高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第六章不等式、推理與證明教案

第六章不等式、推理與證明

覽全局?網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建I觀網(wǎng)絡(luò)一覽無余

‘一元二次不等式及其解法、

簡(jiǎn)單的線性二元一次不等式（組）（----------------（----------------（-------------------------

規(guī)劃問題與平面區(qū)域H不等關(guān)系與不等式J―［基本不等—［最大（?。┲祮栴}

「■（直接證明）~

U分析法）

-（間接證明］—（反證

Y數(shù)學(xué)歸納法）

備高考?策略指導(dǎo)I明方向有的放矢

J重點(diǎn)關(guān)注自導(dǎo)學(xué)心語

工是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，具有很強(qiáng)的工具性，應(yīng)用十分廣1.加強(qiáng)不等式基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí).不等式的基礎(chǔ)知識(shí)是進(jìn)行推理

與證明貫穿于每一個(gè)章節(jié)，因此，本章內(nèi)容是高考考查的重點(diǎn)與式的理論依據(jù)，要弄清不等式性質(zhì)的條件與結(jié)論；一元二次不甯

熱點(diǎn)，分值占總分的12%左右.不等式是解決問題的基本工具；如利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性等，

!近兩年高考命題，涉及本章知識(shí)的有2?3道小題或1道大題和解一元二次不等式.

從題型上看，選擇題、填空題主要涉及不等式的性質(zhì)、解法、2.強(qiáng)化推理證明和不等式的應(yīng)用意識(shí).從近幾年命題看，試題:

空規(guī)劃、基本不等式及應(yīng)用、合情推理等知識(shí)，解答題主要涉及函數(shù)、解析幾何交匯滲透，對(duì)不等式知識(shí)、方法技能要求較高.

二等式的解法，范圍與最值型綜合題、不等式的推理與證明等.論證，強(qiáng)化不等式的應(yīng)用訓(xùn)練是提高解綜合問題的關(guān)鍵.

命題蘊(yùn)含的主要數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、3.重視數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí).明確不等式的求解和推理證明融

室的思想，隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的全面實(shí)施，命題會(huì)更注重基本知識(shí)條件向結(jié)論轉(zhuǎn)化的過程；加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)注

卷力的考查.等式、函數(shù)與方程三者密不可分，相互轉(zhuǎn)化.

第一節(jié)不等關(guān)系與不等式

［考綱傳真］

1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系.2.了解不等式（組）的實(shí)際背景.

固基礎(chǔ)?自主落實(shí)I理教材雙基自測(cè)

隹點(diǎn)主干梳理

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的法則

（l）a>b<=>a—b>0；（2）a=boa—b=0；（3）a〈boa—b<0.

2.不等式的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性：a〉bo位（雙向性）

（2）傳遞性:a>b,b〉c今a〉c（單向性）

（3）可加性：a>boa+c?+c（雙向性）

a>b,c>d3a+c>b+d（單向性）

⑷可乘性：a>b,c>0^ac>bc；

a>b,c<0=>ac<bc.

a>b>0,c>d>0今ac2bd.（單向性）

（5）乘方法則：a>b>O^an>br,（nGN,〃22）（單向性）

⑹開方法則：公力0今缶2抵（刀金N,刀22）（單向性）

（7）倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab>0,則（雙向性）

ab

1.(夯基釋疑)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)->1=>a>b.()

(2)ac2>bc2<^a>b.()

(3)a>b<=>a3>b3.()

(4)a>b()

ab

［答案］⑴X⑵X⑶V(4)X

2.（教材改編）若a>l>b,下列不等式中不一定成立的是（）

A.a——b>l——bB.a-l>b—1

C.a-l>l-bD.1—a>b—a

［解析］由a>l知a—b〉l—b,故力正確；由a>b知a—l>b—1,故4正確；由Db知

1—a>b—a,故〃正確；C項(xiàng)錯(cuò)誤，如當(dāng)a=3,b=-3時(shí)不成立.

［答案］C

3.（2013?北京高考）設(shè)a,b,c￡R,且㈤>6,則（）

B七

A.acybc

c.3>SD.

［解析］當(dāng)cWO時(shí)，ac〉be不成立，故A不正確；當(dāng)a=l,6=-3時(shí)，B>C均不正確.

5.（2015?濰坊一中質(zhì)檢）已知a<0,-l<b<0,那么a,ab,ab?的大小關(guān)系是—

-l<b<0^0<b2<l

［解析］=>a<ab<0,

a<0

又ab>0,/.ab>ab2>a.

［答案］ab>ab2>a

提知能?典例探究I析典例探求規(guī)律

考向/用不等式（組）表示不等關(guān)系

【典例1】某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100

件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn).已知這種商品的售價(jià)每提高1元，

銷售量就相應(yīng)減少10件.若把提價(jià)后商品的售價(jià)設(shè)為x元，用x表示每天的利潤(rùn)不低于300

元的不等關(guān)系為

x—10

［解析］若提價(jià)后商品的售價(jià)為X元，則銷售量減少10件，因此，每天的利潤(rùn)

為(x-8)［100—10(x-10)］元.

則“每天的利潤(rùn)不低于300元”可以表示為不等式(x—8)?［100-10(x-10)］^300.

則X2—28X+190W0,且10WXW20.

［答案］X?—28x+190W0(10WxW20)

【規(guī)律方法】

1.用不等式(組)表示不等關(guān)系的解題策略

(1)分析題目中有哪些未知量；

(2)選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量，設(shè)為x,再用x來表示其他未知量；

(3)根據(jù)題目中的不等關(guān)系列出不等式(組).

提醒：在列不等式(組)時(shí)要注意變量自身的范圍，解題時(shí)極易忽略，從而導(dǎo)致錯(cuò)解.

2.文字語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化

一定要準(zhǔn)確將題目中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言(如不等式等)，特別要注意“不超

過”“至少”“低于”表示的不等關(guān)系，同時(shí)還應(yīng)考慮變量的實(shí)際意義.

【變式訓(xùn)練1】某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)此產(chǎn)

品的工人不超過200人；每個(gè)工人的年工作時(shí)間約為2100力；預(yù)計(jì)此產(chǎn)品明年的銷售量至

少為80000袋；生產(chǎn)每袋產(chǎn)品需用4分；生產(chǎn)每袋產(chǎn)品需用原料20例；年底庫存原料600

t,明年可補(bǔ)充1200t.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)明年的產(chǎn)量.

4x^200X2100,

［解］設(shè)明年的產(chǎn)量為x袋，則，x280000,

.0.02x<600+1200,

解得80000WxW90000.

預(yù)計(jì)明年的產(chǎn)量在80000袋到90000袋之間.

考向2比較大小

3

【典例2】(1)若實(shí)數(shù)ari,比較2+2與1—的大?。?/p>

1-a

(2)比較a%。與abba(a>0且b>0且bWl)的大小.

r&Ri/\I3—(a2+a+1)

［解］⑴a+2-;—=--------------,

1—a1—a

*/a2+a+1=

—(a2+a+1)<0>

2

_(aJ_a_|_J)3

???當(dāng)l—a>0,即aG時(shí)，-----:--------<0,貝lj有a+2<^—；

1—a1—a

_(分2_|_+1\o

當(dāng)l-a<0即a>l時(shí)，-----:-------->0,則有a+2>--.

1—a1—a

33

綜上，當(dāng)a<l時(shí)，a+2<--；當(dāng)a>l時(shí)，a+2>--.

1—a1—a

<>akb

aU_a-bib-a

⑵b4—ab

當(dāng)a>b>0時(shí)，卜>1,a-b>0,則(力>1,

.?.aabib>xabbia；

則出a-b

當(dāng)b>a>0時(shí),0*1,a-b<0,>1,

.?.aaib>abbiit；

za\a—b

當(dāng)a=b>0時(shí)，I-I=1,.\a"b"=allb",

綜上知（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）.

【規(guī)律方法】

1.比較大小時(shí)，要把各種可能的情況都考慮進(jìn)去，對(duì)不確定的因素需進(jìn)行分類討論，

每一步運(yùn)算都要準(zhǔn)確，每一步推理都要有充分的依據(jù).

2.（1）用作商法比較代數(shù)式的大小?般適用于單項(xiàng)式、指數(shù)式.作商只是思路，關(guān)鍵是

化簡(jiǎn)變形，從而使結(jié)果能夠與1比較大小.（2）比差法多用于多項(xiàng)式、分式、對(duì)數(shù)式大小的

比較.常采用通分、因式分解、配方、有理化等變形方法、進(jìn)而判定差的正負(fù).

【變式訓(xùn)練2】⑴（2015?鄭州模擬）已知0〈a〈l,x=1og蛆+1og4,y=》o&5,

z=Jog^\[21—log幣，貝II（）

A.x>y>zB.z>y>x

C.z>x>yD.y>x>z

（2）（2015?日照模擬）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3ac-b=4-4a+a2,則

a,b,c的大小關(guān)系是

［解析］⑴因?yàn)閤=log,^2+log#=log,乖,

y=權(quán)。&5—Iogg,z=］og^2A—log鄧=Jog,^7,

木〉乖〉乖,又0<a<l,

所以］og^l^>］og；乖〉］0gm，即y>x>z.

(2)c-b=4-4a+a2=(2-a)2>0,

Ac>b.將題中兩式作差得2b=2+2/,即b=l+a2.

2

2+$0,2

Vl+a-a=a-2l+a>a,

/.b=l+aJ>a./.c^b>a.

［答案］⑴〃(2)c2b〉a

考向3不等式性質(zhì)及其應(yīng)用(高頻考點(diǎn))

命題視角不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用是高考命題的熱點(diǎn)，其主要命題角度：①不等式成立

與否的判斷；②充要條件的判斷；③求變量的取值范圍.

【典例3】⑴(2014?四川高考)若a>b>0,c<d<0,則一定有()

abab

AT>-B.-<-

dcdc

abab

C._>3D._<~7

cdcd

⑵已知函數(shù)函x)=ax?+bx,且lWf(—DW2,2Wf(l)W4.求f(-2)的取值范圍.

［思路點(diǎn)撥］(I)方法一：先得到一?一工>0,再利用不等式的性質(zhì)求解.

dc

方法二：根據(jù)給出的字母的取值范圍，取特殊值驗(yàn)證.

(2)先把f(—2)用f(—1)和f(l)表示，然后再用不等式的性質(zhì)求解.

［解析］⑴法一：因?yàn)閏〈d〈0,所以一c>—d>0,所以」

又a〉b>0,所以‘一匕，所以永上

-d-cdc

法二：令a=3,b=2,c=—3,d=—2,

則3Q=-h1,7=-l,排除選項(xiàng)C,〃；

cd

Q3h9ok

又：=-J,-=一曰所以不一，所以選項(xiàng)/錯(cuò)誤，選項(xiàng)夕正確.

d2c3dc

［答案］B

(2)f(-l)=a-b,f(l)=a+b.f(-2)=4a—2b.

設(shè)m(a+b)+n(a—b)=4a—2b.

m+n=4,|m=l,

則.解得

m—n=—2,［n=3.

Af(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1).

?.TWf(-l)W2,2Wf⑴W4,

，5Wf(-2)W10.

因此f（-2）的取值范圍為［5,10］.

【通關(guān)錦囊】

1.判斷多個(gè)不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明，常用的推理判斷需

要利用不等式的性質(zhì).解題時(shí)，易忽視不等式性質(zhì)成立的條件，或“無中生有”自造性質(zhì)導(dǎo)

致推理判定失誤.

2.利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用

不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍.解決的途徑

是先建立所求范圍的整體與」知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)

算求解范圍.

【變式訓(xùn)練3］（1）（2013?天津高考）設(shè)a,b￡R,則“避一力?a2<0w是ua<bn

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

n

⑵若角。，￡滿足一萬〈。<￡<口，則。一￡的取值范圍是（

［解析］⑴由不等式的性質(zhì)知（a—份?才V0成立，則aV6成立;當(dāng)a=0,成立

時(shí)，（a—8）?才V0不成立.所以（a—b）?才V0是a<6的充分而不必要條件.

/、31c八五3n八3兀

（21??一萬<￡<五，J一元〈一￡〈萬，?'?一~—<cz-J3<—

又?.?。<￡,一￡<0,

,,3n

從而一十<a—B<0.

［答案］(DA(2)B

I名師微博I

勿忘2點(diǎn)注意1.運(yùn)用不等式性質(zhì)，一定弄清性質(zhì)成立的條件.

2.求代數(shù)式的范圍，應(yīng)利用待定系數(shù)法或數(shù)形結(jié)合建立待求范圍的整體與已知范圍的

整體的等量關(guān)系，避免擴(kuò)大變量范圍.

熟記2種方法作差比較法與作商比較法是判定兩個(gè)數(shù)或式子大小的兩種基本方法，其

中變形是關(guān)鍵.

理解3條性質(zhì)1.倒數(shù)性質(zhì)，若ab>0,則a>bo,<32.真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，若m>0,

ab

啟智慧?高考研析I探規(guī)律專項(xiàng)培優(yōu)

巧思妙解之4巧用特殊值判斷不等式問題

由例點(diǎn)（2015?煙臺(tái)模擬）■｝（）,則下列不等式：

ab

②la|+b>0；（3）a—~>b—p④/〃aM4b'中，正確的不等式是（）

A.①④B.@@C,①③D.②④

［常規(guī)解法］由f0,可知b〈a〈0.①中，a+b<0,ab>0,所以一上<0,故有—T

aba+baba+b

<1，故①正確，排除反D；③中，因?yàn)閎<a<0,又因?yàn)樗詀」>b—（，故③正確，

ababab

排除4選徐

［答案］C

［巧妙解法］因?yàn)?<9<0,故可取a=—1,b=-2,顯然一今=-故①對(duì)，

aba+b3ab2

排除反D.

a—JV=0,且b_(=_2—±=—|,

11

故

卻

除

立

選

a-->b-成?

abI=nJ,

［答案］c

【智慧心語】

妙解點(diǎn)撥：(1)采用邊選邊排除的思想.

(2)在選與排除的過程中采用特值法驗(yàn)證，簡(jiǎn)化了過程，提高了準(zhǔn)確率.

反思啟迪：(1)當(dāng)選擇題中包含不止一個(gè)結(jié)論時(shí)，易采用邊選邊排除的方法.

(2)在判斷多個(gè)不等式是否成立時(shí)，可采用特值法驗(yàn)證，若取值不能代表所有情況，可

采用多次賦值法驗(yàn)證結(jié)論是否成立.

【類題通關(guān)】設(shè)a>b>l,c<0,給出下列三個(gè)結(jié)論：

若②a<b'；③Jo與(a—c)>/o4(b-c).

其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①B.①②C.②③D.①②③

［解析］Va>b>l,

,K又

?,**‘故①正確.

當(dāng)c<0時(shí)，y=x，在(0,+8)上是減函數(shù)，

又a>b>l,

/.a<bv,故②正確.

Va>b>l,一c〉0,

Aa-c>b—c>l.

Va>b>L

，logi,(a—c)>logn(a—c)>log&(b—c),

即/og/a-c)>/og(b—c),故③正確.

［答案］〃

課后限時(shí)自測(cè)

［A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］

一、選擇題

1.（2015?濰坊聯(lián)考）若a<b<0,則下列不等式不能成立的是（)

1

C.|a|>|b|D.a>b2

［解析］取a=-2,b=-1,則六"成立?

［答案］A

2.設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，若a<b,則下列不等式成立的是（)

A.a2<b2B.ab2<a2b

借<3

［解析］由a<b<0得a%?,知4不成立;

由a〈b,若ab<0,貝!］a'b>ab’，知6不成立;

若a=Lb=2,貝e=2,沁此時(shí)普〃不成立;

對(duì)于：親一表=芋（°'；

3.下面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分而不必要條件是（)

A.a>b+lB.a>b-l

C.a2>b2D.a>b3

［解析］若a>b成立，則a>b-l與a,b，都成立，故排除B、I）.若a%'成立，貝ija>b

不一定成立,故排除4選4

［答案］A

4.已知a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，有下列命題:

c

則-

①若ab>0,be—ad>0,a40

②若ab>0>->0,則be—ad>0；

③若be—ad>0,^>0,則ab>0.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

40A1U23

[解析]Vab>0,be—ad>0,

.cdbe—ad

>0,??.①正確;

**abab

.CdErbe-ad

???ab>0,又&F>。，即匚1>0,

/.bc-ad>0,工②正確;

*/bc—ad>0,

又乙凱，即—>0,

abab

，ab>0,...③正確.

[答案]D

5.（2013?陜西高考）設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,有（）

A.[―x]=—[x]B.[2x]=2[x]

C.[x+y]W[x]+[y]D.[x—y]W[x]—[y]

[解析]對(duì)于4取x=1.5,

貝lj[—x]=[—L5]=—2,—[x]=—[1.5]=—1,

顯然[—x]W—[x]；

對(duì)于5取x=1.5,則[2x]=[3]=3,

2[x]=2[1.5]=2,顯然[2x]#2[x]；

對(duì)于G取x=y=1.6,則[x+y]=[3.2]=3,

[x]+[y]=[1.6]+[1.6]=2,顯然[x+y]>[x]+[y].

排除4B,C,只有選項(xiàng)〃滿足.

[答案]D

二、填空題

Y

6.若60<x<84,28〈y<33,則x—y的取值范圍是,，的取值范圍是.

[解析]V-33<-y<-28,；.27<x-y<56,

..111.20x

.〈為〈一〈3.

33y2811y

[答案]（27,56）借，3）

7.（2015?德州模擬）若x>y,a>b,則在①a—x>b—y,②a+x>b+y,③ax>by,④x—

b＞y—a這四個(gè)式子中，恒成立的所有不等式的序號(hào)是

［解析］(特值法)令x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合題設(shè)條件x>y,a>b.

Va-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,

Aa—x=b—y,因此①不成立.

XVax=-6,by=-6,

/.ax=by,因此③也不成立.

由不等式的性質(zhì)可推出②④成立.

［答案］②④

8.已知a+b＞0,則的大小關(guān)系是------

［解析］汽＞衰

,,/I1、（a+b）（a-b）2

=-b）卜才-------花--------

Va+b>0,(a-b)2>0,

(a+b)(a—b)

20,

［答案］＞黑灣

三、解答題

9.（2015?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢）甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一

半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，試判

斷誰先到教室？

［解］設(shè)從寢室到教室的路程為S,甲、乙兩人的步行速率為V”跑步速率為V2,且V〈V"

甲所用的時(shí)間t川乙所用的時(shí)間t乙=二^，

2Vl2V22v1V2Vi十V2

?t甲S（V1+V2）xVl+v2（V1+V2）.V『+V22+2VN2〉4VN2］

?'t乙2VIV22S4VIV24VIV24VIV2,

???t甲＞0,t乙＞0,,?.t甲＞t乙，即乙先到教室.

10.若二次函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且IWf⑴W2,3Wf⑵W4,求f⑶的范圍.

［解］設(shè)f（x）=ax"+c（aWO），

ff(2)-f(1)

f(1)=a+c,Ia3

f(2)=4a+c|4f(1)-f(2)

c=----------------

4f(1)-f(2)8f(2)-5f(1)

f(3)=9a+c=3f(2)-3f(l)-+

33

因?yàn)镮Wf⑴W2,3Wf(2)W4,

所以5W5f⑴W10,24W8f(2)W32,14W8f(2)—5f(1)W27,所以

o

8f(2)—5f(1)

W9,即?Wf(3)W9.

3o

［B級(jí)能力提升練］

1.若a>b>O,且**，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

［解析］由條件知

ab+bm—ab-am(b—a)m、c

即>0,b(b+m)>0

b(b+m)

又"。，"a<。，.??扁四

解得一b〈m〈O.

［答案］(-b,0)

23

xx

2.(2015?日照調(diào)研)設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，滿足3Wxy?W8,4忘一49,則F的最大值是

yy

1l1

I342w8Ww

Xy8-3-

xy2

X2X4x3

???4W-W9,，16WFW81,A2^-^27,

yyy

x3

故F的最大值是27.

y

［答案］27

c

3.已知函數(shù)f(x)=ax?+bx+c滿足f(1)=0,且a>b>c,求一的取值范圍.

a

［解］］⑴=。，.*.a+b+c=O,

/.b=—(a+c).

|又a>b>c,

**.a>—(a+c)>c,即c>—2a且2c<-a,顯然有a>0,c<0,

即i〉—i—￡〉與

aaaa

-1,

Q1

解得_2勺〈一方

i>-2.

第二節(jié)一元二次不等式及其解法

［考綱傳真］

1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等

式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.3.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次

不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖.

固基礎(chǔ)?自主落實(shí)I理教材雙基自測(cè)

1.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表

判別式△=b2—4ac△>0A=0

\)

AIxjL/

1數(shù)y=ax?+bx+c(a〉0)的圖象T工4

Jxt=x2元

有兩相等實(shí)根X1=X2=-J"

欠方程ax"+bx+c=O(a>0)的根有兩相異實(shí)根Xi,X2(X1<X2)沒有

/a

x2+bx+c>0(a>0)的解集{xX<Xi或X>X2){xxWxJ

ix+bx+c<0(a>0)的解集3〈尼｝0

2.用程序框圖表示一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解過程

L(夯基釋疑)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打"X")

⑴若不等式ax^+bx+c”的解集為(x“X2),則必有a>0.()

(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-8,xi)U3,+°°),則方程ax?+bx+c=O

的兩個(gè)根是XI和X2.()

(3)若方程ax2+bx+c=0(aW0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax'+bx+c〉。的解集為R.()

(4)不等式aV+bx+cWO在R上恒成立的條件是水0且4="一4acW0.()

［答案］⑴V(2)V(3)X(4)X

2.(教材改編)函數(shù)y=#-2x2+12x—18的定義域?yàn)?)

A.0B.R

C.(-8,3］D.{3}

［解析］由-2^+12x782。得(矛一3)?W0,

所以x=3.

［答案］D

3.若關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(—8,—2)U(2,+°°)D.(—8,—1)u(1,+8)

［解析］由題意可得△=m?—4>0,

解得m>2,或m<—2.

［答案］C

4.設(shè)二次不等式ax'+bx+DO的解集為（一1,，，則ab的值為（）

A.-6B.-5C.6D,5

rbj

一—=-i+三，

1a3

［解析］由題意知，方程ax4bx+l=O的兩根為-1,9貝惰〈解得

J11

『一叼

a=-3,

b=-2,

ab=6.

［答案］C

5.（2013?廣東高考）不等式X2+X-2<0的解集為.

22

［解析］方程X+X-2=0的根為x,=-2,x2=l,故不等式X+X-2<0的解集為（一2,

1）.

［答案］（-2,1）

提知能?典例探究I析典例探求規(guī)律

考向］一元二次不等式的解法

fx'—1C0,

【典例1】（1）（2014?云南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）不等式組z.八的解集是

X2-3X<0

()

A.{x|-1<X<1}B.{x|0<x<3}

C.{x10<x<l}D.{x|-Kx<3}

(2)解關(guān)于x的不等式ax'—(a+l)x+l<0(a>0).

x2<l,

［解析］（1）原不等式等價(jià)于

x(x—3)<0,

—Kx<l,

即，

0<x<3,

所以不等式的解集為0<x<l.

［答案］C

⑵當(dāng)@=0時(shí)一，原不等式可化為一x+l<0,即x>l.

當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為(x—，k一1)<0,

①若0<水1,AKXA

②若a=L則;=1,.?.不等式無解.

③若a>l,1,

綜上知，當(dāng)。=0時(shí);不等式的解集為｛x|x>l｝；

當(dāng)0<a<l時(shí)，不等式的解集為］xKx<^；

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為。；

當(dāng)a〉l時(shí)，不等式的解集為卜［；

，【規(guī)律方法】

解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：

(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一

次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.

(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式△與0的關(guān)系.

(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而

確定解集形式.

【變式訓(xùn)練1］(1)已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是｛xx〈一2或x>一，，

則ax2-bx+c>0的解集為.

(2)解關(guān)于x的不等式x"—2ax+320(a￡R).

ib5

［解析］(D由題意知，方程a^+bx+c=0的兩根為一2和一5,且水0所以一二=一5,

za乙

￡=L

a

cbc

不等式ax—bx+c>0可轉(zhuǎn)化為f—―>+一<0.

aa

51

因此V—左+1<0,解得5<水2,

故原不等式的解集為卜層耳

［答案］..水2)

(2)4=4，-12=4(，-3).

①當(dāng)4W0,即一時(shí)，不等式的解集為R.

②當(dāng)4>0,即或a<一時(shí)，方程/-2ax+3=0的兩根為小=@+4系衛(wèi)，xi=a

—yfif—3,且為>質(zhì).

x》a+.a'_B或a—7a°—3

綜上知，當(dāng)aX/5或水一/時(shí)，不等式的解集為{x|x2a+W—3或后a—，笄W}

當(dāng)一/WaW/時(shí)，不等式的解集為R.

考向2一元二次不等式恒成立問題(高頻考點(diǎn))

命題視角一元二次不等式恒成立問題是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，其主要命題角度：①形如

f(x)》O(xGR)確定參數(shù)的范圍；②形如f(x)》O(xG[a,3)確定參數(shù)范圍；③形如

/1(x)NO(參數(shù)叫e[a,8)確定x的范圍.

【典例2]⑴若aWR,且對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有af+ax+a+3>0,那么a的取值范圍是

()

A.(0,+8)B.[0,+°°)

C.(—8,—4)D.(—8,—

4]U(0,+8)

(2)(2015?濟(jì)南模擬)若不等式x+ax+1^0對(duì)一切xG(0,g都成立，則a的最小值

是.

[思路點(diǎn)撥](1)分a=0與a#0兩種情況求解.

(2)法一：分離參數(shù)求解；法二：轉(zhuǎn)化為求最值問題.

[解析](1)當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為3>0,滿足題意.

a>0,(a>0,

當(dāng)aWO時(shí),，需滿足《,即「

I4=才一4日%+3)<0,圖+4a>0,

解得蘇0.綜上可知wNO.

(2)法一：由于x>0,則山已知可得a2一x一；在xG(0,1上恒成立，而當(dāng)xG(0,1時(shí)，

5

Mmax2f

55

*,?—5，故a的最小值為一萬.

法二：設(shè)/U)=x2+a*+l,則其對(duì)稱軸為矛=一*

①若一陽，即aW—l時(shí)，F(xiàn)(x)在(0,3上單調(diào)遞減，此時(shí)應(yīng)有/缶0,從而一|wa

W-1.

②若一?0,即a>0時(shí)，/U)在(0,1上單調(diào)遞增，此時(shí)應(yīng)有『(0)=1〉0恒成立，故a〉0.

alfa\aaa

③若即一“Wo時(shí)，則應(yīng)有,一j=7—5+1=1—720恒成立，故一

乙乙\乙)s乙q

KaWO.

55

綜上可知心一會(huì)故a的最小值為一宗

［答案］(DB(2)-1

【通關(guān)錦囊】

一元二次不等式恒成立問題的解題方法：

(1)對(duì)于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)

間上全部在不軸上方;恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在X軸下方，

若限制在某個(gè)區(qū)間上恒成立，則先求出這個(gè)區(qū)間上的最值,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于最值的不等式問題.

(2)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù).一般

地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).利用分離參數(shù)法時(shí)，常用到函

數(shù)單調(diào)性、基本不等式等.

【變式訓(xùn)練2】(1)(2014?東城區(qū)高三第二學(xué)期質(zhì)量調(diào)研)設(shè)aGR,若x>0時(shí)均有［(a

—1)^—1］(x—ax—1)>0,則a=..

(2)對(duì)任意aC［-1,1］,函數(shù)/'(x)+(a—4)x+4—2a的值恒大于零，求x的取值

范圍.

［解析］(1)由題意知函數(shù)K=(a—yz=x-ax—\的圖象都過定點(diǎn)〃(0,—

1).函數(shù)%—(a—l)?x-l的圖象過1，0)

，如圖所示，要使不等式成立，需

并且函數(shù)必一歲一@矛—1的圖象過點(diǎn)?夕7，。)，得0—J)a*1,化

y

簡(jiǎn)得2才-3a=0,

a=0或5?綜上可知，<3=|.

［答案］楙

⑵由f(x)=/+(8一4)x+4—2a=(x—2)3+第一4x+4,令g(a)=(x—2)4x+

由題意知在［-1,1］上，g(a)的值恒大于零,

g(—1)=(x—2)