第13講圓錐曲線中的定點(diǎn)定直線問(wèn)題（學(xué)生版）

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新Ⅱ卷，第21題,12分雙曲線中的定直線問(wèn)題直線的點(diǎn)斜式方程及辨析根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2023年全國(guó)乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2022年全國(guó)乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題根據(jù)圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程2021年新Ⅱ卷，第20題,12分橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓中的弦長(zhǎng)根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)2023年全國(guó)甲卷（理科），第20題,12分橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的定直線問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)考點(diǎn)一、橢圓中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．3．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．5．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓右焦點(diǎn)分別為，是上一點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的面積為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線，且交于點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn).證明：①直線與的斜率乘積為定值；②點(diǎn)在定直線上.1．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知和是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行，直線與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線OM與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，直線PO與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上，并求出該定直線的方程．2．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長(zhǎng)小于4，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．4．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮阎獧E圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．5．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設(shè)橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且焦距為2．點(diǎn)P在橢圓上且異于A、B兩點(diǎn)．若直線PA與PB的斜率之積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，直線m的方程為：，過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線，交于點(diǎn)E．判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)二、雙曲線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過(guò)定點(diǎn)?若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明原因；若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo).1．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┮阎c(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線，與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)、，在線段上取異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上．考點(diǎn)三、拋物線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題1．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知拋物線：過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率與直線的斜率之和為4，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．2．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）過(guò)拋物線內(nèi)部一點(diǎn)作任意兩條直線，如圖所示，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)為焦點(diǎn)并且時(shí)，四邊形面積的最小值為32(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)，證明在定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出定直線方程.1．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎獟佄锞€，過(guò)點(diǎn)的兩條直線、分別交于、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為直線與的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．2．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為4.(1)求拋物線的方程：(2)若直線與交于另一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與交于另一點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【能力提升】1．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于.(1)求雙曲線的方程.(2)點(diǎn)，在上，且，直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于），過(guò)作軸的垂線分別交直線于點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，證明．直線過(guò)定點(diǎn).3．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.4．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知拋物線E：（p>0），過(guò)點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．5．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．6．（2023·福建廈門·廈門一中?？既＃┮阎p曲線的離心率為2.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的右焦點(diǎn)為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.7．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)坐標(biāo)為，且.(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，滿足，證明：在定直線上.8．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知、分別為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，其中坐標(biāo)為點(diǎn)是雙曲線上的一個(gè)點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與上支交于不同的A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，證明：點(diǎn)Q總在某條定直線上.9．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)在軸右側(cè)，點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，直線、的斜率之積是．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若拋物線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2023·四川成都·三模）已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，，為拋物線，分別交拋物線于點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn).(1)若，求四邊形面積的最小值；(2)證明:點(diǎn)在定直線上.12．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段AF的垂直平分線交AC于點(diǎn)P．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率不為O的直線l交（1）中軌跡E于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)．問(wèn)：x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得恒成立．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【真題感知】1．（陜西·高考真題）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)B(－1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是的角平分線,證明直線l過(guò)定點(diǎn).2．（北京·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).3．（山東·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，（?。┳C明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．（安徽·高考真題）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定