廣西來賓市2021年中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2021年廣西來賓市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共36分）

1.下列各數(shù)是有理數(shù)的是（）

A.乃B.V2C.%D.0

【答案】D

【解析】

【分析】利用有理數(shù)和無理數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】解：四個選項的數(shù)中：乃，逝，孫是無理數(shù)，0是有理數(shù)，

故選項D符合題意.

故選：D.

【點睛】此題考查了實數(shù)，熟練掌握有理數(shù)與無理數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.如圖是一個幾何體的主視圖，則該幾何體是（）

【答案】C

【解析】

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到圖形.依題意，由幾何體

的主視圖即可判斷該幾何體的形狀.

【詳解】解：由該幾何體的主視圖可知，該幾何體是選項C中的圖形.

故選：C.

【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時也考查了空

間想象能力.

3.如圖，小明從A入口進(jìn)入博物館參觀，參觀后可從B,C,O三個出口走出，他恰好從C出口走出的

概率是（）

【答案】B

【解析】

［分析］此題根據(jù)事件的三種可能性即可確定答案

【詳解】當(dāng)從A口進(jìn)，出來時有三種可能性即：B,C,D；恰好從C口走出的可能性占總的,，故概率為

3

3：

故答案選：B；

【點睛】此題考查事件的可能性，根據(jù)事件發(fā)生的所有可能確定概率即可.

4.我國天問一號火星探測器于2021年5月15日成功著陸火星表面.經(jīng)測算，地球跟火星最遠(yuǎn)距離

400000000千米，其中400000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4x109B.40xl07C.4xl08D.0.4xlO9

【答案】C

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“XI"的形式，其中"為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：將400000000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為：4xl08.

故選：C.

【點睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的基本要求并正確確定4及〃的值是解題的關(guān)鍵.

5.如圖是某市一天的氣溫隨時間變化的情況，下列說法正確的是（）

A.這一天最低溫度是-4℃B.這一天12時溫度最高C.最高溫比最低溫高8CD.0時至8時氣溫呈下降

趨勢

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)氣溫變化圖逐項進(jìn)行判斷即可求解.

【詳解】解：A.這一天最低溫度是一TC,原選項判斷正確，符合題意；

B.這一天14時溫度最高，原選項判斷錯誤，不合題意；

C.這一天最高氣溫8℃,最低氣溫-4℃,最高溫比最低溫高12℃,原選項判斷錯誤，不合題意；

D.0時至8時氣溫呈先下降在上升趨勢，原選項判斷錯誤，不合題意.

故選：A

【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象讀取信息，理解氣溫隨時間變化而變化并從中讀取信息是解題關(guān)鍵.

6.下列運(yùn)算正確的是()

A.cT-o'-a5B.a6-^cTC.(/)=a5D.3a2—2a—a1

【答案】A

【解析】

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)'幕的乘法、同底數(shù)暴的除法、塞的乘方、整式的加減法則進(jìn)行計算，即可求解.

【詳解】解：A././=a5,原選項計算正確，符合題意；

B.原選項計算錯誤，不合題意；

C.(/丫=。6,原選項計算錯誤，不合題意；

D.3a2一2a，不是同類項，無法相減，原選項計算錯誤，不合題意.

故選：A

【點睛】本題考查了同底數(shù)事的乘法、同底數(shù)基的除法、募的乘方、整式的加減等知識，熟知相關(guān)運(yùn)算公

式和法則是解題關(guān)鍵.

7.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與點尸(3,4)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是()

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)特點：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，可以直接得

到答案.

【詳解】解：：P（3,4）,

關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)是（-3,-4）,

故選B.

【點睛】此題主要考查了原點對稱的點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握坐標(biāo)的變化規(guī)律：兩個點關(guān)于原點對稱時,

它們的坐標(biāo)符號相反.

8.如圖，。。的半徑為4，OC_L4B于點。，NB4C=30°，則。。的長是（）

A.V2B.6C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理求出NCOB的度數(shù)，再求出NOBO的度數(shù)，根據(jù)“30°的銳角所對的直角邊等于

斜邊的一半”求出0。的長度.

【詳解】：ZBAC=30°,

NCOB=60。,

,：N008=90。，

：.ZOBD=30°,

；OB=4,

OD=—OB=—x4=2.

22

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.一次函數(shù)y=2x+l的圖像不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的系數(shù)判斷出函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限，由k=2>0,b=l>0可知，一次函數(shù)y=2x+l

的圖象過一、二、三象限.另外此題還可以通過直接畫函數(shù)圖象來解答.

【詳解】：k=2>0,b=l>0,

根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可判斷該函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限.

故選D.

【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解決此類題目的關(guān)鍵是確定k、b的正負(fù).

10.《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車,

九人步.問：人與車各幾何？譯文：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行.問:

人與車各多少？設(shè)有x輛車，人數(shù)為根據(jù)題意可列方程組為（）

y=3x—2B[I—y=3x-2D.i-2)

A.<

y-2x+9y=2x+9y=2x-9y-2x—9

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)有x輛車，人數(shù)為根據(jù)“如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果每2人坐一輛車，那

么有9人需要步行”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，此題得解.

【詳解】解：設(shè)有X輛車，人數(shù)為y人，依題意得：

y=3（x-2）

y=2x+9'

故選：B.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次

方程組是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，矩形紙片ABC。，AD:AB=^:1，點、E，尸分別在AO,8C上，把紙片如圖沿EF折疊,

EF

點A,B的對應(yīng)點分別為A',B',連接A4'并延長交線段8于點G,則「的值為（）

AG

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)則可得出"是AA'的垂直平分線，則由直角三角形性質(zhì)及矩形性質(zhì)可得

ZAEO=ZAGDfNFHE=/D=90：根據(jù)相似三角形判定推出△E/77s/\GA。，再利用矩形判定及性質(zhì)

證得777=43,即可求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，過點尸作/7/L4Q于點H,

AEA=EA,FB=FR，

???所是A4'的垂直平分線.

AZAOE=90°.

???四邊形ABC。是矩形,

：?NBAD=NB=ND=90°.

JZOAE+ZAEO=ZOAE+NAGO,

???ZAEO=ZAGD.

9

：FH±ADf

：.ZFHE=Z￡>=90°.

：./\EFH^/\GAD,

.EF_FH

"~AG~~AD'

VZAHF=ZBAD=ZB=90°,

四邊形AB/汨是矩形.

：.FH=AB.

.EFFHAB_\

,,AG-A￡>—A￡>一&12：

故選：A.

【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)、矩形及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

a,a>b

12.定義一種運(yùn)算：a*b=\t,,則不等式(2x+l)*(2-x)>3的解集是()

b,a<b

A.x>l或x<—B,-1<x<—C.尤>1或x<—1D.或x<—l

333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算規(guī)則，分別從2%+122—x和2x+l<2—x兩種情況列出關(guān)于x的不等式，求解

后即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意得，當(dāng)2X+122—X時，

即xN—時，(2x+l)*(2-x)=2x+l,

3

則2x+l>3,

解得x>1,

此時原不等式的解集為X>1;

當(dāng)2x+l<2-x時，

即時，(2x+l)*(2-x)=2-x,

3

則2-x>3,

解得x<-l,

此時原不等式的解集為x<-l；

綜上所述，不等式(2x+1)*(2-x)〉3的解集是X>1或X<-1.

故選：C.

【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運(yùn)算規(guī)則列出關(guān)于x的不等式.

二、填空題(本大題共6小題，共18分)

13.要使分式一二有意義，則x的取值范圍是

【答案】#2

【解析】

【分析】分式有意義，則分母x-2和，由此易求x的取值范圍.

【詳解】解：當(dāng)分母x-2加，即/2時，分式」一有意義.

x-2

故答案為：/2.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件.從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義=分母為

零；（2）分式有意義o分母不為零：（3）分式值為零0分子為零且分母不為零.

14.分解因式：a2-4b2=.

【答案】（。+如（a-勖）

【解析】

【分析】利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：/-4/=/_（2與2=（“+4）（。一2與.

故答案為（a+3）（a-?）.

【點睛】本題考查了因式分解.熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，從樓頂A處看樓下荷塘C處的俯角為45°,看樓下荷塘。處的俯角為60。，已知樓高A8為30

米，則荷塘的寬CO為米.（結(jié)果保留根號）

【答案】30-10百

【解析】

【分析】由三角函數(shù)分別求出8C、BD,即可得出C。的長.

【詳解】解：由題意知：/54。=90。-45。=45。，△ABC是直角三角形,

Be

在心ZkABC中，tanZBAC=——,48二30米，

AB

BC=AB?tan45°=30米，

BD

；NBAD=90°-60°=30°,tanZBAD——，

AB

.*.BO=AB?tan30°=30x—=l（）G（米），

3

：.CD=BC-BD=3O-iOy/3（米）；

故答案為：30-106.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，由三角函數(shù)求出BC和BO是解決問題的關(guān)鍵解題的關(guān)鍵.

16.為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立1（）（）周年，某校舉行“黨在我心中”演講比賽，評委將從演講內(nèi)容，演講能力,

演講效果三個方面給選手打分，各項成績均按百分制計，然后再按演講內(nèi)容占50%,演講能力占40%,演

講效果占10%,計算選手的綜合成績（百分制）.小婷的三項成績依次是84,95,90,她的綜合成績是

【答案】89

【解析】

［分析］根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算可得.

【詳解】解：選手甲的綜合成績?yōu)?4x50%+95x40%+90xl0%=89（分），

故答案為：89分.

【點睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義.

17.如圖，從一塊邊長為2，NA=120°的菱形鐵片上剪出一個扇形，這個扇形在以A為圓心的圓上（陰

影部分），且圓弧與8C,CO分別相切于點E,F，將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則圓錐的底面圓半徑

是.

120°

BD

【答案】皇

3

【解析】

【分析】先利用菱形的性質(zhì)得到含30°角的直角三角形，再利用勾股定理求出力￡最后利用弧長公式求出

弧長，弧長即為圓錐底面圓的周長，再利用周長公式即可求半徑.

【詳解】解：如圖，連接力￡由切線性質(zhì)可知:AELBC,即N/￡?=90°；

?.?菱形鐵片上工84。=120。，

..g180。-120。=60。，

:.zBAE=30°,

:.AB=2BE=2,

-AB2=BE2+AE2

：.AE=B

聲也的4t120x6兀2A/3

.,.扇形的弧長為：--------=—^—Tt,

1803

25/3

所以圓錐底面圓半徑為：亍兀=6,

2兀一3

故答案為：.

3

//120°

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、弧長公式等內(nèi)容，解決本題的

關(guān)鍵是牢記相關(guān)性質(zhì)與公式，本題需要學(xué)生理解扇形與圓錐的關(guān)系，蘊(yùn)含了一定的空間想象思維，涉及到

了數(shù)形結(jié)合等思想方法.

18.如圖，已知點A(3,0),8(1,0),兩點C(—3,9),0(2,4)在拋物線y=/上，向左或向右平移拋物線

后，C，。的對應(yīng)點分別為C',以，當(dāng)四邊形ABC'。'的周長最小時，拋物線的解析式為.

【答案】

I13J

【解析】

【分析】先通過平移和軸對稱得到當(dāng)B、E、。三點共線時，BC'+BE的值最小，再通過設(shè)直線BC'的解

析式并將三點坐標(biāo)代入，當(dāng)時，求出。的值，最后將四邊形周長與。=4時的周長進(jìn)行比較，確定a

的最終取值，即可得到平移后的拋物線的解析式.

【詳解】解：：A(3,0),8(1,0),C(—3,9),D(2,4),

AB=3-1=2,CD=^(-3-2)2+(9-4)2=572,

由平移的性質(zhì)可知：C'D'=CD=5叵,

四邊形ABC'。'的周長為A8+8C'+C'O'+￡＞'A=2+BC'+5&+Q'A；

要使其周長最小，則應(yīng)使8C'+。'A的值最小；

設(shè)拋物線平移了。個單位，當(dāng)。＞0時，拋物線向右平移，當(dāng)。＜0時，拋物線向左平移；

C(-3+a⑼，D'(2+a,4),

將。響左平移2個單位得到。"(a,4),則由平移的性質(zhì)可知：BD"=AD'，

將。"(a,4)關(guān)于x軸的對稱點記為點E,則七(a,~4),由軸對稱性質(zhì)可知，BD"=BE,

/.BC'+D'A=BC'+BE,

當(dāng)8、E、。三點共線時，BC'+BE的值最小,

設(shè)直線BC'的解析式為：y=kx+h(k^Q),

.（-3+a）A+。=9

..k+b=O

當(dāng)時，

.<a-4

b-

4-Q

,99

..y=----x-\------,

。一44一。

99

將E點坐標(biāo)代入解析式可得：-4=——a+--,

a-44-a

25

解得：a=—>

13

此時BC'+BE=C'E=J（-3+a-a『+（9+4）2=V178，

此時四邊形ABC'。'的周長為A8+5。'+。。'+O'A=2+5夜+J或；

當(dāng)a=4時，C'（l,9）,。'（6,4）,A（3,0）,8（1,0）,

此時四邊形ABCD'的周長為：

AB+BC'+C'￡>'+D'Z4=2+（9-0）+5V2+^（6-3）2+（4-0）2=16+572：

V2+572+V178<16+5V2,

，當(dāng)Q=——時,其周長最小，

13

25

所以拋物線向右平移了一個單位，

13

所以其解析式為：得）；

（25V

故答案為：y=%--.

?I13j

【點睛】本題綜合考查了平移、軸對稱、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、拋物線的解析式等內(nèi)容，解決本題

的關(guān)鍵是理解并確定什么情況下該四邊形的周長最短，本題所需綜合性思維較強(qiáng)，對學(xué)生的綜合分析和計

算能力要求都較高，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法等.

三、解答題（本大題共8小題，共66分）

19.計算：23xf-1+lL(l-3).

【答案】-2

【解析】

【分析】先分別計算出有理數(shù)的乘方及括號內(nèi)的有理數(shù)加減，再計算乘除，即可求得結(jié)果.

【詳解】解：23x[-[+1)+(1—3)

=8xg+(-2)

=4+(—2)

【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序及相關(guān)運(yùn)算法則是解答此題

的關(guān)鍵.

xX

20.解分式方程：——=----+1.

x+13x+3

【答案】x=—3

【解析】

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解.

XX

【詳解】解：——=-----+1

x+13x+3

去分母，得3x=x+3(x+l),

解此方程，得x=—3,

經(jīng)檢驗，x=—3是原分式方程的根.

【點睛】本題考查了解分式方程，解分式方程的關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，不要忘記檢驗.

21.如圖，四邊形ABCO中，AB//CD,N8=N￡）,連接AC.

（1）求證：△ABC也△CD4；

（2）尺規(guī)作圖：過點。作A8的垂線，垂足為E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；

（3）在（2）的條件下，已知四邊形ABCD的面積為20,48=5,求CE的長.

【答案】（1）證明見詳解；（2）作圖見詳解；（3）CE=4.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)AB〃C。，得到結(jié)合NB=ND，AC^CA,利用“A4S”即可證明；

（2）如圖，延長AB,任意取一點”，使，和點C在AB兩側(cè)，以C為圓心，C”為半徑畫弧，交AB于尸、

G,分別以F、G為圓心，以大于gFG長為半徑畫弧，兩弧交于1,作直線C/,交AB延長線于E,則CDA.AB

與民

（3）證明四邊形4BCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形面積公式即可求解.

【詳解】解：（I）AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA,

又,：ZB=AD，AC=CA,

：.AABC^ACDA；

（2）如圖，延長A8,任意取一點H,使”和點C在AB兩側(cè)，以C為圓心，C”為半徑畫弧，交AB于尸、

G,分別以RG為圓心，以大于3■尸G長為半徑畫弧，兩弧交于/,作直線C/,交AB延長線于E,則CD±AB

與E；

(3)-.,△ABC^ACZM,

：.AB=CD,

?/AB//CD,

四邊形ABC。為平行四邊形，

AB*CE=20,

即5CE=20,

：.CE=4.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，過直線外一點作已知直線的垂線等知

識，綜合性較強(qiáng)，熟知相關(guān)知識點，并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

22.某水果公司以10元/kg的成本價新進(jìn)2000箱荔枝，每箱質(zhì)量5kg,在出售荔枝前，需要去掉損壞的荔

枝，現(xiàn)隨機(jī)抽取20箱，去掉損壞荔枝后稱得每箱的質(zhì)量(單位：kg)如下：

4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.7

4.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0

整理數(shù)據(jù)：分析數(shù)據(jù)：

質(zhì)量(kg)4.54.64.74.84.95.0平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

數(shù)量(箱)217a314.75bC

(1)直接寫出上述表格中。，b,c的值；

(2)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都能反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢，請根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)分析的結(jié)果，任意選擇其

中一個統(tǒng)計量，估算這2000箱荔枝共損壞了多少千克？

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)果，求該公司銷售這批荔枝每千克定為多少元才不虧本？(結(jié)果保留一位小數(shù))

【答案】(1)a=6,b=4.7,c=4.75；(2)500kg；(3)10.5元.

【解析】

【分析】(1)用20減去各數(shù)據(jù)的頻數(shù)即可求出“，根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的意義即可求出仇c；

(2)選用平均數(shù)進(jìn)行估算，用每箱損壞數(shù)量乘以2000即可求解；

(3)用購買總費用除以沒有損壞的總數(shù)量即可求出解.

【詳解】解：(1)0=20-2-1-7-3-1=6；

在這20個數(shù)據(jù)中，4.7頻數(shù)最大，所以眾數(shù)6=4.7；

47+48

將這20個數(shù)據(jù)排序，第10、11個數(shù)據(jù)分別為4.7、4.8,所以中位數(shù)c=———-=4.75；

2

(2)選用平均數(shù)進(jìn)行估算,(5-4.75)X2000=500kg,

答：選用平均數(shù)進(jìn)行估算，這2000箱荔枝共損壞了500千克；

(3)(10X2000X5)4-(4.75X2000)^10.5元

答：該公司銷售這批荔枝每千克定為10.5元才不虧本.

【點睛】本題考查用眾數(shù)、中位數(shù)、用樣本估計總體等知識，熟知相關(guān)概念并理解題意是解題關(guān)鍵.

23.【閱讀理解】如圖1,〃/4，AA6c的面積與△O8C的面積相等嗎？為什么？

解：相等，在AA6c和△03C中，分別作DFLl2,垂足分別為E，F(xiàn).

：.ZAEF=ZDFC=90°,

AE//DF.

Q/.//4，

四邊形AEFZ）是平行四邊形，

:.AE=DF.

又SyABC='BCAE,S^DBC=—BC?DF,

,,S^ABC=S^DBC?

【類比探究】問題①，如圖2,在正方形ABCO的右側(cè)作等腰△CD￡,CE=DE,4)=4,連接AE,

求AAZJE的面積.

AD

解：過點E作跖_L8于點F，連接A尸.

請將余下的求解步驟補(bǔ)充完整.

【拓展應(yīng)用】問題②，如圖3,在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEPG,點8,C,E在同一直線上，AD=4,

連接BD，BF,DF，直接寫出ABZ）廠的面積.

【答案】①SAAOE=4；②S.BDF=8.

【解析】

【分析】①過點E作麻，C￡）于點尸，連接A尸，可得呼'//">,根據(jù)材料可知S,DE=S.ADF,再由

等腰三角形性質(zhì)可知DF=^CD,即可求出S^ADF.

②連接CE,證明8D//CE,即可得S,B/?=S）Dc，由此即可求解.

【詳解】解：①過點E作MJ_CD于點/，連接AE，

?.?在正方形ABC。中，ZADC=90°,

：.EF//AD,

???^q^ADE_一乙q4。尸，

VCE=DE,EFLCD,

：.DF=-CD,

2

???在正方形ABCD中，AD=CD=4,

SMDE=SAADFH]AOXDF=/X4X2=4；

②SABDF=8>

過程如下:如解圖3,連接CE,

;在正方形ABC。、正方形CEFG中，

ZBDC=NFCE=45。,

：.CF//BD,

,??°qdBDF-_aq^BDC，

?.?在正方形ABC。中，AD=BC=CD=4,/BCD=90。,

??S/DF=S-BDC=8-

【點睛】本題主要考查了正方形性質(zhì)和平行線判定和性質(zhì)以及三角形面積，解題關(guān)鍵是理解閱讀材料，根

據(jù)平行線找到等底等高的三角形.

24.2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運(yùn)動的極大熱情.如圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示

意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為>軸，建立平面直角坐標(biāo)系.圖中的

拋物線C1:>=--x2+-X+1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運(yùn)動員從點。正上方4米處的A點

'-126

1,

滑出，滑出后沿一段拋物線G：>=——%+法+。.運(yùn)動.

y/米

(1)當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到離A處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線的函數(shù)解析式(不

要求寫出自變量x的取值范圍)；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動水平線的水平距離為多少米時，運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為1米？

(3)當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求人的取值范圍.

1335

【答案】(1)y—x~H—x+4；(2)12米；(3)bN—.

8224

【解析】

1,

【分析】(1)根據(jù)題意可知：點A(0,4)點B(4,8),利用待定系數(shù)法代入拋物線。2：丁=一一%+版+c

8

即可求解；

(2)高度差為1米可得G-C1=l可得方程，由此即可求解；

(3)由拋物線C|：y=--!-x2+工x+l可知坡頂坐標(biāo)為(7,如)，此時即當(dāng)x=7時，運(yùn)動員運(yùn)動到坡頂

12612

正上方，若與坡頂距離超過3米，即y=-，X72+70+CN旦+3,由此即可求出b的取值范圍.

-812

1,

【詳解】解：(1)根據(jù)題意可知：點A(0,4),點B(4,8)代入拋物線C,：y=——V+bx+c得，

28

c=4

,1O，

一一x4~+4/7+c=8

8

c=4

解得：L3，

b=—

I2

I3

二拋物線G的函數(shù)解析式丁=一6爐+彳》+4；

82

（2）???運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為1米，

,,123八/127

?.（—xH—x+4）—（---xH—x+1）=1,

82126

解得：玉=—4（不合題意，舍去），々=12，

故當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動水平線的水平距離為12米時，運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為1米；

（3）?.,點A（0,4）,

，拋物線Q：丁=一；％2+笈+4,

171）61

:拋物線C］：y=---x9—x+1=----（X—7）H，

11261212

坡頂坐標(biāo)（7,包），

12

???當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，

y=--x72+7￡>+4>—+3,

812

35

解得：b>—.

24

【點睛】本題屬二次函數(shù)應(yīng)用中的難題.解決函數(shù)應(yīng)用問題的一般步驟為：（1）審題：弄清題意，分清條件

和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系；（2）建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）

求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問題.

25.如圖①，在△ABC中，于點O,BC=14,A￡）=8,30=6點后是AO上一動點（不與

點A,。重合），在AADC內(nèi)作矩形EAG”，點尸在QC上，點G,"在AC上，設(shè)OE=x,連接破.

（1）當(dāng)矩形瓦'GH是正方形時，直接寫出EF的長；

S

（2）設(shè)AMBE的面積為5,矩形EPG”的面積為邑，令丫=在，求>關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫

出自變量X的取值范圍）;

(3)如圖②，點P(a,勿是(2)中得到的函數(shù)圖象上的任意一點，過點尸的直線/分別與x軸正半軸，>軸

正半軸交于N兩點，求AOMN面積的最小值，并說明理由.

【答案】(1)晅;⑵y=-；(3)6

3x

【解析】

【分析】(1)直接根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)及正方形性質(zhì)可以得出：EF=\AC,進(jìn)一步計算即可；

3

(2)先根據(jù)等腰直角三角形以及直角三角形得出5=-x(8-x)x6=3(8-x),

2

Bs

5,=V2x.—(8-x)=x(8—x)，代入>=含化簡即可；

2%

(3)設(shè)/：y^kx+h(k<0),則M(—2,0),N(0,?,當(dāng)AOMN面積的最小時，兩個函數(shù)圖像僅有一個

k

交點，列出AOMN面積的表達(dá)式求解即可.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意：可知獷

均為等腰直角三角形，則EF=FG^GC^HG^AH=-AC,

3

VBC=14,AD=8,BD=6,

：.DC=S,

:,AC=8叵，

.?_8>/2

,,iLr-?

3

(2)?.?四邊形EFG”為矩形，

/.EF//AC,EH±AC,

/.NEFD=NC=45。,

DE=x,

DFr-

在Rt/\DEF中，EF=-----=,

sin45°

AE-8-x>

???F/7=AEsin45°=—(8-x)，

?；S2=EF?EH,

，S2=(8-x)=x(8-尤)，

s,=LAE.BD,

12

；.5=gx(8—x)x6=3(8-x),

S.3(8-x)

?y=--=-----------

…S2x(8-x)'

??.一;

X

3

(3)由(2)得。在y=一上，

x

h

設(shè)/：y=kx+b(k<0)9則M(一一,O),N(O,b),

k

當(dāng)△OWN面積最小時，兩個函數(shù)圖像僅有一個交點，

3八

令一=kx+b,得西2+加-3二0，

x

則A=/+i2Z=o,人2=一122，

S.OMN=；OM?ON,

=；(一”

_1b2

——?,

2-k

1-12k

=—?-----,

2-k

=6.

【點睛】本題主要考查正方形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，特殊角銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)與一次函

數(shù)綜合問題，能夠根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程是解決本題的關(guān)鍵.

26.如圖，已知AD，族是。。的直徑，AD=6人,與匚704BC的邊AB，0C分別交于點E,

M，連接CO并延長，與A尸的延長線交于點G,ZAFE^ZOCD.

（1）求證：CO是。。的切線；

（2）若GF=1,求cosN/正產(chǎn)的值；

AD

（3）在（2）的條件下，若NA8C的平分線8H交CO于點"，連接AH交。。于點N,求——的值.

NH

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）叵