令，通過(guò)指對(duì)化化得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求解最值，進(jìn)而，即可求解的取值范圍.【詳解】因?yàn)椴皇欠匠痰母?，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以的極小值為，圖象大致如圖：若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，即，且，令，則，由，得，又，所以，所以，取對(duì)得，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，則.又在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.15．(1)證明見(jiàn)解析(2)46.4【分析】（1）根據(jù)方差公式結(jié)合完全平方和公式變形證明即可；（2）先由分層抽樣方法求得男生和女生抽取人數(shù)，然后計(jì)算總體平均數(shù)，再代入（1）中的公式計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：已知總體分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，，由，得，所以.（2）設(shè)在男生、女生中分別抽取m名和n名，則，解得，，記抽取的總樣本的平均數(shù)為，根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得：，所以，抽取的總樣本的平均數(shù)為166cm；男生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為；女生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，記總樣本的樣本方差為，則，所以，估計(jì)高三年級(jí)全體學(xué)生的身高的方差為46.4.16．(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）由題意可得，，根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)有，，即可證結(jié)論；（2）因?yàn)椋訟為原點(diǎn)，建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，利用面面夾角的向量法求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，，是等腰直角三角形，故，所以，又，所以，所以，，，四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)?，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)?，則，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則有，化簡(jiǎn)得，所以可取，，.設(shè)平面的法向量為，則有，化簡(jiǎn)得，所以取，平面與平面的夾角即與夾角或其補(bǔ)角，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為..17．(1)(2)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）利用函數(shù)在點(diǎn)處的曲率的定義求解；（2）由曲率為0，得到，令，則有兩個(gè)解，設(shè)為，，，則，從而，設(shè)，化簡(jiǎn)得到，，將問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證.【詳解】（1）解：，，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率為（2）證明：由題意可得，，若曲率為0，則，即，即，令，則，得，所以在上，，單調(diào)遞增，且；在上，，單調(diào)遞減，且.又，所以有兩個(gè)解.設(shè)為，，，又，所以，可設(shè)，，所以，，，化簡(jiǎn)可得，則.要證，即證，需要證，即證，令，，所以在上單調(diào)遞增，所以，得證．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由曲率為0，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，設(shè)，，，則，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，得到，，從而化簡(jiǎn)得到，，將問(wèn)題之和為而得證.18．(1)(2)過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)N的軌跡為橢圓，寫(xiě)出方程；（2）根據(jù)題意得，設(shè)直線(xiàn)GH的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，利用換元法可求的值，從而找到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在：內(nèi)，所以圓N內(nèi)切于圓M，則，由橢圓定義知，圓心N的軌跡為橢圓，且，，則，，所以動(dòng)圓圓心N的軌跡方程為．（2）由，則，設(shè)直線(xiàn)GH的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程整理得兩邊同時(shí)除以，得令，整理得由已知：，解得：，所以直線(xiàn)GH的方程為：，即，所以直線(xiàn)GH恒過(guò)點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在第（2）問(wèn)中，發(fā)現(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)GH的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，得之后換元，利用韋達(dá)定理可求的值，從而找到定點(diǎn)坐標(biāo).19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)定義