第20講定積分的應(yīng)用

第20講定積分的應(yīng)用212極坐標(biāo)系中平面圖形的面積

定理2曲邊扇形區(qū)域2例4阿基米德螺線

3一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問(wèn)題定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用4一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力F(x)作用下沿x軸從x＝a移動(dòng)到x=b,力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做的功.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5在其上所作的功元素為:變力F(x)在區(qū)間[a,b]上所作的功為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6例1.體,求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個(gè)面積為S的活塞從點(diǎn)a處移動(dòng)到點(diǎn)b

處(如圖),作的功.建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強(qiáng)

p與體積V成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束力為在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣7例2.試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐標(biāo)系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,8面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為

深為h處的壓強(qiáng):當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為??9例7彈簧拉長(zhǎng)s，計(jì)算拉力作的功彈簧一端固定,另一端未變形位置為原點(diǎn)建坐標(biāo)系Hook定律：彈性限度內(nèi)拉力與伸長(zhǎng)長(zhǎng)度成正比取微元[x,x+dx][0,s]微元上拉力作功：dW=kxdx

10例9高為2m的等腰三角形閘門,底邊長(zhǎng)3m,平行于水面,且距水面4m．求這閘門所受的壓力x軸過(guò)等腰三角形的高,y軸于水面,建坐標(biāo)系取微元[x,x+dx][4,6]dF=p·2ydx=2γxydx

一象限腰的直線方程y=0.75(6-x)11例10矩形薄板長(zhǎng)2m,寬1m,成30°角斜沉水下,長(zhǎng)邊平行于水面深1m處,求薄板每面所的壓力x軸向下,y軸于水面建坐標(biāo)系上長(zhǎng)邊x坐標(biāo)為1，y坐標(biāo)為1+sin30°=1.5

取微元[x，x+dx][1，1.5]dF=p·2dx=2γxdx

125.4.5定積分在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用例11禁食，降糖，注射糖，測(cè)量血中胰島素濃度其中k=ln2/20,t-分鐘，求一小時(shí)內(nèi)胰島素之平均濃度13求血管中血流速度與截面血液層半徑的關(guān)系

設(shè)血管長(zhǎng)度為a,血管半徑為R,相對(duì)動(dòng)脈,靜脈端血壓為P1,

P2,P1>P2

血液粘滯性影響,距橫截面中心不同半徑r處的血液層流速v(r)不同半徑為r的一塊面積上的血液柱流動(dòng)的推力F1等于血管兩端壓力差：

F1=πr2(P1-P2)，泊蕭葉公式(Poiseuille)14血液粘滯性影響,距橫截面中心不同半徑r處的血液層流速v(r)不同半徑為r的一塊面積上的血液柱流動(dòng)的推力F1等于血管兩端壓力差：

F1=πr2(P1-P2)，受血液層流速不等產(chǎn)生摩擦力F2,正比于血液柱的側(cè)面積,又正比于相鄰血液層間相對(duì)流速的變化率F1=-F2

15r=R時(shí),v=0

16例13求單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)該橫截面的血流量Q解取微元[r,r+dr],半徑為r,r+dr之微元面積為單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)圓環(huán)微元的血流量17內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達(dá)式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來(lái)表示整體量

Q,并計(jì)算之.1.用定積分求一個(gè)分布