第93節(jié)反常二重積分與三重積分簡介

第9.3節(jié)反常二重積分與三重積分簡介一、反常二重積分二、三重積分一、反常二重積分

二重積分的積分區(qū)域都是有界的，然而實際應(yīng)用中有時會遇到積分區(qū)域無界（如全平面、半平面或有界區(qū)域的外部等）的二重積分，如概率論中計算二維正態(tài)分布的分布函數(shù)就是無界區(qū)域上二元函數(shù)的積分，我們稱這樣的二重積分為反常二重積分.解如圖所示，設(shè)為圓心在原點，半徑為的圓域，例1

設(shè)為全平面，討論反常二重積分因此又因為當(dāng)時，積分區(qū)域，所以事實上，例1的方法具有一般性，可以用于討論無界區(qū)域上一般二元函數(shù)反常積分的收斂性，由此給出反常二重積分的定義.無限擴展到無界區(qū)域以任何形狀、任何方式連續(xù)變在定義

若為平面上的無界區(qū)域函數(shù)，如圖所示，如果用任意光滑的曲線中劃出有界區(qū)域后，得到的二重積分都存在，且當(dāng)曲線時，極限都存在且總?cè)∠嗤闹担瑒t稱此極限在無界區(qū)域上的反常二重積分，上的二元動使得區(qū)域為函數(shù)記作即這時稱此反常二重積分收斂，發(fā)散.否則稱反常二重積分例2

證明泊松積分，并進一步計算解

由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此通過直接積分求極限的方法計算泊松積分.由例1得因此泊松積分令，則，于是注

是概率統(tǒng)計中非常重要的一種密度函數(shù)——標準正態(tài)分布隨機變量的密度函數(shù)(如圖所示)，由本例知它在實數(shù)軸的反常積分為1.xy例3

若二元函數(shù)計算反常二重積分因此根據(jù)二重積分的性質(zhì)，只需計算積分區(qū)域在第一象限部分（如圖所示）的二重積分即可.解由于被積函數(shù)僅在第一象限不為0，D1byay=xOD，于是時，這樣當(dāng)又因是無界區(qū)域，

故取有界閉區(qū)域，上的三元函數(shù)，并以將區(qū)域定義

設(shè)是空間有界閉區(qū)域任意分割成個小區(qū)域和分別表示第個小區(qū)域的體積和直徑，.在每個小區(qū)域上任取一點，作和，當(dāng)區(qū)域無限細分，即時，如果極限存在，在區(qū)域上可積，并稱此極限為函數(shù).且記則稱函數(shù)二、三重積分1.三重積分的定義其中稱為被積函數(shù)，稱為積分表達式，稱為體積元素，稱為積分區(qū)域.W在區(qū)域上的三重積分，記作2.在空間直角坐標系下三重積分的計算邊界的小區(qū)域不規(guī)則外其余有代表性的小區(qū)域均為長方體，其棱長可分別為在空間直角坐標系中，如果用平行于三個坐標平面的平面簇分割積分區(qū)域，得到的小區(qū)域除含，于是的體積元素可化，因此三重積分可表示為為求二重積分的值是將其轉(zhuǎn)化為二次積分來計算,求三重積分的積分值也可將其轉(zhuǎn)化為三次積分來計算.軸且穿過區(qū)域的直線與曲線相交不超過兩個交點的積分區(qū)域間直角坐標系下如何將三重積分化為三次積分，具體方法下面以平行于為例，介紹在空的邊界如下：同樣作過此點平行于如圖所示，將空間有界閉區(qū)域投影到坐標平面上，得到一個平面有界閉區(qū)域，在上任取一點軸的直線，邊界曲線交點的和此直線與豎坐標自下而上依次為這樣積分區(qū)域可表示為然后，計算在平面區(qū)域上的二重積分，即上積分得到在對積分時，先將暫時看成常數(shù)，而只看作是的函數(shù)，將它在區(qū)間的二元函數(shù)，記為關(guān)于再利用二重積分的計算公式便可求出若平面區(qū)域為型區(qū)域，如用不等式表示，則這樣就將三重積分化成了三次積分，通過三次計算定積分求出