第七節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限創(chuàng)新班

極限存在準(zhǔn)則

兩個(gè)重要極限第七節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則本節(jié)先介紹兩個(gè)極限是否存在的判定準(zhǔn)則,并利用它們來推導(dǎo)出兩個(gè)重要極限.1.夾逼準(zhǔn)則證上兩式同時(shí)成立,上述數(shù)列極限存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的情況.注在構(gòu)造{yn},

{zn}或g(x),h(x)的時(shí)候可以采取將{xn}或f(x),適當(dāng)?shù)乜s小,適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大,適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)為{yn},

{zn}或g(x),h(x)的極限容易求出,且{yn},

{zn}或g(x),h(x)的極限相等.{xn}{yn}{zn}適當(dāng)縮小適當(dāng)擴(kuò)大h(x)g(x)適當(dāng)縮小適當(dāng)擴(kuò)大f(x)例1解由夾逼定理得練一練解從數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則到函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則，需要用到體現(xiàn)函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的一個(gè)定理.(自學(xué))證必要性根據(jù)假設(shè)定理證畢注

此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1找一個(gè)數(shù)列不存在.法2找兩個(gè)趨于的不同數(shù)列及使例

證明不存在.證

取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理知不存在.2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)不減單調(diào)不增單調(diào)數(shù)列幾何解釋:若{xn}單調(diào)不減,{xn}有兩種可能,即移向無窮遠(yuǎn)或無限接近某一定點(diǎn)A,因{xn}有上界M,

則{xn}的極限存在且不超過M.準(zhǔn)則的含義:單調(diào)不減且有上界的數(shù)列必有極限;單調(diào)不增且有下界的數(shù)列必有極限.利用極限存在準(zhǔn)則II可以證明一些極限的存在性,并求極限.例2證例3解(舍去)于是解得練一練(1)二、兩個(gè)重要極限注1于是類似可得綜上所述注2的形式特點(diǎn):i)極限呈；ii)中(1)和(2)的表達(dá)式必須相同.當(dāng)(1)和(2)的表達(dá)式不相同時(shí),必須作恒等變換湊(2)與(1)相同.注3的變形形式:區(qū)別缺一不可例3一般地練一練解解解練一練在下列等式中,錯(cuò)誤的是()(3)(2)考慮x取正整數(shù)n且趨于∞時(shí)的情形下先證存在.類似地,因?yàn)榍叶嗔俗詈笠豁?xiàng),從而{an}單增.對任意的n有這個(gè)極限值被瑞士歐拉首先用字母e(是一個(gè)無理數(shù),其值用e=2.7182818284……)來表示,即于是等價(jià)形式注1的形式特點(diǎn):i)極限呈；ii)中(1)和(2)的表達(dá)式連同符號是互為倒數(shù).當(dāng)(1)和(2)的表達(dá)式不互為倒數(shù)時(shí),必須作恒等變換湊(2)與(1)互為倒數(shù).缺一不可例4解解例5練一練解法一解法二原式原式型非常適用的結(jié)論:為使計(jì)算簡化,我們給出(不證明)上面公式的一個(gè)對“1∞”練一練解原式解例6例7

求解

原式=練一練解練一練解例7連續(xù)復(fù)利問題設(shè)有一筆初始本金A0存入銀行,年利率為r,則一年末結(jié)算時(shí),其本利和為如果一年分兩期計(jì)息,每期利率為為后一期的本金,則一年末本利和為且前一期的本利和作如果一年分n期計(jì)息,每期利率為后一期的本金,則一年末利和為且前一期的本利和作為令,則表示利息隨時(shí)計(jì)入本金.這樣t年末的本利和為于是到t年末共結(jié)算nt期(每期利率為),其本利和為(1)已知現(xiàn)值A(chǔ),求終值A(chǔ)t,有復(fù)利公式(2)已知終值A(chǔ)t,求現(xiàn)值A(chǔ)0,有貼現(xiàn)公式(這是利率稱為貼現(xiàn)率)則有如下結(jié)論:一般地,設(shè)A0為初始本金(稱為現(xiàn)在值或現(xiàn)值),年利率為r,按連續(xù)復(fù)利計(jì)算,t年末的本利和記為A,(稱為未來值或終值),這種將前一期利息計(jì)入本金再計(jì)算利息的方法稱為復(fù)利;當(dāng)一年內(nèi)計(jì)息期