2020-2021學(xué)年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)圓的三大定理：垂徑定理(含答案)

/一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)圓的三大定理：垂徑定理一．選擇題1．如圖所示，在半徑為10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A為圓心AB為半徑作圓A，延長(zhǎng)BC交圓A于點(diǎn)D，則CD長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C． D．23．如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是（）A． B．3 C．3 D．44．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，且AE＝CD＝8，∠BAC＝∠BOD，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．4 D．35．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD＝8，OP＝3，則⊙O的半徑為（）A．10 B．8 C．5 D．36．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)EC．若AB＝8，CD＝2，則EC的長(zhǎng)為（）A．2 B．8 C．2 D．27．如圖，將⊙O沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O．如果半徑為4，那么⊙O的弦AB長(zhǎng)度為（）A．2 B．4 C．2 D．48．如圖，點(diǎn)C是半圓O的中點(diǎn)，AB是直徑，CF⊥弦AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，若CE＝1，EF＝，則BF的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．9．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．6 D．10．如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，分別以AC，BC為邊向外作正方形ACDE，BCFG，DE，F(xiàn)G，AC，BC的中點(diǎn)分別是M，N，PQ若MP+NQ＝12，AC+BC＝18，則AB的長(zhǎng)為（）A．9 B． C．11 D．15二．填空題11．若過(guò)⊙O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦為10，最短弦為6，則OM的長(zhǎng)為．12．已知⊙O的半徑為13，弦AB＝24，CD＝10，且AB∥CD，則弦AB與CD之間的距離為．13．如圖AB是⊙O的直徑，弦CD⊥OB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，則AE＝cm．14．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，弦PQ∥AB交弦CD于點(diǎn)M，BE＝18，CD＝PQ＝24，則OM的長(zhǎng)為．15．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數(shù)y＝x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為，則a的值是．三．解答題16．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是半圓上兩點(diǎn)，且AC＝CD＝DB，AB＝10cm（1）求AC的長(zhǎng)度；（2）證明CD∥AB．17．如圖，已知BC是⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點(diǎn)H，與弦BF交于點(diǎn)E，AD＝8，BH＝2．（1）求⊙O的半徑；（2）若∠EAB＝∠EBA，求證：BF＝2AH．18．如圖①，已知點(diǎn)O是∠EPF的平分線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心的圓與角兩邊分別交于A，B和C，D四點(diǎn)．（1）求證：AB＝CD；（2）若角的頂點(diǎn)P在圓上，如圖②，其他條件不變，結(jié)論成立嗎？（3）若角的頂點(diǎn)P在圓內(nèi)，如圖③，其他條件不變，結(jié)論成立嗎？19．如圖，直線l：y＝x，點(diǎn)A1坐標(biāo)為（1，0），過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)B1，以原點(diǎn)O為圓心，OB1為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A2；再過(guò)點(diǎn)A2作x的垂線交直線l于點(diǎn)B2，以原點(diǎn)O為圓心，OB2長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A3，…，按此做法進(jìn)行下去．求：（1）點(diǎn)B1的坐標(biāo)和∠A1OB1的度數(shù)；（2）弦A4B3的弦心距的長(zhǎng)度．20．如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD經(jīng)過(guò)圓心O的線段EF⊥AB于點(diǎn)F，與CD交于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)⊙O半徑為5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)⊙O半徑為，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的長(zhǎng)．

參考答案一．選擇題1．解：連接OA，如圖：∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴AC＝AB＝8cm，在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），故選：D．2．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，連接AD，∴AD＝AB＝5，根據(jù)垂徑定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根據(jù)勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故選：C．3．解：連接OD，交AC于F，∵D是的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故選：D．4．解：∵∠BAC＝∠BOD，∴＝，∴AB⊥CD，∵AE＝CD＝8，∴DE＝CD＝4，設(shè)OD＝r，則OE＝AE﹣r＝8﹣r，在Rt△ODE中，OD＝r，DE＝4，OE＝8﹣r，∵OD2＝DE2+OE2，即r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5．故選：B．5．解：連接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5．故選：C．6．解：∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，AB＝8，∴AC＝AB＝4，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r﹣2，∴OA2＝AC2+OC2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，連接BE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2．故選：D．7．解：如圖；過(guò)O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，連接OA；則AD＝BD，由折疊的性質(zhì)得：OD＝CD，在Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4；根據(jù)勾股定理得：AD＝＝＝2，∴AB＝2AD＝4；故選：D．8．解：如圖，連接AC，BC，OC，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于H，設(shè)OC交AD于J．∵＝，∴AC＝BC，OC⊥AB，∵AB是直徑，∴ACB＝90°，∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠CAJ＝∠BCF，∴△CAJ≌△BCF（ASA），∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，∵OC＝OB，∴OJ＝OF，設(shè)BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y(tǒng)，∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴EC＝BH＝1，∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，∴△CEJ∽△COF，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，∴△BHF≌△CEJ（AAS），∴FH＝EJ＝，∵AE∥BH，∴＝，∴＝，整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，解得x＝y(tǒng)或x＝﹣y（舍棄），∴y＝2x，∴＝，解得x＝或﹣（舍棄）．∴BF＝，故選：A．9．解：設(shè)AB與CD交于H，連接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故選：A．10．解：連接OP，OQ，∵DE，F(xiàn)G，，的中點(diǎn)分別是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中點(diǎn)，∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，∵M(jìn)H+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝12，∴PH+QI＝18﹣12＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+6＝15，故選：D．二．填空題（共5小題）11．解：由已知可知，最長(zhǎng)的弦是過(guò)M的直徑AB，最短的是垂直平分直徑的弦CD，已知AB＝10，CD＝6，則OD＝5，MD＝3，由勾股定理得OM＝4．故答案為：4．12．解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝12﹣5＝7；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖2，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF+OE＝17．∴AB與CD之間的距離為7或17．故答案為7或17．13．解：∵CD⊥OB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝3，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故答案為8．14．解：作OF⊥PQ于F，連接OP，∴PF＝PQ＝12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四邊形MEOF為矩形，∵CD＝PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE＝OF，∴四邊形MEOF為正方形，設(shè)半徑為x，則OF＝OE＝18﹣x，在直角△OPF中，x2＝122+（18﹣x）2，解得x＝13，則MF＝OF＝OE＝5，∴OM＝5．故答案為：5．15．解：過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過(guò)P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．∵AB＝2，∴AE＝，PA＝2，∴PE＝1．∵點(diǎn)D在直線y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∴PD＝．∵⊙P的圓心是（2，a），∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD+DC＝2+．故答案為：2+．三．解答題（共5小題）16．解：（1）連接OC，OD，∵AB為⊙O的直徑，AB＝10cm，∴OA＝OB＝5cm．∵AC＝CD＝DB，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴OA＝AC＝5cm；（2）∵由（1）知∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC、△COD與△BOD均是等邊三角形，∴∠A+∠ACD＝180°，∴CD∥AB．17．（1）解：連結(jié)OA交BF于G，如圖，⊙O的半徑為r，∵AD⊥OB，∴AH＝DH＝4，在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，即⊙O的半徑為5；（2）證明：連結(jié)CF，如圖，∵AD⊥OB，∴弧AB＝弧DB，∵∠EAB＝∠EBA，∴弧BD＝弧AF，∴弧AB＝弧AF，∴OA⊥BG，∴BG＝FG，∴∠OAH＝∠OBG，在△OAH和△OBG中，，∴△OAH≌△OBG（AAS），∴AH＝BG，∴BF＝2AH．18．解：（1）相等．如圖：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，連接OA，OC，OB，OD．AG＝BG，CH＝DH，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH．在Rt△OBG和Rt△ODH中，由HL定理得：△OBG≌△ODH，∴GB＝HD，∴AB＝CD；（2）點(diǎn)P在圓上，結(jié)論成立：頂點(diǎn)P在圓上，此時(shí)點(diǎn)P，A，C重合于點(diǎn)A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴AG＝GB，AH＝HD，∵∠EAO＝∠DAO，∴OG＝OH．在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，∴AG＝AH，∴AB＝AD．即點(diǎn)P在圓上，結(jié)論成立．（3）頂點(diǎn)P在圓內(nèi)，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，則AG＝GB，CH＝HD，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH，∴GB＝HD，∴AB＝CD．即點(diǎn)P在圓內(nèi)，結(jié)論成立．19．解：（1）∵直線的解析式y(tǒng)＝x，∴tan∠A1OB1＝＝，∴∠A1OB1＝60°，OA1＝1，∴A1B1＝，OA2＝OB1＝2，∴B1（1，）．（2）連接A4B3，作OH⊥A4B3于H．由題意OA1＝1，OA2＝2，OA3＝4，OA4＝8，∵OA4＝OB3，OH⊥A4B3，∴∠A4OH＝∠A4OB3＝30°，∴OH＝OA4?cos30°＝8×＝4．20．解：（1）如圖1中，連接OB，OC．設(shè)BF＝EF＝x，OF＝y(tǒng)．∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠CEF＝∠BFO＝90°∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根據(jù)勾股定