2022年北京清華附中望京分校初二（上）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁/共1頁2022北京清華附中望京分校初二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題．1.下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A.348 B.4410 C.5610 D.56112.甲骨文是中國的一種古代文字，是漢字的早期形式，有時候也被認(rèn)為是漢字的書體之一，也是現(xiàn)存中國王朝時期最古老的一種成熟文字。下圖為甲骨文對照表中的部分文字，若把它們抽象為幾何圖形，其中最接近軸對稱圖形的甲骨文對應(yīng)的漢字是（）A時 B.康 C.黃 D.奚3.利用直角三角板，作的高，下列作法正確的是（）A. B. C. D.4.如圖，工人師傅在安裝木制門框時，為防止變形，常常釘上兩條斜拉木條，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A.兩點(diǎn)確定一條直線B兩點(diǎn)之間，線段最短C.三角形具有穩(wěn)定性D.三角形的任意兩邊之和大于第三邊5.已知圖中兩個三角形全等，則∠1等于（）A.52° B.60° C.68° D.70°6.如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.B＝C B.AD⊥BC C.BAD＝CAD D.AB＝2BC7.如圖，在中，，．則長為（）．A.3 B.4 C.5 D.68.如圖，，點(diǎn)E在線段AB上，，則的度數(shù)為（）A.20° B.25° C.30° D.40°9.如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上的任意一點(diǎn)，則周長的最小值是（）A.7 B.6 C.12 D.810.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)是分別為（0,3）、（4,3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）A.5個 B.6個C.7個 D.8個二、填空題.11.若一個等腰三角形的兩邊長分別為和，則這個等腰三角形的周長是______．12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________．13.一個多邊形的內(nèi)角和是，這個多邊形的邊數(shù)是______．14.如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，．請你只添加一個條件，使得．你添加的條件是___；（要求：不再添加輔助線，只需填一個答案即可）15.如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），在圖中，要測量工件內(nèi)槽寬AB，只要測量A'B'的長度即可，該做法的依據(jù)是___．16.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，將△ABC沿CD折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)處，若∠B＝35°，則的度數(shù)為___________．17.如圖，在中，AD為BC邊上的中線，于點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)F，連接BF.若BF平分，，，則的面積為________．18.如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為_______．三、解答題．19.如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條相交的公路，點(diǎn)M和點(diǎn)N表示大學(xué)所在位置，和表示公路．現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫（記為點(diǎn)P），希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等．大家經(jīng)過一番思考發(fā)現(xiàn)：標(biāo)出倉庫具體位置需要經(jīng)過以下步驟：第一步：連接，分別以M，N為圓心，以大于長度為半徑畫弧，2兩弧相交于C，D兩點(diǎn)，可知直線為線段垂直平分線，理由是①；②兩點(diǎn)確定一條直線；第二步：作的角平分線，請大家借助尺規(guī)補(bǔ)全作圖．判斷射線平分的理由是①；②全等三角形的對應(yīng)角相等；第三步：射線與直線的交點(diǎn)記為點(diǎn)P，根據(jù)可知點(diǎn)P到距離相等；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知=．∴點(diǎn)P即為所求．20.如圖，點(diǎn)A、C、B、D在同一條直線上，，，．求證：（1）．（2）若，，求的度數(shù)．21.針對于等腰三角形三線合一的這條性質(zhì)，老師帶領(lǐng)同學(xué)們做了進(jìn)一步的猜想和證明，提問：如果一個三角形中，一個角的平分線和它所對的邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形．已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC邊于點(diǎn)D，且CD＝BD，求證：AB＝AC．以下是甲、乙兩位同學(xué)的作法．甲：根據(jù)角平分線和中線的性質(zhì)分別能得出一組角等和一組邊等，再加一組公共邊，可證△ACD≌△ABD，所以這個三角形為等腰三角形；乙：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，可證△ACD≌△EBD，依據(jù)已知條件可推出AB＝AC，所以這個三角形為等腰三角形（1）對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）；A.兩人都正確B.甲正確，乙錯誤C.甲錯誤，乙正確（2）選擇一種你認(rèn)為正確的作法，并證明．22.在3×3的正方形網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中是一個格點(diǎn)三角形.請?jiān)趫D1和圖2中各畫出一個與成軸對稱的格點(diǎn)三角形，并畫出對稱軸．23.在中，H是高所在直線的交點(diǎn)，且，求的度數(shù)．24.如圖，中，CD平分，且E為AB的中點(diǎn)，于M，于N，請你判斷線段BM與AN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．25.如圖，點(diǎn)為等邊的邊延長線上的動點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接．線段交于點(diǎn)，設(shè)；（1）請補(bǔ)全圖形，求的度數(shù)(用含有的式子表示)；（2）求證：．26.如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．（1）如圖1，△ABC中，∠B＝2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：AE是△ABC的一條特異線；（2）如圖2，若△ABC是特異三角形，∠A＝30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數(shù)．

參考答案一、選擇題．1.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊對各選項(xiàng)分析判斷求解即可．【詳解】解：A．∵3+4＜8，∴不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵4+4＜10，∴不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵5+6＞10，∴能組成三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D．∵5+6=11，∴不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形的任意兩邊之和大于第三邊是解決問題的關(guān)鍵．2.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形的特點(diǎn)及軸對稱圖形的定義即可辨別求解．【詳解】由圖可得最接近軸對稱圖形的甲骨文對應(yīng)的漢字是黃故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是熟知根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．3.【答案】D【解析】【分析】由題意直接根據(jù)高線的定義進(jìn)行分析判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、B、C均不是高線．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-基本作圖，熟練掌握三角形高線的定義即過一個頂點(diǎn)作垂直于它對邊所在直線的線段,叫三角形的高線是解答此題的關(guān)鍵．4.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進(jìn)行求解即可．【詳解】解：工人師傅在安裝木制門框時，為防止變形，常常釘上兩條斜拉木條，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是三角形具有穩(wěn)定性，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，熟知三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．5.【答案】B【解析】【詳解】如圖所示：∵兩三角形全等，

∴∠2=68°，∠3=52°，

∴∠1=180°-52°-68°=60°.

故選B．6.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的等邊對等角的性質(zhì)及三線合一的性質(zhì)判斷．【詳解】解：∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，∴B＝C，AD⊥BC，BAD＝CAD，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，三線合一，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.【答案】B【解析】【分析】先利用兩個直角等量代換得出，再利用角所對的直角邊是斜邊的一半求出的長度，然后則的長度可求．【詳解】解：∵，，，，∵．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．8.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可．【詳解】解：∵，∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，∵，∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．9.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周長最?。驹斀狻拷猓骸逧F垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對稱，設(shè)AC交EF于D，∴當(dāng)P和D重合時，即A、P、C三點(diǎn)共線時，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周長的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．10.【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三種情況（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）討論，通過畫圖就可解決問題．【詳解】解：如圖：①若AC＝AB，則以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有4個交點(diǎn)；

②若BC＝BA，則以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)（A點(diǎn)除外）；

③若CA＝CB，則點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，

∵A（0，3），B（4，3），

∴AB∥x軸，

∴AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸只有1個交點(diǎn)．

綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個數(shù)有7個．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、圓的定義、垂直平分線的性質(zhì)的逆定理等知識，還考查了動手操作的能力，運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題.11.【答案】22【解析】【分析】分別從等腰三角形的腰為和兩種情況討論，結(jié)合三角形三邊關(guān)系分析，再計(jì)算出周長即可．【詳解】解：當(dāng)為腰長時，三角形三邊為、和，∵4+4＜9，所以不構(gòu)成三角形，舍去；當(dāng)為腰長時，三角形三邊為、和，∵9+4＞9，所以可以構(gòu)成三角形，周長為9+9+4=22cm，故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是分情況討論，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷能否組成三角形．12.【答案】（－2，4）【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－x，y）進(jìn)行解答即可．【詳解】解：點(diǎn)A（2，4）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)是（－2，4），故答案為：（－2，4）．【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟知關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律是解答的關(guān)鍵．13.【答案】6##六【解析】【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，故這個多邊形為六邊形．故答案是：6．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°解答．14.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再添加一個角相等即可求解．【詳解】解：添加∴∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，．∴，，∴故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．15.【答案】根據(jù)證明．【解析】【分析】根據(jù)測量兩點(diǎn)之間的距離，只要符合全等三角形全等的條件之一，只需要測量易測量的邊上，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：連接，，如圖，點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，，，在和中，，∴．．答：需要測量的長度，即為工件內(nèi)槽寬．其依據(jù)是根據(jù)證明；故答案：根據(jù)證明．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知條件可用邊角邊定理判斷出全等．16.【答案】20°##20度【解析】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠A，利用翻折不變性得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：，∠B＝35°，，是由翻折得到，，，．故答案為：20°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．17.【答案】4【解析】【分析】過F作FG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得FG=EF=2，再根據(jù)三角形一邊上的中線將三角形面積平分求解即可．【詳解】解：過F作FG⊥BC于G，∵BF平分，F(xiàn)G⊥BC，即EF⊥AB，∴FG=EF=2，∵AD為△ABC的BC邊上的中線，∴FG為△BFC的BC邊上在中線，又BC=8，∴S△CDF=S△BFC=BC·FG=×8×2=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理、三角形的中線性質(zhì)、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理以及三角形一邊上的中線將三角形面積平分是解答的關(guān)鍵．18.【答案】【解析】【分析】過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．【詳解】過P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，

∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，

∴AP=PF=AF，

∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ．

∵在△PFD和△QCD中，，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD，

∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DE=AC，

∵AC=1，

∴DE=

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．三、解答題．19.【答案】到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線的垂直平分線上；到角兩邊垂直距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上；角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的垂直距離相等；【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解；【詳解】解：第一步：連接，分別以M，N為圓心，以大于長度為半徑畫弧，2兩弧相交于C，D兩點(diǎn)，可知直線為線段的垂直平分線，理由是①到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線的垂直平分線上；②兩點(diǎn)確定一條直線；第二步：作的角平分線，如圖．判斷射線平分的理由是①到角兩邊垂直距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上；②全等三角形的對應(yīng)角相等；第三步：射線OE與直線的交點(diǎn)記為點(diǎn)P，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的垂直距離相等可知點(diǎn)P到距離相等；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知．∴點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并正確作圖是解題的關(guān)鍵．20.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過條件可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可得解．【小問1詳解】證明：∵∴在和中∵∴∴【小問2詳解】解：由（1）知∵∴∵是的一個外角，∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21.【答案】（1）C；（2）見解析【解析】【分析】（1）甲同學(xué)證明的兩個三角形全等，沒有邊邊角的判定，故錯誤，而乙的證明則正確，因此可作出判斷；（2）按照乙的分析方法進(jìn)行即可．【詳解】（1）甲同學(xué)證明的兩個三角形全等，邊邊角不能判定兩個三角形全等，故錯誤，而乙的證明則正確，故選C；（2）依據(jù)題意，延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖．∵D為BC中點(diǎn)．∴．在△CAD和△BED中∴△CAD≌△BED(SAS)．∴，∵AD平分∠BAC，∴∴∴∴AB＝AC∴△ABC為等腰三角形【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線得到全等三角形．22.【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對稱軸，然后作出成軸對稱的三角形即可得解；【詳解】與成軸對稱的格點(diǎn)三角形如圖所示：即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于確定出不同的對稱軸．23.【答案】【解析】【分析】先證，得從而得再因?yàn)榧纯汕蟮枚葦?shù)，即度數(shù)．【詳解】解：∵是的高，∴∴∴在與中，，∴∴∴∵∴，即，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的高，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．24.【答案】，證明見解析【解析】【分析】連接DA，DB，由角平分線的性質(zhì)可證，由垂直平分線的性質(zhì)可證，然后根據(jù)“HL”證明即可．【詳解】解：，理由：如圖，連接DA，DB，∵CD平分，于M，于N，∴，∵且E為AB的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴（HL），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊上的中線相等、對應(yīng)邊上的高線相等、對應(yīng)角的角平分線相等．25.【答案】（1）補(bǔ)全圖形見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】(1)連接與交于，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得和，從而可求得，根據(jù)軸對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)連接線段被對稱軸垂直平分、三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等可求得的度數(shù)；（2）連接，在上截取，可證明為等邊三角形和，結(jié)合等量代換即可證明結(jié)論．【小問1詳解】解：補(bǔ)全圖形如下，連接與交于，連接，∵是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，∴，，，∴,,∴，∴，【小問2詳解】如下圖，連接，在上截