仿真卷2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新高考仿真模擬卷(四)數學試卷及答案

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試?仿真模擬卷

數學(四)

注意事項：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫

在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標

號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一個選項是符合題目要求的.

1.已知復數Z=1一百"則Z?在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知全集。={引一6<%<2},集合A=九2+2工一3<0},則ga=()

A.(-6,2)B.(-3,2)

C.(-6,-3)o(l,2)D.(-6,-3]o[l,2)

3.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一

個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中民C分別是上、下底面圓的圓心,

且AC=3A5=6,底面圓的半徑為2,則該陀螺的體積是()

圖1圖2

、80萬70P「2n56〃

A.-----B.-----C.207rD.-----

333

4.已知一組數據：石,々,退的平均數是4,方差是2,則由3%—1,3々—1,3退—1和11這四

個數據組成的新數據組的方差是()

A.27B.—C.12D.11

2

5.若非零向量a為滿足2口=慟=2,"2b)d_a,則向量a與》夾角的余弦值為()

3?11

A.-B.—C.—D.一

4234

6.已知圓O］：(x—2)~+(y—3)~=4,圓O-,:x"+y2+2,x+2_y—7=0,則同時與圓。i和

圓。2相切直線有（）

A.4條B.3條C.2條D.0條

7.已知函數/（%）=Asin（<ur+0）（A>O,o>O,O<0<?）的部分圖象如圖所示，則函數

8.已知橢圓C：二+與=1（?！怠ā?）左、右焦點分別為￡,工，點P在橢圓C上，若離

ab

附I

心率八陽’則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.(0,A/2-1)B.D.

7

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

c兀l-tana,，一八,

9.若tan2。---…，則a的值可能為（）

3

兀7兀19兀5兀

A——B.——C.-----D.------

36363636

10.某校10月份舉行校運動會，甲、乙、丙三位同學計劃從長跑，跳繩，跳遠中任選一項參

加，每人選擇各項目的概率均為:，且每人選擇相互獨立，則（）

3

A.三人都選擇長跑的概率為工

27

2

B.三人都不選擇長跑概率為§

4

C.至少有兩人選擇跳繩的概率為一

27

D.在至少有兩人選擇跳遠的前提下，丙同學選擇跳遠的概率為』

7

11.設函數/(x)=(x+l)ln(x+l)(x>0),若/(%)>(左—l)x—1恒成立，則滿足條件的

正整數左可以是()

A.1B.2C.3D.4

12.已知三棱錐尸—ABC中，上4_L平面

ABC,PA=^,ZBAC=—,AB=AC=2^3,M邊5c上一動點，則()

3

A.點C到平面Q鉆的距離為2

B.直線A5與PC所成角的余弦值為叵

14

C.若M是6c中點，則平面上4Ml,平面PBC

D.直線與平面ABC所成的最大角的正切值為逑

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

k-V

13.函數/(%)=合/37awR)為奇函數，則實數左的取值為.

14.已知拋物線/=8x的焦點為R，拋物線上一點P,若歸耳=5,則AP。尸的面積為

15.由數字0」,2,3,4,5,6,7組成沒有重復數字的三位數，則能被5整除的三位數共有

個.

CI

16.已知a>0,函數g(x)=x+——^一2在［3,+8)上的最小值為2,則實數。=

x

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京市和張家口市聯合舉行，此項賽事大大激發(fā)了

國人冰雪運動的熱情.某滑雪場在冬奧會期間開業(yè)，下表統(tǒng)計了該滑雪場開業(yè)第x天的滑雪

人數y(單位：百人)的數據.

天數代碼X12345

滑雪人數y(百人)911142620

經過測算，若一天中滑雪人數超過3500人時，當天滑雪場可實現盈利，請建立〉關于x的

回歸方程，并預測該滑雪場開業(yè)的第幾天開始盈利.

參考公式：線性回歸方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估計分別為

b=I.,a=ybx.

￡(%-元)2

Z=1

50,ND=60,AB=2?AD=^!^,.ABC的面

18.如圖，四邊形ABC。中，NB=1

3

積為2月.

(1)求AC；

(2)求/ACO.

=2a+2〃-6（〃￡N）

19.設數列｛4｝的前〃項和為Sn,Sn=ti

(1)求數列｛4｝的通項公式；

/*)?+1

(2)若數列《》的前m項和，求加的值

[44+1J258

20.如圖，正方體ABC。—的棱長為4,點石、P分別是AG的中點.

O.C,

A1-------------4

(1)求證：BP,平面A^G；

(2)求直線51c與平面AEG所成角的正弦值.

21.已知雙曲線C:，-[=13>0,6>0）的一條漸近線方程為無-2y=0,一個焦點到該漸

ab~

近線的距離為1.

（1）求雙曲線。的方程；

（2）若雙曲線。的右頂點為A,直線/：丁=丘+加與雙曲線C相交于兩點（M,N不

是左右頂點），且AM.AN=0.求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標.

22.已知函數/（x）=e*+x+41n（2-x）.

（1）求函數〃尤）的圖象在（。,/（0））處的切線方程；

（2）判斷函數/（力的零點個數，并說明理由.

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試?仿真模擬卷

數學(四)

注意事項：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫

在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標

號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一個選項是符合題目要求的.

1.已知復數Z=1一百"則Z?在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根據復數代數形式的乘法運算化簡復數Z?，再根據復數的幾何意義判斷即可.

【詳解】解：因為Z=1—6，，所以z2=(l—后)2=1—2后+(/)2=—2—2后，

所以Z?在復平面內對應的點的坐標為卜2,-2百)位于第三象限.

故選：C

2.已知全集U={%|—6<x<2},集合A=二+2X-3<。},則gA=()

A.(-6,2)B,(-3,2)

C.(-6,-3)o(l,2)D.(-6,-3]o[l,2)

【答案】D

【解析】

【分析】計算出集合2,由補集的定義即可得出答案.

【詳解】因為A={Hx2+2x-3<0}={x|-3<%<1),

gA=(—6,—3]u[l,2).

故選：D.

3.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一

個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中民C分別是上、下底面圓的圓心,

且AC=3A3=6,底面圓的半徑為2,則該陀螺的體積是()

El

A80%

A.------

3

【答案】D

【解析】

【分析】根據圓錐與圓柱的體積公式，可得答案.

【詳解】已知底面圓的半徑r=2,由AC=3A5=6,則A5=2,5C=4,

故該陀螺的體積V=BC-7vr2+-AB-7vr2=—7v.

33

故選：D.

4.已知一組數據：石,馬，工的平均數是4,方差是2,則由3石—1,3々—1,3退一1和11這四

個數據組成的新數據組的方差是()

27

A.27B.—C.12D.11

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據方差和平均數的計算及可求解.

【詳解】因為一組數據為，巧，尤3的平均數是4,方差是2,

所以…)=4,刎-4+(3+(…J,

所以尤1+%2+兀3=12,(再—4『+(%—4)2+(七—4『=6,

所以3玉—1,3々一1,3退一1,11的平均數為

^[11+(3X1-1)+(3X2-1)+(3X3-1)]=^-[11+3(X1+X2+X3)-3]=11,

所以3%一1,3々一1,3%-1,11的方差為

；[(11-11)2+(3%-12)2+(3%—12)2+(3W-12)2]

1127

22

=]x9[(Xj_4>+(尤2-4)+(x3-4)]=-x9x6=y

故選：B

5.若非零向量a*滿足2H=W=2,(a—2b),a,則向量“與》夾角的余弦值為()

A.-B.\C.-D.-

4234

【答案】D

【解析】

【分析】求出M=1，W=2,根據(a—可得(a—2可-a=0,代入化簡求解夾角余弦

值即可.

【詳解】設。與b的夾角為8,

因為2H=.J=2,(a—2b),a,所以回=1,W=2,

^a-2b^-a=a?-2同網cosd=0.

.2i

八〃1

/.COSu=---i-i-=—

2琲|.

故選：D.

6.已知圓a:(x—2)2+(y—3)2=4,圓Q：Y+y2+2x+2y—7=0,則同時與圓和

圓R相切的直線有()

A.4條B.3條C.2條D.0條

【答案】B

【解析】

【分析】根據圓的方程，明確圓心與半徑，進而確定兩圓的位置關系，可得答案.

【詳解】由圓。]：(%—2『+(y—3『=4,則圓心q(2,3),半徑"=2；

由圓Q：x2+y2+2x+2y—7=0,整理可得(X+17+(y+17=9,則圓心Q(—1,—1),

半徑々=3；

由|。。2〔=J(2+l)2+(3+l)2=5=/+&，則兩圓外切，同時與兩圓相切的直線有3條.

故選：B.

7.已知函數/(1)=45皿。%+0)(4>0,0>0,0<0<%)的部分圖象如圖所示，則函數

/（X）在區(qū)間［0,10句上的零點個數為（）

【解析】

【分析】求出周期，方法1：畫圖分析零點個數；方法2：求f（x）=0的根解不等式即可.

37兀2無T

【詳解】由題意知，—T=——（——）=371,解得：T=4兀，-=271,

4332

在區(qū)間［0,10兀］上的零點個數為5.

方法2：f（%）=0,解得：x=-----1-2kjt,kGZ,

3

2116

0<----F2ATI<10兀，keZ,解得：一工k工—,keZ,

333

.?.左=1,2,3,4,5，，/⑴在區(qū)間［0,10兀］上的零點個數共有5個.

故選：B.

22

8.已知橢圓C:J+二=1（?！?〉0）的左、右焦點分別為耳,心，點尸在橢圓。上，若離

ab

IP^I

心率e同'則橢圓C的離心率的取值范圍為（

、

A.（0,A/2-1）B.C.D.

唱7

【答案】D

【解析】

IP^I..2a_,

【分析】由題意可知6=導，結合橢圓的定義解得P6=一7,再由

修21e+1

a-c<\PF2\<a+c^^.

|P^|,,,,

【詳解】因為e=屋，所以歸耳卜e|P閭，

由橢圓的定義得：|期|+|。閶=2。，解得|「耳|=￡

2Q

因為a-cW|P/^|Wa+c,所以a-c<—^<a+c,

2

兩邊同除以a得1—e<-<l+e,解得e>A/2—1'

e+1

因為0<e<l,所以V^-lWe<l，

所以該離心率e的取值范圍是[72-1,1)

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.

(\]tanCL

9.若tan2a--=----------,則a的值可能為()

13)1+tana

兀7兀19兀571

A.——B.——C.——D.-----

36363636

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據題意可得：tan(2。-工)=匕4=tan(；-。)，然后利用正切函數的性質

31+tana4

即可求解.

71

Itan——tana

【詳解】因為...=------------------=tan(--a),則tan(2a--)=tan(--a),

1+tan。1+-ta兀n—+-tana434

4

jrjrKTT77r

所以2a——=ku-\-----a.kGZ,解得：a=-----1----,keZ,

34336

71jp1Q_STT

當左=0時，?=—；當人=1時，a=——；當上=—1時，a=二；

363636

故選：BCD.

10.某校10月份舉行校運動會，甲、乙、丙三位同學計劃從長跑，跳繩，跳遠中任選一項參

加，每人選擇各項目的概率均為工，且每人選擇相互獨立，則()

3

A.三人都選擇長跑的概率為二-

27

2

B.三人都不選擇長跑的概率為］

_4

C.至少有兩人選擇跳繩的概率為—

27

D.在至少有兩人選擇跳遠的前提下，丙同學選擇跳遠的概率為3

7

【答案】AD

【解析】

【分析】根據相互獨立事件概率計算公式計算即可.

【詳解】由已知

三人選擇長跑概率為‘x,xL=」-,故A正確.

33327

992X

三人都不選擇長跑的概率為一X—X—=一，故B錯誤.

33327

1111127

至少有兩人選擇跳繩的概率為一x-x—+C9；—又一義一=——，故C錯誤.

333333327

1111127

記至少有兩人選擇跳遠為事件A,所以P(A)=—><—><—+C；—x—x—=—.

―33333327

記丙同學選擇跳遠為事件B,所以P(AB)=+x|x1|=^-.

J\JJJJJN//

z.\P(AB)5

所以在至少有兩人選擇跳遠的前提下,丙同學選擇跳遠的概率為P(3|A)=1幫=-

故D正確.

故選：AD

11.設函數/(x)=(x+l)ln(x+l)(x>0),若/(%)>(左—l)x—1恒成立，則滿足條件的

正整數左可以是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據題意可得g(x)=(x+l)ln(x+l)—(%—1卜+1>0,利用導數結合分類討論

解決恒成立問題.

【詳解】若/(力>仕—1)X—1恒成立，則

/(%)—(%—1)%+1=(X+1)111(x+1)—(左一1)左+1>0恒成立，

構建8(%)=(X+1)111(%+1)—(左一1)*+1,則g'(x)=ln(x+l)+2—左,

Vx>0,故ln(x+l)>0,則有：

當2—左20,即左V2時,則g'(x)>0當x>0時恒成立，

故g(x)在(0,+“)上單調遞增,則g(x)>g(0)=1>0,

即左W2符合題意，故滿足條件的正整數左為1或2；

當2—左<0,即左>2時，令g'(x)>0,則％>/2—1,

故g(x)在(0,e"2—1)上單調遞減，在(e?2—1,+<句上單調遞增，則

g(x)2g(e"2_1)*1-2>0,

構建G。)=左一e"2,則G'(左)=1—e"2<0當左>2時恒成立,

故G(x)在(2,+8)上單調遞減,則G(左)<G(2)=l>0,

?/G(3)=3-e>0,G(4)=4-e2<0,

故滿足G(@>0(%>2)的整數k=3；

綜上所述：符合條件的整數左為1或2或3,A、B、C正確，D錯誤.

故選：ABC

12.已知三棱錐P—ABC中，上4,平面

ABC,PA=4,/8AC=Z^,AB=AC=2百,又是邊6c上一動點，貝U()

3

A.點C到平面Q鉆的距離為2

B.直線A8與PC所成角的余弦值為叵

14

C.若M是5C中點，則平面上4ML平面P3C

D.直線尸M與平面ABC所成的最大角的正切值為勺8

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A,利用線面垂直判定定理，明確點到平面的距離，利用三角形的性質，可得

答案；

對于B,建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量，利用向量夾角公式，可得答案；

對于C,利用等腰三角形的性質，結合面面垂直判定定理，可得答案；

對于D,利用線面垂直性質定理，結合直角三角形的性質以及銳角正切的定義，可得答案.

【詳解】對于A,在平面ABC內，過。作CDLAB,如下圖所示：

上4_1平面ABC,且CDu平面ABC,.?.B4LCD,

CDLAB,PAAB=A,平面Q45,\口)人平面Q45,

則C到平面的距離為|CD|,ZBAC=—,AB^AC^2s/3,：.ZABC=-,

36

在RtBCD中,

CD=CBsinNCBA=y/AB2+AC2-2-AB-ACcosABAC-sinNCBA=3，故A錯誤;

對于B,在平面ABC內，過A作AELAB，且石u6C,易知兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標系：

則4(0,0,0),網20,0,0),C(-A/3,3,0),尸(0,0,4),

得A3=(2百,0,0),PC=(-73,3,-4),

AB-PC=26乂(-W=-6,|AB|=273,阿卜,3+9+16=2"

.\AB-PC\721

貝Icos〈AB,PC)=~L=--,故B正確；

'/AB-JPC14

對于c,作圖如下:

在,ABC中，AB=AC,〃為5c的中點，則AM_LBC,

PA_L平面ABC,5Cu平面ABC,_LBC,

AMPA=A,AM,PAu平面AA^P，.^.■BC,平面4WP，

3Cu平面P5C,平面P5CJ,平面4WP，故C正確，

對于D,作圖如下：

A4,平面ABC,

PA

則在Rt上470中，tanZAMP=——，當40取得最小值時，tanNAMP取得最大值,

AM

當M為5C的中點時，由C可知，AM±BC,40取得最小值為AB-sinH=百，

6

則tanZAMP取得最大值為t8,故D正確.

3

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

k-V

13.函數八x)=±*(xwR)為奇函數，則實數左的取值為.

【答案】1

【解析】

【分析】由奇函數的定義求解即可.

k-3x

【詳解】函數/(%)=XGR)為奇函數，必有左>0,

l+k-3x

xx、xx

則〃-無)=k-3-1_k?-3ki-k

l+k-3x~\+k-3x

于是得32*—V=/?2X—恒成立，即左2=i，

解得：k=l.

故答案為：1.

14.已知拋物線/=8x的焦點為p，拋物線上一點尸，若歸同=5,則AP。尸的面積為

【答案】2痣

【解析】

【分析】先根據拋物線定義得P點坐標，再根據三角形面積公式求解.

【詳解】因為|尸耳=5,所以8+2=5,8=3,娟=24,|%|=2而，

因此APOE的面積為:|力||0月=；*2指義2=2后.

【點睛】本題考查拋物線定義應用，考查基本分析轉化與求解能力，屬基礎題.

15.由數字0」,2,3,4,5,6,7組成沒有重復數字的三位數，則能被5整除的三位數共有

__________個.

【答案】78

【解析】

【分析】能被5整除的三位數末位數字是5或0,分成末位數字是5和末位數字是0兩種情

況討論.

【詳解】能被5整除的三位數說明末尾數字是5或0

當末尾數字是5時，百位數字除了。有6種不同的選法，十位有6種不同的選法，根據分步

乘法原理一共有6x6=36種方法；

當末尾數字是0時，百位數字有7種不同的選法，十位有6種不同的選法，根據分步乘法原

理一共有7x6=42種方法；

則一共有36+42=78種

故答案為：78

GI

16.已知a>0,函數g(x)=x+——^一2在［3,+8)上的最小值為2,則實數。=

【答案】1

【解析】

【分析】利用導數分類為反1<3與72+^〉3討論，得出g(%)在［3,+8)上的最小值,

由最小值為2求解a的值即可得出答案.

GI

【詳解】g(x)=x+」-2,

,,2+ax2-(2+a)(x-J'2+a)(x+j2+a)

?,S⑴=］=^2=p，

當j2+aW3時,即OvaW7時，

則g'(%)>0在(3,+<?)上恒成立，則g(x)在［3,+s)上單調遞增，

g(x)在［3,+8)上的最小值為g(3)=等=2,解得a=1,

當戶Z〉3時，即。>7時，

當12+a)時,g(x)單調遞減，

當xe(j2+a,+oo)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增，

.，.g(X)在［3,不》)上的最小值為g(J'2+a)=12+a+-2=2,a=2,舍去，

綜上所述：a=l,

故答案為：L

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京市和張家口市聯合舉行，此項賽事大大激發(fā)了

國人冰雪運動的熱情.某滑雪場在冬奧會期間開業(yè)，下表統(tǒng)計了該滑雪場開業(yè)第無天的滑雪

人數y(單位：百人)的數據.

天數代碼X12345

滑雪人數y(百人)911142620

經過測算，若一天中滑雪人數超過3500人時，當天滑雪場可實現盈利，請建立y關于X的

回歸方程，并預測該滑雪場開業(yè)的第幾天開始盈利.

參考公式：線性回歸方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估計分別為

f(%-元)(x7)

b=上、-------------=y-bx.

可2

i=l

【答案】》=3.7x+4.9；9.

【解析】

【分析】根據表中數據及平均數公式求出從而求出回歸方程，然后再根據一天中滑雪

人數超過3500人時，當天滑雪場可實現盈利即可求解.

-1+2+3+4+5-9+11+14+26+20

【詳解】由題意可知,x=----------------V=----------------------------

5

所以X&—可(%—9)=。一3)X(9—16)+(2—3)X(11—16)+(3—3)X(14—16)

i=\

+(4-3)x(26-16)+(5-3)x(20-16)

=(-2)x(-7)+(-1)x(-5)+0x(-2)+lxl0+2x4=14+5+0+10+8=37

5

^(x.-x)2=(l-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=4+1+0+1+4=10,

i=l

5

可(％7)37

所以6=旦藍-------------=—=3.7,

Z(x,--x)210

/=!

a=y-bx=16-3.7x3=4.9,

所以y關于x的回歸方程為A=3.7X+4.9.

因為天中滑雪人數超過3500人時，當天滑雪場可實現盈利，即3.7x+4.9>35,解得

30.1。一

x>-----?8.14,

3.7

所以根據回歸方程預測，該該滑雪場開業(yè)的第9天開始盈利.

18.如圖，四邊形ABCD中，/3=150,/。=60,48=2有,4。=可龍,-45。的面

3

積為2g.

(2)求/ACD.

【答案】(1)25

-7

【解析】

【分析】（1）在uWC中，利用面積公式、余弦定理運算求解;

（2）在AACD中，利用正弦定理運算求解，注意大邊對大角的運用.

小問1詳解】

在」18。中，由一ABC的面積5=」48*3。><5M/3=!><2百><3。><l=26,可得

222

3c=4,

由余弦定理

222

AC=AB+BC-2ABxBCxcosZB=12+16-2x273x4x=52,即

AC=2A/13.

【小問2詳解】

ACAD

在，ACD中，由正弦定理,可得

sinZDsinZACD

62^/78_

.ADsinZD

sinZACD=----------=———7=^--=——

AC27132

TT

VAD<AC,則ZACD<ZD=60°,故ZAO)=—

4

19.設數列｛4｝的前幾項和為S,,S,=2o?+2n-6（neN*）.

（1）求數列｛4｝的通項公式;

2向127

（2）若數列《的前加項和*二=,求加的值.

〔區(qū)與”+1J258

【答案】(1)??=2"

(2)7

【解析】

【分析】（1）當〃之2時，構造5,1=24_]+2"-8,與條件中的式子，兩式相減，得

a?=2??_1-2,轉化為構造等比數列求通項公式;

2"+12向

（2）由（1）可知以=

4%一（2"+2）（21+2）,利用裂項相消求和法求解.

【小問1詳解】

因為5“=2?！?2〃一6,所以當〃=1時，S]=2q-4,解得&=4.

當〃22時，S"_i=2a”_i+2n-8,則S”-S,—=2an—2aM+2>

整理得a“=2a吁「2,即%—2=2（^^-2）.

所以數列｛%-2｝是首項為2，公比為2的等比數列,

所以a“—2=2x2"T=2".所以a==2"+2.

【小問2詳解】

2"+i2（11

令”,=

aa（2"+2）（2叫2）（2"+22'+i+2

nn+l

數列｛d｝的前加項和圖=2（；_：+：_[+:_=+

12127e22

則nl------,則--------=----

22m+1+22582m+,+2258

貝ij2〃，+i=256=加=7.

m的值為7.

20.如圖，正方體ABC。—AgGR的棱長為4,點E、P分別是。。、AC的中點.

（1）求證：3P，平面AEG；

（2）求直線與。與平面AEC1所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵息

6

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明￡G-5P=0,E^BP^O,即

可得證；

（2）利用空間向量法計算可得.

【小問1詳解】

證明：如圖建立空間直角坐標系，則￡（0,0,2）,5（4,4,0）,4（4,4,4）,P（2,2,4）,

q（O,4,4）,A（4,0,4）,C（0,4,0）,

所以EG=（0,4,2）,E\=（4,0,2）,BP=（-2,-2,4）,

所以EG戶=0,EAlBP=Q,

所以EC]_LBP,EA~LBP,又EQ嗎=E,EG，％u平面人石6，

所以平面AE。.

【小問2詳解】

解：由⑴可知3P=（-2,-2,4）可以為平面4石。的法向量,

又4。=(-4,0,-4),

設直線與。與平面AEC1所成角為氏則

IBJCBPJ|-2x(-4)+0x(-2)+4x(-4)|百

麻|.網40x2#6

故直線B。與平面AEG所成角的正弦值為

V

22

21.已知雙曲線谷=1（。>0/>0）的一條漸近線方程為x—2y=0,一個焦點到該漸

ab

近線的距離為1.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若雙曲線C右頂點為A,直線/：y=Ax+m與雙曲線C相交于”,N兩點（M,N不

是左右頂點），且AM-AN=0.求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標.

2

r

【答案】(1)--y2=l

4

(2)證明過程見解析，定點坐標為［與,。］

【解析】

b1

【分析】(1)由漸近線方程求出2=—,根據焦點到漸近線距離列出方程，求出C=J?,

a2

從而求出a=21=1,得到雙曲線方程；

y2

(2)/：y=辰+根與----y2=［聯立，求出兩根之和，兩根之積，由AM.AN=O列出

4

方程，求出機=-W左或%=-2左，舍去不合要求的情況，求出直線過定點，定點坐標為

3

【小問1詳解】

b1

因為漸近線方程為x-2y=0,所以一=彳，

a2

||

焦點坐標（c,0）到漸近線x—2y=0的距離為r』c=1,解得：c=布,

VI+4

因為儲+〃=°2=5，解得：a=2,b=l,

元2

所以雙曲線。的方程為工―V=i；

4-

【小問2詳解】

由題意得:4（2,0）,

/:y=kx+m與土——y2=1聯立得：（1-4左2）l2-Skmx-Am2-4=0,

設M（%,X）