相似三角形基本模型綜合培優(yōu)訓(xùn)練（四）（解析版）

相似三角形基本模型綜合培優(yōu)訓(xùn)練（四）1．如圖，在中，，，，是邊上的中線，將沿射線方向以每秒個(gè)單位長度的速度平移，平移后的三角形記為，設(shè)與重疊部分的面積為，平移運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，則下列圖象能反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)BD與交于點(diǎn)E，如圖，當(dāng)時(shí)，平移了個(gè)單位長度，即∵，，，∴，，∴，，∴，∵中，是邊上的中線，∴，∴與是等腰三角形，∵沿射線方向平移后的三角形記為，∴，∵，∴是的中位線，∴，∴，即時(shí)，，故可得C、D錯(cuò)誤，當(dāng)，AB與交于點(diǎn)H，如圖：∵，∴，，即，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的速度可知：，即，∴，即，∴，，可見當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像為開口向上的拋物線，則A符合題意，B為一次函數(shù)不符合題意．故選：A．2．如圖①，已知Rt△ABC的斜邊BC和正方形DEFG的邊DE都在直線l上（BC＜DE），且點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，△ABC沿直線l向右勻速平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，△ABC停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)DG被△ABC截得的線段長y與△ABC平移的距離x之間的函數(shù)圖像如圖②，則當(dāng)x＝3時(shí)，△ABC和正方形DEFG重合部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖①，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∴∠AHB=∠AHC=∠BAC=，∴∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠HAC=，∴∠ABH=∠HAC，∴△ABH∽△CAH，∴AH：HC=BH：AH，結(jié)合圖①可知，當(dāng)點(diǎn)H和點(diǎn)D重合時(shí)，DG被截得的線段長最長，即CH=1；當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)D重合時(shí)，由函數(shù)圖像可得：BC=4，∴BH=3，∴AH：1=3：AH，即（負(fù)值舍去），當(dāng)x=3時(shí)，，如圖②，∴設(shè)與DG的交點(diǎn)為M，由，則，∴，∴1：3=MD：，即，∴故選：C．3．如圖，直線y=2x+5與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例交于C、D兩點(diǎn)，直線OD交反比例于點(diǎn)E，連接CE交y軸于點(diǎn)F，若CF：EF=1：4，則△DCE的面積為（

）A．8 B．5 C．7.5 D．6【答案】C【詳解】解：∵直線y=2x+5與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，令得，令得，∴，如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，設(shè)，則，∴，∵，∴，設(shè)，∵軸，軸，∴，∴，∴，∵軸，軸，∴，∴設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，，∵在上，∴，∴，解得，∴，，∴，,∵關(guān)于對稱，∴，∴，,，∵,∴,∴是,∴，故選C．4．如圖，正方形和正方形的頂點(diǎn)在同一條直線上，頂點(diǎn)在同一條直線上．O是的中點(diǎn)，的平分線過點(diǎn)D，交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)N．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵四邊形和四邊形是正方形，．(SAS)，．，．，．平分．，(ASA)．．又是的中點(diǎn)，．，．，．設(shè)，正方形的邊長是，則∴，，即，解得，（舍去），則．故選C．5．如圖平行四邊形ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長AD至E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點(diǎn)G，若△DEG的面積是1，則五邊形DABFG的面積是（）A．11 B．12 C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，連接BG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，AD=BC，∴∠E=∠CFG，∵F為BC中點(diǎn)，∴FC=BC=AD，∵DE：AD=1：3，∴DE：BC=1：3，∴DE：CF=2：3，∵∠E=∠CFG，∠DGE=∠CGF，∴△DGE∽CGF，∴DG：CG=DE：CF=2：3，∴，∴，取AD的中點(diǎn)Q，連接FQ，∴FQDG，∴△EDG∽△EQF，∴DE：EQ=1：2.5=2：5，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．6．如圖，已知、為的邊上的兩點(diǎn)，且滿足，一條平行于的直線分別交、、的延長線于點(diǎn)、、，則________．【答案】3【詳解】過點(diǎn)M作MGDF，點(diǎn)G在AB上，過點(diǎn)N作NHDF，H在AB上，NH交AM于I，則有MGDFNHAC∵GMNH，∴△BMG∽△BNH∴又∵BM=，∴∵M(jìn)GNHAC，∴∴∵M(jìn)GNH∴△AHI∽△AGM

∴又∵∴∴又∵DFNH

∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，∴∴∴故答案是：3．7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在邊AD和BC上，沿MN折疊四邊形ABCD，使點(diǎn)A、B分別落在A、B處，得四邊形A1B1NM，點(diǎn)B在DC上，過點(diǎn)M作ME⊥BC于點(diǎn)E，連接BB，則下列結(jié)論：①∠MNB＝∠ABB；②△MEN∽△BCB；③；④若點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，則AM＝，其中，正確結(jié)論的序號(hào)是_____．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都在填在橫線上）【答案】①②③【詳解】解：由折疊可知：∠MNB＝∠BNM，MN⊥BB，∴∠BNM+∠BBN＝90°，∵∠ABB+∠BBN＝90°，∴∠BNM＝∠ABB，∴∠MNB＝∠ABB，故①正確；∵M(jìn)E⊥BC，∴∠MNE+∠NME＝90°，由折疊的性質(zhì)可得：MN⊥BB，∴∠MNE+∠BBN＝90°，∴∠NME＝∠BBN，∴△MEN∽△BCB，故②正確；由②可知：＝，∵M(jìn)E＝AB＝2，BC＝4∴＝，為定值，故③正確；∵△MEN∽△BCB，∴＝，∴NE＝BC，若點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，則BC＝DC，∴NE＝DC＝×2＝，設(shè)BN＝x，則NC＝4﹣x，BN＝x，在Rt△BNC中，由勾股定理可得，解得：x＝，∴AM＝BE＝BN﹣NE＝，故④不正確．故答案為：①②③．8．正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE=3，M為線段AE上一點(diǎn)，射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BF=AE，則BM的長為_______．【答案】或【詳解】分情況討論：①如圖1，BM交邊AD于點(diǎn)F

圖1,,Rt△ABE≌Rt△BAF連接FE，則四邊形ABEF為矩形，，②如圖2，射線BM交邊CD于點(diǎn)F

圖2≌，，,即BF垂直AE，∴,,,．故答案為：．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形A′B′CD′，B′C與AD交于點(diǎn)E，AD的延長線與A′D′交于點(diǎn)F．當(dāng)矩形A'B'CD'的頂點(diǎn)A'落在CD的延長線上時(shí)，則EF＝_____．【答案】【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形A′B′CD′，∴，，，在中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴DF，同理可得，∴，∴，∴ED，∴EF＝ED+DF，故答案為：．10．如圖在中，∠ACB=90°，AC=BC，D在AB上，AD=8，BD=4，點(diǎn)E在CD上，∠AEB=135°，則CE=______．【答案】【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥CD，垂足為P，連接BP，過點(diǎn)D作DK⊥BC于點(diǎn)K，過點(diǎn)B作BM⊥AP，交AP的延長線于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦CB=90°，AC=BC，所以∠DBK=∠BDK=45°，所以DK=BK；因?yàn)镈KAC，所以，所以；因?yàn)椤螱AC=90°-∠ACP，∠DCK=90°-∠ACP，所以∠GAC=∠DCK，所以△GAC∽△DCK，所以，所以，所以AC=2CG=BC=CG+BG,所以BG=CG．因?yàn)椤螩PG=∠BMG=90°，∠CGP=∠BGM，所以△GPC≌△GMB，所以GP=GM，所以四邊形BPCM是平行四邊形，所以BPCM，所以∠CMP=∠BPM，因?yàn)椤螦CB=∠AMB=90°，所以A、C、M、B四點(diǎn)共圓，所以∠AMC=∠ABC=45°，所以∠MPB=45°，所以∠APB=135°，因?yàn)椤螦EB=135°，所以點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，所以AE⊥CD，因?yàn)椤螦CB=90°，AC=BC，AD=8，BD=4，所以AC=BC=，所以CG=，AG=，所以，所以=，故答案為：．11．正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)E、F在CB、DC延長線上，且BE=CF，AE與BF延長線交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求證AE⊥BF；(2)如圖2，點(diǎn)M是FG延長線上一點(diǎn)，MG=BG，∠MAD的平分線交BF于點(diǎn)N，連接CN．試探究AN、CN、BN三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，G為BC上一點(diǎn)，過G作GH⊥DG交AB于H點(diǎn)，當(dāng)BG=____，BH達(dá)到最大值，最大值是____．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析(3)1，【解析】（1）解：證明：如圖1，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，．（2），證明：如圖2，連接，作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖3，設(shè)，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，達(dá)到最大值，最大值是，故答案為：1，．12．已知：，．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合，其中），以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為腰作等腰直角，連接，求的度數(shù)．(2)當(dāng)，，連接，若點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）且滿足，連接，試判斷線段與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，，證明見解析【解析】（1）解：如圖1，設(shè)與交于點(diǎn)，，，且，，，，，，，，，，，，，，，．（2）解：，，證明：，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，，，，于點(diǎn)，，，在和中，，，，，，．13．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，，若，，則___________；（2）如圖2，四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在線段BC上且，連接DE，作，交AB于點(diǎn)F，則四邊形ADEF的面積是多少？（3）如圖3，四邊形ABCD中，，點(diǎn)C到AB的距離為10，，且．當(dāng)四邊形ABCD的面積是61時(shí)，求CD的長度是多少？【答案】（1）4（2）55（3）【詳解】解：（1）∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠DPA+∠CPB=90°，∵∠DPA+∠ADP=90°，∴∠ADP=∠CPB，∴△ADP∽△BPC，∴，∵AP=2，PC=2DP，∴，∴BC=4；（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，∴四邊形ADHB是矩形，∴DH=AB=8，BH=AD=10，∵BE=6，∴HE=4，∵∠B=∠DEF=90°，∴∠BFE=∠DEH，又∵∠B=∠DHE=90°，∴△BFE∽△HED，∴，∴，∴BF=3，∴=8×10?-=55；（3）過點(diǎn)C作EFAB，過點(diǎn)D作EF的垂線交EF于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BF⊥EF于點(diǎn)F，則FB=EH=10，由（1）知△ECD∽△FBC，∴，∴EC=5，設(shè)ED=x，則CF=2x，HD=(10-x)，HA=(2x+5-8)=(2x-3)，∴=10×(2x+5)-==61解得：，∴ED=2，∴CD=．14．如圖1，已知正方形和正方形，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，，．連接．(1)求圖1中、的長（用含m的代數(shù)式表示）．(2)如圖2，正方形固定不動(dòng)，將圖1中的正方形繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（），試探究、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，在（2）條件下，當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)，E在同一直線上時(shí)，連接并延長交于點(diǎn)H，若，求m的值．【答案】(1)BG=，AF＝(2)AF=BG(3)【解析】（1）解：延長FG交AB于H，如圖1，∵正方形和正方形，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，∴∠ABC=∠BCD=∠CGD=∠CGH=90°，AB=BC=m，CG=GF=CE=1，在Rt△BCG中，由勾股定理，得；∴∠BHG=90°，∴四邊形BCGH是矩形，∠AHG=90°，∴GH=BC=m，BH=CG=1，∴AH=m-1，在Rt△AHG中，由勾股定理，得；（2）解：連接AC、CF，如圖2，∵正方形和正方形，∴∠ACB=∠FCG=45°，∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠ACG，∴∠BCG=∠ACF，在等腰Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=BC，在等腰Rt△FGC中，由勾股定理，得CF=CG，∴，∴△ACF∽△BCG，∴，即AF=BG；（3）解：連接AC，如圖3，∵正方形和正方形，∴∠CAD=∠CFE=45°，CD=AD=BC=m，∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∠CAD=∠CAF+∠FAH，∴∠FAH=∠ACF，∵∠AHF=∠CHA，∴△AHF∽△CHA，∴，∵正方形，EF=CE=1，∴CF=，∴CH=CF+FH=+=2，∴，∴AH=2，∴DH=AD-AG=m-2，在Rt△CDH中，由勾股定理，得，即解得：，(不符合題意，舍去)．∴m的值為．15．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，過點(diǎn)D作射線AE的垂線，垂足為F，連接CF．(1)如圖1，若AD＝5，DF