2015年高考數(shù)學(xué)考前必做題系列附答案解析及考點(diǎn)歸納（理科）

2015年高考數(shù)學(xué)考前必做題系列(理科)

1.系列一考前必做難題系列附答案解析

2.系列二考前必做基礎(chǔ)系列附答案解析

3.系列系三名校模擬精華列附答案解析

4.系列四最有可能考的系列附答案解析

5.系列五新題精選系列附答案解析

6.系列六經(jīng)典母題系列附答案解析

系列一考前必做難題系列附答案解析

1.設(shè)/(X)與g(x)是定義在同一區(qū)間［a,6］上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y=/(x)—g(x)在可上

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱.段)和g(x)在⑷6］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間⑷勾稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若

/(x)=x2-3x+4與g(x)=2x+〃］在［0,3］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則機(jī)的取值范圍是().

A.1一；,-2B.［-1,0］C.(-00,-2］D.f一0°)

【答案】A

【解析】人工)=如-3*+4為開口向上的拋物線，g(x)=2x+泄是斜率k=2的直線，可先求出￡x)=2x+虺與

<511、9一

&r)=x2—3x+4相切時(shí)的加值.由〃x)=2x—3=2得切點(diǎn)為，此時(shí)泄=一一，因此｛x)=R—3x+

\24)4

9

4的圖象與g(x)=2x+m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)只需將g(x)=X-—向上平移即可.再考慮區(qū)間［0,3］,可得點(diǎn)(3,4)

4

為｛x)=x2—3x+4圖象上最右邊的點(diǎn)，此時(shí):"=-2,所以(-(，-2.

【考點(diǎn)定位】1、函數(shù)的變換；2、新定義.

2.已知以7=4為周期的函數(shù)/(》)=,':一\"6(-11］,其中加〉0。若方程

l-|x-2|,xe(l,3］

3/(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則機(jī)的取值范圍為()

B.(半，歷c(*|)

A.D.(2,⑺

亍'

7

【答案】B

【解析】>=小萬二7,六(-1,1］的圖象為橢圓上半部分，y=l-|x-2|,xe(L3］的圖象為兩條線段根據(jù)

了。)的周期T=4可知其圖象，由方程3/(x)=x恰有:個(gè)實(shí)數(shù)解，則3w71-(x-4)2=x有兩解即

(9>+】)/-72??Jx+135*=o有兩解，所以A=(-72w2尸-4x(9切②+1).135>>0解得加>半,

3my/l-(x-8)2=x無解即(9>+1*-144>x+63x9>=0無解，所以

A=(-144w2)3-4x(9w2+1)63x9w2<0解得加〈幣.故<m〈幣

[考點(diǎn)定位】考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的圖像分析函數(shù)圖像和性質(zhì)的能力，考察數(shù)形結(jié)合的能力.

3.定義在H上的可導(dǎo)函數(shù)/(x),當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/(x)+/，(x)<M'(x)恒成立，

4=7(2),6=3〃3),。=(&+1)/(后)，則4也。的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

「解析】由當(dāng)xe(L40o)時(shí),/(x)+/'(x)<^'(x)恒成立知，當(dāng)當(dāng)xe(L4oo)

吐(x-l)/'(x)-/(x)>0,:.g'(x)=(")'>0所以g(x)在Xe(1,母)上是增函數(shù)因?yàn)?/p>

應(yīng)<2<3,.'.g(點(diǎn))<g(2)<g(3),:.c=(0+1)/(0)=“=磐=烏

12—12—13—1

L【考點(diǎn)定位】導(dǎo)致的應(yīng)用

4.設(shè)函數(shù)/(x)=—,g(x)=ax2+bx(a,beR,a手0),若^=/(x)的圖象與>=g(x)圖象

x

有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)/(演/)3(￡,為),則下列判斷正確的是

A.當(dāng)。<0時(shí)，%+%<。,必+%>0B.當(dāng)Q<0時(shí),X]+%2>°,弘+y2<0

C.當(dāng)Q〉0時(shí)，X]+工2<0,必+8<0D.當(dāng)?！?EI寸，玉+工2〉0,弘+歹2>0

【答案】：B

【解析】：令/。)=8(力可得4=以+8

X

設(shè)>'="+6

x

不妨設(shè)々<叼，結(jié)合圖形可知，

■

當(dāng)a>0時(shí)如右圖，此時(shí)區(qū)|>卜|，

1

3P-%1>x2>0,此時(shí)再+與<0，^2=—>一~-=-yx?即必+丁2>°；同理可由圖形經(jīng)過推理可

得當(dāng)a<0時(shí)不+Xz>0,乃+必)<0?答案應(yīng)選上.

1/

【考點(diǎn)定位】本題從最常見了兩類函數(shù)出發(fā)進(jìn)行了巧妙組合，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論

思想，函數(shù)與方程思想等，難度很大，不易入手，具有很強(qiáng)的區(qū)分度

23420132342013

皿?、IXXXX/、■.XXXx

5.已知函數(shù)f(X)=1+X----1--------F...H-----,2(X)=1—Xd--------1----...

23420132342013

設(shè)函數(shù)尸(x)=/(%+3)-g(x-4)，且函數(shù)尸(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b](a<b,a,beZ)內(nèi),

則6-。的最小值為()

A、11B、10C、9D、8

【答案】B

【解析】

試題分析：/'(x)=l—x+》2—X3+L+X2012=1+X2+L+X2OI2-(X+X3+L+X2011)

11-(一嚴(yán)2x(l-(，)W)_l—/Jx+/3]+xM3〉0

~~i+x>所以」(x)在&上單調(diào)遞增,

/(0)=l>0.=驅(qū)/(x)=0的零點(diǎn)在(-L0)上，而

■

1+2023

g'(x)="——<0,所以g(x)在我上量調(diào)遞減，：g(0)=l>0.

1+x

111122?2,2xa

g(D=l-14------F—...------>0?g(2)=1—2H--------+----...------<0?^iQAg(x)=0的

■2342013■2342013■

零點(diǎn)在(1,2)上，函數(shù)/(x)=/(x+3)-g(x-4)，且函數(shù)/(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間

[a,b](a<b,a,b€Z)內(nèi),/(x+3)的零點(diǎn)在(-4,-3)上,8(8一4)的零點(diǎn)在(5,6)±,b-a

的最小值為6—4=10.

【考點(diǎn)定位】1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,2、根的存在性定理.

1213214321

6.已知數(shù)列為:依它的前10項(xiàng)的規(guī)律，則初+恤。的

1121231234

值為()

,377-117

A.—B.-C.—D.—

2461515

【答案】A

1■~T二1

【解析】通過將數(shù)列的前10項(xiàng)分組得到第一組有一個(gè)數(shù)2,分子分母之和為2；第二組有兩個(gè)數(shù)鄉(xiāng)上，分

112

不分母之和為3；第三組有三個(gè)數(shù)三3,￡2」1，分子分母之和為4；第四組有四個(gè)數(shù)，依次類推，儂，與必分別，

123

是第十四組的第8個(gè)，第9個(gè)數(shù)，分子分母之和為15,所以期=N,故選A..

L.29」

【考點(diǎn)定位】數(shù)列及歸納推理.

7.現(xiàn)有兩個(gè)命題：

(1)若lgx+lgy=lg(x+y),且不等式y(tǒng)>—2x+/恒成立，則/的取值范圍是集合P；

x

(2)若函數(shù)/(x)二——XG(1,+OO)的圖像與函數(shù)g(x)=-2x+/的圖像沒有交點(diǎn)，貝IJ/

x-1

的取值范圍是集合0：

則以下集合關(guān)系正確的是()

A.P\jQB.QUPC.P=Q

D.Pn°=0

【答案】C

【解析】

試題分析：法一、對(duì)(1),由Igx+lgy=lg(x+_y)得砂=x+y即1y=」一(x>Oj>0).

x-1

不等式>>-2x+z恒成立，等價(jià)于z<2x+y恒成立.這只需：<(2X+、)小公即可

2x+7=2x+—=2x+fc^=2x+l+—=2(x-l)+—+3S2^+3(當(dāng)》=巫+1時(shí),

x-1x-1x-1x-12

取等號(hào))z的取值范圍是￡<20+3.,

對(duì)(2)：作出函數(shù)/(x)X,xe(l,+oo)的圖像與函數(shù)g(x)=—2x+/的圖像如圖所示:

對(duì)/(X)=—求導(dǎo)得：f'(x)=——二.由f\x)=——二=—2得x=也+1.由此得

x-1(x-1)2(x-1)22

切點(diǎn)為(m+1,1+行).代入g(x)=-2x+f得/=2拒+3.由圖可知，<2夜+3時(shí)，函數(shù)

x-1

建(L+00)的圖像與函數(shù)8(%)=-2刀+￡的圖徐殳有交點(diǎn)，故￡的取值范圍為￡<272+3.

家上得：尸=。.所以選C.

X

法二、對(duì)⑴:由Igx+lgy=lg(x+y)得9=x+y即丁=----(x>O.y>0).

.xT

T

由于x>0,>>0:.---->0即x>1.

x-1

由此可以看出，這兩個(gè)問題，實(shí)質(zhì)上是同一個(gè)問題.所以Z的取值范圍相同.故選C.

.【考點(diǎn)定位】1、對(duì)數(shù)運(yùn)算；2、函數(shù)的圖象；:、不等關(guān)系；4、重要不等式.

8.函數(shù)/(x,e)=『一「一xsin'+8(x>2)的最小值()

x-l-sin。

A.472B.2V2C.1+4V2D.-1+4V2

【答案】A

【解析】

試題分析：令x-l-sin8=/(/>0),則歹=f+—+l+sin。24ji+l+0n6,又

sin^>-l,所以夕24夜，當(dāng)且僅當(dāng)x=2近，。=2A萬一'時(shí)取』”.

【考點(diǎn)定位】1、基本不等式；2、正弦函數(shù)的有界性.

x-y-2<022

9.設(shè)實(shí)數(shù)xj滿足,x+2y-520,則“=匚乙的取值范圍是()

b-2<0XV

s5,510、cs10,1-

A.［2,5］B，r［2萬］,.⑵予D-［“4］

【答案】C

【解析】C在坐標(biāo)平面上點(diǎn)(xjj所表示的區(qū)域如圖所示，令：=上，根據(jù)幾何意義，C的值即為區(qū)域內(nèi)的

X

點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連統(tǒng)的斜率，顯然點(diǎn)AB是其中的兩個(gè)臨界值，點(diǎn)4(3,1),點(diǎn)8(12),故」Mt42,

、孑'*3

■22

u=^L=t+-.這個(gè)關(guān)于，的函數(shù)在［L1］上象調(diào)遞夠、在［1,2］上單調(diào)遞地，故其最小值為2,最大

?：L3.

值為兩個(gè)端點(diǎn)值中的大者，計(jì)真知霰大值為3.

L3?

【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃.

10.如圖，正方體/8C。-44GB的棱長(zhǎng)為百，以頂點(diǎn)A為球心，2為半徑作一個(gè)球,

則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長(zhǎng)之和等于（）

【答案】A

【解析】

做題分析：由題得，圓弧而在以B為圖I，半徑為的圓上，而解而在以A為圓心件徑為AE=2曠

圓上.故麗?L2”8G=L2“立日-482=2,由于cos=絲=立==300,故

442AE2

■

Z.EAF=30°.則EF=%2”.2=2，所以麗-筋?史故選A

36036

?【者點(diǎn)定位】席fit長(zhǎng)唐的計(jì)直、球..

X2記工22

11.已知/、B是橢圓--4——=1（“>6>0）和雙曲線---—―=1（<?>0,b>0）的公共頂點(diǎn).P

a~ba-b~

是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（尸、/都異于4、B）,且滿足NA+9=2（彳而+

瓦必），其中4GR,設(shè)直線/尸、BP、AM、8"的斜率分別記為鬲、后、上3、自，自+42=5,

則左3+44=.

B

A

【答案】-5

【解析】設(shè)P（m,明、M（5,/）?則

2工22工2-

與+彳=1,$2一出=一勺，由存+品=，（赤+礪）.

abb

■

得痂=2兩，即巴=￡.鬲+咫=3+3=臥=第=工

msm+am-am-ana

"2M…/.t2st2s?2b3s2/5a2

_=無+匕=+一=_5_^,=_=_二=_七亦

Lw5as+as-as-a?atata2b

【考點(diǎn)定位】宜線與圓錐曲線.

12.已知等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)0=1,公差d>0,且%、%、%分別是等比數(shù)列他,｝的

打、4、bq.

（1）求數(shù)列｛凡｝和也｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列｛%｝對(duì)任意正整數(shù)〃均有*R+4■+…+%=a,用成立，求q+。2+…+c20l4的

4bib,

值.

【答案】（1）%=2〃-1,〃,=3"T；（2）32014.

【解析】

試題分析：（1）將。2、%、卬4利用可與4表示，結(jié)合條件%、生、《4成等比數(shù)列列式

求出d的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，根據(jù)條件a=%、

仇=心求出等比數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；（2）先令〃=1求出G的值，然后再令〃N2,由

幺+￡1+…+%=4得到氣+&+…J

4b2b?"b2初

=a?,并將兩式相激，從而求出數(shù)列｛cj的通項(xiàng)公式：然后根據(jù)數(shù)列｛4｝通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)選擇錯(cuò)位相減法

求數(shù)列｛cj的前2014項(xiàng)和

試題解析：(1),.?。2=1+4,。5=1+44巧,=,+1M,且。2、。5、。14成等比數(shù)列，

：.(l+4d)2=(l+d)C即d=2,

..%=1+(?-1)2=2?-1

又,:=%=3,多=%=9,..(7=3?4=1,4=3"":

■■

4%b?

—=dtj?即q==3，!

又人+幺+…2.=%(722j,②

①-②得—=a*+i-％=2,

.b...

3,〃=1

??.C,,=24=23,T(〃N2),

2-y-',n>2

=J)l41

則C[+。2H—,+c20|43+2,3'+2-3"+,??+2-3

3+2-(3'+32+---+32()B)=3+2X

【考點(diǎn)定位】1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.定義法求通項(xiàng)；3.錯(cuò)位相減法求和

13.設(shè)無窮等比數(shù)列也,｝的公比為q,且凡〉0(〃GN*),[%]表示不超過實(shí)數(shù)%的最大整

數(shù)(如[2.5]=2)，記4=以”],數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S,，數(shù)列｛“｝的前〃項(xiàng)和為方.

(I)若q=4,g=；,求北；

(H)若對(duì)于任意不超過2014的正整數(shù)n,都有北=2〃+1,證明：弓)痂＜夕＜1.

(III)證明：&=方(〃=1,2,3,L)的充分必要條件為0撾N*,qN*.

4,〃=1,

【答案】(1)T“=＜6,〃=2,；(||)答案詳見解析；(W)答案詳見解析.

7,〃》3.

【解析】

試題分析：(I)由已知得，a=4,叼=2,%=1,且當(dāng)8>3時(shí)，0<見<1.且瓦=[%],故4=4,4=2,

4=1,且當(dāng)加>3時(shí)，4=&]=0,進(jìn)而求罌；(11)已知數(shù)列｛4｝的前同項(xiàng)和北=2總+1(1<?<2014),

可求得4=3急=2(2《%七2014),由取整函數(shù)得為e[3,4),即e[2,3)(2W%W2014),故夕="<1,要

證明(2)薪”，只需證明2</巴故可聯(lián)想到.M=%產(chǎn)％[2,3),則/。瞋汕>2；(HD先

33a23

證明充分性，當(dāng)geN時(shí)，a”=4/^eN,由取整函數(shù)的性質(zhì)得々=[%]=《，報(bào)s"="必

要性的證明，當(dāng)屬=年時(shí)，％=耳，則有的丘可，gcN.

試題解析：(I)解：由等比數(shù)列Q)的/=4,4=(，得4=4,叼=2,%=1,且當(dāng)*>3時(shí)，0</<1.

所以?=4,4=2，4=1，且當(dāng)〃>3時(shí)，￡>=[a,,]=0.

4,〃=1,

即Tn=<6,〃=2,

7,“23.

(H)證明:因?yàn)?；=2?+1(/7^2014),所以4=(=3,

bn=Tn-Tn_i=2(2^20l4).

因?yàn)閎n=[an].

所以<7,e[3,4),a“e[2,3)(2W〃W2014).

20l2

由鄉(xiāng)="，得q<l.因?yàn)閍2014=^e[2,3),

所以q20'2,

a23

所以|<720'2<1-即弓)赤1<q<L

(III)證明：(充分性)因?yàn)閝iN*,q\N*,所以為=a0"iN*,

所以4=也」=為對(duì)一切正整數(shù)n都成立?

因?yàn)間=q+%+L+。“，Tn=b｝+b2+L+bn,

所以凡=罌

(必要性.)因?yàn)閷?duì)于任意的"CN,￥=￡,

當(dāng)〃=1時(shí)，由4=6],4=看，得烏=4；

當(dāng)心2時(shí)，由％=S,—Sf,-2,得4=4

所以對(duì)一切正整數(shù)n都有%=4.

由々WZ,2>0,得對(duì)一切正整數(shù)n都有a”eN*,

所以公比9=竺為正有理數(shù)

?

假設(shè)g￡N，令q=f，其中p/CN,r>b且p與r的最大公約數(shù)為1.

國為馬是一個(gè)有限整數(shù)，.

所以必然存在個(gè)整數(shù)左(左IN),使得4能被/整除，而不能被rM整除.

￡+1

又因?yàn)?+2=。""’=筆一，且P與r的最大公約數(shù)為1.

r

所以4+2iZ,這與qjN*(〃iN*)矛盾.所以qeN*.

因此qiN*,qwN*.

【考點(diǎn)定位】1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、數(shù)列前n項(xiàng)和；3、充要條件.

14.如圖，四棱錐P-Z8CD中，底面是平行四邊形，NG4O=90。，尸/,平面

ABCD,PA=BC=T,AB=6,歹是8C的中點(diǎn).

(1)求證：平面R4C；

(2)若以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線ZC、AD,/P分別是x軸、y軸、z軸的正半軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，已經(jīng)計(jì)算得7=(1,1,1)是平面PCD的法向量，求平面P/尸與平面PCD

所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)參考解析；(2)叵

5

【解析】

，分析：(D需證明DAX平面PAC，轉(zhuǎn)化為證明ADJ_AGAD_LPA因?yàn)镻A垂直平面ABCD,由題意

可得.4D±AC,AD±PA顯然成立，即可得結(jié)論.-

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椤?=QU)是平面產(chǎn)。的法向量，所以求出平面PAF的法向量

^=(1,2,0),再根據(jù)兩平面的法向量的夾角的余弦值，即可得到平面R4F與平面尸8所成稅二面角的余

弦值,

試題解析：^(0,0,0),C(l,0,0),5(1,-1,0),￡)(0,1,0),^(1.~1.0),P(0,0,1).(1)證明方法一：?.?四邊形是

平行四邊形，?.?R4_L平面旗8..PALDA,又為C_Ld4,AC[}PA=A,

ZXJ■平面月4c

K法二：證需方丑?平面正火C的一個(gè)法向量，.平而P4c

U

(2)通過平面幾何圖形性質(zhì)或者解線性方程組，計(jì)算得平面尸4廠一個(gè)法向量為m=(1,2,0),

U*1*5Z—

15r|加?〃|J15

又平面PC。法向量為〃=(14,1)，所以cos＜加,〃〉=3一］=士

IAWIIWI5

所求二面角的余弦值為姮.

5

[考點(diǎn)定位】1.線面垂直的證明2.：面角.3.空間向量的運(yùn)算4運(yùn)算的能力.

15.如圖，直三棱柱ABC-A|B|G中，D、E分別是棱BC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CG上,

已知AB=AC,AA|=3,BC=CF=2.

(1)求證：GE〃平面ADF；

⑵設(shè)點(diǎn)M在棱BBI上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM,平面ADF?

【答案】(1)見解析(2)當(dāng)BM=1時(shí)

【解析】(1)證明：連結(jié)CE交AD于O,連結(jié)OF.

因?yàn)镃E,AD為AABC中線，所以O(shè)為aABC的重心，工工=0°=2

CC,CE3

從而OF*C】EOFF平面ADF,?Eg平面ADF,所以GE〃平面ADF

（2）解：當(dāng)BM=1時(shí)，平面CAMJ■平面ADF

在直三棱柱ABC-AiBiC】中，由于B】BJ■平面ABC,BB】U平面B】BCC”所以平面&BCGJ■平面ABC

由于AB=ACD是BC中點(diǎn)，所以AD_L3c又平面3.3CC】C平面ABC=BC，所以AD_L平面BjBCQ.而,

CMU平面B】BCCi，于是AD_LCM.因?yàn)锽M=CD=1,BC=CF=>.所以RtaCBMaRrZiFCD,所以

CM±DFDF與AD相交，所以CM_L平面ADFCM_L平面CAM,所以平面CAMJ?平面ADF.當(dāng)BM=1時(shí),

平面CARLL平面ADF..

【考點(diǎn)定位】空間線、面間的位置關(guān)系.

16.在aABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=1,D為線段BC的中點(diǎn)，E、F為線段

AC的三等分點(diǎn)（如圖①）.將4ABD沿著AD折起到△ABD的位置，連結(jié)BC（如圖②）.

（1）若平面ABDL平面ADC,求三棱錐B--ADC的體積；

（2）記線段BC的中點(diǎn)為H,平面BED與平面HFD的交線為1,求證：HF〃I；

（3）求證：AD±B'E.

【答案】（1）-（2）見解析（3）見解析

8

【解析】（1）解：在直角AABC中，D為BC的中點(diǎn)，所以AD=BD=CD.又NB=60。，所以

△ABD是等邊三角形.取AD中點(diǎn)0,連結(jié)B。,所以B，O_LAD.因?yàn)槠矫鍭BDJ_平面ADC,

平面ABDCT平面ADC=AD,B，0u平面ABD,所以Bz0±平面ADC.在^ABC中，ZBAC

=90°,NB=60°,AB=1,D為BC的

中點(diǎn)，所以AC=5,所以Sa.3=LLlx5=直所以三棱傕BMC的體積為V=

2224

-xS<iADcXBg=L-

38

M）證明：因?yàn)镠為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，所以HF〃3三又HF〃平面BED,BtC平面.

BED,所以HF〃平面BED因?yàn)镠FU平面HTD,平面3EDC平面MFD=L所以HF〃l

（3）證明：連結(jié)EO,由（1）知，BO1AD

因?yàn)锳E=^,AO=1,NDAC=30>,

■32■■

____________________________h

所以EO=yjAE*2+3AO2-2AEAOCOS30°=—.

所以AO2+EC>2=AE2.所以AD1EO.

又B，Ou平面B，EO,EOu平面B，EO,B，OCEO=O,

所以ADJ_平面B，EO.學(xué)科網(wǎng)

又B，Eu平面B，EO,所以AD_LBE

【考點(diǎn)定位】1、幾何體的體積；2、空間線、面間的位置關(guān)系.

17.如圖，正三棱柱NBC-44G所有棱長(zhǎng)都是2,D棱AC的中點(diǎn)，E是CQ棱的中點(diǎn),

AE交同。于點(diǎn)H.

（1）求證：平面/6。；

（2）求二面角。一84的余弦值；

（3）求點(diǎn)耳到平面AiBD的距離.

【答案】（1）參考解析；（2）孚；（3）孚

【解析】

配題分析：⑴由正三棱柱演，-4州不可得平面此BJ?平面4c又DB_L.4c所以如圖建立空間直角坐'

除系分別點(diǎn)A.E,B,D,4的坐標(biāo)，得出相應(yīng)的向凝即可得到向聾AE與向量BD，向量4。的數(shù)量積為零.

策可得直線松_L平面AfiD

統(tǒng),0,國

（2）由平面4/8,平面AfiB分別求出這兩個(gè)平面的法向量，赧據(jù)法向量的夾角需到二面角。-84-H的

余注值（根提圖形取鏡魚）；一-一

（3）點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)化為直線。法向量的關(guān)系，再通過解三角形的知識(shí)即可得點(diǎn)到平面

的距離.本小題關(guān)鍵是應(yīng)用解三角形的知識(shí).

試題解析：（1）證明：建立如圖所示，IE=（-2,-i,o）赤=（—1,2,0）

~BD=（0,0,-V3）?.?而麗=0而而=0

AAEA.A}D,AE±BD即AE_LAQ,AE1BD

；.AE_L而A,BD

(2)由『麗=0『訪=0=><句(一石)=。.?.取1=(2,1,0)

一再++2M=0

慢面AAjB的法向量為■；豆2=(叼,當(dāng)/2),則由〃24§=0,%.].=0'

-馬+2%+=0m~fAR一一6y/y5

=U=0'啊2"C°我'"/>=^712=V

由圖可知二面角D-BAJ-A的余弦值為半'

(3)祁=(0,2,0),平面AiBD的法向量取若=(2,1,0)

則B】到平面A】BD的距離d-|華:?|=福=竽

【考點(diǎn)定位】1.空間坐標(biāo)系的建立.2.線向垂直的證明.4.：面角的求法5點(diǎn)到平面的距離公式.

18.已知點(diǎn)邛―1,0),月(1,0)分別是橢圓C：W+g=l(“>6>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

a"b

P(l,*)在橢圓上。上.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)直線/1號(hào)=履+優(yōu),/2：丁=近一利,若/1、4均與橢圓。相切，試探究在X軸上是否

存在定點(diǎn)M，點(diǎn)M到Z?/2的距離之積恒為1?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理

由.

【答案】(1)-y+y2=1；(2)滿足題意的定點(diǎn)5存在，其坐標(biāo)為(一1,0)或(1,0)

【解析】

俄題分析：本題主要考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程以及苴線與懶IS的位置關(guān)系等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查分析問題解?

2

決?可題的能力和計(jì)輯能力第一I司，法一：利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求出c，由于點(diǎn)尸在橢圓上，得到方程］+耳=1，

ab

又因?yàn)槿齻€(gè)參里的關(guān)系得『=/+i,聯(lián)立，解出。也以從而得到橢圓的方程；法二：利用橢圓的

I■

定義，2。=|尸耳|+|尸瑪|,利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)國得出a6的值，從而得到精圓的方程；第二間，直

線4與橢圖聯(lián)立，由于它們相切，所以方程只有一個(gè)根，所以A=0,同理直線4與播國聯(lián)立得到表達(dá)式

附2=1+2/,假設(shè)存在點(diǎn)BQ,0)，利用點(diǎn)到直戰(zhàn)的距離，列出表達(dá)式，格加2=1+%2代入整理，使得到

的表法式，解出：的值，從而得各5點(diǎn)坐標(biāo),_.

試題解析：⑴法'：由耳(-1,0),鳥(1,0),得c=l,1分

1

12_1

V+F=12分

=〃+1

LY2

。=及,6=1，橢圓。的方程為'+夕2=14分

2

法二：山片(—1,0),馬(1,0),得c=l,1分

2a=|尸網(wǎng)|+|尸瑪|=J。-1尸+*0尸++川+(浮01=203分

a—5/2,Z>=1

「?橢國C的方程為=+>/=14分

2

0把h的方程代入橢圓方程得(1+2M)/+Amkx+2療-2=05分.

2

?..直線4與橢圓C相切A=16欠％2—4(1+及2)(2w-2)=0，化簡(jiǎn)得

用2=1+2/同理把。的方程代入桶圓方程也得：加2=1+%27分

設(shè)在x軸上存在點(diǎn)BQ,0),點(diǎn)5到直線h4的距離之積為1貝J

竺竺!.牛四=1,即|燔->|=*+1戶9分

把1+2公=病代入并去絕對(duì)值整理，*(/-3)=2或者左2(r—1)=0io分

前式顯然不恒成立;而要使得后式對(duì)任意的左€R恒成立則『-1=0，解得，=±1；

綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)B存在，其坐標(biāo)為(-1,0)或(1,0)12分

【考點(diǎn)定位】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.橢圓的定義；3.兩點(diǎn)間的距離公式；4.點(diǎn)到直線的距離

公式.

19.如圖,已知拋物線=4》的焦點(diǎn)為F,過F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線/與

（2）0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q,求|尸0|+|朋的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）8.

【解析】

戰(zhàn)題分析：⑴只需證之僦+仆=0,設(shè)出M，N唯坐標(biāo)和直線MN方程，再把直線方程與拋物線方程'

聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得證；（2）由（1）設(shè)出的M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別先求出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，還是把設(shè)出的

直線MN方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理把|尸2|,孫表示出來，再根據(jù)直線MN的幀斜角的范圍求

忸Q|+MM的最小值.-,

讀題解析：（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（L0）,準(zhǔn)線方程為x=-L2分

設(shè)直線MN的方程為x=sy+1.設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（4,乃）,（亨,當(dāng)）

山〈2-4沖一4=0,必+,2=4m,必必=一4.4分

y=4x

設(shè)KM和KN的斜率分別為k{,k2,顯然只需證匕+怎=0即可.：K（-1,0）,

?+k一乂?為4(乂+%)02+4)_0

k?k/2+1上+J西+4)V3+4)"'6分

44

（2）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（含,凹）,（午,必），由M,O,P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)

44

為（―1,一一）,由N,O,Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為（—1,——）,7分

必y2

x=叩+10

設(shè)宜線MN的方程為x二叩+1。由《24=>/__4叩-4=0

?,-?!+?!-的JJ廣Y則I尸0=1±±I-二，-&?-'-4)辦

ZJ17jJ

■-6疝+16,4jm‘+19分

又直線MN的頸斜角為氏則加=」—,66(0,加

tan0

????1改卜4尺^=白10分

4

同理可得|附|==T^.13分

447T

|FJ2|+|AW|=—-+—^->8(^=?時(shí)取到等號(hào))15分

sin0sind2

■【考點(diǎn)定位】I、拋物線的方程及性質(zhì)；2、直線與曲線相交的性質(zhì)

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)過點(diǎn)P(-2,0)的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且滿足麗=4"(4>1).

①若;1=3,求3|4用+|班|的值;

②若M、N分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，證明：/AF\M=/BF[N.

2

【答案】⑴]r+V=l.；⑵參考解析

【解析】

X2y2

試題分析:(1)因?yàn)樯綑E圓E:—Y+~^2Ka>b>0)的左焦點(diǎn)為耳(一1,0),即c=1.由點(diǎn)

。(1,半)到兩焦點(diǎn)

的距離和可求出慚圓的長(zhǎng)軸2a從而可以求出橢圖的方程."

(2)(1)通過假設(shè)直統(tǒng)的方程聯(lián)立桶圓方程消去y可得一個(gè)一元二次方程，由韋達(dá)定理即4=3可求出直線

的斜率k的值，從而解出A.B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得結(jié)論.(2)分別求兩■愛”用3片的斜率和，利用韋達(dá)

定理得到的關(guān)系式即可證明斜率和為零即可得到結(jié)論.

成題解析：(1煙為焦點(diǎn)為耳(-L0)，O1.又橢圓過Q(L芋)，?

取橢國的右焦點(diǎn)瑪，瑪(L0)，由|Q耳|+|?，敳芳拥胊=0J=l,

所以橢圓E的方程為E+V=l.

2

.(2)脾j(x“3B(X2,乃)一...

顯然仃線AB斜率存在,設(shè)直線方程為y=k(x+2)

y=k(x+2).,,

由，.212得小就吐的+.=0

得OK左2＜；,..?麗=3?;.8=3凹,

4k,22左2

兇+為二4例二^/跖二？必二寸,

；"2=J.，符合4>0,由對(duì)稱性不妨設(shè)左=1,

42

14~~i■

解得&-1，，，8（0,1）;3M周+忸國=20

②若不=-1則?線E4的方程為7=±日&+2）,?-、

將發(fā)=±日代入得△=（）,不滿足題意:五=-1同理々=-1

'tan/ARN=上,tan4BF、N=-^-,

xx+lx2+1

tan乙^及+tan乙BF,N=上」+且=勺乃+必+x必+為=（［-2）必+，+（$2）為,"

X］+lx24-1（Xj+l）（x2+1）（為+1）*2+1）

222k24k

=V必-5+M）=1（1+汨）-1+2爐=o

.（々+1）（與+口（X1+1）（X2+1）.

.-.tan乙iF、N=-tanABFXN:.NAF、M=4BF、N

【考點(diǎn)定位】1.橢圓的性質(zhì).2.直線叮橢圓的位置關(guān)系3韋達(dá)定理.4.幾何問題構(gòu)建代數(shù)方法解

決.

21.已知點(diǎn)大、尸2為雙曲線C：，—《=1僅＞0）的左、右焦點(diǎn)，過尸2作垂直于x軸的直

線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)且NMGB=30°.圓。的方程是/+/=/.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過雙曲線C上任意一點(diǎn)尸作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為勺、P2,求

麗?西的值；

（3）過圓。上任意一點(diǎn)Q（x0,打）作圓。的切線/交雙曲線C于/、8兩點(diǎn)，中點(diǎn)為〃，

求證：|刀卜21兩］.

【答案】⑴f_2L=l；（2）4；（3）證明見解析.

29

【解析】

試題分析：（1）從雙曲線方程中發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)參數(shù)，因此我們只要找一個(gè)關(guān)系式就可求解，

2

而這個(gè)關(guān)系式在火/加鳴鳥中，NMg=30。,W|=2c=2jl+/,\FtM\=b,通

過直角三角形的關(guān)系就可求得b；（2）由（1）知雙曲線的漸近線為y=±J5x,這兩條漸近線在

含雙曲線那部分的夾角為鈍角，因此過雙曲線上的點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線

PP\,PPi為銳角，這樣這題我們只要認(rèn)真計(jì)算，設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為（%