第17題數(shù)列不等式變化多端求和靈活證明方法多 2024年高中數(shù)學三輪復習之一題多解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第17題數(shù)列不等式變化多端，求和靈活證明方法多（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）按“差比法”確定不等式兩邊之差，利用錯位相減法求“新數(shù)列”的和..（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設(shè)，⑧則．⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．（2024·廣東佛山·二模）1．已知數(shù)列滿足，，且．(1)證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，證明：當時，．（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）先利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）【最優(yōu)解】證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）2．已知等比數(shù)列的首項為，公比為整數(shù)，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，比較與的大小關(guān)系，并說明理由.（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）由（Ⅰ）知，令，且，求得.而，作差證明即可.（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．則，由（1）可得，所以，所以.（2024·山西·模擬預測）3．已知數(shù)列的前項和為，且．(1)探究數(shù)列的單調(diào)性；(2)證明：．（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用導數(shù)方法求和，代替錯位相減求和．設(shè)，可得．結(jié)合，，再求Sn作差證明即可.（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）設(shè)，由于，則．又，所以，由（1）可得，所以，所以.（2017年高考數(shù)學浙江卷第22題）4．已知數(shù)列滿足：，證明：當時，（I）；（II）；（III）.【點評】1.數(shù)列與不等式知識的交匯，是高考命題的一個熱點，且涉及數(shù)列不等式的證明、數(shù)列中的最值問題、數(shù)列不等式恒成立條件下的參數(shù)問題、解有參數(shù)參與的不等式以及比較大小問題等．2.在解決這些問題時，一是要充分利用數(shù)列自身的特點，比如在涉及數(shù)列中項的問題需要用到數(shù)列的單調(diào)性時，可以通過比較相鄰兩項的大小進行判斷，也就是不等式證明中的比較法；二是涉及數(shù)列求和問題，要關(guān)注數(shù)列的特征，靈活選擇求和方法，如公式法、裂項相消法、錯位相減法等，至于不等式證明，可靈活選擇“比較法”、放縮法、數(shù)學歸納法等；三是許多數(shù)列與不等式的綜合題，破解的方法是利用數(shù)列知識建立不等式模型，然后運用放縮法或數(shù)學歸納法證明不等式問題，或者用求某函數(shù)最值的方法證明不等式問題；四是注意數(shù)列的函數(shù)特性，必要時通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或?qū)?shù)求解.構(gòu)造函數(shù)模型常常是解決數(shù)列與不等式能力型問題的一個重要突破環(huán)節(jié)．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）5．已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．（23-24高二下·四川成都·階段練習）6．已知等比數(shù)列的前n項和為，，且，，成等差數(shù)列.(1)求；(2)設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求；(3)設(shè)，是的前n項的積，求證：，．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）7．記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．（23-24高三上·湖南衡陽·期末）8．在數(shù)列中，且.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)的前項和為，證明：.（23-24高三上·安徽·期末）9．在數(shù)列中，，，且數(shù)列是等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）10．已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列.（2）先把數(shù)列進行適當?shù)姆趴s，再用分組求和的方法求滿足的關(guān)系，并證明.【詳解】（1）因為，，所以，，.易知，所以，因為．所以是等比數(shù)列，首項，公比，所以．（2）由（1）可得，先證明左邊：即證明，當時，，所以，所以，再證明右邊：，因為，所以，即，下面證明，即證，即證，設(shè)，，則，設(shè)，，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，所以，所以．綜上，．【點睛】方法點睛：數(shù)列不等式的證明方法主要有：（1）作差比較法：不等式兩邊作差與0比較大小.（2）放縮比較法：對表達式適當放縮，證出不等式.2．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合條件求出公比，即可得解；（2）由（1）得出，設(shè)出，前項和為，利用錯位相減法求出，令，可知，進而即可判斷得出.【詳解】（1）由已知可得，因為，所以，即，則，解得或（舍去），所以，.（2）由（1）得，令，設(shè)前項和為，則，所以，兩式相減得，所以，令，則，設(shè)前項和為，則，所以.3．(1)，且從第二項起單調(diào)遞減(2)證明見解析【分析】（1）判斷的符號即可；（2）法一：由，利用錯位相減法求解證明；法二：不妨設(shè)，由，，利用待定系數(shù)法求得即可.【詳解】（1）解：由題意可得，故，即，故數(shù)列中，且從第二項起單調(diào)遞減．（2）證法一：由題意可得，，有，即，令，則，則有，即有，即，故，又，故，即．證法二：不妨設(shè)，且，，則，則解得，那么，．4．（I）見解析；（II）見解析；（Ⅲ）見解析.【分析】（I）用數(shù)學歸納法可證明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可證；（Ⅲ）由及，遞推可得.【詳解】（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：．當時，．假設(shè)時，，那么時，若，則，矛盾，故．因此，所以，因此．（Ⅱ）由得，．記函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因此，故．（Ⅲ）因為，所以，由，得，所以，故．綜上，．【名師點睛】本題主要考查利用數(shù)列不等式的證明，常利用以下方法：（1）數(shù)學歸納法；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）利用遞推關(guān)系證明．5．A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當時，則，當且僅當時等號成立，，由累乘法可得，且，則，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．6．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)得到，即，據(jù)此求出公比即可求解；（2）由（1）得，根據(jù)；（3）由（1）求出，求出，求出，構(gòu)造函數(shù)，求出在的單調(diào)性，與比較，據(jù)此即可證明.【詳解】（1）由題意，，則，得，即，所以公比，又，故；（2）由（1）得所以；（3）由（1）得，則，那么，構(gòu)造函數(shù)且，則，即在上遞減，所以，即在上恒成立，故（當且僅當時取等號），所以，，即，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題（3）關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，求出在的單調(diào)性.7．(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關(guān)系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴8．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)求出，再利用等差數(shù)列的定義式計算，將結(jié)果代入化簡即得差為常數(shù).（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出數(shù)列的通項，再運用分組求和的方法求出再證明.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以是公差為1的等差數(shù)列.（2）因為，所以，由（1）知，則.設(shè)數(shù)列的前項和為，則，則，所以，則，所以.9．(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意，借助等比數(shù)列定義計算即可得；（2）借助兩次錯位相減法計算即可得，即可得證.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，即，，即，又，故有，解得，故，；（2），則，，有，即，令，則，則有，即有，即，故，又，故.10．（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運算可得的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得的通項公式；（II）（i）運算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進