高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與物理教師版

數(shù)學(xué)與物理數(shù)學(xué)與科技之?dāng)?shù)學(xué)與物理各門(mén)科學(xué)中，物理與數(shù)學(xué)關(guān)系最親，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)是物理學(xué)最鐵的鐵哥們，比如牛頓提出了微積分，而數(shù)學(xué)中的群理論也對(duì)理論物理有很好的幫助，下面我們兩者之間的親密關(guān)系吧．一、好題賞析例1．1．復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組列車(chē)，是中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)車(chē)組的中文命名，由中國(guó)鐵路總公司牽頭組織研制、具有完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、達(dá)到世界先進(jìn)水平的動(dòng)車(chē)組列車(chē).2019年12月30日，智能復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組在京張高鐵實(shí)現(xiàn)時(shí)速自動(dòng)駕駛，不僅速度比普通列車(chē)快，而且車(chē)內(nèi)噪聲更小.我們用聲強(qiáng)（單位：表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級(jí)（單位：與聲強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系式為，已知時(shí)，.若要將某列車(chē)的聲強(qiáng)級(jí)降低，則該列車(chē)的聲強(qiáng)應(yīng)變?yōu)樵晱?qiáng)的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍例2．2．航天之父?俄羅斯科學(xué)家齊奧科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年給出火箭最大速度的計(jì)算公式.其中，是燃料相對(duì)于火箭的噴射速度，是燃料的質(zhì)量，是火箭（除去燃料）的質(zhì)量，v是火箭將燃料噴射完之后達(dá)到的速度.已知，則當(dāng)火箭的最大速度可達(dá)到時(shí)，火箭的總質(zhì)量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的質(zhì)量的（

）倍.A． B． C． D．二、小試牛刀3．2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類(lèi)似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)（

）A．4 B．5 C．6 D．74．某校高一年級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測(cè)速儀實(shí)地測(cè)量復(fù)興號(hào)高鐵在某時(shí)刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測(cè)物體表面匯聚，探測(cè)器接收反射光，當(dāng)被測(cè)物體橫向速度為零時(shí)，反射光與探測(cè)光頻率相同，當(dāng)橫向速度不為零時(shí)，反射光相對(duì)探測(cè)光會(huì)發(fā)生頻移，其中為測(cè)速儀測(cè)得被測(cè)物體的橫向速度，為激光波長(zhǎng)，為兩束探測(cè)光線夾角的一半，如圖，若激光測(cè)速儀安裝在距離高鐵處，可近似計(jì)算，發(fā)出的激光波長(zhǎng)為（），某次檢驗(yàn)中可測(cè)頻移范圍為（）至（），該高鐵以運(yùn)行速度（至）經(jīng)過(guò)時(shí)，可測(cè)量的概率為（

）A． B． C． D．5．牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，(為時(shí)間，單位分鐘，為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度)，假設(shè)一杯開(kāi)水溫度，環(huán)境溫度，常數(shù)，大約經(jīng)過(guò)多少分鐘水溫降為(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：)（

）A．9 B．8 C．7 D．66．圖1中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個(gè)曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的高為10，底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為10，則其側(cè)面積為（

）A． B．C． D．6007．古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書(shū)中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤(pán)物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤(pán)物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱黃金，某顧客要購(gòu)買(mǎi)黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤(pán)，將黃金放于右盤(pán)使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤(pán)，將另一黃金放于左盤(pán)使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（

）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于8．我國(guó)于2021年5月成功研制出目前國(guó)際上超導(dǎo)量子比特?cái)?shù)量最多的量子計(jì)算原型機(jī)“祖沖之號(hào)”，操控的超導(dǎo)量子比特為62個(gè).已知1個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“，”2種疊加態(tài)，2個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“，，，”4種疊加態(tài)，3個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“，，，，，，，”8種疊加態(tài)，…，只要增加1個(gè)超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).設(shè)62個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，則是一個(gè)（

）位的數(shù).(參考數(shù)據(jù)：)A．18 B．19 C．62 D．639．“中國(guó)天眼”歷時(shí)22年建成，是具有我國(guó)自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)，世界最大單口徑（球冠底面直徑500米）、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡，其形狀可近似地看成一個(gè)球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如圖所示，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．球面的半徑是R，球冠的高是h，那么球冠的表面積公式為：）．已知天眼的反射面總面積（球冠面積）約為25萬(wàn)平方米，則天眼的球冠高度約為（）A．60米 B．100米 C．130米 D．160米10．中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸速率，最大數(shù)據(jù)傳輸速率C取決于信道帶寬W，經(jīng)科學(xué)研究表明：C與W滿足，其中S是信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率，為信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，上式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（

）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%11．熵的概念是由德國(guó)物理學(xué)家克勞修斯于1856年所提出，它用來(lái)表示任何一種能量在空間中分布的均勻程度，能量分布得越均勻，熵就越大，它在控制論、概率論、天體物理、生命科學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用．在數(shù)學(xué)中，利用熵可以解決如下問(wèn)題：有個(gè)互不相等的數(shù)，需要比較次（表示的階乘：表示的是向上取整函數(shù)，如）就可以將這些數(shù)從小到大排序．現(xiàn)有6個(gè)互不相等的數(shù)，將這些數(shù)從小到大排序，需要比較的次數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．1112．哥隆尺是一種特殊的尺子，對(duì)哥隆尺數(shù)碼的研究在雷達(dá)和聲納技術(shù)?模式匹配和信息檢索?同步光電探測(cè)器的代碼?射電天文學(xué)等有廣泛的應(yīng)用，圖1的哥隆尺可以一次性度量的長(zhǎng)度為1，2，3，4，5，6，圖2的哥隆尺的刻度4到12之間增加一個(gè)整數(shù)刻度n，使得能一次性度量的長(zhǎng)度個(gè)數(shù)最多，則整數(shù)刻度n的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．1113．建筑學(xué)中必須要對(duì)組合墻的平均隔聲量進(jìn)行設(shè)計(jì)．組合墻是指帶有門(mén)或窗等的隔墻，假定組合墻上有門(mén)、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別為，，…，（單位：），其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為，，…，，則組合墻的實(shí)際隔聲量應(yīng)由各部分的透射系數(shù)的平均值確定：，于是組合墻的實(shí)際隔聲量（單位：）為．已知某墻的透射系數(shù)為，面積為，在墻上有一門(mén)，其透射系數(shù)為，面積為，則組合墻的平均隔聲量為（

）A． B． C． D．14．目前，我國(guó)的水環(huán)境問(wèn)題已經(jīng)到了刻不容緩的地步，河道水質(zhì)在線監(jiān)測(cè)COD傳感器針對(duì)水源污染等無(wú)組織污染源的在線監(jiān)控系統(tǒng)，進(jìn)行24小時(shí)在線數(shù)據(jù)采集和上傳通訊，并具有實(shí)時(shí)報(bào)警功能及統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告，對(duì)保護(hù)環(huán)境有很大幫助.該傳感器在水中逆流行進(jìn)時(shí)，所消耗的能量為，其中為傳感器在靜水中行進(jìn)的速度(單位：)，為行進(jìn)的時(shí)間(單位：)，為常數(shù)，如果待測(cè)量的河道的水流速度為，則該傳感器在水中逆流行進(jìn)消耗的能量的最小值為（

）A． B． C． D．15．光圈是一個(gè)用來(lái)控制光線透過(guò)鏡頭，進(jìn)入機(jī)身內(nèi)感光面的光量的裝置.表達(dá)光圈的大小我們可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F(xiàn)1.4，F(xiàn)2，F(xiàn)2.8，F(xiàn)4，F(xiàn)5.6，F(xiàn)8，…，F(xiàn)64.光圈的F值越小，表示在同一單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)光量越多，而且上一級(jí)的進(jìn)光量是下一級(jí)的2倍，如光圈從F8調(diào)整到F5.6，進(jìn)光量是原來(lái)的2倍.若光圈從F4調(diào)整到F1.4，則單位時(shí)間內(nèi)的進(jìn)光量為原來(lái)的（

）A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍16．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．17．“，數(shù)列”在通信技術(shù)有著重要應(yīng)用，它是指各項(xiàng)的值都等于或的數(shù)列．設(shè)是一個(gè)有限，數(shù)列，表示把中每個(gè)都變?yōu)椋?，每個(gè)都變?yōu)椋?，所得到的新的，?shù)列，例如，則．設(shè)是一個(gè)有限，數(shù)列，定義，、、、．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．對(duì)任意有限，數(shù)列、中和的個(gè)數(shù)總相等C．中的，數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)總與中的，數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)相等D．若，則中，數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為參考答案：1．C【分析】由題設(shè)可得，代入函數(shù)式，由指對(duì)數(shù)的關(guān)系有，進(jìn)而求聲強(qiáng)級(jí)降低的聲強(qiáng)，應(yīng)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求聲強(qiáng)的比值.【詳解】由題設(shè)，，解得，則，∴，要使聲強(qiáng)級(jí)降低，則，∴.故選：C2．A【分析】將已知條件，代入中，轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，計(jì)算的值即可求解.【詳解】由題意可知：，，代入可得，所以，可得，可得，即，所以，所以火箭的總質(zhì)量（含燃料）的質(zhì)量是火箭（除去燃料）的質(zhì)量的倍，故選：A.3．C【分析】設(shè)石片第n次“打水漂”時(shí)的速率為vn，再根據(jù)題意列出不等式求解即可【詳解】設(shè)石片第n次“打水漂”時(shí)的速率為vn，則vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，則(n－1)ln0.90<ln0.6，即n－1>≈≈4.87，則n>5.87，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.故選：C4．A【分析】根據(jù)公式算出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得頻移范圍為至，而可測(cè)頻移范圍為（）至（），結(jié)合幾何概型公式計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，該高鐵以運(yùn)行速度（至）經(jīng)過(guò)時(shí)頻移范圍為至，其區(qū)間長(zhǎng)度為，因?yàn)槟炒螜z驗(yàn)中可測(cè)頻移范圍為（）至（）其區(qū)間長(zhǎng)度為，所以可測(cè)量的概率為.故選：A.5．C【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】依題意，，.故選：C6．A【分析】求出底面的周長(zhǎng)后可求曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積.【詳解】曲側(cè)面三棱柱的底面的周長(zhǎng)為，曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積為，故選：A.7．A【分析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得表達(dá)式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，?所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于.故選：A8．B【分析】根據(jù)題意個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，進(jìn)而兩邊取以為底的對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)整理即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，所以當(dāng)有62個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)。兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，所以，由于，故是一個(gè)19位的數(shù).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化，對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查知識(shí)的遷移與應(yīng)，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)材料得個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.9．C【分析】先求出，再代入球冠的表面積公式，即可得到答案；【詳解】由題意得：，，,故選：C.10．B【分析】先計(jì)算和時(shí)的最大數(shù)據(jù)傳輸速率和，再計(jì)算增大的百分比即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以增大的百分比為：.故選：B.11．C【分析】根據(jù)題意可得有6個(gè)互不相等的數(shù)，需要比較次，然后進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得有6個(gè)互不相等的數(shù)，需要比較次，而，且，∴.故選：C.12．C【分析】根據(jù)長(zhǎng)度與刻度的關(guān)系結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】解：已有刻度0，1，4，12，17，利用已有刻度可以測(cè)量出1，4，12，17，3，8，5，11，16，13共10個(gè)長(zhǎng)度，在刻度4到12之間增加一個(gè)整數(shù)刻度n，盡量與以上刻度不重復(fù)，若加8，可多測(cè)量出7，9，若加9，可多測(cè)量出9，3，若加10，可多測(cè)量出10，9，2，7，6，若加11，可多測(cè)量出10，7，6，故選：C．13．C【分析】先根據(jù)題意求出，然后再計(jì)算隔聲量即可．【詳解】由題意知組合墻的透射系數(shù)的平均值，所以組合墻的平均隔聲量.故選：C．14．B【分析】（1）由已知條件可求出該傳感器在水中逆流行進(jìn)所用的時(shí)間，則所消耗的能量，法一：將原式變形得到，利用基本不等式的方法求出最小值；法二：對(duì)原式求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可求出最值.【詳解】由題意，該傳感器在水中逆流行進(jìn)所用的時(shí)間，則所消耗的能量.方法一：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值120.方法二：，求導(dǎo)得，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)模型的關(guān)鍵是建立變量之間的關(guān)系，從而建立正確的解析式，進(jìn)而尋找求最值的方法.15．C【分析】由題可得單位時(shí)間內(nèi)的進(jìn)光量形成公比為的等比數(shù)列，即可求得.【詳解】由題可得單位時(shí)間內(nèi)的進(jìn)光量形成公比為的等比數(shù)列，則F4對(duì)應(yīng)單位時(shí)間內(nèi)的進(jìn)光量為，F(xiàn)1.4對(duì)應(yīng)單位時(shí)間內(nèi)的進(jìn)光量為，從F4調(diào)整到F1.4，則單位時(shí)間內(nèi)的進(jìn)光量為原來(lái)的倍.故選：C