2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)模擬試題注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．2．請將答案正確填寫在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題1．在等比數(shù)列中，，，則公比（

）A． B． C． D．2．在等差數(shù)列中，，則（

）A．9 B．11 C．13 D．153．下列求導(dǎo)運算結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．4．在等比數(shù)列中，，公比，則與的等比中項是（

）A．2 B．4 C．2 D．45．曲線在點處的切線的傾斜角為，則實數(shù)（

）A． B． C．2 D．36．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列前2023項的積為（

）A．2 B．3 C． D．7．等差數(shù)列共2n+1個項，且奇數(shù)項和為165，偶數(shù)項和為150，則n=（

）A．10 B．13 C．11 D．228．已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項的和，若，，則（

）A． B． C． D．10．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，數(shù)列的前n項積為，則（）A．數(shù)列單調(diào)遞增 B．數(shù)列單調(diào)遞減C．的最大值為 D．的最小值為11．在邊長為3的正方形中，作它的內(nèi)接正方形，且使得，再作正方形的內(nèi)接正方形，使得，依次進行下去，就形成了如圖所示的圖案．設(shè)第n個正方形的邊長為（其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為，……），第n個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形AEH的面積為，第2個直角三角形EQM的面積為，……，則（

）．A． B．C．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 D．數(shù)列的前n項和的取值范圍為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12．設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，其公比為，已知，，則.13．已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則.14．等差數(shù)列中，已知，且在前項和中，僅當時，最大，則公差的取值范圍為．四、解答題15．已知為等差數(shù)列，公差，且、、成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，證明：．16．已知數(shù)列滿足.(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.17．已知數(shù)列的前項和滿足．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．18．已知拋物線()上點處的切線方程為.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)和為拋物線上的兩個動點，其中，且，線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值.19．若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，，…，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．(1)已知數(shù)列是項數(shù)為8的對稱數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列，，，試寫出的每一項．(2)已知是項數(shù)為（其中，且）的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當為何值時，取到最大值？最大值為多少？(3)對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)為的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當時，并分別求出所有對稱數(shù)列的前項和．1．A【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】由題知，解得.故選：A2．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】由題意知，解得，所以，所以.故選：C.3．B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計算可得.【詳解】A：，故A錯誤；B：，故B正確；C：，故C錯誤；D：，故D錯誤；故選：B.4．D【分析】先通過等比數(shù)列的通項公式計算，進而可得其等比中項.【詳解】解：因為，所以與的等比中項是，故選：D.5．C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式求解，即可求得答案.【詳解】由，得，由于曲線在點處的切線的傾斜角為，故，故選：C6．A【分析】先找到數(shù)列的周期，然后求得數(shù)列前2023項的積.【詳解】由，，得，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，且，故數(shù)列前2023項的積為.故選：A.7．A【分析】結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得正確答案.【詳解】等差數(shù)列共2n+1個項，其中奇數(shù)項有個，偶數(shù)項有個，設(shè)等差數(shù)列的公差為，奇數(shù)項和①，偶數(shù)項和②，①-②得，則.故選：A8．B【分析】由等差數(shù)列定義求出，由累加法求出，由對勾函數(shù)單調(diào)性結(jié)合即可求解.【詳解】由題意數(shù)列滿足，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且，所以，當時，，又，所以，所以，而，所以當或時，取最小值，當時，，當時，，綜上所述，的最小值為5.故選：B.9．ACD【分析】由題意可得，從而可求出，即可判斷A；再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式即可判斷BCD.【詳解】因為，所以，所以，所以，又因為，所以，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；因為，所以當時，，當時，，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：在等差數(shù)列中，求的最?。ù螅┲档姆椒ǎ海?）利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和最?。ù螅唬?）借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解.10．BC【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式先求出公比q，進而可求通項公式，然后結(jié)合選項即可判斷．【詳解】等比數(shù)列{an|的各項均為正數(shù)，，，所以，即，又q＞0，解得q或q＝-1（舍），所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，A錯誤，B正確；則，易得：，，所以的最大值為，C正確，D錯誤．故選：BC．11．AC【分析】利用正方形的特征結(jié)合的三角函數(shù)值可判定A、B選項，利用相似三角形的相似比可判定C選項，同時結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可判定D選項.【詳解】由題意可知，，而，則，所以，故A正確；由上可知，所以，故B錯誤；易知，此后對應(yīng)三角形均相似，而相似比，即是首項為3，公比為的等比數(shù)列，所以C正確；同樣的是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，顯然單調(diào)遞減，即，所以的取值范圍為，故D錯誤.故選：AC.關(guān)鍵點點睛：判斷D選項的關(guān)鍵是得出等比數(shù)列的首項和公比，由此即可順利得解.12．【分析】根據(jù)題設(shè)兩個等式左右分別相除，易求得公比，再將其代入任一等式即可求得【詳解】因，可得：，又由，解得：故答案為：.13．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式的特征可設(shè)，，，即可表示出，即可求得答案.【詳解】兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，故設(shè)，，則，，所以故答案為：.14．【分析】首先寫成等差數(shù)列前項和的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對稱軸的范圍，即可求解.【詳解】為等差數(shù)列，且，則前項和，是關(guān)于的二次函數(shù)，且，因為僅當時，最大，所以對稱軸在區(qū)間，即，解得：，則公差的取值范圍是.故答案為：15．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及等比中項的性質(zhì)求出，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求和即可得證.【詳解】（1）依題意，，又、、成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.（2）由（1）可得，所以.16．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）給式子兩邊同時加，化簡證明即可；（2）分為兩組，一組等差數(shù)列，一組等比數(shù)列，利用等差等比數(shù)列的前項公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，所以，又，則，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，由于，所以，所以.17．(1)(2)【分析】（1）由已知結(jié)合數(shù)列的和與項的遞推關(guān)系即可求解；（2）先求數(shù)列的通項公式，然后利用錯位相減求和即可求解．【詳解】（1）當時，，當時，由，得，則，因為，所以；（2）由（1）可知，，則，則，則，所以．18．（1）；（2）.【解析】（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得,再根據(jù)切點在切線上,解方程組得；（2）設(shè)線段中點，根據(jù)斜率公式得，根據(jù)點斜式得線段的垂直平分線方程,解得坐標,利用點到直線距離公式得高,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用韋達定理以及弦長公式得底長,根據(jù)三角形面積公式得面積函數(shù)關(guān)系,最后根據(jù)均值不等式求最值【詳解】（1）設(shè)點，由得，求導(dǎo)得，∵拋物線上點處的切線斜率為，切線方程為，∴，且，解得，∴拋物線的方程為；（2）設(shè)線段中點，則，，，∴直線的方程為，即，∴過定點，即點的坐標為，聯(lián)立，得，，設(shè)到的距離，∴，當且僅當，即時取等號，∴的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：⑴由拋物線方程的特征設(shè)點，減少參數(shù)；

⑵求面積最值使用均值不等式.19．(1)，，，，，，，(2)當時取得最大值，且(3)答案見解析【分析】（1）設(shè)前項的公差為，由求出公差，從而得到，，再根據(jù)對稱性得到其余項；（2）首先利用等差數(shù)列求和公式求出，則，再由二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）依題意列出滿足該條件的對稱數(shù)列，再分、兩種情況利用等比數(shù)列求和公式及分組求和法計算可得.【詳解】（1）因為，，，成等差數(shù)列，，，設(shè)前項的公差為，所以，所以，，又數(shù)列是項數(shù)為的對稱數(shù)列，所以，，，，所以的項依次為，，，，，，，.（2）