2021新高考全國I卷數(shù)學真題及參考答案

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新高考全國I卷）

數(shù)學

本試題共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷

類型填涂在答題卡相應的位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須卸載答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位

置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案，不準適用鉛筆和涂改液。不按以上要

求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.設集合A={X-2<X<4},8={2,3,4,5},貝ijAA8=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,則z(z+i)=

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3、已知圓錐的底面半徑為其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為

A.2B.2V2C.4D.4V2

71

4.下列區(qū)間中,函數(shù)y（x）=7sin（xz）單調(diào)遞增的區(qū)間是

6

A.(0,；)n3兀3兀

B.(-,7i)C.(TC—)D.（a。）

fy

5.已知F-B是橢圓C:=1的兩個焦點，點〃在C上,則IMQIWBI的最大值為

A.13B.12C.9D.6

sin0(l+sin20)

6.若tan0=-2,人sin火cos。

62?6

A.--B.--C.1D.-

5555

7.若過點（a,b）可以作曲線產(chǎn)F的兩條切線，則

A.e'<aB.ea<bC.0<6z<ebD.0<b<ea

8.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球。甲表示事

件”第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的數(shù)字之和是

8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選

對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)孫及,…，X,”由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)》,”，…，>'?，其中y5+c(i=l,2,…，"),c為

非零常數(shù)，則

A.兩組樣本數(shù)據(jù)得樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知。為坐標原點，則尸i(cosa,sina),P2(cos月,-sina),尸3(cos(a+0,sin(a+0);A(l,O),則

A.兩|=|網(wǎng)B.麗|=麗|

C.OAOPl=OP^VP^D.OAOP^=OP^CP^

11.已知點P在圓(x-5)2+G-5)2=16上，點A(4,0),B(0,2),則

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當NPBA最小時，|PB|=3近

D.當NP8A最大時，|PB|=3V2

12.在正三棱柱ABC-AIBCI中，AB=AA^\,點P滿足麗=版+曲面,其中法[0,1],〃以0,1],則

A.當;1=1時，AA8P的周長為定值

B.當.1時，三棱錐P-4BC的體積為定值

C.當；時，有且僅有一個點P,使得AiPlBP

D.當片;時，有且僅有一個點P,使得平面ASP

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(%)=如(02*-27)是偶函數(shù)，則a=.

14.已知O為原點坐標，拋物線C：產(chǎn)=2?(2>0)的焦點為尸，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一

點，KPQ1OP,若|FQ|=6,則C的準線方程為。

15.函數(shù)式x)=|2x-l|-2lnx的最小值為。

16.某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿著紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dmxl2dm

的長方形紙，對折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Si=240dm2,

對折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2,

以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種類為；如果對折"次，那么2s產(chǎn)dm?

k=l

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

a+\,〃為奇數(shù),

17.（10分）已知數(shù)列｛〃“｝滿足。|=1,??+1='n

°”+2,n為偶數(shù)。

（1）記為=42",寫出仇、匕2,并求出數(shù)列｛九｝的通項公式;

（2）求｛斯｝的前20項和.

18.（12分）

某學校組織“一帶一路'’知識競賽，有4,B兩類問題。每位參加比賽的同學現(xiàn)在兩類問題中選擇一類并從

中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中在隨機抽取一個問

題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束。A類問題中的每個問題回答正確的20分，否則得0分；B類

問題中得每個問題回答正確得80分，否則得0分。

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概

率與回答次序無關。

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計的飯呢，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應先回答哪類問題？并說明理由。

19.(12分)

記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知加=砒，點。在邊AC上，BDsmZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2OC,求cosNABC

20.(12分)如圖，在三棱錐A-BCQ中，平面ABDL平面BCD,AB=AD,。為8。的中點。

(1)證明：OALCD

(2)若AOC。是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AO上，OE=2EA,且二面角E-BC-。的大小為45。，求

三棱錐A-BCO的體積。

21.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知點Fi(，熾0),母(，萬,0)，點M滿足.記M的軌跡

為C。

(1)求C的方程

(2)設點T在直線廣;上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和P、。兩點，S.\TA\■\TB\=\TP\-\TQ

I，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和。

22.(12分)已知函數(shù),/'a)=x(l-lnx).

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)設〃，人為兩個不相等的正數(shù)，Kb\na-a\nb=a-b>證明：2<-+;<e.

ab

2021全國新高考一卷數(shù)學參考答案及解析

一、選擇題

1.B

解析：注意到故選B.

2.C

解析：z信?)=(2-*)(2+2。=6+2i.故選C.

3.B

解析：設例惟母線長為L根據(jù)半0B的弧長等于圓錐底面圓周長可得n=26",得故選8.

4.A

解析：根據(jù)圖像和平移的性質(zhì)知.函數(shù)〃工)在(-：,2：)上單調(diào)遞增.在(-1，?)上單調(diào)遞減，故選4

JJJJ

5.C

解析：由橢圓的性質(zhì)有|MA|+|MF2|=2a=6,由均值不等式得：

陽川?陽陽＜J(|A/Fi|+|M/尸=9.

等號成立時,|MA|=|MB|=3,M為桶圓的上或下頂點.故選C.

6.C

解析：

sin0(1+sin20)_sinfl(sjnfl+cost()2_sin2#+sin0cos0_tanJ0+tan9__2

sine+cos?sintf+cos^sin20+cos20tan^O+15'

故選C.

7.D

解析：根據(jù)函數(shù)的凹凸性,知(。法)不可能在y=上方,再根據(jù)y=0是漸近線知，這個點應該介于y=c*

和v=o之間,故0<bed.故選。.

8.B

解析：不妨設甲、乙、丙、丁發(fā)生的概率分別為P(a),P(6).P(c),P(d),那么P(a)=1,P(b)="P(c)=

516i6

P(G=L甲丙同時發(fā)生的概率為P(ac)=0,甲丁同時發(fā)生的概率為尸(ad)=2,乙丙同時發(fā)生

OO,>OOD

的概率為P(6c)=丙丁同時發(fā)生的概率為P(的=0.滿足P(喇=PC"?的只有甲丁組合?故選

B.

二、選擇題

9.CD

解析：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)、標準差、極差的計算公式可以看出，GD選項正確.故選CD.

10.AC

解析：|OX|=|。月|=1,A正確；片E22cosa,|4/^|2-22cos3.8錯誤；OF{OT^-amacos3

sinasin3=co?(a4-^)=cZt-.C正確；OF^-OF^=cow(a4-3)cos5-sin(a4-sin3=(a-t-20),oA-

OK=cosa,。錯誤.故選AC.

11.ACD

解析：圓的半徑r=4,直線AB方程為y=-；工+2過『作直線45平行線,方程為y=；+??兩

宜境之間距離d=戶注意到d<6,故P到直線AB距離最大值為d+r<10,4正

J1+(T)2㈠

確：P到直線AB距離最小值為d-r<2.8錯談；NP4E的最值在P8為切線時取得設圓心0(5,5),則

OB=由于PB為切線，故PB_LOB,由勾股定理得|PB|=衣二I3=3%/i再由于同一點

到圓的兩條切線是等長的.故CD正確，故選4CQ.

12.BD

解析：對于?1選項,當人=】時，P為CCi上的點，此時|4P[+|PBi|不為定值.4甯謨.對于8選項.

當“=1時，尸為BiG上的點,由于BiG〃BC,故BQi〃平面48c.因此三棱錐「-4|BC的高為定

值.B正確;對于C選項,設BC中點為D.BiG中點為5，那么當A=§時，P為。5上的點,由于

45L平面BCG81.故4DJBD1，再由8DJ_平面知4ZXLB。.從而當P分別與。或5重合

時滿足APJLBP.故有赭個?滿足條件,C錯謖；對于。選項.設CC1中點為E.BB1中點為F,正方

形44|8|B的中心為G.那么當“=之時P為EF上的點，考慮到EGJ_平面44以艮故EGL4/,又

因為ABL4&.故4B_L平面EABi,即當〃與E重合時滿足條件，這樣的戶一定是唯一的.因為過48

兩點并與直線A.B垂直的平面是唯一的?

三、填空題

13.1

解析：令/(工)=/(-?可得/(2，+2-，)(<1-1)=0對于任意工恒成立.故a

解析：焦點坐標為F(1,0).P點坐標為P(1,p),從而|叩=p.|OF|-根據(jù)直角三角形的性質(zhì)有恒等

式|尸為2=|。川?|FQ|,得p2=3p,故p=3.準線方程為了=-；.

15.1

解析：當22：時，/(x)=21-2ln(x)-1,f'(x)=—~—>0.故f(x)>/(I)=1,當工<；時，f(x)=

2XL

\-21n(z)-2x./'(工)=二以七3<o.St/(H)>/(b=2ln2>l..故函數(shù)〃工)最小值為1.

XZ

16.5240(3-展)

解析：根據(jù)規(guī)律可知，對于給定的n.折疊n次可以得到圖形的規(guī)格形如(:)dmx(晟)dm.其中k=

0,1,…，n,不同規(guī)格抑數(shù)為n+1,從而當n=4時的規(guī)格神數(shù)為5,每一種規(guī)格的面積看是罷dm。從而

S一理”因此

￡&=24也*=240(2X^6銀)

1(=1*=|*=1*=1

1

;刈￡"2了方*?=240(2-"2^+'￡；*)

JrarDJk?l—I

240(3--^3)(dm2).

四、解答題

17.

(1)

由數(shù)學歸納法不難歸納出

V2jn

0.1='

卡2|n

從而除R。加-3n-l.(n€Z*),b\-2,&=5.

(2)

201010

￡"=Z。31+E021

k?ik??\

ioio

-￡(3A:-2)+￡(3k1)

mm

to

=6￡k-30:300.

18.

⑴

X的分布列為：

P(X=0)=0.2

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

(2)

在先答類型人的前提下，數(shù)學期望為

E(X)-20x0.32+100x0.48=54.4

在先答類型8的前提F.數(shù)學期里為

E(Y)-80x0.6x(1-0.8)4-100x0.48=57.6

由于小明先答B(yǎng)能使累計得分數(shù)學期望更大(E(V)>E(X)),故小明應該先答類型B

4

19.

(1)

由正弦定理可得:

BD=amnC=ac=?="

sinBbb

(2)

注意到與NBDC是互補的.它們的余弦值互為相反數(shù).從而分別在aS。人以及aBDC中使用余

修定理得:

/+(泄產(chǎn)產(chǎn)+(物產(chǎn)-a2

cos/.BDA+cos￡BDC2(a)?6+2-(lfc)-6

化筒得獷-J-2J=0,再由t>2=ac代入得

3c2-liar+6a"=0.

令人=￡,得3*-1口+6=0,解得A=3或:.從而

a3

M+c2—/a24-c2-acA2-A+1

cos/.ABC-

2ac

得cosZB=;(舍)或］1.

20.

(1)

由于平面人4OJ.平面BCD,而八打―4D.等腹三角形的中段即為高,因而考慮到3。為兩平面

的交集,因此45L平面BCD.從而O41TD

(2)

以。為原點.溫+。3方向為工軸正方向.+方向為v軸正方向.況方向為z軸正方向建立坐

標系.設|。川=兒那么我們可以得到各個點的坐標0(-W)C(；,泉0).嗚-等,0).4(0,0.A),

E(-；，理,)),設平面8C0的一個法向量為Ft=(O,O,l),平面BCE的一個法向fit為&=(工,/1),而后K=

003

(0,6,0).就=,停，-：八).那么

5

-5?=01=h

tJj*=0y=0

從而86<R,試>=廠二=W±，得到h=l“因此三極錐的體積為

V1+M2

*；xlxx/5xl=f

21.

(1)

由雙曲線的定義知.。是一個右半邊的雙曲埃.其中a=；(|MFi|+|AfFd)=l.c=Tn,6=VTT^l=4.

故C的方程為

工，-再=L(*>1)

(2)

考慮過T點任意斜率k并交C于兩點的情況?直線的方程為y=Jtx+i-*代入C的方程并化褐得

(16-*2)，k^t--2k}~(/->2-16=0.

此時,設直線與C的兩個交點為XIMJH)和、2(工2,⑷.那么由韋達定理得X,+X,-/)

，XH2

10—K*

.此時

\TXt\■\TXt\=，收+嗎_皿).小干弓-xa)

(汽+1)(句工2-2(工1+工2)+?

_(1+4)(尸+12)

令|TXI|.|TX2|=X.我們整理衿

A216A,

―川-^7W+1-

此時我們設直線T4和宜線TP斜率分別為*i,打出#燈)，那么它們是上述方程的兩個根(對于某個給定

的人而言)，因而由韋達定理得h+k=0.

22.

(1)

求導數(shù)得r(工)=-加(了).根據(jù)r(z)的正負知〃工)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,8)上單調(diào)遞減?

(2)

證明：令u=L.u=[化筒得u(l-in(u))=v(l-ln(u)),即/(u)=/(v),此時我們只需要證明2<u+u<

ao

e,也即2-tiVvVe—u.其中