專升本高等數(shù)學二向量代數(shù)與空間解析幾何模擬試卷2-真題(含答案與解析)-交互

專升本高等數(shù)學二（向量代數(shù)與空間解析幾何）模擬試卷2(總分54,做題時間90分鐘)1.選擇題1.

設a、b為兩個非零向量，λ為非零常數(shù)，若向量a+λb垂直于向量b，則λ等于()A

B

C

1D

a．b

該問題分值:2答案:B解析：向量a+λb垂直于向量b，則(a+λb)．b=0，則λ=．2.

設有單位向量a0，它同時與b=3i+j+4k，c=i+k垂直，則a0為()A

B

i+j—kC

D

i－j+k

該問題分值:2答案:A解析：a=c×b==i+j一k，又a0為a的單位向量，故a0=．3.

在空間直角坐標系中，若向量a與Ox軸和Oz軸的正向夾角分別為45°和60°，則向量a與Oy軸正向夾角為()A

30°B

45°C

60°D

60°或120°

該問題分值:2答案:D解析：由cos2α+cos2β+cos2γ=1，且cosα=，所以向量a與Oy軸正向夾角為60°或120°．4.

若兩個非零向量a與b滿足｜a+b｜=｜a｜+｜b｜，則()A

a與b平行B

a與b垂直C

a與b平行且同向D

a與b平行且反向

該問題分值:2答案:C解析：｜a｜+｜b｜=｜a+b｜，(｜a｜+｜b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜=(｜a+b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2ab=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜cos〈a，b〉，即cos〈a，b〉=1，故兩向量平行，若二者反向則｜a｜+｜b｜＞｜a+b｜．不滿足條件，故兩向量平行且同向．5.

直線()A

過原點且與y軸垂直B

不過原點但與y軸垂直C

過原點且與y軸平行D

不過原點但與y軸平行

該問題分值:2答案:A解析：若直線方程為，令比例系數(shù)為t，則直線可化為本題x0=y0=z0=0說明直線過原點，又β=0，則y=0，即此直線在平面xOz內，即垂直于y軸，故選A．6.

平面2x+3y+4z+4=0與平面2x－3y+4z－4=0的位置關系是()A

相交且垂直B

相交但不重合，不垂直C

平行D

重合

該問題分值:2答案:B解析：2×2－3×3＋4×4=11，且兩平面的法向量的對應分量不成比例，故兩平面的位置關系是相交，但不垂直，不重合．7.

已知三平面的方程分別為π1：x－5y+2z+1=0，π2：3x－2y+3z+1=0，π3：4x+2y+3z－9=0，則必有()A

π1與π2平行B

π1與π2垂直C

π2與π3平行D

π1與π3垂直

該問題分值:2答案:D解析：三個平面的法向量分別為n1=｛1，一5，2｝，n2=｛3，一2，3｝，n3=｛4，2，3｝，n1．n2=19，n2．n3=17，n1．n3=0，故π1與π3垂直．8.

平面π1：x－4y+z－2=0和平面π2：2x－2y－z－5=0的夾角為()A

B

C

D

該問題分值:2答案:B解析：平面π1的法向量，n1=｛1，一4，1｝，平面π2的法向量n2=｛2，一2，一1｝，cos〈n1，n2〉=，故〈n1，n2〉=，故選B．9.

設球面方程為(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=4，則該球的球心坐標與半徑分別為()A

(一1，2，一3)，2B

(一1，2，一3)，4C

(1，一2，3)，2D

(1，一2，3)，4

該問題分值:2答案:C解析：(x－1)2+[y一(一2)]2＋(z－3)2=22，所以，該球的球心坐標與半徑分別為(1，一2，3)，2．10.

方程一=z在空間解析幾何中表示()A

雙曲拋物面B

雙葉雙曲面C

單葉雙曲面D

旋轉拋物面

該問題分值:2答案:A解析：方程一=z滿足雙曲拋物面=z(p和q同號)的形式，故方程=z在空間解析幾何中表示雙曲拋物面．11.

方程(z－a)2=x2+y2表示()A

xOz面內曲線(z－a)2=x2繞y軸旋轉而成B

xOz面內直線z－a=x繞z軸旋轉而成C

yOz面內直線z－a=y繞y軸旋轉而成D

yOz面內曲線(z－a)2=y2繞x軸旋轉而成

該問題分值:2答案:B解析：方程(z－a)2=x2+y2形式表示旋轉后的曲面方程形式是h(z，)=0，其是xOz面上的曲線z－a=x繞z軸旋轉得到的曲面方程，故選B．12.

下列方程在空間直角坐標系中所表示的圖形為柱面的是()A

=y2B

z2—1=C

D

x2＋y2一2x=0

該問題分值:2答案:D解析：A項表示的是正錐面，B項表示的是單葉雙曲面，C項表示的是橢球面，D項可寫為(x－1)2+y2=1，其圖形為圓柱面，故選D．2.填空題1.

向量a=3i+4j－k的模｜a｜=________．

該問題分值:2答案:正確答案：解析：｜a｜=．2.

在空間直角坐標系中，以點A(0，一4，1)，B(一1，一3，1)，C(2，一4，0)為頂點的△ABC的面積為________．

該問題分值:2答案:正確答案：解析：3.

(a×b)2＋(a．b)2=________．

該問題分值:2答案:正確答案：a2．b2解析：(a×b)2=｜a｜2｜b｜2sin2θ，(a．b)2=｜a｜2｜b｜2cos2θ，θ=〈a，b〉，(a×b)2+(a．b)2=｜a｜2｜b｜2=a2．b2．4.

過點P(4，1，一1)且與點P和原點的連線垂直的平面方程為_________．

該問題分值:2答案:正確答案：4z+y—z－18=0解析：由點P與原點的連線和所求平面垂直，因此就是平面的法向量．所以n=={4，1，一1}，平面又過點P，所以由點法式得平面的方程為4(x－4)+(y－1)－(z+1)=0，即4x+y一2—18=0．5.

通過Oz軸，且與已知平面π：2x+y一－7=0垂直的平面方程為________．

該問題分值:2答案:正確答案：x一2y=0解析：過Oz軸的平面方程可設為Ax+By=0(A，B不全為零)，則法向量n=｛A，B，0｝，因為所求平面與已知平面垂直，又已知平面法向量為｛2，1，｝，故可知2A+B=0，即B=一2A，因此，所求平面方程為x一2y=0．6.

直線=z與平面x+2y+2z=5的交點坐標是________．

該問題分值:2答案:正確答案：(1，1，1)解析：設=z=t，則交點Q(3t一2，一2t+3，t)，又點Q∈平面π，即3t－2＋2(－2t+3)+2t=5，解得t=1，故交點為Q(1，1，1)．7.

點P(3，7，5)關于平面π：2x一6y+3z+42=0對稱的點P'的坐標為________．

該問題分值:2答案:正確答案：解析：過點P(3，7，5)且垂直于平面π：2x一6y+3z+42=0的直線方程可寫為，設點P'的坐標為(2t+3，一6t+7，3t+5)，故PP'的中點坐標為(t+3，一3t+7，+5)，且該點在平面內，即2(t+3)一6(一3t+7)+3(+5)+42=0，解得t=一，故P'=．3.解答題1.

求垂直于向量a=｛2，2，1｝與b=｛4，5，3｝的單位向量．

該問題分值:2答案:

正確答案：由向量積的定義可知，向量c=a×b是既垂直于向量a，又垂直于向量b的向量，因此為所求單位向量．由于c==i一2j+2k，因此為所求單位向量．2.

若｜a｜=3，｜b｜=4，且向量a、b垂直，求｜(a+b)×(a一b)｜．

該問題分值:2答案:

正確答案：因為(a+b)×(a－b)=一a×b＋b×a=2b×a，所以｜(a+b)×(a－b)｜=2｜b｜｜a｜sin〈a，b〉=24．3.

設平面π通過點M(2，3，一5)，且與已知平面x—y+z=1垂直，又與直線平行，求平面π的方程．

該問題分值:2答案:

正確答案：用一般式求之．設平面π的方程為Ax+By+Cz+D=0，則從而，平面π的方程為x一2y一3z=11．4.

求過點A(－1，0，4)且平行于平面π：3x一4y＋z－10=0，又與直線L0：相交的直線方程．

該問題分值:2答案:

正確答案：用兩點式求之．過點A(－1，0，4)與已知平面π：3x一4y+z一10=0平行的平面π1的方程為3(x+1)一4y+(z一4)=0，將直線L0的方程化為參數(shù)式并代入π1中，求得t=16．于是直線L0與平面π1的交點B為B(15，19，32)，=｛16，19，28｝，所求直線方程為．5.

求直線與平面x—y+z=0的夾角．

該問題分值:2答案:

正確答案：因為直線的方向向量為s=｛2，3，2｝，平面的法向量為n=｛1，一1，1｝，所以直線與平面的夾角φ的正弦為sinφ=．所以φ=arcsin．6.

求過點(2，1，1)，平行于直線且垂直于平面x+2y一3z+5=0的平面方程．

該問題分值:2答案:

正確答案：直線的方向向量為s=｛3，2，一1｝，平面的法向量為n1=｛1，2，一3｝，s×n1==一4i+8j+4k，于是所求平面方程為(x一2)一2(y一1)－(z－1)=0，即x一2y－z+1=0．7.

求點(一1，2，0)在平面x+2y－z+1=0的投影點坐標．

該問題分值:2答案:

正確答案：過點(一1，2，0)且與平面x+2y－z+1=0垂直的直線方程為，所以設該垂線與平面x+2y—z+1=0的交點為Q(t一1，2t+2，一t)，即點Q就是點(一1，2，0)在平面π：x+2y－z+1=0上的投影點，由點Q∈π，將Q(t一1，2t+2，一t)代入到平面方程中可得t－1+2(2t+2)＋t＋1=0，解之得t