高等數(shù)學(xué)第六版習(xí)題答案

高等數(shù)學(xué)第六版上冊(cè)課后習(xí)題答案

第一章

習(xí)題1-1

1.設(shè)A=(—oo,—5)u(5,+oo),B=[—10,3),寫(xiě)出

及小(4\5)的表達(dá)式.

解AuB=(-oo,3)0(5,+oo),

AnB=[-10,-5),

A\B=(-oo,-10M5,+oo),

A\(A\B)=[-10,-5).

2.設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合，證明對(duì)偶律:仍2尸=1。8上

證明因?yàn)?/p>

4c3)0=%eAc3=%e4或xeBoxeA，或工七臺(tái)’=

xeAcuBc,

所以(ACB)C=A,uB，.

3.設(shè)映射/:Xfy,Ad,3(=X.證明

(1)/(AUB)=KA)UAB);

(2次

證明因?yàn)?/p>

yef(A<jB)<^>BxeAuB,使九%)=y

0(因?yàn)閤cA或型)或y/B)

所以/(AuB)/A)/B).

(2)因?yàn)?/p>

yw/04cB)=>mxeAc5,使/(x)=y<=>(因?yàn)閤&A且％c3)ye/C4)

且y/3)nye/(A)M3),

所以"4CB)U(A)MB).

4.設(shè)映射/:XfY,若存在一個(gè)映射g:YfX,使g」=/x，

”3其中/x、/y分別是X、Y上的恒等映射，即對(duì)于每一個(gè)xcX,

有/x%=x；對(duì)于每一個(gè)yeY,有/丫、='證明:/是雙射，且g是y的

逆映射:g與t.

證明因?yàn)閷?duì)于任意的yw—有％=g(y)wX,且於)于雙刈心

產(chǎn)y,即丫中任意元素都是X中某元素的像，所以/為X到丫的滿

射.

又因?yàn)閷?duì)于任意的X]W%2,必有八%1)可(%2),否則若

fM=f(X2)^g[f(Xi)]=g\f(X2)]n%i=%2.

因此/既是單射，又是滿射;即/是雙射.

對(duì)于映射g：yfX,因?yàn)閷?duì)每個(gè)ywy,有g(shù)(y)=xwX,且滿足

M^f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定義,g是/的逆映射.

5.設(shè)映射/:Xfy,AuX.證明：

(1尸(M))nA;

(2)當(dāng)/是單射時(shí)，有尸|翼4))=月.

證明⑴因?yàn)閤cA=/(%)="朋)^f~l(y)=xef~}(f(A)\

所以r'(AA))z)A.

(2)由⑴知尸(M))，L

另一方面，對(duì)于任意的％e/7(/(A))=>存在yc/(A),使/

%)=x=^x)=y.因?yàn)?兀4)且/是單射，所以XO4.這就證明了了

-'(/(A))o4.因止匕/7(/(A))=A.

6.求下列函數(shù)的自然定義域：

(l)y=j3x+2；

解由3X+220得x〉g函數(shù)的定義域?yàn)閇等+8).

解由1T2M得用±1.函數(shù)的定義域?yàn)?_OO,T)D(-1,D51,

+00).

(3)尸二百；

X

解由"0且1-?>0得函數(shù)的定義域0)50,1].

⑷尸卷；

解由4—爐〉。得|%|<2.函數(shù)的定義域?yàn)?―2,2).

(5)y=siriA/x；

解由后0得函數(shù)的定義。=[0,+8).

(6)j=tan(x+l);

解由X+1吟(攵=0,±1,±2,…)得函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

“左乃+5-1(女=0,+1,+2,???).

(7)j=arcsin(x-3);

解由lx-3Kl得函數(shù)的定義域。=[2,4].

(8)y=J3-x+arctan—；

x

解由3-x>0且#0得函數(shù)的定義域D=(-oo,0)5。,3).

(9)y=ln(x+l);

解由X+1〉0得函數(shù)的定義域0=(—1,+8).

1

(10)尸族.

解由用0得函數(shù)的定義域0=(-00,0)50,+8).

7.下列各題中，函數(shù)人工)和g(x)是否相同？為什么？

(1次x)=lggQ)=21gx;

(2)/(%)=x,g(x)=瘍；

(3)/(x)=Vx4-x3,g(x)=Gx-l.

(4次工)=1,g(x)=sec2x-tan2x.

解(1)不同.因?yàn)槎x域不同.

(2)不同.因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同,％<0時(shí),gQ)=-x.

(3)相同.因?yàn)槎x域、對(duì)應(yīng)法則均相相同.

(4)不同.因?yàn)槎x域不同.

Isinxllxl<4

8.設(shè)e(x)={5求9。3。(多,。(-多,以-2),并作出

0lx*644

函數(shù)的圖形.

解。(aTsi吟1=：,夕(q)Tsi吟1=嚀，夕(一電小皿一多1=乎，孤一2)=0.

oo244Z442

9.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：

⑴尸產(chǎn)，(-吟1);

(2)y=x+lnx,(0,+oo).

證明(1)對(duì)于任意的歷€(-8,1),有1-%]＞0,l-x2＞0.因?yàn)?/p>

當(dāng)修＜X2時(shí),

=W---'」?』一＜0,

121一司1—X2(1-X0C1-X2)

所以函數(shù)尸產(chǎn)在區(qū)間(一00,1)內(nèi)是單調(diào)增加的.

1-X

(2)對(duì)于任意的凡必以。,+8),當(dāng)修〃2時(shí)，有

y-y=(xi+lnxi)-(x2+^nx2)=(xi'-x2)+ln~~L＜^9

12X

一,一一2

所以函數(shù)y=x+ln%在區(qū)間(0,+8)內(nèi)是單調(diào)增加的.

10.設(shè)於)為定義在(-/,/)內(nèi)的奇函數(shù)，若於)在(0,/)內(nèi)單調(diào)

增加，證明於)在(-/,0)內(nèi)也單調(diào)增加.

證明對(duì)于V%1,%2七(一/,0)且工1＜^2,有一%1,一％2￡(0,/)且一%1＞一%2?

因?yàn)樨?在(0,/)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)，所以

的2)＜如1),1Ax2)狀%1),

這就證明了對(duì)于X//,x2e(-/,0),有/(%1)＜八應(yīng))，所以/(X)在(T,0)

內(nèi)也單調(diào)增加.

11.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對(duì)稱區(qū)間(T,/)上的，

證明：

(1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；

(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函

數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).

證明⑴設(shè)廠(%)式x)+g(x).如果於)和g(x)都是偶函數(shù)，則

F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),

所以尸(x)為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù).

如果人x)和g(x)都是奇函數(shù)，則

廠(一%)寸_%)+廉-%)=如)_蚣)=一尸(%),

所以尸(%)為奇函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù).

(2)設(shè)尸(對(duì)=於)y(。如果A工)和g(x)都是偶函數(shù)，則

/(-%)寸-%)奴-%)4)*(工)=尸(工)，

所以尸(%)為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果於)和90)都是奇函數(shù)，則

所以尸(%)為偶函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果7U)是偶函數(shù)，而g(x)是奇函數(shù)，則

廠(-%)寸-%)水-%)人)[-g(x)]=/x>g(%)=-尸(%),

所以尸(%)為奇函數(shù)，即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).

12.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇

函數(shù)又非偶函數(shù)？

⑴尸2(1_%2)；

(2)產(chǎn)3%2T3；

(4)y=x(x-l)(x+l);

(5)y=sinx-cosx+1;

⑹產(chǎn)a'+q-x

2

解⑴因?yàn)殪?=(—%)2[1-(一%)2]=%2(1—%2)寸⑴，所以是偶

函數(shù).

(2)由。T)=3(T)2-(T)3=3J1%3可見(jiàn)於)既非奇函數(shù)又非偶函

數(shù).

(3)因?yàn)?(1)=?！?產(chǎn)=/。)，所以八%)是偶函數(shù).

1+(-x)1+X

(4)因?yàn)閒(-x)=(-x)(-x-1)(-%+1)=-x(x+1)(%-1fx),所以f(x)

是奇函數(shù).

(5)El3/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sinx-cosx+1可見(jiàn)八%)既非奇

函數(shù)又非偶函數(shù).

(6)因?yàn)?(_x)=R2=*Q=/(x),所以兀0是偶函數(shù).

13.下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù)，指出其

周期：

(l)y=cos(x—2);

解是周期函數(shù)，周期為1=271.

(2)y=cos4%;

解是周期函數(shù)，周期為/g.

(3)y=l+sin雙；

解是周期函數(shù)，周期為/=2.

(4)y=%cosx;

解不是周期函數(shù).

(5)^=sin2x.

解是周期函數(shù)，周期為/=江

14.求下列函數(shù)的反函數(shù):

⑴尸病T；

解由>=痛1得方/-1,所以>=歷1的反函數(shù)為盧丁-1.

Q)書(shū)；

解由尸E得4公，所以尸修的反函數(shù)為尸熱?

⑶產(chǎn)3(小小0);

cx+d

解由尸3邛得戶也業(yè)，所以產(chǎn)生邛的反函數(shù)為>=也也

cx+acy-acx+dcx-a

(4)y=2sin3x;

解由y=2sin3x得x=；arcsi嗎，所以y=2sin3x的反函數(shù)為

1

y=-arcs.m-X.

(5)y=l+ln(x+2);

解由y=l+ln(x+2)得％=e"—2,所以產(chǎn)l+ln(%+2)的反函數(shù)為

X-1c

y=e-2.

(6)產(chǎn)工.

>2V+1

解由產(chǎn)高得所以產(chǎn)三的反函數(shù)為日叫盧?

15.設(shè)函數(shù)凡￥)在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)凡￥)在X上有

界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.

證明先證必要性.設(shè)函數(shù)大%)在X上有界，則存在正數(shù)M,

使八這就證明了八x)在X上有下界-M和上

界

再證充分性.設(shè)函數(shù)式x)在X上有下界k和上界K2,即

Kx<f(x)<K2.取M=max{IKil,\K2\},則-M<跖浜%)<

K2<M,

即

這就證明了Ax)在X上有界.

16.在下列各題中，求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，并求這

函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于給定自變量值修和％2的函數(shù)值：

(1)y=w2,w=sinx,x=~,巧=?；

xo5

2222

解y=sinX,y}=sin=.1,y2=sin^=(^)=1?

(2)y=sinn,"=2x,西=著,工2=9；

84

解y=sin2x,yt=sin(2-1)=sin^=^,y2=sin(2-^)=sin^=l.

(3)y=^u,ll—1+x,X]=1,%2=2;

解y=Jl+/,M=J1+F=及>乃=)1+22=6.

==

(4)y^,nx,x]—0912=1；

角,y=ex2,y\=e02=1,乃=—二e.

(5)y=Li,ti=g,X]=l,%2=-L

2x2122(l)2

解y=e,yi=e=e,y2=e'~^e~.

17.設(shè)段)的定義域。=[0,1],求下列各函數(shù)的定義域：

(1)/(A

解由0女2§得|走1,所以函數(shù)於2)的定義域?yàn)閇_1,1].

(2)Xsinx);

解由0<sinx<l得In7i<x<(2n+1)71(n-0,±1,±2…),所以函

數(shù)式sin%)的定義域?yàn)?/p>

\2nji,(2"+1)勿(n=0,±1,±2---).

(3)於+。)(。＞0);

解由00+於1得-a9所以函數(shù)兀r+a)的定義域?yàn)椋?。,

1—

(4)f(x+a)(a＞0).

解由0。+441且0幺-441得：當(dāng)0＜。您時(shí),當(dāng)

時(shí)，無(wú)解.因此當(dāng)(Raw/時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?1-。1，當(dāng)〃弓時(shí)函

數(shù)無(wú)意義.

18.設(shè)/(x)=(01x1=1,g(%)=e\求/[g(%)]和gg)],并作出這

-11%1>1

兩個(gè)函數(shù)的圖形.

[1levl<lf1x<0

解/[g(x)]=,0戶1，即丹g(x)]=Jox=0.

-1leJl>l

Ixkllxl<l

g[/(x)]=e"x)=?1x1=1,即g"(x)]=<1x1=1.

lxl>lIxl>l

19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角街40。(圖1-37).

當(dāng)過(guò)水?dāng)嗝鍭BCD的面積

為定值So時(shí)，求濕周\r

L(L=A3+3C+C0與水深h

b

之間的函數(shù)關(guān)系式，并指

明其定義域.

圖1-37

解AB=DC=—^,又從《川BC+(BC+2cot40°.〃)]=So得

sm402

8C=顯-cot40,〃，所以

h

人衿.”240。力.

hsin40

自變量〃的取值范圍應(yīng)由不等式組

h>0,顯-cot40°.%>0

h

確定，定義域?yàn)?<力<心0的40°.

20.收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元，成本為60元.廠方為鼓勵(lì)

銷(xiāo)售商大量采購(gòu)，決定凡是訂購(gòu)量超過(guò)100臺(tái)以上的，每多訂購(gòu)

1臺(tái)，售價(jià)就降低1分，但最低價(jià)為每臺(tái)75元.

(1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購(gòu)量％的函數(shù)；

(2)將廠方所獲的利潤(rùn)P表示成訂購(gòu)量x的函數(shù)；

(3)某一商行訂購(gòu)了1000臺(tái)，廠方可獲利潤(rùn)多少？

解⑴當(dāng)0幺<100時(shí),p=90.

4O.Ol(jto-lOO)=9O-75,得了o=16(X).因此當(dāng)工21600時(shí),p=75.

當(dāng)100<c<1600時(shí),

p=90-(x-100)x0.01=91-0.Olx.

綜合上述結(jié)果得到

900<x<100

*91-O.Olx100<x<1600.

75x>1600

'30x0<x<100

(2)P=(p-60)x={31x-0.01/100<x<1600.

15xx>1600

(3)P=31x1000-0.01x100。2=2iooo(元).

習(xí)題1-2

1.觀察一般項(xiàng)4如下的數(shù)列｛%”｝的變化趨勢(shì)，寫(xiě)出它們的極

限：

(1)%=寶；

解當(dāng)—00時(shí)，/=*—(),螃卜=0.

⑵天=(-1屋；

n

解當(dāng)〃一?00時(shí)，x=(-l)n-->0,lim(-ir-=0.

n〃一>8n

(3)%?=2+-y；

nL

解當(dāng)〃一>8時(shí)，X?=2+-!->2,lim(2+-V)=2.

?n->oo

⑷寸篙

解當(dāng)〃-00時(shí)，X.=±J=1--二-o,

幾+1〃+1〃-8〃+1

⑸%”=〃(—1廣

解當(dāng)及-00時(shí),％”="(-1)"沒(méi)有極限.

cosn兀

2.設(shè)數(shù)列｛招｝的一般項(xiàng)/=一^.問(wèn)limx.=?求出N,使當(dāng)

n〃T8

〃〉N時(shí),％〃與其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)￡,當(dāng)￡=0.001時(shí)，求

出數(shù)M

解〃l一i＞m8X”=0.

|CQSY1711

Ix?-Ok一2-＜l.Vf＞o,要使lx「oi＜￡,只要,＜￡,也就是

nnn

n＞-.取"=山，

￡￡

則XM〉N,有*-Oke.

當(dāng)f=0.001時(shí)，Af=[i]=1000.

￡

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(l)lim4r=0；

〃一＞8幾上

分析要使』-咋之＜￡，只須〃2」，即〃＞，=.

nnsy/E

證明因?yàn)閂i＞0,三代=田,當(dāng)九〉N時(shí),有.-Oke,所以

lim4=0.

“-＞8

(2)lim誓!=]；

分析要使I科4=后\＜；＜￡，只須；＜￡,即〃

2/?+122(2〃+1)4M4n4e

證明因?yàn)閈/6＞0,三"=4],當(dāng)〃〉N吐有I誓1-京￡,所以

4e2幾+12

lim學(xué)44.

(3)lim心匕尤=1；

〃一?8n

分析要使五Li匕"2＜之＜￡,只須

〃〃n(y/n2+a2+n)n

證明因?yàn)閈/￡>0,知=心，當(dāng)V〃>N口寸，有?近±貯一所以

8n

lim應(yīng)運(yùn)=1.

00n

(4)limO.999…9=1.

co''〃個(gè)

分析要使10.99--9-11=*<￡,只須一<￡,即〃>i+igL

10〃T10n_,￡

證明因?yàn)閂QO,mN=[l+lgJ,當(dāng)W〉N吐有10.99…9—live,

所以limO.999…9=1.

4.limu=a,證明lim山"曰m.并舉例說(shuō)明：如果數(shù)列｛%1｝有極

〃一>CCn〃->8

限，但數(shù)列｛%〃｝未必有極限.

證明因?yàn)閘imya,所以VQOTNeN,當(dāng)〃〉N時(shí)，有此-川<￡,

從而

\\un\-\a\\<]Un-a\<￡.

這就證明了lim%Hal.

〃一>8

數(shù)列｛%1｝有極限，但數(shù)列｛法｝未必有極限.例如

M-^OO

但lim(-1)"不存在.

00

5.設(shè)數(shù)列｛%”｝有界，又limy”=0,證明：1而與%=0.

〃一>8n->oo

證明因?yàn)閿?shù)列｛與｝有界，所以存在M使V〃wZ,有心MW.

又lim%=0,所以VQO,mNwN,當(dāng)“〉N時(shí)，有從而當(dāng)

n>N時(shí)，有

\xnyn-Q\=\xnyn^M\yn\<M.備=￡,

所以limxnyn=0.

6.對(duì)于數(shù)列{%〃},若犯J->a(攵-?00),%2k->。(攵-8),

證明：。(八―00).

證明因?yàn)?2?-i->a(k―>oo),X2k~》a(k—>oo)?所以V￡>0,

町,當(dāng)2人-1〉2K「1時(shí)，有I程

3K2,當(dāng)泉〉2K2時(shí)，^\x2k-a\<s.

取N=max{2K「l,2K2},只要〃〉N,就有比,-QI<￡.

因此x〃一>a(n—>00).

習(xí)題1-3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：

(l)lim(3x-l)=8；

xf3

分析因?yàn)?/p>

I(3x-l)-8l=l3x-9l=3lx-3l,

所以要使l(3x-1)-8慮，只須lx-3l<%.

證明因?yàn)閈/6>0,皿=；￡,當(dāng)0<1%-3kb時(shí)，有

l(3x-l)-8kf,

所以lim(3x-1)=8.

xf3

(2)lim(5x+2)=12；

x->2

分析因?yàn)?/p>

l(5x+2)-12l=l5x-10l=5k-2l,

所以要使(5%+2)-121<￡,只須lx-2合.

證明因?yàn)楫?dāng)0<1%-21<3時(shí)，有

l(5x+2)-12l<f,

所以lim(5x+2)=12.

Xf2

(3)lim^-4；

x->-2X+2

分析因?yàn)?/p>

|吞一(川=|小/小+2日"2)1,

所以要使|賓-(~4)|<￡,只須lx-(-2)k￡.

證明因?yàn)閂￡>o,4,當(dāng)0<Lx—(―2)1<5時(shí)，有

號(hào)臼<￡，

所以Hm*=—4.

x->-2X+2

(4)則居=2.

2x4-1

2

分析因?yàn)?/p>

|制一2卜1一2》-21=2院一(一》1,

所以要使|翦-2卜￡,只須lx-(-/<京.

證明因?yàn)閈/￡>0門(mén)展京，當(dāng)04-(-fkb時(shí)，有

舟的

所以lim4=2.

XT_12x+l

2

2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：

(1)

xf82x2

分析因?yàn)?/p>

3

Il+x1|_|1+冗3—一3|1

33

I2x2??2x?21尤|3

所以要使|翳-撲￡,只須點(diǎn)但即如亡.

證明因?yàn)閂b>O,mx=；,當(dāng)lxl>X時(shí)，有

yJ2e

I界一撲打

所以lim“二.

x->82x32

(2)lim羋=0.

Xf+ooJx

分析因?yàn)?/p>

所以要使|饕川<￡,只須之<￡,即X4.

證明因?yàn)閄/QO,mx=」，當(dāng)％〉X時(shí)，有

|簧.。|<￡,

所以1所陰=0.

xf+°°yjx

3.當(dāng)x-2時(shí)，y=x2T4.問(wèn)3等于多少，使當(dāng)Lr-2lvb時(shí),

ly—41Vo.001?

解由于當(dāng)x->2時(shí),k—2l->0,故可設(shè)Lx—2kl,即l<x<3.

要使

Lx2-4klx+2llx-2l<5lx-2l<0.001,

只要lx-21（等L0.0002.

取應(yīng)0.0002,貝I」當(dāng)0<僅一21<3時(shí)，就有If—4k0.001.

4.當(dāng)xfoo時(shí)，產(chǎn)辛問(wèn)X等于多少，使當(dāng)bd>X時(shí),

x+3

ly—lkO.Ol?

解要使I夫p卜裳r。。1，只要出而=廝，故

X=y/391.

5.證明函數(shù)兀0=反1當(dāng)x-0時(shí)極限為零.

證明因?yàn)?/p>

l/(x)-OI=llxl-OI=lxl=lx-OI,

所以要使貝x)-0k￡,只須xl<￡.

因?yàn)閷?duì)Vf>O,m應(yīng)與使當(dāng)(klx-Oka時(shí)有

l/(x)-OI=llxl-OI<￡-,

所以limlxl=0.

XT0

6.求小)=工小)上當(dāng)—0時(shí)的左、右極限,并說(shuō)明它們

XX

在％—0時(shí)的極限是否存在.

證明因?yàn)?/p>

lim/(x)=lim—=lim1=1,

x->0x■—^0-Xx■->0

limf(x)=lim—=lim1=1,

Xf0+Xfo+X10+

limf(x)=lim/(x)

XT。-XT0+9

所以極限lim/(x)存在.

x->0

因?yàn)?/p>

lim(p(x)=lim—=lim—=-l,

XT0-XT。-Xx—>0-X

lim69(x)=lim—=lim—=1,

Xfo+xfo+Xxfo+X

lim夕(r)wlim(p(x).

xf。-x->0+

所以極限limp(x)不存在.

x->0

7.證明：若xf+8及xf-8時(shí)，函數(shù)於)的極限都存在且都

等于A,則lim/(x)=A.

X—>00

證明因?yàn)閘im/(x)=A,lim/(x)=A，所以Vi>0,

X->+00

mX|〉O,使當(dāng)％<-X]時(shí)，有貝

3X2>0,使當(dāng)％〉X2時(shí)，有KO-Ake.

取X=max{X],X2},則當(dāng)Lxl〉X時(shí)，有貝%)[41<打即limf(x)=4.

X->00

8.根據(jù)極限的定義證明：函數(shù)加)當(dāng)％-%°時(shí)極限存在的充

分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.

證明先證明必要性.設(shè)則X/￡>0,三蘇0,使當(dāng)

Ovlx—xolvb口寸，有

\f(x)-A\<s.

因此當(dāng)％o-和％o<x9o+S時(shí)都有

\f(x)-A\<￡.

這說(shuō)明於)當(dāng)尤母0時(shí)左右極限都存在并且都等于A.

再證明充分性.設(shè)4%()-0)寸M+O)/!，則X/￡>0,

的>0,使當(dāng)Xo-3i<x<Xo時(shí)，有瓜X)T<￡；

三5>0,使當(dāng)即—0+萬(wàn)時(shí)，有I危)—Alve.

取應(yīng)min{在，㈤，則當(dāng)O<IXTOI<S時(shí)，有]()-在令。。及

x()<x<x()+石，從而有

即y(x)—>A(%f：o).

9.試給出Xf8時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證

明.

解Xf00時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理：如果加)當(dāng)

時(shí)的極限存在，則存在X〉0及M〉0,使當(dāng)lxl>X時(shí),貝

證明設(shè)8),則對(duì)于￡=1,3X>0,當(dāng)lxl>X時(shí)，有

\f(x)-A\<￡=\.所以

\f(x)\=\f(x)-A+A\<\f(x)-AI+L4I<1+L4I.

這就是說(shuō)存在X〉0及M〉0,使當(dāng)lxl〉X時(shí)，叭%)I<M,其中M=1+L4I.

習(xí)題1-4

1.兩個(gè)無(wú)窮小的商是否一定是無(wú)窮?。颗e例說(shuō)明之.

解不一定.

例如，當(dāng)x-?0吐a(x)=2x,儀%)=3%都是無(wú)窮小，但,

xfoJ3(x)3

祟不是無(wú)窮小.

伙X)

2.根據(jù)定義證明：

(1)產(chǎn)尤U當(dāng)X-3時(shí)為無(wú)窮??；

x+3

(2)y=xsin-當(dāng)％―0時(shí)為無(wú)窮小.

X

證明(1)當(dāng)用3時(shí)I止IW|TX-3I.因?yàn)閂QOT應(yīng)打當(dāng)

0<1—時(shí)，有

1加1^?卜x—3kb=￡'

所以當(dāng)3時(shí)產(chǎn)白為無(wú)窮小.

x+3

(2)當(dāng)一0時(shí)I)，日到sin!國(guó)X—OI.因?yàn)閂QO,33=S,當(dāng)O<lx-OI<^

X

時(shí)，有

I），H刈sinl|4x-OI<S=￡,

X

所以當(dāng)X—>0時(shí)y=xsii為無(wú)窮小.

x

3.根據(jù)定義證明：函數(shù)y區(qū)為當(dāng)X-0時(shí)的無(wú)窮大.問(wèn)X

x

應(yīng)滿足什么條件，能使忸〉1。4?

證明分析lyl=|H2|=|2+Lf-2,要使lyl〉M,只須92>M,

XXIXIIXI

即|水』.

M+2

證明因?yàn)閂M〉0Tb=—使當(dāng)0<lx—Okb時(shí)，有|國(guó)

M+2?xI

所以當(dāng)％—0時(shí)，函數(shù)尸史主是無(wú)窮大.

X

取用=1。4,則旌高.當(dāng)ovDk而七時(shí)，lyl〉10t

4.求下列極限并說(shuō)明理由：

(2)1狐了.

101-X

解(1)因?yàn)樘?=2+L而當(dāng)X-?00時(shí)」是無(wú)窮小，所以

XXX

XT8X

(2)因?yàn)轸?l+x(Hl),而當(dāng)X-0時(shí)％為無(wú)窮小，所以

1-X

1-r2

101-X

5.根據(jù)函數(shù)極限或無(wú)窮大定義，填寫(xiě)下表:

於）-A,八%）-?00那）f於）f

+00—00

x—>xVf>0,

0m蘇0,使

當(dāng)

0<lxT（）l<b

時(shí)，

有恒

x^x

4-

0

xfX

0

Vf>o,mx>o,使當(dāng)

x-）

\x\>X時(shí),

00

有恒

x—>

+oo

x—>

—00

解

於）-A於）fo危）f~00

Vf>0,3^0,VM>0,3^0,VM>0,3^>0,VM>0,3^0,

x—使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)

00<lr-x（）l<（5R寸，0<IXT（）I<3H寸，O<lx-xol<^t,0<lx—xol<^f,

有恒有恒!/（x）l>M.有恒加）>M.有恒外）<-M.

\f(x)-A\<s.

V6>o,3^0,VM>0,3^0,VM>0,3^>0,VM>0,3^0,

使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)

x—>x

O<x-%o<加寸，O<XTo<&寸，0<xr()<邠f,O<￥-Xo<H寸，

+

0

有恒有恒婚)|>".有恒加)>M.有恒加

\f(x)-A\<s.

V￡>o,3^0,VM>0,3^0,VM>0,3（^0,VM>0,3^0,

使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)

XfX

0<x()-%<(5R寸，0<￥（）-%<例寸，0<x（）-%<（5R寸，0<￥（）-x<（5H寸，

0

有恒有恒明）l>Af.有恒外）>M.有恒外）<-M.

\f(x)-A\<￡.

VQO,3X>0,Ms>0,3X>0,Vfi>0,3X>0,Vf>0,3X>0,

使當(dāng)kl〉X時(shí)，使當(dāng)bd>X時(shí)，使當(dāng)lxl>X時(shí)，使當(dāng)bd>X時(shí)，

%—00

有恒有恒網(wǎng)%)1>”.有恒外)>M.有恒加)<-M.

\f(x)-A\<s.

V￡>o,3X>0,V￡>o,3X>0,V￡>0,3X>0,Vf>0,3X>0,

%—>+使當(dāng)x>X時(shí)，使當(dāng)%>x時(shí)，使當(dāng)x>X時(shí)，使當(dāng)x>X時(shí)，

00有恒有恒有恒加)>M.有恒外)<-M.

\f(x)-A\<￡.

V￡>0,3X>0,Vi>o,3X>0,V￡>0,3X>0,VQO,3X>0,

—

使當(dāng)％<-X時(shí),使當(dāng)％<-X吐使當(dāng)x<-X時(shí),使當(dāng)X時(shí),

00

有恒有恒有恒危)〉M.有恒加)<-M.

\f(x)-A\<s.

6.函數(shù)y=xcos%在(-8,+oo)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)

Xf+oo時(shí)的無(wú)窮大？為什么？

解函數(shù)y=%cos尤在(一00,+00)內(nèi)無(wú)界

這是因?yàn)閂M〉O,在(ro,+8)內(nèi)總能找到這樣的％，使得

例如

y(2k7r)=2k7rcos2k7r^2k7i(k=0,1,2,???),

當(dāng)k充分大時(shí)，就有Iy(2k7i)\>M.

當(dāng)xf+oo時(shí)，函數(shù)尸COSX不是無(wú)窮大.

這是因?yàn)檎也坏竭@樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn),使對(duì)一切大于N

的％,都有l(wèi)y(x)l〉M.例如

)，(2版+鄉(xiāng)=(2丘+處政2酎+9=0(左=0,1,2,...)，

對(duì)任何大的N,當(dāng)女充分大時(shí)，總有X=2k4+分N,但ly(x)l=O<M.

7.證明：函數(shù)y=Lii在區(qū)間(0,1］上無(wú)界，但這函數(shù)不是當(dāng)

XX

x-?0+口寸的無(wú)窮大.

證明函數(shù)戶Lid在區(qū)間(0,1］上無(wú)界.這是因?yàn)?/p>

XX

VM>0,在(0,1］中總可以找到點(diǎn)現(xiàn)使y(4)〉M.例如當(dāng)

4=—^々=0,1,2,…)

2k萬(wàn)+4

2

時(shí)，有

-2女］+.

當(dāng)k充分大時(shí),

當(dāng)x-?o+時(shí)，函數(shù)尸Lid不是無(wú)窮大.這是因?yàn)?/p>

XX

VM>0,對(duì)所有的蘇0,總可以找到這樣的點(diǎn)功使

但、3）<跖例如可取

為"僅=0,1,2,…），

ZK7T

當(dāng)k充分大時(shí),xk<3,但?。ā?2左然in2攵乃=0<M.

習(xí)題1-5

1.計(jì)算下列極限:

⑴甄養(yǎng);

解啊遇〃+

5=-9.

2-3

(2)lim4^；

'x2+l

解，吸五HB?=°.

⑶"產(chǎn);

解四3=1曲音*=1呷缶/=。

(4)叫包善爐；

io3X2+2X

32

解lim4x-2x+x=lim4x^-2x+l=l

入TO3X2+2XIO3X4-22

⑸［靖"

222

解lim-=limx+2hx-^-h-x=lim(2x+〃)=2x,

力fOhhfOhh—0

(6)lim(2--+^y)；

xf8xx

解lim(2--+-V)=2-lim-+lim-^=2.

18XX1XT8XX->00XL

(7)nm-^-；

X->82廿一

2i1---7

尚阜lim:一~~-=lim——產(chǎn)1

…2x-x-1…？」一12

,2

x2+x

(8)lim

x->oo——3x2—1'

解lim蠟衿？=0（分子次數(shù)低于分母次數(shù)，極限為零）.

x-?oox*-3xz-l

1,1

2.---1--

或li.r2A—3o.

x—m>8]_2_1=

丁一不

⑼媽M普

解㈣國(guó)鬻(x書(shū)-2)(x騎-4)^x1-2一44-72一32

(10)lim(l+i)(2-4)；

XT8XX

加星lim(l+-)(2—V)=lim(l+-)-lim(2—V)=lx2=2.

X—>ooXXZX—>8XX—>8產(chǎn)

(11)lim(l+]+；+…+/)；

28242

解

71—>oo24

1+2+3+???+(〃-1)

(12)lim

(.T).

].l+2+3dF(n—1)].21VH—l1

解lim---------z----------------=lim5—=—lim="-

tsns200n2

（13）lim（〃+D（〃+?（〃+3）；

〃->85/r'

解lim婦嗎普9=4（分子與分母的次數(shù)相同，極限為

>85〃□

最高次項(xiàng)系數(shù)之比）.

1)<〃*)(婦3))(

或lim='lim(1+li+2)(1+3)=l.

-85〃)5nnn5

(14)lim(-^—3);

xfi\-x

解lim（-....二）=lim」十三士1二3廠=一lim。巨2）尸

xfl-xl-x3XT1（1一1）（1+尢+工2）xf（1-x）（l+x+%2）

=-lim—，+2=-1.

六引1+尤+公

2.計(jì)算下列極限：

⑴典安

解因?yàn)?！臉套臉肛所?啜序=8.

2

⑵加田；

x->82x4-1

解Hm工=8(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).

X->82x+l

lim(2x3-x+l).

(3x)->oc

解lim(2x3.x+l)=8(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).

X—>00

3.計(jì)算下列極限：

(l)limx2sin—；

xfox

解lim/sinL。(當(dāng)1-。時(shí),f是無(wú)窮小，而sid是有界變量).

x-?oxx

⑵lim膽嗎

Xf8X

解lim更如=limLarctanx=O(當(dāng)Xfoo時(shí)，工是無(wú)窮小，

XfooXKf8XX

而arctan%是有界變量).

4.證明本節(jié)定理3中的(2).

習(xí)題1-5

1.計(jì)算下列極限:

⑴則留;

解lim銬一22+5=-9.

.12X-32-3

⑵席M；

解，辱舒=禹=°.

⑶靖言

解四三=四涓翡丁!呷號(hào)=畀。?

(4)呵辛爐；

zo3X2+2X

32

解lim4x-2x+x=lim4x^-2x-H=l

%TO3x2+2xx-?o3x+22

(5)lnn^±^；

/?->oh

(x+/i)2r,2x1-\-2hx-\-h1-x1

解風(fēng)-=lim=lim(2x+，)=2x,

h20hA->0

(6)lim(2--+4T-)；

18xx

解lim(2一--+^z-)=2-lim—+lim」=2.

xxLXT0°xx->8xz

⑺典一T；

1-X

9

解limc':—、=lim廠_1

^->002x—x—lx->8r~2

XX.12

7

(8)lim/+f；

isx4-3x2-l

解Hm"『=O(分子次數(shù)低于分母次數(shù)，極限為零).

Xf8十一3y一1

2+3

X2+Xrr

或lim=lim—*工=0.

X—>00x4-3x2-lX->co]2__1_

一三一彳

⑼媽合爵

lim^.z6x+8=lim(x-2)(x-4)=limxz2=￡L2=|

解2

x-?4X-5X+4X->4(X-1)(X-4)Xf4X-14-13

(10)lim(1+—)(2--y)；

x->8X

解lim(l+-)(2—V)=lim(l+-)-lim(2—V)=lx2=2.

X->00XX，XfCOXXT8產(chǎn)

(11)lim(l+J+卜…+/)；

242〃

1_(_L產(chǎn)

解lim(l+-+-+---+—)=lim—2--=2.

"TO?242"'，T8.1

1-2

(12)limli^+^+^l).

n->oo

(n-l)n

布過(guò)[.1+2+3++(〃-l)「21i-H—11

腑lim--------5--——-=lim—%—=*limL=-^.

〃一>oon—>002n.2

(13)lim("+D(〃+平+3)；

解lim(?+l)(n+2)(H+3)=l(分子與分母的次數(shù)相同，極限為

〃->85n5

最高次項(xiàng)系數(shù)之比).

或lim(〃+D("+?("+3)=3iim(l+!)(l+2)(l+3)=J.

>005zz—>oony\fl5

(14)lim(—---y&7)；

n1-xl-xJ

解iim(J___\)=iiml+x+/_3,=fm(1—])(*+2乙

2

V->1l-xl-x3Xfl(1—工)(1+工+12)(l-x)(14-x+x)

X+2

=-lim9=-1.

X->1l+x+xz

2.計(jì)算下列極限：

⑴幅浮

解因?yàn)閔m3率=2=0,所以扁/署=8.

12/+2犬216xf2(x-2)2

2

(2)n-^-;

Xfmoo2x4-1

解lim1T=8(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).

182%+1

(3)lim(2x3-x+l).

X-?00

解lim(2x3-x+l)=8(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).

4700

3.計(jì)算下列極限：

(1)limx2sin—；

10x

解limx2sinL()(當(dāng)X—0時(shí),％2是無(wú)窮小，而sid是有界變量).

ktOXX

(2)lim迎吟

Xf8X

解lim理皿=limLarctanx=O(當(dāng)X-8時(shí)，上是無(wú)窮小,

.ET8XX->8XX

而arctan%是有界變量).

4.證明本節(jié)定理3中的(2).

習(xí)題1-7

1.當(dāng)X-0時(shí),2%-%2與一%3相比，哪一個(gè)是高階無(wú)窮小?

解因?yàn)閘imME=lim駛=0,

無(wú)―o2x—x2x-＞。2-x

所以當(dāng)0時(shí),』-d是高階無(wú)窮小，即X2-X3=O(2X-X2).

2.當(dāng)x-1時(shí)，無(wú)窮小IT和⑴l-VQgd)是否同階？是

否等價(jià)？

解(1)因?yàn)閘im=lim(l-x1l+x+x)=Hm(l+x+x2)=3

xfl\-xxfl\-x

所以當(dāng)x->l時(shí)，IT和1-%3是同階的無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小.

1(1-X2)

(2)因?yàn)閘imL------=《lim(l+x)=l,

x—>11-X2X—>1

所以當(dāng)時(shí)，IT和;(1-N)是同階的無(wú)窮小，而且是等價(jià)無(wú)窮

小.

3.證明：當(dāng)X―0時(shí)，有：

(1)arctan

2

(2)secx-l~5?

證明⑴因?yàn)閘im迪”=lim」=l(提示：令尸arctanx,則當(dāng)

A->Oxy->otany

x—>0時(shí),j—>0),

所以當(dāng)x-?0時(shí),arctanx~x.

2sin2^2siii]

2

(2)因?yàn)閘imsecx-l=21imKcos￡=lim----z-^-=lim(--^-)=1,

xf01?x2COSXx-0%2xf0

2T2

所以當(dāng)％-?0時(shí)，sed§.

4.利用等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì),求下列極限:

ri\rtan3x.

D2x