高三數(shù)學(xué)中檔題訓(xùn)練（177題）

高三數(shù)學(xué)中檔題訓(xùn)練

1.集合A={1,3,a},B={1,a2},問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得BQA,

且ACB={1,a}?若存在，求出實(shí)數(shù)。的值；若不存在，說(shuō)明理由.

2.在AABC中，。、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對(duì)?應(yīng)的三邊，已知=/+兒。

(I)求角A的大小：

(II)若2sin2g■+2sin2G=1,判斷A4BC的形狀。

22

J33

3.設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=].已知點(diǎn)P(0,求到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為

"，求這個(gè)橢圓方程.

4.數(shù)列缶“}為等差數(shù)列，勺為正整數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S“，數(shù)列{，}為等比數(shù)列，且6=3,仇=1,數(shù)列

也J是公比為64的等比數(shù)列，b2S2=64.

1113

(1)求凡，(2)求證---1---1---1---<—.

岳525〃4

5.已知函數(shù)/(x)=的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)g(x)=lg(-x2+2犬+〃?)的定義域?yàn)榧厦?/p>

⑴當(dāng)m=3時(shí)，求API(CRB);

⑵若AnB={x[—l<x<4},求實(shí)數(shù)m的值.

6.設(shè)向量機(jī)=(cos。,sin。)，〃=(2>/2+sin仇2j2-cos6),(--TT-TT),若〃”〃=1,求：(1)

TT7

sin(6+z)的值；(2)cos(6+0%)的值.

7.在幾何體ABCDE中，ZBAC=—,DC_L平面ABC,EB_L平面ABC,F是BC的中點(diǎn)，AB=AC=BE=2,CD=1

2

(I)求證：DC〃平面ABE；

(II)求證：AF_L平面BCDE；D―-

(III)求證：平面AFD_L平面AFE.

A

8.已知AOFQ的面積為2乖，且赤?而=m.

⑴設(shè)m<m<4乖，求向量而與西的夾角。正切值的取值范圍;

1=(*-DC?,當(dāng)麗|取得最小值時(shí)，

⑵設(shè)以。為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(如圖)，歷,n

一一Vk-

7TV

e旁,2G,

9.已知向量。=(3sina,cosa),6=(2sina,5sina—4cosa),a

且a_Lb.(1)求tana的值;

(2)求cos(￡+T)的值.

10.某隧道長(zhǎng)2150m,通過(guò)隧道的車(chē)速不能超過(guò)20m/s。一列有55輛車(chē)身長(zhǎng)都為10m的同一車(chē)型的車(chē)隊(duì)

(這種型號(hào)的車(chē)能行駛的最高速為40m/s),勻速通過(guò)該隧道，設(shè)車(chē)隊(duì)的速度為xm/s,根據(jù)安全和車(chē)流的

需要，當(dāng)0<xW10時(shí)，相鄰兩車(chē)之間保持20m的距離；當(dāng)10<x〈20時(shí)，相鄰兩車(chē)之間保持

(-x2+,x)m的距離。自第1輛車(chē)車(chē)頭進(jìn)入隧道至第55輛車(chē)尾離開(kāi)隧道所用的時(shí)間為y(s)。

63

(1)將y表示為x的函數(shù)。

(2)求車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間y的最小值及此時(shí)車(chē)隊(duì)的速度。(百=1.73)

11.設(shè)數(shù)列5“｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足5“=2—〃”,〃=1,2,3,…。

(I)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(H)若數(shù)列｛bn｝滿(mǎn)足bi=l,且bn+i=bn+an，求數(shù)列｛3｝的通項(xiàng)公式;

(III)設(shè)Cn=n(3—bn),求數(shù)列｛品｝的前〃項(xiàng)和Tn

12.設(shè)函數(shù)/(x)=(x+l)2-2-nx.

(1)當(dāng)k=2時(shí)，求函數(shù)/(X)的增區(qū)間；

(2)當(dāng)k<0時(shí)、求函數(shù)g(x)=/'(x)在區(qū)間(0,2］上的最小值.

13.已知向量=(V3sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),.設(shè)函數(shù)/'(x)=m-n.

(1)求/(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間。

(2)在AABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若/(A)=41=l,

73

△ABC的面積為求a的值.

2

14.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且4=2,4+4+。3=12.

(I)求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式；(II)令2=3""，求證：數(shù)列也,｝是等比數(shù)列.

15.已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)/(x)=x2(x-q).

(I)若/'(1)=3,求。值及曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程;

(II)求/(X)在區(qū)間［0,2］上的最大值.

16.已知二次函數(shù)/3)=/一以+。*€/?)同時(shí)滿(mǎn)足：①不等式/(x)<0的解集有且只有一個(gè)元素；②

在定義域內(nèi)存在0<項(xiàng)<》2,使得不等式/(匹)>/(々)成立。設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S"=/(〃)。(1)

求/(x)表達(dá)式；(2)求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式；

a+5

(3)設(shè)2=(V3)",c“=6b"+仇用一"，，,｛c“｝前n項(xiàng)和為7；,Tn>n+m對(duì)(neN*,〃22)恒

bh+i

成立，求m范圍

17.設(shè)6,6分別是橢圓U0+斗＞=1（a＞匕＞0）的左、右焦點(diǎn)

ab-

（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（l,］3）到月兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫(xiě)出橢圓。的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)尸

是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，。（0,；），求PQ的最大值；

18.設(shè)函數(shù)/（x）=/+。工3+2/+b（xcR）,其中3bwR.

（I）當(dāng)。=—T時(shí)，討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

（II）若函數(shù)/（X）僅在x=0處有極值，求。的取值范圍；

（III）若對(duì)于任意的ae［—2,2］,不等式/（x）W1在［—1,1］上恒成立，求。的取值范圍

19.在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以?xún)?nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有個(gè)雷達(dá)

觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得?艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40V2海里的位置B,經(jīng)

過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)4北偏東45。+6（其中sin6=426,0°＜6＜90。）且與點(diǎn)4相距105/13

26

海里的位置C

（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;

（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.

20.已知分別以4和d2為公差的等差數(shù)列｛%｝和也J滿(mǎn)足％=18,瓦,=36.

(1)若4=18,且存在正整數(shù)加，使得％,2=〃,用4—45,求證：＞108；

(2)若%=%=0,且數(shù)列％,a2,???，ak,瓦+i，bk+2,???，的前〃項(xiàng)和S“滿(mǎn)足加4=2S&,求

數(shù)列也J和步」的通項(xiàng)公式；

21.設(shè)函數(shù)//二a?b,其中向量爐(2cosx,1),b=(cosx,百sin2x),x￡R.

(I)若—6且[―色，—],求x；

33

TT

(H)若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)(|m|〈代)平移后得到函數(shù)y=/Y切的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的

2

22.盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的卡片各2張，從盒中任意任取3張，每張卡片被抽出的可能性都相

等，求：

(I)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；

(II)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概念；

(III)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率.

23.如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-AiBCD的對(duì)角線BDi上，NPDA=60°。

(1)求DP與CCi所成角的大??；

AB

(2)求DP與平面AAiDiD所成角的大小。

24.設(shè)銳角三角形48c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2hsinA.

(I)求8的大??；

(II)求cosA+sinC的取值范圍.

211

25.甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是&Q,現(xiàn)3人各投籃1次，求:

(I)3人都投進(jìn)的概率；

(H)3人中恰有2人投進(jìn)的概率.

26.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC0—A'8'C'￡>'中，4>=膽=6(0<6<1),截面PQEF//A'D,截面PQ.GH

//AD'.

(I)證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

(H)證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值,

并求出這個(gè)值；

(III)若。=',求O'E與平面PQEF所成角的正弦值.

2

27.在△ABC中，已知內(nèi)角4=三，邊8C=2jI.設(shè)內(nèi)角6=x,周長(zhǎng)為y.

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式和定義域；

(2)求y的最大值.

28.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床相互沒(méi)有影響地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲機(jī)床產(chǎn)品的正品率是0.9,乙機(jī)床產(chǎn)品的正品率是

0.95.

(I)從甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用數(shù)字作答)；

(II)從甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率.

29.如圖，正四棱柱ABCO-AMG.中，=2AB=4,點(diǎn)E在CG上且GE=3EC.

(I)證明：4c，平面8EO；

(II)求二面角A—OE—8的大小.

30.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,tanC=3j7.

(1)求cosC；

—?—?5

(2)若CB?CA=—,且。+/?=9,求c.

2

31.甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白

球.兩甲，乙兩袋中各任取2個(gè)球.

(I)若n=3,求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；

AA3

(H)若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為一，求m

4

32.如圖，已知四棱錐P-A8CD,底面ABCD為菱形，%_L平面ABCD,ZABC=60°,E,F分別是BC,PC

的中點(diǎn).

(I)證明：AELPD;

(II)若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的父

正切值為一，求二面角E—AF—C的余弦值。

2

￡C

33.設(shè)函數(shù)/(x)=aS,其中向量a=(機(jī),cos2x),=(1+sin2x4),xeR,且y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(1)求實(shí)數(shù)〃?的值；

(II)求函數(shù)“X)的最小值及此時(shí)X值的集合.

34.甲、乙、丙三人在同一辦公室工作。辦公室只有一部電話(huà)機(jī)，設(shè)經(jīng)過(guò)該機(jī)打進(jìn)的電話(huà)是打給甲、乙、

丙的概率依次為J、->-?若在一段時(shí)間內(nèi)打進(jìn)三個(gè)電話(huà)，目各個(gè)電話(huà)相互獨(dú)立。求：

632

(I)這三個(gè)電話(huà)是打給同一個(gè)人的概率；

(II)這三個(gè)電話(huà)中恰有兩個(gè)是打給甲的概率；

35.三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為44G，N84C=90°,

平面ABC,AA=G，AB=6,AC=2,AC,=1,—

111

DC2A

(I)證明：平面平面BCG4；

(ID求二面角A—C&-B的大小.

36.在△ABC中，由b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.若a=2,C=工，cos^=N5,求△ABC

425

的面積S

37.已知甲盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的5個(gè)紅球和4個(gè)黑球.現(xiàn)從甲、

乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.

(I)求取出的4個(gè)球均為紅球的概率；

(H)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；

38.如圖，平面ABEbJ_平面4BCD,四邊形A8ER與A8CD都是直角梯形,

ZBAD=ZFAB=90°,BC"-AD,BE"-AF,G,"分別為

=2=2

FA,FD的中點(diǎn)

(I)證明：四邊形是平行四邊形；

(IDC,O,F,E四點(diǎn)是否共面？為什么？

(III)設(shè)=證明：平面4OE_L平面CDE

39.已知cosa=y,cos(a-p)=JBLO<p<OC<-^,

(I)求tan2a的值.

(II)求,

40.某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下輪考核，否則

4321

即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的概率分別為一、一、一、一，且各輪問(wèn)題

5555

能否正確回答互不影響.

(I)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；

(II)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.

41.如圖，四面體ABCD中，。、E分別是BD、BC的中點(diǎn),

CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=g.

(I)求證：AOJ■平面BCD；

(II)求異面直線AB與CD所成角的大小;

(III)求點(diǎn)E到平面ACD的距離。

42.已知函數(shù)/(x)=2cosx(sinx-cosx)+l,xeR.

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

7T3兀

(H)求函數(shù)/(X)在區(qū)間上一的最小值和最大值.

43.從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多

有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.

(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率P;

(2)若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件3：”取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概

率P(B).

44.如圖，在直三棱柱A8C-4B1C1中，A8=8C,。、E分別為B&、AQ的中點(diǎn).

(I)證明：ED為異面直線BBi與AQ的公垂線；

(II)設(shè)A4i=AC=啦＜48,求二面角4-AD-G的大小

4

45.在△ABC中，已知AC=2,BC=3,cosA——.

5

(I)求sinB的值；

(II)求呵26+]

的值.

46.某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選

擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)I,已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%,參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%,

假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響.

(I)任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；

(II)任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過(guò)培養(yǎng)的概率

47.在長(zhǎng)方體A8C。-A|8|G3中，已知D4=Z)C=4,DD}=3,

求異面直線48與用C所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

48.一知△A5C的周長(zhǎng)為正+1,MsinA4-sinB=V2sinC.

求邊A3的長(zhǎng)；(II)若△ABC的面積為」sinC,求角。的度數(shù).

(I)

6

49.甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7,0.6,且每次試跳成功與否相互之

間沒(méi)有影響，求：

(1)甲試跳三次，第三次才成功的概率；

(II)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；

(III)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率

50.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—AgGA中，分別是DiC1BC,\D}

的中點(diǎn)，M,N分別是AE,CD}AD=A%=a,AB=21

(I)求證：MN〃面

(II)求二面角P—4E—。的大小。P-DEN

的體積。

51.設(shè)/(x)=6cos2x-VJsin2x

(1)求/(x)的最大值及最小正周期；

(II)若銳角a滿(mǎn)足/(a)=3-2jj,求tanga的值.

52.甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A,B,C,。四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志

愿者.

[1)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；

(II)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率;

53.在長(zhǎng)方體ABC。-44GA中，已知ABE,F

分別是線段AB,8C上的點(diǎn)，且EB=FB=1

(I)求二面角C—EO—G的正切值

(II)求直線EC,與尸2所成角的余弦值

1+V2cos2x—；

54.已知函數(shù)/(x)=----丁

sinfx+^

3

(I)求/(x)的定義域；(II)若角a在第一象限且cosa=《，求/。).

55.設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每位顧客購(gòu)買(mǎi)甲種商品的概率為0.5,購(gòu)買(mǎi)乙種商品的概率為0.6,且購(gòu)買(mǎi)甲種商

品與購(gòu)買(mǎi)乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買(mǎi)商品也是相互獨(dú)立的。

(I)求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種的概率；

(II)求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種的概率；

56.在四棱錐產(chǎn)一A8CD中，底面ABCD是正方形，

側(cè)棱尸￡>J?底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),

作EFLPB交PB于點(diǎn)F。

（I）證明PA〃平面EDB；

（n）證明PBJ_平面EFD；

（III）求二面角C-PB-D的大小。

54

57.在△ABC中，cosB=——，cosC=-.

135

（I）求sinA的值；（H）設(shè)△ABC的面積SaABc=三33，求6C的長(zhǎng).

58.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為g與p,且乙投球2次均未命中的

概率為

16

（I）求乙投球的命中率p；（n）求甲投球2次，至少命中1次的概率；

（III）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率.

59.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB〃DC,

NZM6=90°,PA_L底面ABCD,且PA=AD=DC=-AB=1,是PB的中

2

點(diǎn)。

(I)證明：面PAD_L面PCD；

(II)求AC與PB所成的角；

(III)求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

60.已知函數(shù)/（x）=sin?的+J5sin<yxsin1<yx+5j（。:>0）的最小正周期為兀.

（I）求0的值；

2兀

（II）求函數(shù)/（X）在區(qū)間0,—上的取值范圍.

61.甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員，投籃的命中率分別為0.7與0.8.

(1)如果每人投籃一次，求甲、乙兩人至少有一人進(jìn)球的概率;

(2)如果每人投籃三次，求甲投進(jìn)2球且乙投進(jìn)1球的概率.

62.在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面是正三

角形，平面VAD_L底面ABCD.

(I)證明ABL平面VAD.

(II)求面VAD與面VDB所成的二面角的大小.

63.求函數(shù)y=7—4sinxcosx+4cos2x-4cos，x的最大值與最小值。

64.沿某大街在甲、乙、丙三個(gè)地方設(shè)有紅、綠交通信號(hào)燈，汽車(chē)在甲、乙、丙三個(gè)地方

通過(guò)(綠燈亮通過(guò))的概率分別為上，----對(duì)于在該大街上行駛的汽車(chē)，

323

求：(1)在三個(gè)地方都不停車(chē)的概率；

(2)在三個(gè)地方都停車(chē)的概率；

(3)只在一個(gè)地方停車(chē)的概率.

65.如圖所示的多面體是山底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AECiF所截面而

得到的，其中AB=4,BC=2,CCi=3,BE=1.

[E

B

(I)求BF的長(zhǎng)；

(II)求點(diǎn)C到平面AEQF的距離.

66.已知函數(shù)/(x)=cos(2x——)+2sin(x-)sin(x+—)

344

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程

(II)求函數(shù)/(X)在區(qū)間［-卷TTTT,上的值域

67.口袋里裝有紅色和白色共36個(gè)不同的球，且紅色球多于白色球.從袋子中取出2個(gè)球,

若是同色的概率為L(zhǎng)，求：

2

(I)袋中紅色、白色球各是多少？

(2)從袋中任取3個(gè)小球，至少有一個(gè)紅色球的概率為多少？

68.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D”中，AD=AAi=l

AB=2,點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng).

(1)證明:DjElAxD；

(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACDi的星巨離;

TT

(3)AE等于何值時(shí)，二面角D—EC—D的大小為生.

4

A

B

69.已知函數(shù)/(x)=2cos2Q)x+2sin<yxcosa)x+l(xeR,0>0)的最小值正周期是g.

(I)求0的值；

(II)求函數(shù)/(x)的最大值，并且求使/(x)取得最大值的x的集合.

70.袋中有大小相同的5個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任意摸出4個(gè)，求下列事件發(fā)生的概率.

(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球；(2)至少摸出一個(gè)黑球.

71.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCO-44Gz)”==1,

直線8。與平面44蜴8所成的角為30。，4E垂直8。于

E,尸為A4的中點(diǎn).

(I)求異面直線AE與所成的角；

(II)求平面5OF與平面44中所成的二面角；

(III)求點(diǎn)A到平面8。尸的距離.

72.已知二次函數(shù)/(x)對(duì)任意xeR,都有/(I-x)=/(l+x)成立,

設(shè)向量(sinx,2),b=(2sinx,—),c=(cos2x,1),d=(1,2),

2

當(dāng)xw[0,兀]時(shí)，求不等式/(&?》)>/(c?d)的解集.

73.甲、乙隊(duì)進(jìn)行籃球總決賽，比賽規(guī)則為：七場(chǎng)四勝制，即甲或乙隊(duì)，誰(shuí)先累計(jì)獲勝四場(chǎng)比賽時(shí)，該隊(duì)

就是總決賽的冠軍，若在每場(chǎng)比賽中，甲隊(duì)獲勝的概率均為0.6,每場(chǎng)比賽必須分出勝負(fù)，且每場(chǎng)比賽的

勝或負(fù)不影響下一場(chǎng)比賽的勝或負(fù).

(1)求甲隊(duì)打完第五場(chǎng)比賽就獲得冠軍的概率；

(2)求甲隊(duì)獲得冠軍的概率.

74.如圖，PAJ_平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,

E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).

(1)求證：AF〃平面PCE；

(2)若二面角P-CD-B為45°,AD=2,CD=3,

求點(diǎn)F到平面PCE的距離.

75.已知函數(shù)/(x)是定義在［一1』上的奇函數(shù)，在［0,1］上/(x)=2*+ln(x+l)-1

(I)求函數(shù)/(X)的解析式;并判斷/(X)在上的單調(diào)性(不要求證明)

(II)解不等式/(2x+l)+/(l-x2)20.

76.在△A8C中，a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.若a=2,C=-,cos—=AABC

425

的面積S.

77.有紅藍(lán)兩粒質(zhì)地均勻的正方體形狀骰子，紅色骰子有兩個(gè)面是8,四個(gè)面是2,藍(lán)色骰子有三個(gè)面是7,

三個(gè)面是1,兩人各取一只骰子分別隨機(jī)擲一次，所得點(diǎn)數(shù)較大者獲勝.

(1)分別求出兩只骰子投擲所得點(diǎn)數(shù)的分布列及期望;

(2)求投擲藍(lán)色骰子者獲勝的概率是多少？

78.如圖，在三棱錐P—A8C中，ABLBC,AB=BC=kPA,點(diǎn)。、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP_L底面ABC.

(I)求證：。?！ㄆ矫鍼AB；

(II)當(dāng)k=，時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大小；

2

(III)當(dāng)k取何值時(shí)，。在平面PBC內(nèi)的射影恰好為aPBC的重心？

79.已知甲、乙、丙三人獨(dú)自射擊命中目標(biāo)的概率分別是,、1,lo

234

(1)、若三人同時(shí)對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，求目標(biāo)被擊中的概率；

(2)、若山甲、乙、丙三人輪流對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊(每人只有一發(fā)子彈)，目標(biāo)被擊中則停止射擊。請(qǐng)問(wèn)三

人的射擊順序如何編排才最節(jié)省子彈?試用數(shù)學(xué)方法說(shuō)明你的結(jié)論。

80.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為=g/+p〃,也,｝的前〃項(xiàng)和為=2”一1,且%=/。⑴、求數(shù)

列｛%｝、物,｝的通項(xiàng)公式；

(2)、若對(duì)于數(shù)列｛%｝有,cn=an-bn,請(qǐng)求出數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和R

81.在△ABC中，A,8,C是三角形的三內(nèi)角，a,b,c是三內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三邊長(zhǎng),

已知//+c?-滔=be.

(I)求角A的大?。?/p>

(II)sin2A+sin2B=sin2C,求角B的大小.

82.如圖，四棱錐P-A8CD是底面邊長(zhǎng)為1的正方形,PD±

BC,PD=l,PC=y/2.

(I)ARiiE:PD±?/4BCD；

(II)求二面角A-PB-D的大小.

83.已知向量〃］滿(mǎn)足"|=1,且|ka+瓦一如(攵>0),令于付=aE，

(I)求f(k)=a-h(用攵表示);

(II)當(dāng)k>0時(shí)，/伙2比一；對(duì)任意的，€［—1,1］恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值范圍。

3

84.已知a為銳角，且cosa=-.

5

/T、—cos-a+sn12ad八../.....

(I)求一----------的值；(zHTT)x求tan(a----)的值.

sin~a+cos2a4

85.如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC,P,。分別為

線段A8,CO的中點(diǎn)，EPmABCD.

(1)求證：AQ〃平面CEP；

(II)求證:平面AEQL平面OEP；

(III)若EP=AP=1,求三棱錐E-AQC的體積.

86.一次口試中，每位考生要在8道口試題中隨機(jī)抽出2道題回答，若答對(duì)其中1題即為及格.(1)某位

考生會(huì)答8道題中的5道題，這位考生及格的概率有多大？

(2)若一位考生及格的概率小于50%,則他最多只會(huì)幾道題？

jr37r

87.已知函數(shù)y=sin2x+2sinxsin(--x)4-3sin2(--x).

jr

⑴若tanx=j1,求y的值；⑵若求y的值域.

88.某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣(mài)出432件，如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星

期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，04x430)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低

2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件.

(1)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；

(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？

89.已知圓錐曲線C的焦點(diǎn)為尸(1,0),相應(yīng)的準(zhǔn)線方程為x=2,且曲線C過(guò)定點(diǎn)8(0,1).又直線/與曲線

C交于M,N兩點(diǎn).

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)試判斷是否存在直線/,使得點(diǎn)F是46例N的事心.若存在，求出對(duì)應(yīng)的直線/的方程；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

一、(3)試判斷是否存在直線/,使得點(diǎn)E是的的率心.若存在，求出對(duì)應(yīng)的直線/的方程；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理山.

90.在平面直角坐標(biāo)系中，已知a=(3cosa,3sina),3=(2cos/?,2sin/?),直線1的方程為:

xcosa+ysina+g=0,圓C的方程為(x-cos/?)2+(y-sin/3)2=g.

(1)若國(guó)布的夾角為60°時(shí)，直線/和圓C的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若國(guó)面的夾角為。，則當(dāng)直線/和圓C相交時(shí)，求9的取值范圍。

91.已知函數(shù)/(幻=。/—法+1.

(I)若〃x)>0的解集是(—1,3),求實(shí)數(shù)a,6的值;

(II)若a為整數(shù)，b=“+2,且函數(shù)/(x)在(―2,-1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

92.數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%=2%_1+2"+l(〃eN,〃22),a3=27.

(1)求多,%的值；(2)記a=l-(an+t)(neN*),是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使數(shù)列也,｝為等差數(shù)列？

若存在，求出實(shí)數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S..

93.已知。Q過(guò)定點(diǎn)A(0,p)(p>0),圓心Q在拋物線f=2py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓Q在x軸上所截得的

弦.(1)當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN是否有變化？并證明你的結(jié)論：

(2)當(dāng)。4是0M與ON的等差中項(xiàng)時(shí)，試判斷拋物線C的準(zhǔn)線與圓Q的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

94.如圖已知在三棱柱46GA\B\C\中，AA\_L面ABC,AC=BC,M.N、

P、。分別是44、即、AB、笈G的中點(diǎn).

(1)求證：面注:。_1_面網(wǎng)@

(II)求證：陽(yáng)〃面，柄a

95.將圓x2+y2+2x-2y=0按向量￡=(1,一1)平移得到圓。.直線/與圓。相交于《、6兩點(diǎn)，若在

圓。上存在點(diǎn)4，使西+恒+西=0,且西=&(4eR),求直線/的方程.

96.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng).

⑴證明：/(x)是周期為4的周期函數(shù)；

⑵若/(x)=J7(O<x<l),求xe［—5,-4］時(shí)，函數(shù)/(x)的解析式.

97.某地正處于地震帶上，預(yù)計(jì)20年后該地將發(fā)生地震.當(dāng)?shù)貨Q定重新選址建設(shè)新城區(qū)，同時(shí)對(duì)舊城區(qū)進(jìn)

行拆除.已知舊城區(qū)的住房總面積為64。m1,每年拆除的數(shù)量相同；新城區(qū)計(jì)劃第一年建設(shè)住房面積

am2,開(kāi)始幾年每年以100%的增長(zhǎng)率建設(shè)新住房，然后從第五年開(kāi)始，每年都比上一年增加a，/.設(shè)第

n(n>1,一旦〃eN)年新城區(qū)的住房總面積為%m2,該地的住房總面積為％m2.

⑴求⑵若每年拆除4am2,比較為+］與4的大小.

2r八?/

98.已知復(fù)數(shù)z=2一4+(/—5a-6)i(aeR),試求實(shí)數(shù)。分別為什么值時(shí)，z分別為：(I)實(shí)

a+1

數(shù)；(II)虛數(shù)；(HI)純虛數(shù)

22/T

99.若橢圓=+==1(。＞方＞0)過(guò)點(diǎn)(-3,2),離心率為血，。的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸,

ab3

OM的方程為(x—8)2+(y-6)2=4,過(guò)。M上任一點(diǎn)P作。0的切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B.

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線PA與。M的另一交點(diǎn)為Q,當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線PA的直線方程;

(3)求方?歷的最大值與最小值.

N*,"為奇數(shù))

I。。.設(shè)函數(shù)加)［崢3“為偶數(shù)產(chǎn)列也｝的通項(xiàng)…D+—⑶

+…+/(2")(〃eN*)(1)求a”a2,&的值；

(2)寫(xiě)出a.與a“T的一個(gè)遞推關(guān)系式，并求出a“關(guān)于n的表達(dá)式。

(3)設(shè)數(shù)列砂“｝的通項(xiàng)為2=log2(3a“-2)-10(”€N"),前〃項(xiàng)和為S“，整數(shù)10,是否為數(shù)列

也“?S”｝中的項(xiàng)：若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是，則說(shuō)明理由。

101.某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃成一個(gè)矩形高科技工業(yè)園區(qū).已

AB1BC,DA//BC且A8=8C=2AD=4h”，曲線段0C是以

點(diǎn)。為頂點(diǎn)且開(kāi)口向右的拋物線的一段.⑴建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，

求曲線段的方程；(2)如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC

上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在DC上，問(wèn)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地

面積最大？并求出最大的用地面積(精確到O.lkn?).

AB

102.某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)且

滿(mǎn)分為100分)，把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70)…[90,100]后畫(huà)出如下部分頻率分布直

方圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

(I)求出物理成績(jī)低于50分的學(xué)生人數(shù)；

()估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率(60分及

以上為及格)

(III)從物理成績(jī)不及格的學(xué)生中選兩人，求

他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率.

103.如圖所示，在直四棱柱耳GR中,DB=BC,￡>8_LAC內(nèi)：M是棱上一

點(diǎn).(1)求證：用。"/面ABO；(2)求證：MD1AC；

(3)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC11平面CG?

104.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)雙曲線右焦

點(diǎn)F2且斜率為1的

1

直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為T(mén),OT的斜率為-J

3

(1)求雙曲線的離心率；

(2)若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任

意一點(diǎn)，當(dāng)直線PN斜率左.€,試求直線PM的斜率A的范圍。

105.已知函數(shù)y=/(x)=-

(I)求函數(shù)y=/(x)的圖像在x=J處的切線方程；

e

(II)求y=/(x)的最大值；

(III)設(shè)實(shí)數(shù)a>0,求函數(shù)尸(外=4")在［。,2。］上的最小值.

106.已知函數(shù)f(x)=sin2x+2>/3sinxcosx+3cos2x.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(II)已知/(a)=3,且ae(0,兀)，求a的值.

107.已知數(shù)列｛/(〃)｝的前n項(xiàng)和為S”，且S“=〃2+2〃.

(I)求數(shù)列｛/(〃)｝通項(xiàng)公式；

(H)若％=/(1),an+l=/(a?)(neN*),求證數(shù)列｛+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和

108.在四棱錐P-ABCD中，N4BC=N4C0=9O。，NBAC=NCAD=60。，%_L平面ABCD,E為P。的中點(diǎn),

PA=2AB=2.

（I）求四棱錐P—ABC。的體積U；

（H）若F為PC的中點(diǎn)，求證PCJ_平面AEF；

（III）求證CE〃平面%B.

109.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某超市的一種小商品在過(guò)去的近20天內(nèi)的銷(xiāo)售量（件）與價(jià)格（元）均為時(shí)間t（天）

的函數(shù)，且銷(xiāo)售量近似滿(mǎn)足g（t）=80-2t（件），價(jià)格近似滿(mǎn)足/。）=20-；上-10|（元）.（I）試寫(xiě)出該

種商品的日銷(xiāo)售額y與時(shí)間t（0Wt<20）的函數(shù)表達(dá)式；（II）求該種商品的日銷(xiāo)售額y的最大值與最小

值.

110.為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議?，F(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)

學(xué)成績(jī)X、物理成績(jī)y進(jìn)行分析.下面是該生7次考試的成績(jī).

數(shù)學(xué)888311792108100112

物理949110896104101106

（I）他的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)哪個(gè)更穩(wěn)定？請(qǐng)給出你的證明；

（II）已知該生的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)尤是線性相關(guān)的，若該生的物理成績(jī)達(dá)到"5分，請(qǐng)你估計(jì)他的

數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少？并請(qǐng)你根據(jù)物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建

議.

111.在aABC中，已知AB?AC=9,sin8=cosAsin。,面積=6,

（1）求△ABC的三邊的長(zhǎng)；（2）設(shè)P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊AC、BC、A8的距離

分別為x,y和z,求x+y+z的取值范圍.

112.已知圓。：/+〉2=8交》軸于48兩點(diǎn)，曲線。是以A8為長(zhǎng)軸，直線/:x=-4為準(zhǔn)線的橢

圓.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）若M是直線/上的任意一點(diǎn)，

以。M為直徑的圓K與圓。相交于P,。兩點(diǎn)，求證：直線P。必

過(guò)定點(diǎn)E,并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（III）如圖所示，若直線P。與橢圓。交于G,4兩點(diǎn)，且

EG=3HE,試求此時(shí)弦PQ的長(zhǎng).

113.已知函數(shù)/(x)=Inx+2x,g(x)=a+x).

(I)若a=