復(fù)變函數(shù)練習(xí)題第四套

復(fù)變函數(shù)練習(xí)題第四套一、單項(xiàng)選擇題1．若，，則。D(A)(B)(C)(D)2．。A(A)(2k+1)π（k為整數(shù)）(B)2kπ（k為整數(shù)）(C)π(D)-π3．。A(A)0(B)1(C)i(D)2π4．點(diǎn)z=0為函數(shù)的（C）。(A)本性奇點(diǎn)(B)可去奇點(diǎn)(C)二級(jí)極點(diǎn)(D)非孤立奇點(diǎn)5．映射，（，為任意實(shí)數(shù)）將區(qū)域G：Imz>0映射為區(qū)域G（A）。(A)|w|<1(B)|w|<2(C)Imw>0(D)Imw<0二、填空題1．若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集。2．設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi)，為D內(nèi)某一點(diǎn)，若存在一個(gè)領(lǐng)域，使得函數(shù)f(z)在該鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn)解析。3．1，其中m為整數(shù)。4．0。若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析，則它在導(dǎo)數(shù)不為零處是保角的。三、計(jì)算題1．設(shè)z=x+iy，求。解：因所以計(jì)算Lni。解：，k為整數(shù)設(shè)，試求解析函數(shù)f(z)=u+iv，使得，且有f(i)=-1+i。解：由C－R條件有于是由得經(jīng)驗(yàn)證或即為所求。試將在點(diǎn)z=2的去心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)。解：f(z)在0<|z-2|<1內(nèi)可展成羅朗級(jí)數(shù)，有計(jì)算積分，解：積分路徑c即，而被積分函數(shù)共有兩個(gè)奇點(diǎn)1與i位于c內(nèi)部，所以而故注：本題也可用第4章的方法計(jì)算。四、證明題1．證明：若、β為復(fù)數(shù)，則。證：因而故從而得2．證明：若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上解析，且有界，則f(z)必為常數(shù)。證：因f(z)在復(fù)平面上有界，所以，存在M>0，使對(duì)復(fù)平面上任意的z均有|f(z)|≤M。設(shè)為復(fù)平面上的任意一點(diǎn)，作，于是，有由柯西不等式得，（R→+∞）即以任意小的ε>