地震勘探1-理論

第一章地震勘探的基本理論

第一節(jié)地震波在彈性介質(zhì)中的傳播規(guī)律

§1.1彈性介質(zhì)中的基本波

(-)彈性波控制方程

從固體彈性理論可知，在均勻、各向同性的理想彈性介質(zhì)中，三維波動(dòng)方程可以用矢量

表示為：

P~^=(^+pi)grad3+//V2u+pF(1-1-1)

式中向量u表示介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)受外力F作用后的位移，稱位移向量；向量F作用的外力，稱

為向量；常數(shù)4、〃是介質(zhì)的彈性常數(shù)，稱拉梅(Lame)常數(shù)；常量「是介質(zhì)的密度；標(biāo)量。

稱體變系數(shù)，亦可表示為6=力口”。

標(biāo)符V?為拉普拉斯(Laplace)算子

222

?2aaa

dx~dy~dz~

如果對(duì)作用外力分別取散度(div)和旋度(rot),則式(17-1)可分別寫成

駕一2。=由所

'+2"(1-1-2)

dt2p

(1-1-3)

式中：3=rotu。

這說明如果對(duì)這種介質(zhì)分別作用脹縮外力divF和旋轉(zhuǎn)外力rotF的話，則在介質(zhì)中分別

存在二種擾動(dòng)，脹縮力作用下產(chǎn)生由體變系數(shù)6決定的介質(zhì)體積相對(duì)脹縮的擾動(dòng)，這就是縱

波；在旋轉(zhuǎn)外力作用下，則產(chǎn)生由向量3決定的角度轉(zhuǎn)動(dòng)的擾動(dòng)，這就是橫波。這二種獨(dú)

立的擾動(dòng)，分別以速度VP和Vs傳播。

如同重力場(chǎng)可用重力位，電場(chǎng)可用電位來描述一樣，地震波場(chǎng)亦可用質(zhì)點(diǎn)位移的位移位

來描述。

根據(jù)亥姆霍茲(Helmholtz)渦流理論，任何一個(gè)矢量場(chǎng)，如果在定義域內(nèi)有散度和旋

度，則該矢量場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量位的梯度場(chǎng)和一個(gè)矢量位的旋度場(chǎng)之和表示。則上式中的位

移矢量u力矢量F可分別用位函數(shù)表示為

u=u；,+us=grad(p+roti|r

,

F=FP+Fs=grad<I>+rot'J(1-1-5)

式中<p代表位移場(chǎng)的標(biāo)量位；中代表位移場(chǎng)面的矢量位；中代表隊(duì)標(biāo)量力位；W代表矢

量力位。

將式(1-1-5)代入式(1-1-2)和(1-1-3)中，得到用位移位表示的波動(dòng)方程：

駕(1-1-6)

St2p

駕一匕2V2”=+(1-1-7)

St2

分別稱為縱波波動(dòng)方程和橫波波動(dòng)方程。

在各種形式的彈性波中，平面波是一種特別簡(jiǎn)單的波。這種波以波面的形式在介質(zhì)中傳

播，即在垂直于波傳播方向的任一平面上，各點(diǎn)的振動(dòng)是同相的。平面簡(jiǎn)諧波是波函數(shù)為簡(jiǎn)

諧形式的平面波。因此，在研究波的傳播問題時(shí)經(jīng)常使用簡(jiǎn)諧波假定。

平面波波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾(D'Alembert)解為：

f(x,y,z,t)=fi(Ix+my+nz-ct)+fz(Ix+my+nz+ct)(1-1-8)

其中萬=/；+加］+為波的傳播方向，c為波速，L表示沿方正方向傳播的平面簡(jiǎn)

諧波，f?表示沿N負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波。

(-)彈性波的能量

地震波的傳播實(shí)質(zhì)是能量的傳播。根據(jù)一般波動(dòng)理論可知，波在介質(zhì)中傳播時(shí)的能量等

于動(dòng)能3和位能E.之和。假設(shè)波通過的介質(zhì)體積為明介質(zhì)的密度為0,對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)來

說，波的振蕩E可用下式表示：

22

E=Ex+EPocpAfW(1-1-9)

式中A表示波動(dòng)的振幅，f表示波的頻率。

上式說明波的能量和振幅平方、頻率平方及介質(zhì)的密度成正比。于是包含在介質(zhì)中單位

體積內(nèi)的能量(稱能量密度)￡亦應(yīng)正比于振幅平方，即：

22

￡=E/WocpAf(1-1-10)

定義單位時(shí)間通過單位面積的能量為波的能通量密度或波的強(qiáng)度I,因?yàn)閷?shí)際地震勘探

是在波前面的單位面積上觀測(cè)波的能量信息的，如果時(shí)間dt內(nèi)通過面積ds的能量為

￡-V-dt-ds,則波的強(qiáng)度I為

,￡V-dt-ds,,.

I=-------=￡,■VocA2(1-1-11)

dt-ds

式中V為速度。因此波的強(qiáng)度I正比于波的振幅平方。

(三)球面波

地震勘探中一般使用炸藥振源，介質(zhì)中發(fā)生的彈性振動(dòng)從中心向四周傳播。在均勻各項(xiàng)

同性介質(zhì)中這種波動(dòng)過程具有中心對(duì)稱性質(zhì)，波面為球面，稱為球面波，在球坐標(biāo)系下，波

動(dòng)方程可以描述為：

d\rf)1d\rf)

(1-1-12)

dr2c2dt2

其達(dá)朗貝爾解為:

f(r,t)=-fi(/-r/c)+-f(t+r/c)(1TT3)

rr2

其中第一項(xiàng)表示由中心向四周擴(kuò)展的波，而第二項(xiàng)表示由無限遠(yuǎn)向中心匯集的波。當(dāng)r、

t固定，則復(fù)合變量(t-r/c)為一常數(shù)，波函數(shù)為定值。這樣，在/瞬間以r為半徑的球

面上波場(chǎng)值相同，該球面為等相位面。波函數(shù)前的系數(shù)1/r表示波遠(yuǎn)離震源向外傳播，其振

幅不斷哀減，且與到震源的距離成反比。事實(shí)上，隨r增大，波前面的面積越來越大，與

d成正比。從中心點(diǎn)震源所產(chǎn)生的波所據(jù)有的能量是一定的。在波向外傳播的過程中，通過

單位面積的能量將與百成正比。又由于能量與振幅的平方成正比，因此波的振幅與因子1/r

成正比，1/r稱為波前發(fā)散因子，或波前面幾何擴(kuò)散因子。波前面幾何擴(kuò)散是不同于平面波

的重要特征。

(四)地震波的波形圖和波剖面

根據(jù)波動(dòng)方程達(dá)朗貝爾解，函數(shù)Gk)中的自變量r=既是時(shí)間，又是空間一

的函數(shù)，因此就可以從不同的角度描述波動(dòng)。若在某一確定的距離r=q上觀測(cè)該處質(zhì)點(diǎn)位

移隨時(shí)間的變化規(guī)律圖形，令橫坐標(biāo)表示時(shí)間f,縱坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)位移〃，這種由〃-/坐標(biāo)

系表示的圖形稱波的振動(dòng)圖形，如圖1-1-1所示?？梢杂靡幌盗行g(shù)語(yǔ)來描述振動(dòng)圖形。振

動(dòng)圖的極值(正或負(fù))稱為波的相位，極值的大小稱波的振幅A,相鄰極值間的時(shí)間間隔

為視周期T*,視周期的倒數(shù)稱視頻率/*=',圖上質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的起始時(shí)間6和終了時(shí)間I2

之間的時(shí)間長(zhǎng)度△/=f2-f?即為波的時(shí)間長(zhǎng)度。

圖1-1-1波的振動(dòng)圖形

圖1-1-2波剖面圖

如果假設(shè)讓時(shí)間1=4,意味著把時(shí)間“固定”在。時(shí)刻，此時(shí)可以研究波動(dòng)在坐

標(biāo)系中的狀態(tài)。令橫坐標(biāo)代表波離開震源的距離r,縱坐標(biāo)仍表示質(zhì)點(diǎn)移開平衡位置的位移

t,這種圖形稱波的剖面圖，如圖1T-2所示，亦可用一些術(shù)語(yǔ)來定義波剖面。波剖面上具

有極大正位移的點(diǎn)稱為波峰，極大負(fù)位移的點(diǎn)稱波谷，兩相鄰波峰(谷)之間的距離稱視波

長(zhǎng)萬，視波長(zhǎng)的倒數(shù)稱波數(shù)左=5，即單位距離內(nèi)波的數(shù)目。

A

根據(jù)一般波動(dòng)理論可知，視波長(zhǎng)萬、波數(shù)分量攵(一般沿地表觀測(cè)就是k?也有人稱

之為視波數(shù))和視速度V之間有以下關(guān)系：

V*

Z=——(1-1-14)

11f

k——=------（

2*TV*V*

觀察波剖面在介質(zhì)中的傳播過程可以看出，在波到達(dá)的介質(zhì)處，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)都離開平衡

位置產(chǎn)生位移，由于地下巖石介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)間是緊密相連，振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)又波及其鄰邦近靜止的質(zhì)

點(diǎn)使其振動(dòng)，由此及彼，形成質(zhì)點(diǎn)振蕩動(dòng)相互傳遞，這就是地震機(jī)械波動(dòng)的物理機(jī)理。波在

介質(zhì)中傳播將介質(zhì)分為三個(gè)球形層，如圖1T-3所示。處于球?qū)觾?nèi)的質(zhì)點(diǎn)以各自的狀態(tài)振動(dòng),

稱擾動(dòng)區(qū)，其橫截面即為波剖面。擾動(dòng)區(qū)的最前端（傳播方向上）剛開始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)與尚未

開始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)間的分界面稱為波前面，而擾動(dòng)區(qū)的另一個(gè)面是將要停止振動(dòng)與已經(jīng)停止振

蕩動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)間之分界面稱作波尾面。對(duì)于縱波而言，擾動(dòng)區(qū)內(nèi)某一時(shí)刻一些質(zhì)點(diǎn)相互靠近，

密集在一起，形成局部密集帶，而另一些質(zhì)點(diǎn)卻彼此分開，形成局部疏松帶，結(jié)果在擾動(dòng)區(qū)

內(nèi)構(gòu)成了彼此相間的壓縮和疏松帶，如圖1-1-4。而且隨著波的傳播，介質(zhì)中的壓縮帶和疏

松帶交替更換，這就是縱波傳播的形象表述。對(duì)橫波來說，由于其質(zhì)點(diǎn)位移方向垂直于波傳

播方向，它構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與波前（尾）面相切的擾動(dòng)層。

圖1T-3球面波傳播示意圖

圖1-1-4縱波傳播不意圖

在同一時(shí)刻，介質(zhì)中不同質(zhì)點(diǎn)位移都處于不同的振動(dòng)相位，其中必有某些點(diǎn)是處于相同

相位的狀態(tài)，這些相同相位的質(zhì)點(diǎn)聯(lián)系起來構(gòu)成了等相位面。均勻介質(zhì)中，在球腔對(duì)稱的震

源下，等相位面是以震源為球心的同心球面，顯示波前面和波尾面亦應(yīng)該是等相位面。球面

波隨著傳播距離的增大，球面不斷地?cái)U(kuò)大，當(dāng)球面擴(kuò)大到非常大時(shí)，我們可以把球面的局部

看成是一個(gè)近似的平面來研究，于是球面波蛻變成平面波。從能量來說真正的平面波是一和

當(dāng)學(xué)抽象，它當(dāng)然不存在球面的擴(kuò)散問題。

§1.1.2地震場(chǎng)的形成和計(jì)算

地震波在理想均勻無限彈性介質(zhì)中傳播時(shí)，如何計(jì)算波到達(dá)空間任一點(diǎn)的波場(chǎng)問題是地

震波動(dòng)力學(xué)的重要內(nèi)容之一。

早在1690年惠更斯（Huygens）在描述波動(dòng)傳播時(shí)，首先提出一個(gè)原理，其要點(diǎn)是：任

一時(shí)刻波前面上的每一點(diǎn)都可以看作一個(gè)新的點(diǎn)源，由它產(chǎn)生的二次擾動(dòng)，形成元波前，而

以后新波前的位置可以認(rèn)為是該時(shí)刻前各元波前的包絡(luò)，見圖1-1-5,這就是著名的惠更斯

原理。以后夫列涅爾（Fresnel）補(bǔ)充了惠更斯原理，認(rèn)為由波前面所形成的新擾動(dòng)（二次

擾動(dòng)）在空間觀測(cè)點(diǎn)上相互干涉疊加，其疊加結(jié)果是該點(diǎn)觀測(cè)到的總擾動(dòng)?；莞挂环蛄心?/p>

爾原理亦可以從廣義繞射的角度來理解，把任一時(shí)刻的波前面上的每一個(gè)點(diǎn)看成一個(gè)新點(diǎn)

源，由這個(gè)新點(diǎn)源發(fā)出的元波可以認(rèn)為是一種廣義繞射子波，因此空間任一觀測(cè)點(diǎn)的波場(chǎng)可

以認(rèn)為是這些廣義繞射子波疊加而成。因此，惠更斯一夫列涅爾原理從原則上提出了計(jì)算任

一觀測(cè)點(diǎn)波場(chǎng)的思想，但沒有解決具體計(jì)算問題。

圖1T-5惠更斯原理示意圖

圖1T-6克希霍夫積分示意圖

（-）克?；舴蚬?/p>

1883年著名德國(guó)學(xué)者克希霍夫（Kirchhoff）首先解答了這個(gè)問題。他提出，如果圍繞

著震源所在的某一閉合面Q上已知波動(dòng)的位移位9（x,y,z,f）及其導(dǎo)數(shù)，且這些值是連續(xù)的

（沒有奇點(diǎn)）。那么可以算出Q面以外任意一觀測(cè)點(diǎn)M）上由震源引起的位移

位的解，見圖l-l-6o該解可以用下述克希霍夫公式來計(jì)算：

。（2小"）=割｛［糕圖-需圖卜。（"⑹

注意：式中符號(hào)［］不是方括號(hào)，是表示不是在時(shí)刻f而是對(duì)于乙=1-二時(shí)刻的值，

1V

故值［同稱為推遲位；，?表示M至Q面上各點(diǎn)的距離，〃表示Q面的外法線方向。

圖1T-7泊松公式示意圖

（-）泊松公式

作為克希霍夫公式的一個(gè)特例、可以導(dǎo)出著名的泊松（Poisson）公式。即假設(shè)封閉曲

面Q是以r=%為半徑的球面，且M點(diǎn)位于球心，見圖1-1-7,可以從公式（1-1T6）出發(fā)

計(jì)算出球心M點(diǎn)的波場(chǎng)面解

展；梟恤㈤+7~J［第

4式dr,4式,dt

（1-1-17）

如果令：

歹二孤【勿犯吟￡嗚閾

則泊松公式（1-1-17）可簡(jiǎn)化為：

?（等）（1-1-18）

式中「及（孚）表示球面Q上［夕］及［學(xué)］的平均值。于是泊松公式說明，只要知道球

dtdt

面上及［”］的平均值，便可求得M點(diǎn)波場(chǎng)的解°。泊松公式不僅用來描述波場(chǎng)，且為

dt

以后討論波的運(yùn)動(dòng)學(xué)射線理論中的費(fèi)馬（Fermat）原理奠定了理論基礎(chǔ)。

（三）傾斜因子

克希霍夫公式的另一應(yīng)用是推導(dǎo)出所謂的傾斜因子K（0）。假設(shè)Q是由點(diǎn)源M。發(fā)出的任

意時(shí)刻的波前面位置，其半徑為r。，波前面上任意小面元用dQ表示，M點(diǎn)是球面外任一點(diǎn)，

它至dQ的距離為r,0是dQ的法線n與r的夾角，見圖1-1-8,現(xiàn)求在面外任一點(diǎn)M觀測(cè)

到的波場(chǎng)值同0角有什么關(guān)系。

圖1-1-8傾斜因子示意圖

如果M。點(diǎn)發(fā)出的球面諧波其振幅為A,圓頻率為3,則由M。點(diǎn)到達(dá)小面積單元dQ上的

振動(dòng)，按前面討論的波動(dòng)理論為：

—(1-1-19)

如果用人=—表示圓波數(shù)且略去周期因子(因?yàn)閑”只表示諧波形狀，同能量無

V

關(guān))，則到達(dá)dQ的振動(dòng)為：

A..

—e-jkr°(1-1-20)

為

根據(jù)惠更斯一夫列涅爾原理，可以把波前面Q上的小面積QQ看作二次震源，則在M點(diǎn)

觀測(cè)到的擾動(dòng)可以寫為：

du(M)=K(0)—e-ikr°.~e-ikrclQ

r(yr

由整個(gè)波前面Q在M點(diǎn)形成的總擾動(dòng)為：

jkr

U(M)=—e-°ff—K(0)dQ(1-1-21)

4or

式中K?)是與夾角。有關(guān)的因子，稱傾斜因子。應(yīng)用克希霍夫公式可以證明Ke)有下

列表達(dá)式：

K?)=*(1+cos6)(1-1-22)

式中4為波長(zhǎng)。

傾斜因子的物理意義是：當(dāng)時(shí)8=0,Ke)具有最大值K?)='/；時(shí)，

X2

K(O)=—j,說明觀測(cè)點(diǎn)在波前面的法線〃方向上具有最大值，后面將會(huì)討論到，該方向

2A

n

就是波的線方向，波的強(qiáng)度則迅速衰減，當(dāng)6=2時(shí)，傾斜因子的絕對(duì)值已衰減到最大值

2

的一半。因此可以說波動(dòng)的大部分能量都集中在射線方向。式中因子的出現(xiàn)表示子波波前相

TT

位超前萬，因?yàn)橐蜃?可以寫成：

.71..7TJT/、

j=cos—+jsn\—=e2(1-1-23)

此處中的/是正號(hào)，故為超前。

§1.1.3平面波的反射和透射

同光線在非均勻介質(zhì)中傳播一樣，地震波在遇到彈性分界面時(shí)亦要產(chǎn)生反射和透射。首

先從平面理論出發(fā)（認(rèn)為波前面是平面，它以恒定的入射角投射到分界面上）討論平面波的

射和透射。

（-）斯奈爾（Snell）定律

圖1T-9平面波的反射和透射

假設(shè)界面R將空間分為上、下兩部分班和牝，上半空間縱波的傳播速度為明,下半空

間為",如圖1-1-9?平面波波前AB以a角投射至界面當(dāng)平面波波前面的A點(diǎn)到達(dá)界面R

上A,點(diǎn)時(shí)，根據(jù)惠更斯原理可以將界面上的A點(diǎn)看成一個(gè)新震源，由該點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)新擾動(dòng)

向介質(zhì)四周傳播，當(dāng)波前上B.點(diǎn)經(jīng)過，時(shí)間傳播到界面R上的Q點(diǎn)時(shí)，由A.點(diǎn)新震源發(fā)出

的擾動(dòng)在％介質(zhì)中亦以速度片傳播了加時(shí)間，且在M介質(zhì)中按速度5傳播了加時(shí)間。從

圖中簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系可以看出，曲介質(zhì)中產(chǎn)生的新波前面為QS,它同入射波波前AB.在同

一介質(zhì)內(nèi)稱為反射波；在明介質(zhì)中產(chǎn)生新波前面QT,稱為透射波。如果反射波波前面和透

射波波前面同界面R的夾角分別為/和夕的話，則不難證明它們滿足下列關(guān)系式:

-------=----------=———-p（.1-1-Z4；

V,匕匕

該式反映了彈性分界面上入射波、反射波和透射波的關(guān)系。如果定義a為入射角，a為

反射角，夕為透射角，式（1-1-24）說明入射角等于反射角，而透射角則決定于上下介質(zhì)

sina

的速度比值。參量〃一^稱為射線參量，它決定于波的入射角度式（1-1-24）表示的

匕

入射、反射和透射間的關(guān)系，就是著名的斯奈爾定律，亦稱反射一透射定律。如果還有不同

波型（縱波和橫波）的反射和透射，則斯奈爾定律（1-1-24）式可擴(kuò)展寫成：

sinasinar,sinPsin%sin/7

——?=-=p2(1-1-25)

VPIVP1V51VP2匕2

式中%、4分別表示縱波和橫波的反射角；?2、魚分別表示縱波和橫波的透射角。

在地震勘探中定義：同入射波波形相同的波稱為同類波（如入射波為縱波，則有同類反

射縱波和同類透射縱波）；反之稱轉(zhuǎn)換波（如轉(zhuǎn)換射橫波和轉(zhuǎn)換透射橫波）。

（二）諾特（Knott）方程和佐普里茲（Zoeppritz）方程

當(dāng)縱波Pi入射至彈性界面R時(shí)，在上半空間W,中產(chǎn)生同類反射波P,,和轉(zhuǎn)換反射波PS,

下半空間附產(chǎn)生同類透射波Pi?和轉(zhuǎn)換透射波P&,如圖1-1-10所示。

根據(jù)彈性力學(xué)理論,這五個(gè)波在彈性分界面上應(yīng)滿足邊界條件：即應(yīng)力連續(xù)和位移連續(xù)。

我們用位移位函數(shù)來表示這些波，入射波的位函數(shù)為0,反射縱波和透射縱波的位函數(shù)為必

和并規(guī)定軸坐標(biāo)向下為正，則有:

xsina+zcosa

xsin%-zcosez.

6=f"

xsinB、-zcos夕?

W\=匹Q-

圖1-1-10縱波入射時(shí)的反射和透射

xsin%+zcos%

。2=人”

xsinB?+zcos/7

甲？=F，t-2

現(xiàn)在的問題是根據(jù)已給的入射波函數(shù)及邊界條件確定函數(shù)fl、Fl、f2、F2O利用位移和

位移位的下列關(guān)系，水平位移〃=。9/&一。-/3z,垂向位移卬=00/3z-。沙/&,展

開邊界條件，用位函數(shù)表示應(yīng)力分量及合成的位移，得：

dzdxdz

dzdxdzdx

將％%,02,%,匕的表達(dá)式代入上述方程組，經(jīng)簡(jiǎn)化后，得下列矩陣形式的諾特方程

組:

vv

/cosp?-sin。］

sin%產(chǎn)os￡i-----sincc1~R

匕2-

v

》Sin夕2Bcos%

cos%———sin/?.—^cosa2

匕,Vp2%

v2

^y-COS2/?2

sin—y-cos2^i

—--v-sin2a,Tsin2%

匕2VV嗎P\

-cos2/?1sin2￡1—cos2^0—sin2^0Dcos2%

P\P\

(1-1-26)

式中

R=fjf，B=FJf,T=f2/f,D=F2/f

(1-1-27)

分別表示反射縱波、反射橫波的位移位反射系數(shù)、透射縱波、透射橫波的位移位透射系

數(shù)。方程(1-1-26)是用位移位振幅表示的入射縱波和各二次波的能量分配關(guān)系?？梢钥闯觯?/p>

它們除了同入射角有關(guān)外，還同上下介質(zhì)的參數(shù)V及P等的比值有關(guān)。

上述的反射透射系數(shù)是相對(duì)位函數(shù)而言的，利用我們已經(jīng)熟知的位移振幅比和位移位振

幅比之間的關(guān)系，可獲得用位移振幅表示的反射透射系數(shù)方程，稱為佐普里茲方程。

RPP一sina

sin%cos/?)一sin%cos/72

COS6Z1

cos?-sincos%sin%R?s

VP

sin2%-y^-COSZ/Jj—sin2a-'COS2^2—sin2。］

0TPP

Ki匕2V：p\P\K2

V△&in2A

P?Tcos2/?!

一cos24優(yōu)sin2ACOS2/?2,

VPI0%8L

(1-1-28)

其中心、電、￡?、T帽分別為以位移振幅表示的反射P波、反射SV波、透射P波和透射

SV波的反射系數(shù)和透射系數(shù)。

(三)平面波的法向入射

首先討論平面波垂直入射到地下界面的情況，這時(shí)入射角a=0,根據(jù)斯奈爾定律

(1T-25)式，則有a=囚=4=a2=色=0，于是方程式(1T-28)變成如下的簡(jiǎn)單

形式：

600

Rp-

勺，一■%=一＞("29)

解之，得:

夕2匕,2-8匕”

夕2匕2+pyP\

(1-1-30)

2。匕|

夕2匕＞2+pyp\

式(1-1-30)的第二和第四個(gè)方程表明，在平面波垂直入射時(shí)不存在轉(zhuǎn)換波。而第一個(gè)

方程則表明，欲使反射波強(qiáng)度不為零的條件是：

。2匕,2一。M，產(chǎn)0或22匕2"Ki(17-31)

這意味著波阻抗不相等的界面構(gòu)成地震反射界面。同時(shí)，由(1-1-30)式還可以導(dǎo)出一

些有用的關(guān)系式。如果把縱波從介質(zhì)1垂直入射到介質(zhì)2的反射透射系數(shù)記為R.和TPP,而

把縱波從介質(zhì)2垂直入射到介質(zhì)1時(shí)的反射系數(shù)和透射系數(shù)記為即，'和T/,則有：

21匕,1一22匕＞2

py,A+pyPi

2夕匕2

(1-1-32)

pyp\+0匕＞2

-4P]V,,]P2Vp21p2

TT=I-

/，，P?i"=-(---P--M---+---0---%--)---2--KPP\

其中Tpp.Tpp=1-表示了波從不同的方向穿過同一界面時(shí)振幅的變化情況,稱為界

面的透射損失。上述結(jié)論將在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到。

(四)平面波的傾斜入射

當(dāng)平面波以不為零的任意角度入射至界面時(shí)，這種情況比較復(fù)雜，不能用(1-1-30)那

樣簡(jiǎn)單的情況來討論，因?yàn)樵趦A斜入射時(shí)，還產(chǎn)生轉(zhuǎn)換波，此時(shí)各二次波的能量分配關(guān)系完

全由諾特方程式?jīng)Q定。它們不僅與入射角，而且還與速度和密度等參數(shù)的變化有關(guān)。欲直觀

地了解它們之間的關(guān)系，通常采用作圖的方法。一類是描述反射系數(shù)、透射系數(shù)同入射角之

間的關(guān)系曲線，另一類是描述它們同各參數(shù)，如密度比、速度比之間的關(guān)系曲線，選擇一些

典型曲線進(jìn)行分析，以便從中引出對(duì)地震勘探有益的結(jié)論。

1.圖ITTla中的曲線是在條件匕2/匕?=05;22/0=。-8情況下，反映反射系數(shù)

和透射系數(shù)同入射角a的關(guān)系曲線。入射波由波阻抗大的密介質(zhì)向疏介質(zhì)入射。此時(shí)在入射

角a〈20°時(shí)，除反射縱波外，能量主要分配在透射縱波上，橫波能量很小，這同上述法向入

射的情況是相符的。隨入射角加大，縱波的某些能量轉(zhuǎn)化為反射橫波和透射橫波能量，但主

要能量還是在縱波方面，說明在縱波入射的條件下，橫波的相對(duì)強(qiáng)度不是很大，但值得注意

的是，在a*400~60°時(shí)，反射橫波強(qiáng)度可以超過反射縱波，說明在遠(yuǎn)離震源或大傾角入

射時(shí)，容易接收到反射的轉(zhuǎn)換橫波。

2.圖ITTlb是由波阻抗較小的疏介質(zhì)向密介質(zhì)入射的情況。這簇曲線的條件是

匕2/丫3=2；2，/乃=0.5。因此有匕迎=2=1,說明在法線入射時(shí)無反射縱波。當(dāng)

v,,\p\Z|

a逐漸增大，增至某一角度時(shí)，反射波強(qiáng)度有突然的變化，而且透射波的強(qiáng)度很快下降。這

種強(qiáng)度的急劇變化，反映了波的能量轉(zhuǎn)換，同時(shí)在臨界角附近反射縱波和反射橫波強(qiáng)度都增

大，此時(shí)的反射稱為廣角反射。圖中R、B、T、D分別表示反射P波、反射SV波、透射P

波和透射SV波的能量系數(shù)曲線。

圖ITTla、b反射系數(shù)，透射系數(shù)與入射角a的關(guān)系圖

3.圖lTT2a和b是描述匕>2/匕)1和O?/乃等參數(shù)比值發(fā)生變化時(shí)對(duì)反射系數(shù)的影響。

從圖1-1-12中可以看出，當(dāng)匕,2/匕“<1時(shí)，曲線變化緩慢，匕2/匕”越趨于1，則曲線越

平緩，這反映上下介質(zhì)的波阻抗值差異越小，反射越弱，反之則為強(qiáng)反射。這一點(diǎn)可以用來

指導(dǎo)我們將來根據(jù)反射的強(qiáng)弱來識(shí)別巖性。當(dāng)V02/Vm>l時(shí)，則曲線變化急劇，尤其是在

臨界角附近。至于圖ITT2b中，22/0比值變化時(shí)，曲線沒有多大變化，說明密度的變

化對(duì)反射波的強(qiáng)度影響不大。

圖lTT2a、b反射系數(shù)與匕(2/匕］,金/夕i的關(guān)系圖

§1.1.4地震勘探中常遇到的波

(-)地震面波

地震勘探中遇到最多的面波是瑞雷(Rayleigh)面波，瑞雷面波的能量差不多只集中在

大約一個(gè)波長(zhǎng)的范圍內(nèi)，因此瑞雷面波從震源0出發(fā)傳播時(shí)，其波前是一個(gè)高度為z=3的

圓柱體，如圖1T-13所示。

圖1-1-13面波波前示意圖

如果震源的作用時(shí)間為△t,則與面波有關(guān)的振動(dòng)只發(fā)生在厚度為△r=Vn?△t的圓柱層

內(nèi)，圓柱外部為其波前，內(nèi)部為波尾。該圓柱層的體積W=2nzrAr。

其中r是面波波前的半徑。由于震源的能量是常量，所以能量密度隨波的傳播半徑r

增大而減小，其震幅將隨4而衰減，這比體波的球面擴(kuò)散的衰減要慢得多。這樣在遠(yuǎn)距離

震源處，面波有可能強(qiáng)于體波。

瑞雷面波的傳播速度不同于體波，它們低于橫波的傳播速度且沿自由表面?zhèn)鞑ィ瑩?jù)研究,

瑞雷面波的傳播速度VR大約是橫波速度V.的0.955倍，即VR=0.9553V,。

瑞雷面波有別于體波的另一個(gè)特點(diǎn)是，其質(zhì)點(diǎn)振蕩動(dòng)不是線性極化振動(dòng)，而是面的極化

振動(dòng)。它的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可以在水平的x軸和垂直z軸上分解為振動(dòng)u和振動(dòng)w,根據(jù)理論研究,

這兩個(gè)分振動(dòng)在相位上差頁(yè)/2,且振蕩幅也不相同?？梢?，瑞雷面波的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是由相位相

差n/2的二個(gè)相互垂直振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)，它在xz平面內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿與波傳播方向成反方向的

橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，因此它是面橢圓極化波。

通常情況下，面波大多具有頻散現(xiàn)象。所謂頻散現(xiàn)象是指面波在介質(zhì)中的傳播速度是頻

率的函數(shù)，即速度隨頻率而變。面波亦是一個(gè)脈沖波，根據(jù)頻譜分析可知，如果面波的傳播

速度是頻率的函數(shù)，那么構(gòu)成面波脈沖的每一個(gè)單頻波都有其自己傳播的速度，物理上稱它

為相速度V（通常指波峰或波谷的傳播速度）。由于相速度隨頻率而變，于是各分振動(dòng)的相

位隨波的傳播而改變，由這些分振動(dòng)疊加之后的總振動(dòng)（構(gòu)成面波脈沖）的波剖面在傳播過

程中就會(huì)發(fā)生變化，那么整個(gè)面波脈沖的傳播速度就可以這樣理解，把面波脈沖包絡(luò)線的極

大值的傳播速度作為整個(gè)面波傳播速度，并稱之為面波脈沖的群速度u（圖1-1-14）。

圖1-1-14面波的群速度和相速度

一般物理教程中都已證明，相速度V和群速度U之間有如下關(guān)系：

=（1-1-33）

dX

式中入是單頻波波長(zhǎng)。

可以看出群速度U可以大于或小于相速度V,它決定于dV/dX是正值還是負(fù)值。正的稱

為正常頻散，反之稱為速度具有異常的頻散。由于頻散現(xiàn)象，面波的波包變得比較伸長(zhǎng)，同

時(shí)振幅逐漸平滑，各處波的剖面類似正弦線段，但波包的前面部分和后面部分的波長(zhǎng)是不相

同的，正常頻散，前面部分波長(zhǎng)較長(zhǎng)，異常頻散則相反。

（-）薄層介質(zhì)中的波

通常我們定義厚度Ah滿足下列不等式的地層稱為地震薄層。

A//</l/4或2M</l/2（1-1-34）

式中人是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的波長(zhǎng)或脈沖波的視波長(zhǎng)。不等式兩邊同除以波的傳播速度V,則上

式變?yōu)椋?/p>

2A/z/V<2/2V或T<T/2（1-1-35）

式中T表示波在薄層內(nèi)傳播的雙程旅行時(shí)間，T是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期或脈沖波的視周期。

于是薄層亦可定義為地震波在該層傳播的雙程旅行時(shí)小于波的半個(gè)周期或半個(gè)視同期的地

層。

現(xiàn)在討論地震波在薄層內(nèi)反射時(shí)會(huì)發(fā)生什么情況。圖1T-15是一個(gè)典型的薄層模型。

在上、下兩個(gè)厚層中夾有一層厚度為Ah的薄層，薄層中的縱波速度為Vg密度為P2,它

的上、下層內(nèi)的縱波速度分別為VgVp3,密度為Pl、P3。于是，這三層的波阻抗分別為4=

V|11P1；Zj=Vp2P2；Zj=Vp3P3。

圖1-1-15薄層的物理模型

若有一平面簡(jiǎn)諧縱波Pl垂直入射至薄層頂板時(shí)，在該面上產(chǎn)生反射波P"、透射波PM

透射波在薄層底板上產(chǎn)生的反射波P您又可以在薄層內(nèi)返回至薄層頂板上產(chǎn)生反射波

P您2,甚至由P⑵2又可形成口2222、……等波,如圖1T-15所示。在薄層內(nèi)形成的這些反射波,

地震勘探中稱為多次反射波。這些多次反射波透過薄層頂板成為P3⑵、P”儂如、……等諸波,

它們均可在地面上被接收到（注意：圖1-1T5上所畫的射線為了清晰起見已將垂直投影的

射線在圖上沿水平方向畫成斜線）。根據(jù)薄層定義，薄層內(nèi)的多次波必定和薄層的一次波P122.

在地面上相互疊加（因?yàn)樵诒觾?nèi)多次反射波的雙程旅行時(shí)T小于一次波的二分之一個(gè)周

期），亦即當(dāng)?shù)孛嫔辖邮盏奖拥囊淮尾ê?，它的振?dòng)尚未停止，多次波即到達(dá)，在地面上

接收到的是這些波互相疊合的總振動(dòng)。這種一次反射波同薄層內(nèi)多次反射波的相互疊加干涉

產(chǎn)生的效應(yīng)稱薄層的干涉效應(yīng)。如果薄層的頂板反射波P"的振蕩幅用Au表示；通過薄層在

其底板的一次反射波和多次反射波疊加的總振動(dòng)表示p.u,其振蕩幅為A;；則它們的相對(duì)

振幅值A(chǔ)u/A”反映了經(jīng)過薄層反射的能量變化。經(jīng)計(jì)算得：

A”_1-2(b-8)cos27tfT+(b-3)2

(1-1-36)

A”1-2Z?cos2次+〃

式中f是諧波頻率，而

4Z|Z2(Z3-Z2)

(1-1-37)

(z2-Z1)(Z3+Z2)(Z2+Z1)

(z,-z)(z-z)

232(1-1-38)

(Z|+z2)(z3+z2)

從式（1-1-36）可以看出，經(jīng)過薄層反射后的復(fù)合振動(dòng)的振幅是與f、T、Ah有關(guān),

因?yàn)?

T,T—_T—_2_A_/z—_2_A_/i

/~T~TV~A(1-1-39)

當(dāng)薄層厚度一定時(shí)，A與頻率f有關(guān)，說明諧波通過薄層反射后表現(xiàn)出振幅頻率特性。

圖1T-I6a給出了韻律型薄層（地層參數(shù)為：z〈Z2>Z3或z〉z(mì)2cz3）的頻率特性曲線；圖

描繪了遞變型薄層（地層參數(shù)為：z〈Z2<Z3或A9%）的頻率特性曲線。由圖可知,

韻律型薄層壓制了低頻成分的波，相當(dāng)于一個(gè)高通濾波器；而遞變型薄層相對(duì)地壓制了高頻,

低頻成分得到加強(qiáng),好似一個(gè)低通濾波器。薄層的濾波特性亦進(jìn)一步說明了大地的濾波作用。

根據(jù)式（1-1-39）薄層的振幅特性還是2Ah/入的函數(shù)，說明薄層厚度如果存在橫向變化的

話，薄層的振幅特性就會(huì)發(fā)生變化，不同地段的反射波形亦不一致。

圖l-l-16a,b薄層頻率特性曲線

（三）非完全彈性介質(zhì)中的波

粘滯彈性介質(zhì)中的波動(dòng)方程式可以寫為:

d2u1口胡B°”

。凝=(%+〃)ve+〃v2z+/詼+科方(1-1-40)

式中n稱為粘滯系數(shù)，它同介質(zhì)的應(yīng)變隨時(shí)間而變化的粘滯性質(zhì)有關(guān)。

對(duì)上式兩邊取散度div得：

p等…+2小吟尸(1-1-41)

…?4

式中V二§〃。

兩邊取旋度rot得:

a2/a、

p^v(Vxw)=1+lv2(Vxw)(1-1-42)

式(1-1-41)和(1-1-42)說明在粘滯介質(zhì)中同樣存在二種獨(dú)立擾動(dòng)(縱波和橫波)，

但是它們的波動(dòng)方程中都多了一項(xiàng)與時(shí)間變化有關(guān)的附加項(xiàng)。為了研究該附加項(xiàng)對(duì)波傳播的

影響，以分析一個(gè)平面簡(jiǎn)諧縱波沿x方向傳播為例。

設(shè)縱波的位移位為9(x,。，按平面波理論可以寫成：

j(Mkx)

(p(x,t)=(p(}e-(1-1-43)

由于在沿x方向一維傳播時(shí)

八du5~(p“2，…

0=—=——=~K~(p(1-1-44)

dxdx2

將上式。值代入式(1-1-41)得到：

pco2=(/1+2〃瘴2+jrjcoK2

2

故K2—--------------；—(1-1-45)

(X+2〃)+力0

令K=k-ja(1-1-46)

將上式代入(1T-43)式得：

axj(Mkx)

(p(x,t)=(poe-e-(1-1-47)

式(1-1-47)說明平面縱波在粘滯介質(zhì)中傳播時(shí)，它的振幅按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快

慢則由式(1-1-48)的a值來確定，稱a為衰減系數(shù)或吸收系數(shù)?？傻茫?/p>

--|l/4p,<

,p2a>4(1_ina>\

k=----------------；—cos-tg―1——

(2+2//)2+7/a>2__(24+

*

、一！

r-11/4(-/、、

p2c,o2/l1-i7169

(2+2//)2+z/<w2JL(22+2//JJ

(1-1-48)

于是波的傳播速度:

V=吆=--------------------J--------------------

k「2I”"z.x

pJ1_]rtco

3cod-tg———

(A+2//)2+/]"a)2j九+2〃,

(1-1-49)

當(dāng)波的頻率很低時(shí),滿足不等式〃口<<4+2〃，則式(1-1-48)和式(1-1-49)可化

成

a?r)a>2p'2

a2(/l+2〃)3'2-(1-1-50)

而頻率較高時(shí)，滿足不等式〃勿>>2+2〃，則得到：

(1-1-51)

上述結(jié)果說明，當(dāng)波的頻率很低時(shí)，地震波在粘滯介質(zhì)中以恒速％傳播，振幅隨3?增

加而衰減；對(duì)高頻波來說，振幅和傳播速度都與圓頻率的平方根成正比。因此彈性波隨著傳

播距離的增大，高頻成分很快地被吸收，只保留較低的頻率成分。

地震波的吸收還可以用一個(gè)與衡量無線電路中損耗完全相似的參數(shù)一一品質(zhì)因素來描

述。品質(zhì)因素Q被定義為：在一個(gè)周期內(nèi)(或一個(gè)波長(zhǎng)距離內(nèi))，振動(dòng)所耗的能量AE與總

能量E之比的倒數(shù)。即：

萬

\\EIEA￡或2AE

=(1-1-52)

Q2乃2TTE~Q~E

Q值是一個(gè)無量綱量，它表明介質(zhì)Q值越大，能量的損耗越小，介質(zhì)越接近完全彈性體。

由式(1-1-47)可知，一個(gè)波長(zhǎng)距離內(nèi)的相對(duì)能量損耗量為：

竺=1_(0-曲)2=i_e-2s

E

由式(IT-52)有:

1l-e-2aAaAotVT

--=------------X-----=-p-------

Q?冗冗冗

于是可以求得吸收系數(shù)a與品質(zhì)因素Q之間的關(guān)系:

第二節(jié)地震波運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本原理及描述方法

地震波的運(yùn)動(dòng)鞋學(xué)是研究地震波波前的空間位置與其傳播時(shí)間的關(guān)系。它與幾何光學(xué)

相似，也是引用波前、射線等幾何圖形來描述波的運(yùn)動(dòng)過程和規(guī)律，因此也叫幾何地震學(xué)。

§1.2.1幾何地震學(xué)的基本概念

在此根據(jù)物理學(xué)的基本原理，簡(jiǎn)單回顧一下與地震波運(yùn)動(dòng)學(xué)有關(guān)的一些基本概念，包括

地震波的形成、波面、射線、振動(dòng)圖與波剖面、地震子波、視速度與視波長(zhǎng)等。

地震波

振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播過程就是波。必須強(qiáng)調(diào)，波動(dòng)是一種不斷變化、不斷推移的運(yùn)動(dòng)過

程。而不是任何固定的、僵化的東西。介質(zhì)中有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，在波的傳播過程中，每個(gè)點(diǎn)都會(huì)

或早或晚地受到牽動(dòng)而振動(dòng)起來。單獨(dú)考慮每一個(gè)點(diǎn)，它的運(yùn)動(dòng)只是在平衡位置附近進(jìn)行振

動(dòng)。把介質(zhì)中的無限多個(gè)點(diǎn)當(dāng)作一個(gè)整體來看，它的運(yùn)動(dòng)就是波動(dòng)。振動(dòng)和波動(dòng)的關(guān)系就是

部分和整體的關(guān)系。

我們知道，和任何一種振動(dòng)相聯(lián)系，總有一定形態(tài)的振動(dòng)能量。既然波動(dòng)就是振動(dòng)在介

質(zhì)中的傳播過程，那么，伴隨著振動(dòng)的傳播，當(dāng)然也就有能量的傳播。波動(dòng)是能量傳播的重

要方式之一。這種方式的特點(diǎn)是，當(dāng)能量在介質(zhì)中通過波動(dòng)從一個(gè)地方拎到另一個(gè)地方時(shí)，

介質(zhì)本身并不傳播。彈性理論的研究表明，每種物體在外力作用下，主要表現(xiàn)出彈性還是塑

要取決于具體的條件。既要看物體本身的物理性質(zhì)，又要看作用力的大小和特點(diǎn)（延繼時(shí)

間的長(zhǎng)短、變化的快慢等），以及所處的外界環(huán)境（溫度、壓力等）。在牙力很大、作用時(shí)間

很長(zhǎng)的條件下，大部分物體都表現(xiàn)為塑性性質(zhì)。反之，在外力很小、作用時(shí)間很短的情況下，

大部分物體都具有彈性性質(zhì)。當(dāng)在帖層中用炸藥爆炸激發(fā)地震波時(shí)大概是這樣的情況，在炸

藥包附近，爆炸產(chǎn)生的強(qiáng)大壓力大大超過巖石的極限強(qiáng)度，巖石遭到破壞形成一個(gè)破壞圈，

炸成空洞。隨著離開震源距離的增大，壓力減小，但仍超過巖石的彈性限度。此時(shí)巖石雖不

發(fā)生破碎，但發(fā)生塑性形變，形成一些輻射狀或環(huán)狀裂隙。在塑性帶以外，隨著離開震源距

離的進(jìn)一步增加，壓力降低到彈性限度以內(nèi)；又因?yàn)檎ㄋ幈ㄋa(chǎn)生的是一個(gè)延繼時(shí)間很短

的作用力，所以這一區(qū)域的巖石發(fā)生彈性形變。綜上所述，地震波裨上就是一種在貼層中傳

播的彈性波。

2、波前、波后和波面

設(shè)想在某一時(shí)刻t。開始在介質(zhì)中激起波源的振動(dòng)。過了一段時(shí)間，到了時(shí)刻

波源的振動(dòng)可能就停止了或暫時(shí)停頓了。再過一段時(shí)間，到了時(shí)刻匕，波已傳播了一段距離。

這時(shí)介質(zhì)中分成了幾個(gè)區(qū)域，如圖1-2T所示。在離波源最近的區(qū)域V。中，波已經(jīng)傳播過

去，介質(zhì)的振動(dòng)己經(jīng)停止。在其次一個(gè)區(qū)域片中。介質(zhì)的振動(dòng)正在進(jìn)行。在更遠(yuǎn)的一個(gè)區(qū)

域V2中，波還沒有傳到，介質(zhì)的振動(dòng)還沒開始。在4和小的分界面S上，介質(zhì)中的各點(diǎn)剛

剛開始振動(dòng)。這一曲面S,叫做波在時(shí)刻匕的波前（又叫波陣面）。在V。和%的分界面$上,

介質(zhì)中的各點(diǎn)剛剛停止了振動(dòng)。這一曲面S,叫做波在時(shí)刻匕的波后（又叫波尾）。必須記

住，波是不斷前進(jìn)的，從而波前和波后這兩個(gè)曲面也在隨著時(shí)間不斷然地推進(jìn)。不指明哪一

個(gè)時(shí)刻來談?wù)摬ㄇ昂筒ê笫菦]有明確意義的。

波前和波后的大?。娣e）一般會(huì)不斷地?cái)U(kuò)大，它們的幾何形狀決定于波源的分布和介

質(zhì)的性質(zhì)。如果介質(zhì)是均勻的和各向同性的而波源又可以看成一個(gè)點(diǎn)（叫做點(diǎn)波源），則波

前和波后都是球面。

在圖1-2-1中，Si是波在時(shí)刻心的波前。過了一段時(shí)間，到了時(shí)刻以波前已經(jīng)不在原

來的位置了，向前推進(jìn)到了的地方$2了。但是，Sl這個(gè)固定的曲面仍然有很重要的意義。因

為介質(zhì)中位于Si上的各點(diǎn)是同時(shí)（在時(shí)刻t.）開始振動(dòng)的，它