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內(nèi)蒙古錦山蒙古族中學(xué)2024年高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,設(shè),,則當(dāng)時(shí),的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.112.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.3.若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.要排出高三某班一天中,語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各節(jié),自習(xí)課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.6.已知向量,,則與的夾角為()A. B. C. D.7.第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在中國(guó)武漢舉行,中國(guó)隊(duì)以133金64銀42銅位居金牌榜和獎(jiǎng)牌榜的首位.運(yùn)動(dòng)會(huì)期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地提供服務(wù),要求每個(gè)人都要被派出去提供服務(wù),且每個(gè)場(chǎng)地都要有志愿者服務(wù),則甲和乙恰好在同一組的概率是()A. B. C. D.8.已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù),使成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.10.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,異面直線SC與OE所成角的正切值為()A. B. C. D.11.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為,直線與其相交于,兩點(diǎn),若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.12.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知半徑為的圓周上有一定點(diǎn),在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)連接,則所得弦長(zhǎng)介于與之間的概率為_(kāi)_________.14.已知點(diǎn)是拋物線上動(dòng)點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值為_(kāi)_____________.15.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.16.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式﹔(2)設(shè),求證:.18.(12分)已知數(shù)列滿足且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)如圖,已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率,過(guò)右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率分別為,求證:為定值.20.(12分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為證明:.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于,兩點(diǎn),求線段的長(zhǎng).22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)設(shè)的最小值為,正數(shù),滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,∴.∵是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴.∴.∵,∴,解得.則當(dāng)時(shí),的最大值是9.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.2、A【解析】
確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個(gè)選項(xiàng),再求時(shí)的函數(shù)值,再排除一個(gè),得正確選項(xiàng).【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除B,C,當(dāng)時(shí),,排除D,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時(shí)可通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù),以及函數(shù)值的變化趨勢(shì),排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得正確結(jié)論.3、B【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),由此構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法,求得的取值范圍.【詳解】,設(shè),要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號(hào)零點(diǎn),令,則,令,則問(wèn)題即在上有零點(diǎn),由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.4、C【解析】分析:先求導(dǎo),再對(duì)a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再畫(huà)圖分析轉(zhuǎn)化對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,得到關(guān)于a的不等式組,再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解:由題得.當(dāng)a<1時(shí),,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當(dāng)1≤a<e時(shí),函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增,在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,所以即令,所以所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以,所以當(dāng)1≤a<e時(shí),滿足題意.當(dāng)a時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C.點(diǎn)睛:本題的難點(diǎn)在于“對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問(wèn)題,所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值、極值等)來(lái)分析解答問(wèn)題.本題就是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來(lái),完成了數(shù)學(xué)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,找到了問(wèn)題的突破口.5、C【解析】
根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰,將節(jié)語(yǔ)文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語(yǔ)課不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午,但節(jié)語(yǔ)文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,節(jié)英語(yǔ)課也不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.6、B【解析】
由已知向量的坐標(biāo),利用平面向量的夾角公式,直接可求出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,設(shè)與的夾角為,,由于向量夾角范圍為:,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角,注意向量夾角的范圍.7、A【解析】
根據(jù)題意,五人分成四組,先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù),再將甲乙組成一組的情況,即可求出概率.【詳解】五人分成四組,先選出兩人組成一組,剩下的人各自成一組,所有可能的分組共有種,甲和乙分在同一組,則其余三人各自成一組,只有一種分法,與場(chǎng)地?zé)o關(guān),故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
設(shè)直線為,用表示出,,求出,令,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值,即可求出的最小值.【詳解】解:設(shè)直線為,則,,而滿足,那么設(shè),則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以故選:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵,屬于中檔題.9、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時(shí),y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時(shí),等號(hào)成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí),等號(hào)成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.10、D【解析】
可過(guò)點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,并連接CF,從而可得出∠CSF(或補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角,根據(jù)條件即可求出,這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖,過(guò)點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則∠CSF(或補(bǔ)角)即為異面直線SC與OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法,直角三角形的邊角的關(guān)系,平行線分線段成比例的定理,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)點(diǎn)差法得,再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得,解方程組得,,即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,則的中點(diǎn)為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.12、A【解析】
首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】在圓上其他位置任取一點(diǎn)B,設(shè)圓半徑為R,其中滿足條件AB弦長(zhǎng)介于與之間的弧長(zhǎng)為?2πR,則AB弦的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率P==;故答案為:.14、【解析】
過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時(shí),的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得的最小值.【詳解】解:由題意可得,拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)最小時(shí),的值最小.設(shè)切點(diǎn),由的導(dǎo)數(shù)為,則的斜率為,求得,可得,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義,性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,直線的斜率公式,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.15、55【解析】
由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當(dāng)n=1時(shí),,當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.16、.【解析】
配方求出頂點(diǎn),作出圖像,求出對(duì)應(yīng)的自變量,結(jié)合函數(shù)圖像,即可求解.【詳解】,頂點(diǎn)為因?yàn)楹瘮?shù)的值域是,令,可得或.又因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為,且,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析,;(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)由,作差得到,進(jìn)一步得到,再作差即可得到,從而使問(wèn)題得到解決;(2),求和即可.【詳解】(1),,兩式相減:①用換,得②②—①,得,即,所以數(shù)列是等差數(shù)列,又,∴,,公差,所以.(II).【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.18、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)已知可得數(shù)列為等比數(shù)列,即可求解;(2)由(1)可得為等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,即可求解.【詳解】(1)因?yàn)椋?,又所以?shù)列為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為,公比為.故(2)由(1)知,所以所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)由橢圓離心率、系數(shù)關(guān)系和已知點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建方程組,求得,代入標(biāo)準(zhǔn)方程中即可;(2)依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),,通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓方程化簡(jiǎn)整理和中點(diǎn)的坐標(biāo)表示用含k的表達(dá)式表示,,進(jìn)而表示;由韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)而表示用含k的表達(dá)式表示,最后做比即得證.【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距為,則,即,所以.依題意,,即,解得,所以,.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明:依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),.與橢圓聯(lián)立整
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