奇偶性（八大考點(diǎn)）

奇偶性1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義和幾何意義2.掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法,了解奇偶性與函數(shù)圖象對稱性之間的關(guān)系一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有圖象關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱注意：（1）奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，所以判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先明確它的定義域；（2）奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，反之，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性．二、奇偶函數(shù)的性質(zhì)（1）若一個(gè)奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，即有意義，則一定有.（2）若是奇函數(shù)，則在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致．（3）若是偶函數(shù)，則在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反．（4），在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)考點(diǎn)01判斷函數(shù)的奇偶性1．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)是為偶函數(shù)的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和充要條件的定義，分析可得結(jié)論．【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即函數(shù)為偶函數(shù)；若函數(shù))為偶函數(shù)，則，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的充分必要條件，故選：A．2．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用奇函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，故A正確；的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，故B錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，所以既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.3．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷函數(shù)的對稱性，再結(jié)合圖象平移以及奇函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到為奇函數(shù).故選：D4．設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對A，，故是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對B，，故是偶函數(shù)，故B正確；對C，，故是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對D，，故是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B5．判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)奇函數(shù)(2)偶函數(shù)(3)非奇非偶函數(shù)(4)非奇非偶函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分別判斷即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)；（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是非奇非偶函數(shù)；（4）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).6．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)偶函數(shù).(2)奇函數(shù)(3)奇函數(shù)(4)偶函數(shù).【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷可得答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，都有，且，所以，函?shù)為偶函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)椋加?，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)；（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，都有，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)；（4）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，都有，且，所以，函?shù)為偶函數(shù).7．若函數(shù)的定義域是R，且對任意的，都有.(1)若，求；(2)求證：為奇函數(shù).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）令，得，若，可求；（2），解得，令，可得，可得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是R，且對任意的，都有，令，得，若，則.（2）令，得，得，令，得，則，所以為奇函數(shù).考點(diǎn)02奇偶函數(shù)的圖象特征8．設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，則使函數(shù)值的的取值集合為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以在上的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，由在上的圖象，知它在上的圖象，如圖所示，使函數(shù)值的的取值集合為.故選：D9．若定義在R上的奇函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是．【答案】和【分析】由圖象可求出函數(shù)在上減區(qū)間，再由函數(shù)為奇函數(shù)可得其在上的減區(qū)間，從而可答案【詳解】由圖可知在區(qū)間上的減區(qū)間為，因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以在上的減區(qū)間為，所以的單調(diào)減區(qū)間是和，故答案為：和10．（多選）定義在上的偶函數(shù)在上的圖象如下圖，下列說法不正確的是（

）A．僅有一個(gè)單調(diào)增區(qū)間B．有兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間C．在其定義域內(nèi)的最大值是5D．在其定義域內(nèi)的最小值是5【答案】ABD【分析】補(bǔ)齊函數(shù)圖象，觀察即可判斷.【詳解】因?yàn)槭嵌x在的偶函數(shù)，所以其圖象如下圖：由圖知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯(cuò)誤；，C正確；由圖無法知曉其最小值，D錯(cuò)誤.故選：ABD11．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸及軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請把函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)寫出函數(shù)的值域．【答案】(1)作圖見解析，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)【分析】（1）利用偶函數(shù)的對稱性即可補(bǔ)全圖象，根據(jù)圖象可看出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)時(shí)的解析式可求得，由對稱性可得的值域即為.【詳解】（1）由為偶函數(shù)可知，其圖象關(guān)于軸對稱，作出已知圖象關(guān)于y軸對稱的圖象，即得該函數(shù)的完整圖象，如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）由題意知，當(dāng)時(shí)，的最小值為；由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，即函數(shù)的值域?yàn)?12．如圖，已知是偶函數(shù)，(1)將上圖補(bǔ)充完整；(2)寫出的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)作圖見解析(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，【分析】（1）由偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可補(bǔ)全的圖象．（2）由的圖象直接寫出的單調(diào)區(qū)間即可．【詳解】（1）

（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，考點(diǎn)03利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值13．已知與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，并且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】分別令取1和1，利用奇偶性得到和的方程組，解方程即可.【詳解】分別令取1和1得，因?yàn)榕c分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，解的.故選：C.14．函數(shù)是定義在上周期為2的奇函數(shù)，若則（

）.A． B．1 C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，易得，從而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上周期為2的奇函數(shù)，所以，又，即，故，故選：A.15．若是奇函數(shù)，則.【答案】【分析】利用給定的分段函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義求解作答.【詳解】依題意，，所以.故答案為：16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若，則.【答案】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，所以.故答案為：.17．設(shè)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【分析】由奇函數(shù)的定義，則，從而可得出答案.【詳解】由是奇函數(shù)，則,所以故答案為：18．已知函數(shù)，則=.【答案】0【分析】根據(jù)奇偶性的定義得到為奇函數(shù)，然后根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為奇函數(shù)，.故答案為：0.19．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】9【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，代入即可求解.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：.考點(diǎn)04構(gòu)造奇偶性求函數(shù)值20．設(shè)函數(shù)，且，則等于（

）A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】代入求和，找兩式之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】，即，則.故選：A21．已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得正確答案.【詳解】由題意可知，，則，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故.故選：B22．已知，，則（

）A．3 B．1 C．1 D．5【答案】B【分析】構(gòu)造，得到為奇函數(shù)，求出，進(jìn)而得到，求出.【詳解】設(shè)，定義域?yàn)?，則，故為奇函數(shù)，又，則，所以.故選：B23．已知，其中為常數(shù)，若，則．【答案】【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義求解．【詳解】設(shè)，，是奇函數(shù)，，則，又，所以．故答案為：．24．函數(shù)，其中??是常數(shù)，且，則．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】依題意，，，所以，所以.故答案為：25．已知函數(shù)，且，則．【答案】2024【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的奇偶性可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造具有奇偶性的函數(shù)，由，得，構(gòu)建函數(shù)，定義域?yàn)椋驗(yàn)樗院瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以，從而，又，因此.故答案為：2024考點(diǎn)05利用奇偶性求參數(shù)26．若函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，則的值為（

）A． B．3 C．或3 D．不能確定【答案】B【分析】利用奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可得或，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.【詳解】函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，由于奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，即，解得或，由區(qū)間定義可知，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；可得.故選：B．27．“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】通過求解函數(shù)和符合條件的的取值，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在中，當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減時(shí)，，在中，函數(shù)是偶函數(shù)，∴，解得：，∴“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.28．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（

）A．1 B．3C． D．【答案】D【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)得列式求解．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，解得．故選：D29．若（，且）是奇函數(shù)，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】由，可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，解得.故答案為：.30．已知函數(shù)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?，則.【答案】5【分析】由已知結(jié)合偶函數(shù)的定義及定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可分別求，進(jìn)而可求得答案．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?，所以，即，又，即，則，所以，則．故答案為：5．31．已知是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.【答案】【分析】由題意可得，求得，檢驗(yàn)后即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，解得.當(dāng)時(shí)，，所以，即是奇函數(shù).所以.故答案為：.32．若是奇函數(shù)，則，．【答案】11【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，.故答案為：1；1.考點(diǎn)06利用奇偶性求解析式33．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B． C． D．以上都不對【答案】A【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求時(shí)的函數(shù)解析式即可.【詳解】設(shè)，則，又.故選：A34．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故答案為：35．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在R上的表達(dá)式為．【答案】【分析】利用偶函數(shù)定義可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，所以，所以故答案為：36．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象（如圖所示），請根據(jù)圖象解答下列問題．(1)作出時(shí)，函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的增區(qū)間；(2)寫出當(dāng)時(shí)，的解析式；(3)用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞減.【答案】(1)圖象見解析，增區(qū)間是(2)當(dāng)時(shí)，(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)圖象的對稱性，作出時(shí)函數(shù)的圖象，再由圖象寫出的增區(qū)間；（2）利用偶函數(shù)的定義求解析式即可；（3）利用單調(diào)性的定義證明即可．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于軸對稱，作出時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可知，的增區(qū)間是．（2）∵是偶函數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，．（3）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，且，，∵，且，∴，則，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減．37．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的解析式（寫出求解過程）．(3)求，的值域．【答案】(1)答案見解析(2)(3)【分析】（1）作出時(shí)的圖象（拋物線的一部分），再作出其關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解析式；（3）由函數(shù)圖象得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得最大值和最小值，即得值域．【詳解】（1）先作出時(shí)的圖象（拋物線的一部分），再作出其關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象：（2）是奇函數(shù)，時(shí)，，，所以，所以；（3）由（1）可知在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，，，，因此最大值為1，最小值為，所以的值域?yàn)椋?8．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）設(shè)，且則，即可得到恒成立，參變分離得到，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)為R上的奇函數(shù)得；當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，所以，

故（2）由函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，且，都有，即，即.

則，因?yàn)?，所以，所以，則，又，

所以.39．（1）函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的解析式；（2）設(shè)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，求函數(shù)的解析式．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解析式即可；（2）利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)列方程組求解解析式即可.【詳解】（1）設(shè)，則，∴，又∵函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴，∴當(dāng)時(shí)，.又時(shí)，，所以；（2）∵是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，∴．則即，解之得.考點(diǎn)07利用單調(diào)性和奇偶性比較大小40．若函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列關(guān)系成立的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】∵，且在區(qū)間上是增函數(shù)，∴．故選：B.41．設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，則.故選：B42．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，且在上單調(diào)遞減，所以，即，故選:D．43．若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于為偶函數(shù)，所以，然后由在上是增函數(shù)比較大小即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且，所以，所以，故選：D44．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，設(shè)，，，則、、大小關(guān)系是【答案】【分析】利用偶函數(shù)性質(zhì)與條件將、、轉(zhuǎn)化到區(qū)間，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題知，∵偶函數(shù)滿足，∴函數(shù)的周期為2.由于，，，而.且函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即.故答案為：.考點(diǎn)08利用單調(diào)性和奇偶性解不等式45．若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合奇函數(shù)的對稱性，即不等式的性質(zhì)即可求.【詳解】因?yàn)槎x在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以在單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)，，當(dāng)，，所以若，則或或或或解得或，所以x的取值范圍是.故選：C46．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對于任意不等實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】由已知判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性可得，再解不等式可得答案.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，對于任意不等實(shí)數(shù)，不等式恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C.47．若函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)且，可得，時(shí)的取值范圍，再將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化可得或，求解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，所以，所以在上，的的取值范圍是，又由偶函數(shù)的對稱性可知，在上，時(shí)的取值范圍是，則時(shí)的取值范圍是，所以或解得的取值范圍為，故選：C48．若定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，，有，且，則滿足的x的取值范圍為．【答案】【分析】運(yùn)用奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)可得的草圖，看圖解不等式與，再解或即可.【詳解】因?yàn)閷θ我獾?，，有，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵赗上為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，則的草圖如圖所示，所以或或，，又因?yàn)椋曰?，即或，解得或，所以x的取值范圍為.故答案為：.49．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求的值.(2)判斷的單調(diào)性（不必證明）.(3)若存在，使成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)函數(shù)在上是減函數(shù)(3)【分析】（1）首先由是奇函數(shù)可知，得出，后面再根據(jù)當(dāng)時(shí)，有恒等式成立即可求出.（2）將表達(dá)式變形為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷（或者由定義也可以判斷）.（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)換為，由題意問題等價(jià)于，由此即可得解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，又因?yàn)椋?，將代入，整理得，?dāng)時(shí)，有，即，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以，所以.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，.（2）由（1）知：函數(shù)，函數(shù)在上是減函數(shù).（3）因?yàn)榇嬖?，使成立，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，所以，令，由題意可知：問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)?，所?50．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義以及已知的解析式，求解即可；（2）利用偶函數(shù)的定義將不等式變形，然后利用單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以由等價(jià)于，所以，因此，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.51．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)．(1)用定義法證明函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)解不等式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）對于任意的，且，利用作差法判斷的大小關(guān)系即可得證；（2）先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）對于任意的，且，則：，∵，∴，，∴，∴，即，∴函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）因?yàn)?，所以是奇函?shù)，則，即，所以，解得，則不等式的解集為．基礎(chǔ)過關(guān)練1．設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A．22 B． C． D．21【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以.故選：A2．已知是上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)并結(jié)合賦值法得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，又函數(shù)，令，即，所以，所以函數(shù)的圖象恒過點(diǎn).故選：D.3．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)增減的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】A選項(xiàng)，為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故A正確；B選項(xiàng)，是奇函數(shù)，在，上遞減，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，．故洗：A4．（多選）定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則（

）A．B．C．為偶函數(shù)D．不等式的解集為【答案】AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，可得判定A正確，B錯(cuò)誤；結(jié)合函數(shù)的圖象變換，可判定C錯(cuò)誤；結(jié)合題意，分和，兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得不等式的解集，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，且在上單調(diào)遞減，可得，所以A正確；對于B中，由函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，可函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可知在上單調(diào)遞減，且，則，所以，所以B錯(cuò)誤；對于C中，函數(shù)向左平移2個(gè)單位，可得為非奇非偶函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對于D中，由函數(shù)是的奇函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，可得，且在上單調(diào)遞減，又由不等式，可得當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，所以不等式的解集為，所以D正確.故選：AD.5．（多選）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．定義域?yàn)?B．是偶函數(shù)C．在上遞減 D．圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】CD【分析】根據(jù)解析式有意義求定義域可判斷A；根據(jù)奇偶性的定義和性質(zhì)可判斷BD；根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷C．【詳解】對于A，函數(shù)，有，即函數(shù)的定義域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對于B，的其定義域?yàn)?，有，所以為奇函?shù)，B錯(cuò)誤；對于C，函數(shù)和在上遞減，所以函數(shù)在上遞減，C正確；對于D，由B的結(jié)論，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，D正確.故選：CD．6．（多選）如果是定義在上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為奇函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，令，對于A，的定義域?yàn)?，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，所以A正確，對于B，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，所以B錯(cuò)誤，對于C，的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，，所以為非奇非偶函?shù)，所以C錯(cuò)誤，對于D，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故選：AD7．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是．【答案】【分析】利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，作出函數(shù)草圖，利用圖形解不等式.【詳解】根據(jù)題意，為定義在上的奇函數(shù)，則，為奇函數(shù)，且，在是減函數(shù)，∴，在內(nèi)是減函數(shù)，函數(shù)圖象草圖如圖，則不等式的解集為；故答案為：．8．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】由題意，可解出，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，可解出.【詳解】函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，得，所以，解得，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，解得，所以．故答案為：2.9．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則在上的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義與性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，則，可得，所以.故答案為：.10．已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)在上為增函數(shù)；(2)若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，求a的值．【答案】(1)證明見解析(2)0【分析】（1）先設(shè)，利用作差法比較與的大小即可判斷；（2）由奇函數(shù)定義可知，代入即可求解a．【詳解】（1）設(shè)，所以，，則，所以，故在上為增函數(shù)；（2）若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則，所以，所以，即．11．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且(1)求m，n的值；(2)求使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)，(2)實(shí)數(shù)a的取值范圍是【分析】（1）解法一：由和列式求出m，n，再檢驗(yàn)奇偶性即可得解；解法二：根據(jù)在上恒成立，求出，再根據(jù)求出m；（2）先證明的單調(diào)性，再由奇偶性和單調(diào)性將原不等式化簡，求解關(guān)于a的不等式組即可．【詳解】（1）（1）解法一：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，是定義在上的奇函數(shù)．法二：是定義在上的奇函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，則，所以，又因?yàn)?，得，所以，．?）（2）由（1）知，．因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以由，得，設(shè)，且，則，∵，∴，，，∴，∴，∴在上是增函數(shù)．所以，即，解得．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．12．設(shè)對任意的有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求證是上的減函數(shù)；(2)若，求在上的最大值與最小值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由遞推關(guān)系得、，利用單調(diào)性定義證明結(jié)論即可；（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，結(jié)合遞推關(guān)系和奇偶性求最值即可.【詳解】（1）令，則有，令，則，設(shè)且，則，因?yàn)闀r(shí)，所以，所以是上的減函數(shù).（2）由（1）：是上的減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以.能力提升練1．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，考慮和兩種情況，將問題轉(zhuǎn)化為或，再根據(jù)函數(shù)值結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.【詳解】函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，由，即，得到或（舍棄），所以，當(dāng)時(shí)，由，即，得到，所以，綜上所述，或，故選：B.2．對于函數(shù)（其中），選取的一組值計(jì)算，所得出的正確結(jié)果一定不可能是（

）A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2【答案】D【分析】構(gòu)造構(gòu)造函數(shù)，易知是奇函數(shù)，再求得的和，進(jìn)而得到c，然后利用c為整數(shù)求解.【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，所以，所以，又因?yàn)?，所以能?整除，故選：D3．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先求出函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)且關(guān)于直線對稱，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和對稱性即可求解.【詳解】∵當(dāng)時(shí)，恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，∴函數(shù)的圖像關(guān)于直