【數(shù)學(xué)】一元線性回歸模型2課件 2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（2）1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程：我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法.2.最小二乘估計(jì)：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)計(jì)算公式為：

復(fù)習(xí)回顧思考：當(dāng)父親身高為176時(shí)，兒子的身高一定是177嗎？這個(gè)差異如何理解？課堂導(dǎo)入（3分鐘） 1.針對實(shí)際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測．

2.通過對具體問題的進(jìn)一步分析，能將某些非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題并加以解決. 3.通過具體實(shí)例，了解決定系數(shù)R2的意義和作用.學(xué)習(xí)目標(biāo)自主學(xué)習(xí)（7分鐘）合作學(xué)習(xí)（6分鐘）1.閱讀課本P111，殘差=？殘差與隨機(jī)誤差e一定相等嗎？殘差分析的作用？總結(jié)殘差分析的兩個(gè)方法2.觀察課本P112圖8.2-8思考：如何由殘差圖直觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型的假設(shè)？3.結(jié)合課本P115圖8.2-12，觀察圖中散點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，你能看出其中存在的問題嗎？怎么模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征？4.結(jié)合課本P118思考，如何比較兩個(gè)模型的擬合效果？幾種方法？殘差=觀測值－預(yù)報(bào)值成果展示（12分鐘）父親身高x174170173169182172180172168166182173164180兒子身高觀測值yi176176170170185176178174170168178172165182兒子身高預(yù)測值174.943171.587174.104170.748181.655173.265179.977173.265169.909168.231181.655174.104166.553179.977殘差yi-1.0574.413-4.104-0.7483.3452.735-1.9770.7350.091-0.231-3.655-2.104-1.5532.023殘差分析途徑：列殘差表、作殘差圖.殘差圖：以殘差為縱坐標(biāo)，以樣本編號(或x)為橫坐標(biāo).

殘差與觀測時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型殘差與觀測時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測時(shí)間的變大而變大殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)成果展示（12分鐘）成果展示（12分鐘）殘差圖：以殘差為縱坐標(biāo)，以樣本編號(或x)為橫坐標(biāo).若存在某幾個(gè)樣本點(diǎn)的殘差絕對值較大，則為可疑數(shù)據(jù)，需予以糾正或剔除，再重新建立回歸模型.帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，殘差絕對值越小，且較均勻地落在橫軸附近，說明回歸方程預(yù)測的精度越高.例2

人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95成果展示（12分鐘）第1個(gè)散點(diǎn)遠(yuǎn)離回歸直線，前后兩時(shí)間段的散點(diǎn)都在回歸直線的上方中間時(shí)間段的散點(diǎn)都在回歸直線的下方.散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周圍，而是圍繞著回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.問題

如何修改以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？仔細(xì)觀察右圖,可以發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.函數(shù)y=-lnx的圖象具有類似的形狀特征.

注意到100m短跑的第一個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年,因此可設(shè)非線性回歸方程為：

y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)

（其中c1、c2為未知參數(shù)，且c2<0）.追問

如何利用成對數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)c1和c2？

點(diǎn)撥拓展（10分鐘）點(diǎn)撥拓展（10分鐘）作出(xi，yi)的散點(diǎn)圖，可見x與y呈現(xiàn)出很強(qiáng)的負(fù)線性相關(guān)特征.成果展示（12分鐘）問題

結(jié)合課本P118思考，如何比較兩個(gè)模型的擬合效果？幾種方法？

(1)直接觀察法.（2)殘差平方和=成果展示（12分鐘）殘差平方和越小，模型擬合效果越好.（3）決定系數(shù)R2殘差平方和偏差平方和（與經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān)）（與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無關(guān)）0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.成果展示（12分鐘）R2越大，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.R2越小，殘差平方和越大，模型擬合效果越差.區(qū)分：樣本相關(guān)系數(shù)r刻畫線性相關(guān)關(guān)系的正負(fù)和強(qiáng)弱；

決定系數(shù)R2刻畫模型擬合效果的好壞.點(diǎn)撥拓展（10分鐘）

x2023252730z22.4334.6對數(shù)變換z=lny分析模型的回歸效果方法（2）殘差平方和（1）殘差分析好的回歸方程對應(yīng)的殘差散點(diǎn)圖應(yīng)是均勻地分布在橫軸兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi).且?guī)顓^(qū)域越窄，說明模型擬合效果越好．（3）決定系數(shù)R2法殘差平方和越小，說明模型擬合效果越好.R2越大，說明模型擬合效果越好.課堂小結(jié)求一元線性回歸方程的步驟：（1）以成對樣本數(shù)據(jù)描出散點(diǎn)圖，通過散點(diǎn)圖觀察成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)。（2）計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r，判斷兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。(可省)

（4）殘差分析：殘差表、殘差圖對回歸模型的擬合效果進(jìn)行評估。當(dāng)堂檢測（5分鐘）[2020全國卷I-5]某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究