山東省臨沂市2024屆高三下學(xué)期5月高考模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題（含答案）

年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（模擬）數(shù) 學(xué)2024.5注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知為虛數(shù)單位，，則A． B． C． D．2.若，，則的元素個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．33.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，m，12，14，21，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是A．4 B．6 C．8 D．124.若有2名女生和4名男生到“山東旅發(fā)”大會(huì)的兩個(gè)志愿服務(wù)站參加服務(wù)活動(dòng)，分配時(shí)每個(gè)服務(wù)站均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案種數(shù)為A．16 B．20 C．28 D．405.已知函數(shù)（）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．是圖象的一條對(duì)稱軸C．在上的值域?yàn)镈．將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱6.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則A． B． C． D．7.已知正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面BMN與平面夾角的余弦值為C．在上存在點(diǎn)Q，使得 D．在上存在點(diǎn)P，使得平面BMN8.橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且，與y軸相交于點(diǎn)Q，離心率，若，則A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若和都為遞增數(shù)列，則10.設(shè)，是拋物線C：上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn).若弦AB過焦點(diǎn)F，則A． B．若PA的方程為，則C．點(diǎn)P始終滿足 D．△PAB面積的最小值為1611.已知定義在R上的函數(shù)滿足，，且，則A．的最小正周期為4 B．C．函數(shù)是奇函數(shù) D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.13.若直線與曲線相切，則ab的取值范圍為.14.根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，某種植物感染病毒之后，其存活日數(shù)X滿足：對(duì)于任意的，的樣本在的樣本里的數(shù)量占比與的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于，即，則，設(shè)，的前n項(xiàng)和為，則.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求C；（2）若點(diǎn)D在線段AB上，且，求的最大值.16.（15分）“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨(dú)特魅力.為了解年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）.非常喜歡感覺一般合計(jì)男性3t100女性t合計(jì)60（1）求t的值，試根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)；（2）從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡“趕大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進(jìn)一步交流，記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.0.10.050.01…2.7063.8416.635…17.（15分）如圖，在四梭錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，平面AMHN，點(diǎn)M，N，H分別在棱PB，PD，PC上，且．（1）證明：；（2）若H為PC的中點(diǎn)，，PA與平面PBD所成角為60°，四棱錐P-ABCD被平面AMHN截為兩部分，記四棱錐P-AMHN體積為，另一部分體積為，求.18.（17分）已知向量，，點(diǎn)，，直線PD，QD的方向向量分別為，，其中，記動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為E.（1）求E的方程；（2）直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，?。┤鬺過原點(diǎn)，點(diǎn)C為E上異于A，B的一點(diǎn)，且直線AC，BC的斜率，均存在，求證：為定值；ⅱ）若l與圓O：相切，點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，且，試確定圓O的半徑r.19.（17分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：存在唯一的極大值點(diǎn)，且；（2）若存在兩個(gè)零點(diǎn)，記較小的零點(diǎn)為，t是關(guān)于x的方程的根，證明：.2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（模擬）數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2024.5說明：一、本解答只給出了一種解法供參考，如考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情賦分．二、當(dāng)考生的解答在某一步出錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改該題的內(nèi)容與難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確答案應(yīng)得分?jǐn)?shù)一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤或又出現(xiàn)錯(cuò)誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．BC 10．ACD 11．AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．42 13． 14． 四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）解：（1）由得，∴，即，即，即，∴，又∵，∴.（2）∵D點(diǎn)在線段AB上，且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．∴．即的最大值為．16．（15分）解：（1）由題意可知：，解得，2×2列聯(lián)表如下：非常喜歡感覺一般合計(jì)男性6040100女性8020100合計(jì)14060200．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．（2）設(shè)進(jìn)一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為m，女性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為n，則，且X的所有可能取值為1，2，3，4．，，，．∴X的分布列為X1234P∴．17．（15分）解：（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OP，∵平面AMHN，且平面平面，∴．∵，∴，∵為菱形，∴，，∵，且PC，平面PAC，∴平面PAC，平面PAC，∴，∴．（2）∵，且O為AC中點(diǎn)，∴，由（1）得，且，∴平面ABCD，又∵為菱形，，令．∴，，．又∵PA與平面PBD所成角為60°，平面PBD，∴，，∴，∴又∵H為PC中點(diǎn)，∴，在△PAC中，記，易知點(diǎn)G在MN上，且點(diǎn)G為△PAC重心，又∵，∴，又，∴，∴，∴．（法二）：關(guān)于求的第二種方法（建系法），以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建系，∴，，，，，，設(shè)平面AMHN的法向量為，，即，解得，令，則．∵，∴P到平面AMHN的距離，記△APH中，，∴，∴，∴，∴．18．（17分）解：（1）設(shè)，則，，又∵，，∴，，由已知得，，消得：，∴點(diǎn)D的軌跡方程為．5分（2）設(shè)直線l與E的兩個(gè)交點(diǎn)為，，ⅰ）∵直線l過原點(diǎn)，∴點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．設(shè)，∴，由，得，∴．ⅱ）∵N為AB的中點(diǎn)，且，∴.①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，此時(shí)點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，∴，∵，∴，∴．②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，由，得，∴，，∵，∴，即，整理得：．又∵l與圓相切，∴．綜上可得，∴圓O的半徑是．19．（17分）解：（1）當(dāng)時(shí)，，，∴，∴在上單調(diào)遞減，且，，則，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，即，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴存在唯一的極大值點(diǎn)，而，∴．（2）令，得，設(shè)，顯然在定義域上單調(diào)遞增，而，則有，∴．依題意，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，即函數(shù)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，顯然，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，∴，的定義域?yàn)?，∴求?dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增