高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第十一章統(tǒng)計(jì)與概率

第十一章統(tǒng)計(jì)與概率第一節(jié)抽樣方法、用樣本估計(jì)總體本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.抽樣方法與統(tǒng)計(jì)圖表；2.樣本的數(shù)字特征.突破點(diǎn)(一)抽樣方法與統(tǒng)計(jì)圖表基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，從個(gè)體數(shù)為N的總體中逐個(gè)不放回地取出n個(gè)個(gè)體作為樣本(n＜N)，如果每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被取到，那么這樣的抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．(2)最常用的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法．2．系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個(gè)部分中抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣．3．分層抽樣一般地，當(dāng)總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾個(gè)部分，然后按各個(gè)部分在總體中所占的比實(shí)施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣，所分成的各個(gè)部分稱為“層”．4．三種抽樣方法的比較類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣均為不放回抽樣，且抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等從總體中逐個(gè)抽取是后兩種方法的基礎(chǔ)總體中的個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體抽樣分層抽樣將總體分成幾層，分層按比例進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成5.作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．6．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連結(jié)頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．7．莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是可以保留原始數(shù)據(jù)，而且可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”抽樣方法類型(一)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣1．抽簽法的步驟第一步，將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；第二步，將這N個(gè)號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上；第三步，將號(hào)簽放在同一箱中，并攪拌均勻；第四步，從箱中每次抽取1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取k次；第五步，將總體中與抽取的號(hào)簽的編號(hào)一致的k個(gè)個(gè)體取出．2．隨機(jī)數(shù)表法的步驟第一步，將個(gè)體編號(hào)；第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)開始；第三步，從選定的數(shù)開始，按照一定抽樣規(guī)則在隨機(jī)數(shù)表中選取數(shù)字，取足滿足要求的數(shù)字就得到樣本的號(hào)碼．[例1](1)以下抽樣方法中是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的序號(hào)是________．①在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)碼的后四位為2709的為三等獎(jiǎng)；②某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格；③某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見；④用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．(2)總體由編號(hào)為01，02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為________．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481[解析](1)①②不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的；③不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w的個(gè)體有明顯的層次；④是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．(2)由題意知前5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為08,02,14,07,01.[答案](1)④(2)01類型(二)系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的步驟[例2](1)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為________．(2)湖南衛(wèi)視為了解觀眾對(duì)《我是歌手》的意見，準(zhǔn)備從502名現(xiàn)場(chǎng)觀眾中抽取10%進(jìn)行座談，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，則在進(jìn)行分組時(shí)，需剔除________個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為________．[解析](1)由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為eq\f(840,42)＝20，每組抽取一人，因?yàn)榘麛?shù)個(gè)組，所以抽取個(gè)體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為(720－480)÷20＝12.(2)把502名觀眾平均分成50組，由于502除以50的商是10，余數(shù)是2，所以每組有10名觀眾，還剩2名觀眾，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣時(shí)，應(yīng)先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從502名觀眾中抽取2名觀眾，這2名觀眾不參加座談；再將剩下的500名觀眾編號(hào)為1,2,3，…，500，并均勻分成50段，每段含eq\f(500,50)＝10個(gè)個(gè)體．所以需剔除2個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為10.[答案](1)12(2)210[易錯(cuò)提醒]用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當(dāng)eq\f(N,n)不為整數(shù)時(shí)，取k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n)))，即先從總體中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法剔除(N－nk)個(gè)個(gè)體，且剔除多余的個(gè)體不影響抽樣的公平性．類型(三)分層抽樣進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)eq\f(樣本容量n,總體的個(gè)數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù))；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．[例3](1)(2017·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取________件．(2)(2018·東北三校聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝________.(3)某學(xué)校三個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參加一個(gè)小組)(單位：人).籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學(xué)校要對(duì)這三個(gè)小組的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個(gè)興趣小組的學(xué)生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為________．[解析](1)應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取60×eq\f(300,200＋400＋300＋100)＝18(件)．(2)依題意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90.(3)由題意知eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,45＋15＋30＋10＋a＋20)，解得a＝30.[答案](1)18(2)90(3)30[方法技巧]分層抽樣的解題策略(1)分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊．(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同．(3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣．(4)抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量).頻率分布直方圖和莖葉圖類型(一)頻率分布直方圖[例4](1)(2018·揚(yáng)州市考前調(diào)研)隨著社會(huì)的發(fā)展，食品安全問題漸漸成為社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)，為了提高學(xué)生的食品安全意識(shí)，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加食品安全知識(shí)競(jìng)賽，成績的頻率分布直方圖如下圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，若該校的學(xué)生總?cè)藬?shù)為3000，則成績不超過60分的學(xué)生人數(shù)大約為________．(2)某地政府調(diào)查了工薪階層1000人的月工資收入，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖，為了了解工薪階層對(duì)月工資收入的滿意程度，要用分層抽樣的方法從調(diào)查的1000人中抽出100人做詢?cè)L，則(30,35](百元)月工資收入段應(yīng)抽出________人．[解析](1)由圖知，成績不超過60分的學(xué)生的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成績不超過60分的學(xué)生人數(shù)大約為0.3×3000＝900.(2)月工資收入落在(30,35](百元)內(nèi)的頻率為1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，所以(30,35](百元)月工資收入段應(yīng)抽出100×0.15＝15(人)．[答案](1)900(2)15[方法技巧]1．繪制頻率分布直方圖時(shí)需注意的兩點(diǎn)(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗(yàn)該表是否正確；(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率．2．與頻率分布直方圖計(jì)算有關(guān)的兩個(gè)關(guān)系式(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率；(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．類型(二)莖葉圖1．莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)．2．莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)．通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對(duì)稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等．[例5]某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下．品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)通過觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．[解](1)畫出莖葉圖如圖所示：(2)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差．[方法技巧]莖葉圖問題的求解策略(1)由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計(jì)圖表問題時(shí)，要充分對(duì)這個(gè)圖表提供的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或者是對(duì)某些問題作出判斷．(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖數(shù)據(jù)求出樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一·類型一])某工廠的質(zhì)檢人員對(duì)生產(chǎn)的100件產(chǎn)品，采用隨機(jī)數(shù)法抽取10件檢查，對(duì)100件產(chǎn)品采用下面的編號(hào)方法：①1,2,3，…，100；②001,002，…，100；③00,01,02，…，99；④01,02,03，…，100.其中正確的序號(hào)是________．解析：根據(jù)隨機(jī)數(shù)法編號(hào)可知，①④編號(hào)位數(shù)不統(tǒng)一．答案：②③2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一·類型三])(2018·南京市高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150,150,400,300名學(xué)生．為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)中抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為________．解析：400×eq\f(40,150＋150＋400＋300)＝16.答案：163.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一·類型三])甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________．解析：分層抽樣中各層的抽樣比相同．樣本中甲設(shè)備生產(chǎn)的有50件，則乙設(shè)備生產(chǎn)的有30件．在4800件產(chǎn)品中，甲、乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)比為5∶3，所以乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的總數(shù)為eq\f(3,5＋3)×4800＝1800(件)．答案：18004.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一·類型二])為了了解本班學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)游戲的態(tài)度，高三(6)班計(jì)劃在全班60人中展開調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，班主任計(jì)劃采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取若干名學(xué)生進(jìn)行座談，為此先對(duì)60名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)為：01,02,03，…，60，已知抽取的學(xué)生中最小的兩個(gè)編號(hào)為03,09，則抽取的學(xué)生中最大的編號(hào)為________．解析：由最小的兩個(gè)編號(hào)為03,09可知，抽取時(shí)的分段間隔是6.即抽取10名同學(xué)，其編號(hào)構(gòu)成首項(xiàng)為3，公差為6的等差數(shù)列，故最大編號(hào)為3＋9×6＝57.答案：575.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二·類型二])在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示．若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________．解析：35÷7＝5，因此可將編號(hào)為1～35的35個(gè)數(shù)據(jù)分成7組，每組有5個(gè)數(shù)據(jù)，在區(qū)間[139,151]上共有20個(gè)數(shù)據(jù)，分在20÷5＝4個(gè)小組中，每組取1人，共取4人．答案：46.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二·類型一])某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，則圖中x的值等于________．解析：依題意，0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018.答案：0.018突破點(diǎn)(二)樣本的數(shù)字特征基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，不受極端值的影響．但顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低2.標(biāo)準(zhǔn)差、方差(1)標(biāo)準(zhǔn)差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]).(2)方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是樣本平均數(shù)．(3)方差與標(biāo)準(zhǔn)差相比，都是衡量樣本數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，但方差因?yàn)閷?duì)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了平方運(yùn)算，夸大了樣本的偏差程度．3．平均數(shù)、方差公式的推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差為m2s2.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”樣本的數(shù)字特征1.用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似．實(shí)際應(yīng)用中，需先計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，分析平均水平，再計(jì)算方差(標(biāo)準(zhǔn)差)，分析穩(wěn)定情況．2．若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差)；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)性比較方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大?。挤?一)與頻率分布直方圖交匯命題[例1]某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)．從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖．(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替．當(dāng)w＝3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)．[解](1)由用水量的頻率分布直方圖，知該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意，w至少定為3.(2)由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表如下：組號(hào)12345678分組[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．[方法技巧]頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．考法(二)與莖葉圖交匯命題[例2](1)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(單位：分)，已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17.4，則x，y的值分別是________．(2)(2017·南京三模)如圖是甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則在這五場(chǎng)比賽中得分較為穩(wěn)定(方差較小)的那名運(yùn)動(dòng)員的得分的方差為________．[解析](1)甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17,故y＝7，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(3×10＋20＋9＋6＋6＋x＋9,5)＝17.4，解得x＝7.(2)由莖葉圖知，得分較為穩(wěn)定的那名運(yùn)動(dòng)員應(yīng)該是乙，他在五場(chǎng)比賽中得分分別為8,9,10,13,15，所以他的平均得分為eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(8＋9＋10＋13＋15)＝11，其方差為s2＝eq\f(1,5)×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.[答案](1)7,7(2)6.8[易錯(cuò)提醒]在使用莖葉圖時(shí)，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個(gè)圖中數(shù)字的特點(diǎn)，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．樣本數(shù)據(jù)與優(yōu)化決策[例3]甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\x\to(x)8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個(gè)人中選擇一人參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是________．[解析]由題目表格中數(shù)據(jù)可知，丙平均環(huán)數(shù)最高，且方差最小，說明成績好，且技術(shù)穩(wěn)定，所以最佳人選是丙．[答案]丙[方法技巧]利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一·考法二])如圖是某學(xué)校舉行的運(yùn)動(dòng)會(huì)上七位評(píng)委為某體操項(xiàng)目打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為________．解析：依題意，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)是80＋eq\f(1,5)×(4×3＋6＋7)＝85，所剩數(shù)據(jù)的方差是eq\f(1,5)×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.答案：85,1.62.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝9，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)＞seq\o\al(2,甲)，故甲更穩(wěn)定．答案：甲3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一·考法一])我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說明理由．解：(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的頻率分別為0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12＝36000.(3)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一·考法二])某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；(2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差．解：(1)由題可知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差是40－19＝21.(2)這20名工人年齡的莖葉圖如圖所示：(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30，∴這20名工人年齡的方差為s2＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up6(20))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝eq\f(112＋6×22＋7×12＋5×02＋102,20)＝eq\f(252,20)＝12.6.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考[練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力]1．某學(xué)校為了了解某年高考數(shù)學(xué)的考試成績，在高考后對(duì)該校1200名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽取120名考生作為樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；從10名家長中隨機(jī)抽取3名參加座談會(huì)，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①，②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是___________________________．解析：在①中，文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好；在②中，抽取的樣本個(gè)數(shù)較少，宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．答案：分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法2．(2018·江蘇省淮安市高三期中)某校高三年級(jí)500名學(xué)生中，血型為O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．為研究血型與色弱之間的關(guān)系，現(xiàn)用分層抽樣的方法從這500名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，則應(yīng)抽取________名血型為AB的學(xué)生．解析：在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f(60,500)＝eq\f(3,25)，所以血型為AB的學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為50×eq\f(3,25)＝6.答案：63．(2018·常州模擬)某地區(qū)有高中學(xué)校10所，初中學(xué)校30所，小學(xué)學(xué)校60所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取20所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康檢查，則應(yīng)抽取初中學(xué)校________所．解析：抽樣比為eq\f(20,10＋30＋60)＝20%，所以應(yīng)抽取初中學(xué)校30×20%＝6所．答案：64．(2018·徐州市高三年級(jí)期中)已知一組數(shù)據(jù)：87，x,90,89,93的平均數(shù)為90，則該組數(shù)據(jù)的方差為________．解析：由題意eq\f(1,5)(87＋x＋90＋89＋93)＝90，得到x＝91，所以方差s2＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.答案：4[練常考題點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力]一、填空題1．(2017·蘇州暑假測(cè)試)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差為8，則d＝________.解析：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以a1，a2，a3，a4，a5的均值為a3，所以方差為eq\f(1,5)[(－2d)2＋(－d)2＋0＋d2＋(2d)2]＝2d2＝8，解得d＝±2.答案：±22．(2018·南通模擬)如圖是甲、乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測(cè)試中得分的莖葉圖，則成績較穩(wěn)定(方差較小)的那一位同學(xué)的方差為________．解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(88＋89＋90＋91＋92)＝90；eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(87＋89＋90＋91＋93)＝90.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝eq\f(1,5)(4＋1＋4＋1)＝2；seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(87－90)2]＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq\f(1,5)(9＋1＋1＋9)＝4.答案：23．如圖是依據(jù)某城市年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況調(diào)查而繪制的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在[30,35)，[35,40)，[40,45]的網(wǎng)民人數(shù)成遞減的等差數(shù)列，則年齡在[35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為________．解析：由題意得，年齡在[20,25)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.01×5＝0.05，[25,30)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.07×5＝0.35，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的網(wǎng)民人數(shù)成遞減的等差數(shù)列，則其頻率也成等差數(shù)列，又[30,45]的頻率為1－0.05－0.35＝0.6，則年齡在[35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.6÷3＝0.2.答案：0.24．(2018·南通中學(xué)高三月考)一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．則z的值為________．解析：這個(gè)月生產(chǎn)的轎車共有100＋300＋150＋450＋z＋600＝1600＋z(輛)，A類轎車400輛，所以eq\f(400,1600＋z)＝eq\f(10,50)，得z＝400.答案：4005．(2018·鹽城模擬)已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，則數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的標(biāo)準(zhǔn)差為________．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，eq\x\to(x)′＝eq\f(2,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，s2＝eq\f(1,5)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)－5(eq\x\to(x))2]＝2，s＝eq\r(2)，s′2＝eq\f(1,5)[(2x1)2＋(2x2)2＋(2x3)2＋(2x4)2＋(2x5)2－5(2eq\x\to(x))2]＝4s2，所以s′＝2s＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)6．(2018·連云港模擬)如圖是一次攝影大賽上7位評(píng)委給某參賽作品打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖．記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91分．復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是________．解析：分類計(jì)算，(1)當(dāng)x＝1時(shí)，eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(89＋91＋91＋92＋92)＝91;(2)當(dāng)x＝2時(shí)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(89＋91＋92＋92＋92)＝91.2，不合題意，所以x＝1.答案：17．在樣本頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長方形，若中間一個(gè)小長方形的面積等于其他10個(gè)小長方形面積和的eq\f(1,4)，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為________．解析：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可設(shè)中間一組的頻率為x，則x＋4x＝1，所以x＝0.2，故中間一組的頻數(shù)為160×0.2＝32.答案：328．某公司300名員工2017年年終獎(jiǎng)金情況的頻率分布直方圖如圖所示，由圖可知，員工中年終獎(jiǎng)金在1.4～1.6萬元的共有________人．解析：由頻率分布直方圖知年終獎(jiǎng)金低于1.4萬元或者高于1.6萬元的頻率為(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年終獎(jiǎng)金在1.4～1.6萬元間的頻率為1－0.76＝0.24，所以300名員工中年終獎(jiǎng)金在1.4～1.6萬元間的員工人數(shù)為300×0.24＝72.答案：729．高一(1)班有學(xué)生52人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為4的樣本．已知6號(hào)，32號(hào)，45號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是________．解析：由題意得各組間距為eq\f(52,4)＝13，因?yàn)樵诘谝唤M中抽取的是6，所以以下各組依次應(yīng)該抽?。?＋13＝19,6＋2×13＝32,6＋3×13＝45，即另一個(gè)編號(hào)為19.答案：1910．(2018·泰州質(zhì)檢)甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績(單位：環(huán))如下表：選手第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8則甲、乙兩位選手中成績最穩(wěn)定的選手的方差是________．解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝eq\f(1,5)×(0.04＋0.01＋0.01＋0.04)＝0.02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝eq\f(1,5)×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244.因?yàn)閟eq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績最穩(wěn)定，其方差為0.02.答案：0.02二、解答題11．(2017·北京高考)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)值為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故樣本中分?jǐn)?shù)小于50的頻率為0.1，故分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100×0.1－5＝5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2.所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為3∶2.12．隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的應(yīng)用軟件層出不窮．現(xiàn)從使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機(jī)抽取50個(gè)商家，對(duì)它們的“平均送達(dá)時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如下：(1)試估計(jì)使用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)及平均數(shù)；(2)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，回答下列問題：①能否認(rèn)為使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時(shí)間”不超過40分鐘的商家達(dá)到75%?②如果你要從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會(huì)選擇哪款？說明理由．解：(1)依題意可得，使用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)為55.使用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)為15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)①使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時(shí)間”不超過40分鐘的商家的比例估計(jì)值為0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%＞75%.故可以認(rèn)為使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時(shí)間”不超過40分鐘的商家達(dá)到75%.②使用B款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)為15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以選B款訂餐軟件．第二節(jié)概率本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.隨機(jī)事件的頻率與概率；2.古典概型與幾何概型；3.互斥事件與對(duì)立事件.突破點(diǎn)(一)隨機(jī)事件的頻率與概率基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1．事件的分類2．頻率和概率(1)若在相同的條件下，隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則稱eq\f(m,n)為事件A發(fā)生的頻率；當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)可以作為隨機(jī)事件A的概率的近似值．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，在相同的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們把這個(gè)常數(shù)稱為事件A的概率，記作P(A).考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”隨機(jī)事件的頻率與概率事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)是利用頻數(shù)m除以試驗(yàn)總次數(shù)n所得到的值，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它在A的概率附近擺動(dòng)幅度越來越小，即概率是頻率的穩(wěn)定值，因此在試驗(yàn)次數(shù)足夠的情況下，給出不同事件發(fā)生的次數(shù)，可以利用頻率來估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率．[典例](2018·湖北七市聯(lián)考)某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1000名網(wǎng)絡(luò)購物者進(jìn)行調(diào)查．這1000名購物者2016年網(wǎng)上購物金額(單位：萬元)均在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，樣本分組為：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，購物金額的頻率分布直方圖如下：電子商務(wù)公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購物金額關(guān)系如下：購物金額分組[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]發(fā)放金額50100150200(1)求這1000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)；(2)以這1000名購物者購物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率，求一個(gè)購物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率．[解](1)購物者的購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表：x0.3≤x＜0.50.5≤x＜0.60.6≤x＜0.80.8≤x≤0.9y50100150200頻率0.40.30.280.02這1000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為：eq\f(50×400＋100×300＋150×280＋200×20,1000)＝96.(2)由獲得優(yōu)惠券金額y與購物金額x的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由(1)有P(y＝150)＝P(0.6≤x＜0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，從而，獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率為P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1．某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買.商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率；(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解：(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為eq\f(200,1000)＝0.2.(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有100位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)與(1)同理，可得：顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為eq\f(200,1000)＝0.2，顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為eq\f(100,1000)＝0.1.所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大．2．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．解：(1)共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用頻率估計(jì)概率，可得所求概率為0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得所求各頻率為所用時(shí)間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)記事件A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；記事件B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，故甲應(yīng)選擇L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)，故乙應(yīng)選擇L2.突破點(diǎn)(二)古典概型與幾何概型基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1．基本事件在1次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件．基本事件的特點(diǎn)：(1)任何兩個(gè)基本事件都是不可能同時(shí)發(fā)生的；(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的．2．古典概型具有以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型：(1)所有的基本事件只有有限個(gè)；(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的．3．古典概型的概率公式如果1次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是eq\f(1,n)，如果某個(gè)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，則事件A發(fā)生的概率為：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))＝eq\f(m,n).4．幾何概型的定義設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)，這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關(guān)．我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．5．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．6．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(d的測(cè)度,D的測(cè)度).考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”古典概型古典概型的概率計(jì)算往往與實(shí)際問題結(jié)合緊密，解決問題的一般步驟如下：第一步，閱讀題目，判斷試驗(yàn)是否為古典概型，若滿足有限性和等可能性，則進(jìn)行下一步．第二步，在理解題意的基礎(chǔ)上，若基本事件的個(gè)數(shù)較少，可用列舉法、列表法或樹狀圖法將基本事件一一列出，求出基本事件的總數(shù)n，并在這些基本事件中找出題目要求的事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.第三步，利用古典概型的概率公式求出事件的概率．[例1](1)(2017·蘇北三市三模)現(xiàn)有三張識(shí)字卡片，分別寫有“中”、“國”、“夢(mèng)”這三個(gè)字．將這三張卡片隨機(jī)排序，則能組成“中國夢(mèng)”的概率是________.(2)(2018·蘇州高三暑假測(cè)試)有五條線段，其長度分別為2,3,4,5,7.現(xiàn)任取三條，則這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率是________．[解析](1)把這三張卡片排序有“中”“國”“夢(mèng)”，“中”“夢(mèng)”“國”，“國”“中”“夢(mèng)”，“國”“夢(mèng)”“中”，“夢(mèng)”“中”“國”，“夢(mèng)”“國”“中”，共計(jì)6種，能組成“中國夢(mèng)”的只有1種，概率為eq\f(1,6).(2)從長度分別為2,3,4,5,7的五條線段中任取三條，有(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,7)，(2,4,5)，(2,4,7)，(2,5,7)，(3,4,5)，(3,4,7)，(3,5,7)，(4,5,7)共10個(gè)基本事件，記“這三條線段可以構(gòu)成三角形”為事件A，則事件A包含了(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，(3,5,7)，(4,5,7)共5個(gè)基本事件，所以這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率是eq\f(1,2).[答案](1)eq\f(1,6)(2)eq\f(1,2)[方法技巧]1．古典概型計(jì)算三步曲第一，本試驗(yàn)是不是等可能的；第二，本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個(gè)．2．確定基本事件的方法(1)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時(shí)，可列舉計(jì)算；(2)列表法、樹狀圖法．幾何概型[例2](1)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形的面積大于20cm2的概率為________．(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點(diǎn)M，則AM＜AC的概率為________．(3)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________．(4)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)[解析](1)設(shè)|AC|＝x，則|BC|＝12－x，所以x(12－x)＞20，解得2＜x＜10，故所求概率P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).(2)過點(diǎn)C作CN交AB于點(diǎn)N，使AN＝AC，如圖所示．顯然當(dāng)射線CM處在∠ACN內(nèi)時(shí)，AM＜AC.又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率為P＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).(3)因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0，))B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，故P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).(4)正方體的體積為：2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為：eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：1－eq\f(\f(2,3)π,8)＝1－eq\f(π,12).[答案](1)eq\f(2,3)(2)eq\f(3,4)(3)eq\f(1,4)(4)1－eq\f(π,12)[方法技巧]1．與長度有關(guān)的幾何概型如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解．2．與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段．如本例中的第(2)題極易求錯(cuò)．3．與面積有關(guān)的幾何概型求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．4．與體積有關(guān)的幾何概型對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求.能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b＜c時(shí)稱為“凹數(shù)”(如213,312)等．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是________．解析：由1,2,3組成的三位數(shù)有123,132,213,231,312,321，共6個(gè)；由1,2,4組成的三位數(shù)有124,142,214,241,412,421，共6個(gè)；由1,3,4組成的三位數(shù)有134,143,314,341,413,431，共6個(gè)；由2,3,4組成的三位數(shù)有234,243,324,342,423,432，共6個(gè)．所以共有6＋6＋6＋6＝24個(gè)三位數(shù)．當(dāng)b＝1時(shí)，有214,213,314,412,312,413，共6個(gè)“凹數(shù)”；當(dāng)b＝2時(shí)，有324,423，共2個(gè)“凹數(shù)”．故這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為________．解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36個(gè)，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，即滿足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個(gè)，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，則所求概率P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為________．解析：設(shè)事件M為“動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)”，則P(M)＝eq\f(V三棱錐A-A1BD,V長方體ABCD-A1B1C1D1)＝eq\f(V三棱錐A1-ABD,V長方體ABCD-A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·S△ABD,V長方體ABCD-A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)5.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])在區(qū)間[0,1]上任取兩個(gè)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b2無零點(diǎn)的概率為________．解析：要使該函數(shù)無零點(diǎn)，只需a2－4b2＜0，即(a＋2b)(a－2b)＜0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b＞0，∴a－2b＜0.作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，,a－2b＜0))的可行域(如陰影部分所示)，易得該函數(shù)無零點(diǎn)的概率P＝eq\f(1－\f(1,2)×1×\f(1,2),1×1)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)突破點(diǎn)(三)互斥事件與對(duì)立事件基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1．概率的基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.不可能事件的概率：P(A)＝0.2．互斥事件和對(duì)立事件事件定義概率公式互斥事件不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件如果事件A、B互斥且至少有一個(gè)發(fā)生，記作A＋B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)對(duì)立事件如果兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生，稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件；事件A的對(duì)立事件記為eq\x\to(A)P(eq\x\to(A))＝1－P(A)考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”事件關(guān)系的判斷[例1](1)從1,2,3，…，7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)．上述事件中，是對(duì)立事件的是________(填序號(hào))．(2)設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對(duì)立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的________條件．[解析](1)③中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”即“兩個(gè)奇數(shù)或一奇一偶”，而從1～7中任取兩個(gè)數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三個(gè)事件：“兩個(gè)都是奇數(shù)”、“一奇一偶”、“兩個(gè)都是偶數(shù)”，故“至少有一個(gè)是奇數(shù)”與“兩個(gè)都是偶數(shù)”是對(duì)立事件，易知其余都不是對(duì)立事件．(2)若事件A與事件B是對(duì)立事件，則A＋B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1，充分性成立．設(shè)擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“3次出現(xiàn)正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對(duì)立事件，必要性不成立．故甲是乙的充分不必要條件．[答案](1)③(2)充分不必要[方法技巧]事件間的關(guān)系的判斷方法(1)判斷事件間的關(guān)系時(shí)，可把所有的試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件間的關(guān)系．(2)對(duì)立事件一定是互斥事件，也就是說不互斥的兩個(gè)事件一定不是對(duì)立事件，在確定了兩個(gè)事件互斥的情況下，就要看這兩個(gè)事件的和事件是不是必然事件，這是判斷兩個(gè)事件是否為對(duì)立事件的基本方法．判斷互斥事件、對(duì)立事件時(shí)，注意事件的發(fā)生與否都是對(duì)于同一次試驗(yàn)而言的，不能在多次試驗(yàn)中判斷．(3)從集合的角度上看：事件A，B對(duì)應(yīng)的基本事件構(gòu)成了集合A，B，則A，B互斥時(shí)，A∩B＝?；A，B對(duì)立時(shí)，A∩B＝?且A∪B＝Ω(Ω為全集)．兩事件互斥是兩事件對(duì)立的必要不充分條件．互斥事件、對(duì)立事件的概率[例2]某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．[解](1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M，則M＝A＋B＋C.因?yàn)锳，B，C兩兩互斥，所以P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，所以P(N)＝1－P(A＋B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(989,1000).[方法技巧]求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接求解法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)間接法：先求該事件的對(duì)立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題時(shí)，多考慮間接法．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設(shè)事件M：“兩次出現(xiàn)正面”，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對(duì)立事件；②若事件A與B互為對(duì)立事件，則事件A與B為互斥事件；③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對(duì)立事件；④若事件A與B互為對(duì)立事件，則事件A＋B為必然事件．其中真命題的序號(hào)是________．解析：對(duì)①，一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結(jié)果，則事件M與N是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故①是假命題；對(duì)②，對(duì)立事件首先是互斥事件，故②是真命題；對(duì)③，互斥事件不一定是對(duì)立事件，如①中兩個(gè)事件，故③是假命題；對(duì)④，事件A，B為對(duì)立事件，則一次試驗(yàn)中A，B一定有一個(gè)要發(fā)生，故④是真命題．答案：②④2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________．解析：“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對(duì)立事件，則所求概率P＝1－P(A)＝0.35.答案：0.353.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])口袋中有100個(gè)大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個(gè)，從口袋中摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為________．解析：由題可知，摸出紅球的概率為0.45，摸出白球的概率為0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.答案：0.324.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A＋B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).答案：eq\f(17,35)5.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).則P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考[練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力]1．(2018·南京市高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)記函數(shù)f(x)＝eq\r(4－3x－x2)的定義域?yàn)镈.若在區(qū)間[－5,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率為________．解析：D＝{x|4－3x－x2≥0}＝[－4,1]，所以P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則 紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是________．解析：從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的情況有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的情況有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)3．(2018·蘇州市考前模擬)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為________．解析：在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，即x∈[－1,1]時(shí)，要使coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之間，需使－eq\f(π,2)≤eq\f(πx,2)≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤eq\f(πx,2)≤eq\f(π,2)，∴－1≤x≤－eq\f(2,3)或eq\f(2,3)≤x≤1，區(qū)間長度為eq\f(2,3)，由幾何概型知coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為eq\f(\f(2,3),2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4．小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是________．解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).答案：eq\f(1,15)[練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力]一、填空題1．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的概率為________．解析：數(shù)據(jù)落在[10,40)的概率為eq\f(2＋3＋4,20)＝eq\f(9,20)＝0.45.答案：0.452．(2018·鎮(zhèn)江模擬)若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a解析：由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))3．(2018·鹽城模擬)甲、乙兩盒中各有除顏色外完全相同的2