廣西壯族自治區(qū)南寧市私立鳴山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市私立鳴山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.給出如下四個(gè)命題：①若“p且q”為假命題，則p、q均為假命題；②命題“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”；③“?x∈R，x2+1≥1”的否定是“?x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件．其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是(

) A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C考點(diǎn)：命題的否定；正弦函數(shù)的單調(diào)性．專題：閱讀型．分析：①若“p且q”為假命題，則p、q中有一個(gè)為假命題，不一定p、q均為假命題；②根據(jù)命題寫出其否命題時(shí)，只須對(duì)條件與結(jié)論都要否定即得；③根據(jù)由一個(gè)命題的否定的定義可知：改變相應(yīng)的量詞，然后否定結(jié)論即可；④在△ABC中，根據(jù)大邊對(duì)大角及正弦定理即可進(jìn)行判斷．解答： 解：①若“p且q”為假命題，則p、q中有一個(gè)為假命題，不一定p、q均為假命題；故錯(cuò)；②根據(jù)命題寫出其否命題時(shí)，只須對(duì)條件與結(jié)論都要否定即得，故命題“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”；正確；③根據(jù)由一個(gè)命題的否定的定義可知：改變相應(yīng)的量詞，然后否定結(jié)論：“?x∈R，x2+1≥1”的否定是“?x∈R，x2+1＜1；故錯(cuò)；④在△ABC中，根據(jù)大邊對(duì)大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件．故正確．其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是：2．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是復(fù)合命題的真假問題、命題的否定、正弦函數(shù)的單調(diào)性等．屬于基礎(chǔ)題．2.定義在R上的函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，則x﹣b的取值范圍是（）A．[﹣2，0] B．[﹣2，2] C．[0，2] D．[0，4]參考答案：B【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】設(shè)P（x，y）為函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象上的任意一點(diǎn)，關(guān)于（1，0）對(duì)稱點(diǎn)為（2﹣x，﹣y），可得f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．由于不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化為f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），再利用函數(shù)y=f（x）為定義在R上的減函數(shù)，可得x2﹣2x≥b2﹣2b，可畫出可行域，進(jìn)而得出答案．【解答】解：設(shè)P（x，y）為函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象上的任意一點(diǎn)，關(guān)于（1，0）對(duì)稱點(diǎn)為（2﹣x，﹣y），∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．∴不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化為f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），∵函數(shù)y=f（x）為定義在R上的減函數(shù)，∴x2﹣2x≥b2﹣2b，化為（x﹣1）2≥（b﹣1）2，∵0≤x≤2，∴或．畫出可行域．設(shè)x﹣b=z，則b=x﹣z，由圖可知：當(dāng)直線b=x﹣z經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）時(shí)，z取得最小值﹣2．當(dāng)直線b=x﹣z經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)，z取得最大值2．綜上可得：x﹣b的取值范圍是[﹣2，2]．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、線性規(guī)劃的可行域及其最值、直線的平移等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．3.過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)作漸近線的垂線，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交

B．相離

C．相切

D．無(wú)法確定參考答案：C4.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|=2|BF|，則直線AB的斜率為（）A．

B． C．或 D．或參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】當(dāng)點(diǎn)A在第一象限，通過(guò)拋物線定義及|AF|=2|BF|可知B為CE中點(diǎn)，通過(guò)勾股定理可知|AC=2|BC|，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．【解答】解：如圖，點(diǎn)A在第一象限．過(guò)A、B分別作拋物線的垂線，垂足分別為D、E，過(guò)A作EB的垂線，垂足為C，則四邊形ADEC為矩形．由拋物線定義可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B為CE中點(diǎn)，∴|AB|=3|BC|，在Rt△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直線l的斜率為=2；當(dāng)點(diǎn)B在第一象限時(shí)，同理可知直線l的斜率為﹣2，∴直線l的斜率為±2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．5.

參考答案：C6.已知log7[log3（log2x）]=0，那么等于（）A．B．C．D．參考答案：C略7.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M（2，1），點(diǎn)N（x，y）滿足的最大值為

（

）A．9 B．2 C．12

D．14參考答案：答案：C8.已知sin（）=則cos（x）等于(

) A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：D考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析：由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后即可求值．解答： 解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，在他所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入的值分別為4，2，則輸出的值為（

）A．

32

B．64

C.65

D．130參考答案：C10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.有且只有一個(gè)零點(diǎn) B.至少有兩個(gè)零點(diǎn)C.最多有兩個(gè)零點(diǎn)

D.一定有三個(gè)零點(diǎn)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，其中，，如果函數(shù)與函數(shù)都有零點(diǎn)且它們的零點(diǎn)完全相同，則為

參考答案：或12.正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，過(guò)D作球O的截面，則截面面積的最小值為

．參考答案：考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1O、O1C、O1D、OD．根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出OD=．而經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的球O的截面，當(dāng)截面與OD垂直時(shí)截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．解答： 解：設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，結(jié)合O1C?平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O=1，∴Rt△O1OC中，O1C==．又∵D為BC的中點(diǎn)，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵過(guò)D作球O的截面，當(dāng)截面與OD垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，∴當(dāng)截面與OD垂直時(shí)，截面圓的面積有最小值．此時(shí)截面圓的半徑r===，可得截面面積為S=πr2=．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過(guò)正三角形中點(diǎn)的最小截面圓的面積．著重考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．13.已知，，則__________．參考答案：314.已知等比數(shù)列，，，則_____________．

參考答案：15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值線一.凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，則，當(dāng)時(shí)，

．參考答案：30∵，∴，∴．故答案為30．

16.下列說(shuō)法： ①“”的否定是“”； ②若正數(shù)滿足，則的最小值為； ③命題“函數(shù)處有極值，則”的否命題是真命題； ④上的奇函數(shù)，時(shí)的解析式是，則時(shí)的解析式為 其中正確的說(shuō)法是

______________參考答案：④略17.已知A，B，C是半徑為l的圓O上的三點(diǎn)，AB為圓O的直徑，P為圓O內(nèi)一點(diǎn)（含圓周），則的取值范圍為

．參考答案：[﹣，4]．【分析】根據(jù)題意，把化為3+2?﹣1，利用參數(shù)表示點(diǎn)C（cosα，sinα），P（rcosβ，rsinβ）且0≤r≤1；根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出3+2?﹣1的最值即可．【解答】解：根據(jù)題意，=﹣，且||=||=||=1，∴=（+）?（+）+（+）?（+）+（+）?（+）=3+2?（++）+?+（+）?=3+2?﹣1，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)C（cosα，sinα），點(diǎn)P（rcosβ，rsinβ），且0≤r≤1；則3+2?﹣1=3r2﹣2rcos（α﹣β）﹣1，∴3+2?﹣1≤3r2+2r﹣1≤4，且3+2?﹣1≥3r2﹣2r﹣1≥﹣；∴的取值范圍是[﹣，4]．故答案為：[﹣，4]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.光線通過(guò)一塊玻璃,其強(qiáng)度要損失,把幾塊這樣的玻璃重疊起來(lái),設(shè)光線原來(lái)的強(qiáng)度為,通過(guò)塊玻璃后強(qiáng)度為.

（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）通過(guò)多少塊玻璃后，光線強(qiáng)度減弱到原來(lái)的以下?

(參考答案：解析:(1)(2)

∴.19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：

參考答案：略20.（14分）如圖，已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)A（﹣a，0），|AF|=3．（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M．直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D，過(guò)O作OE丄DF，交直線x=4于點(diǎn)E．求證：OE∥AP．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為c，依題意列式求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（﹣2，0），設(shè)AP的中點(diǎn)M（x0，y0），P（x1，y1），設(shè)出直線AP方程為：y=k（x+2）（k≠0），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得M的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出直線OM的斜率，得到直線OM的方程，再求得D的坐標(biāo)，得到直線DF的斜率，由OE丄DF可得OE的斜率，則答案得證．【解答】（Ⅰ）解：設(shè)橢圓C的半焦距為c，依題意，得：，a+c=3，解得a=2，c=1．∴b2=a2﹣c2=3，則橢圓方程為：；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，A（﹣2，0），設(shè)AP的中點(diǎn)M（x0，y0），P（x1，y1），設(shè)直線AP方程為：y=k（x+2）（k≠0），聯(lián)立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．∴，，．即M（），∴直線OM的斜率是，∴直線OM的方程是y=﹣，令x=4，得D（4，﹣）．由F（1，0），得直線DF的斜率是，∵OE丄DF，∴直線OE的斜率為k，∴OE∥AP．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬中檔題．21.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．參考答案：（1）由已知條件，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以所求切線方程為…………3分（2）由已知條件可得有兩個(gè)相異實(shí)根，，令，則，1）若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩根；2）若，令得，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令解得，由有，由有，從而時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

…………6分當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減因?yàn)椋?，在區(qū)間上單調(diào)遞增，…………10分．

…………12分另解：由已知可得，則，…………4分令則，可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若有兩個(gè)根，則可得，

…………8分當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增