專題14 圖形的相似（講義）（解析版）

專題14圖形的相似核心知識(shí)點(diǎn)精講1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．3.掌握?qǐng)D形相似的概念，能用相似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮?。局R(shí)網(wǎng)絡(luò)】考點(diǎn)一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).2、比例的基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB≈0.618AB.考點(diǎn)二、相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).

2.相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要點(diǎn)詮釋】結(jié)合兩個(gè)圖形相似，得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長(zhǎng).對(duì)于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.【題型1：比例線段】【典例1】下列四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、，∴四條線段不成比例；B、，∴四條線段不成比例；C、，∴四條線段成比例；D、，∴四條線段不成比例．故選：C．1．若是成比例的線段，其中，，，則線段d的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題主要考查了成比例線段，根據(jù)成比例線段的性質(zhì)列出比例式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例線段的性質(zhì)列出比例式，然后代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可解答．【詳解】解：∵是成比例的線段，∴，∴，即，解得：．故選：D．2．已知成比例的四條線段的長(zhǎng)度分別為，，，，且的三邊長(zhǎng)分別為，，，則是（

）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．無法判定【答案】C【分析】本題考查了成比例線段和勾股定理的逆定理，掌握成比例線段定理是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出的值；然后再根據(jù)勾股定理的逆定理，確定三角形的形狀即可．【詳解】解：四條線段成比例，解得：；的三邊長(zhǎng)分別為，，，，是直角三角形，故選：C．3．在比例尺為的某市旅游地圖上，某條道路的長(zhǎng)為，則這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了比例線段，熟練掌握利用比例尺靈活計(jì)算實(shí)際問題，掌握單位的換算，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)比例尺圖上距離實(shí)際距離，依題意設(shè)這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為，則，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)：這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為，則，解得：，故選：．【題型2：黃金分割點(diǎn)】【典例2】小穎同學(xué)是校園藝術(shù)節(jié)的主持人，學(xué)完黃金分割后她想，主持節(jié)目時(shí)如果站在舞臺(tái)長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)的位置，會(huì)讓臺(tái)下的同學(xué)們看起來效果更好，于是她將舞臺(tái)的長(zhǎng)看作線段，量得米，若點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查黃金分割定理，解題關(guān)鍵是理解黃金分割的概念，熟悉黃金比的值．把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值（）叫做黃金比，由此進(jìn)行求解即可．【詳解】解：線段，點(diǎn)是黃金分割點(diǎn)，，．故選．1．如圖，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可愛，活潑，它泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點(diǎn)處，若玩偶身高，則玩偶嘴巴到腳的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行列式計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得玩偶嘴巴到腳的距離為：故選：A．2．如圖，C是線段的黃金分割點(diǎn)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義得出，即可得到答案．【詳解】解：C是線段的黃金分割點(diǎn)，，，故選D．3．黃金分割被很多人認(rèn)為是“最美比例”，是因?yàn)樗先藗兊囊曈X習(xí)慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、平衡和美觀的藝術(shù)作品和產(chǎn)品．在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個(gè)有著“最美比例”的鸚鵡螺，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，若，那么的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了黃金分割的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)黃金分割的定義得到，把代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，，，故選：C．4．已知線段的長(zhǎng)度為，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的定義，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義分兩種情況求解，熟記黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，∴，即，解得，（不合，舍去），∴；當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，∴，即，解得，，∵，∴不合，舍去，∴；綜上，或，故選：．【題型3：相似四邊形】【典例3】如圖，把一張矩形紙片ABCD沿著AD和BC邊的中點(diǎn)連線EF對(duì)折，對(duì)折后所得的矩形正好與原來的矩形相似，則原矩形紙片長(zhǎng)與寬的比為（

）A．4：1 B． C． D．2：1【答案】B【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，設(shè)出原來矩形的長(zhǎng)，就可得到一個(gè)方程，解方程即可求得．【詳解】根據(jù)條件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD，∴，∵E為AD中點(diǎn)∴∴，∴，∴，∴原矩形紙片長(zhǎng)與寬的比為故選B【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題，正確分清對(duì)應(yīng)邊，以及正確解方程是解決本題的關(guān)鍵．1．如圖，取一張長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小長(zhǎng)方形紙片，若要使小長(zhǎng)方形與原長(zhǎng)方形相似，則原長(zhǎng)方形紙片的邊a、b應(yīng)滿足的條件是（

）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝2b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝4b【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)折表示出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)相似多邊形的判定，對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可．【詳解】解：對(duì)折兩次后的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為b，寬為，要使小長(zhǎng)方形與原長(zhǎng)方形相似，只要滿足即可，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定，準(zhǔn)確表示出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵．2．裝裱一幅寬長(zhǎng)的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，裝裱上去的部分的上下的寬都為，若裝裱上去的左右部分的寬都為，則．【答案】10【分析】根據(jù)相似圖形對(duì)應(yīng)邊成比例即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，∴，解得：．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握形似的圖形對(duì)應(yīng)邊成比例．3．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．點(diǎn)E在矩形ABCD的邊BC上，連結(jié)AE，將矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處，得到矩形CDFE．若矩形CDFE與原矩形ABCD相似，則AD的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，∴＝，即＝，整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．4．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，BE=BC，過點(diǎn)E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別為點(diǎn)F，G，則正方形FBGE與正方形ABCD的相似比為．【答案】【分析】設(shè)BG=x，則BE=x，即BC=x，則正方形FBGE與正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.【詳解】設(shè)BG=x，則BE=x，∵BE=BC，∴BC=x，則正方形FBGE與正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，圖形相似的的性質(zhì).解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的性質(zhì)得到相關(guān)邊長(zhǎng)的比.【題型4：相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用】【典例4】如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)處與地面的距離為1.6米，且滿足，若盲區(qū)的長(zhǎng)度是6米，則車寬的長(zhǎng)度為（

）米．A． B． C． D．2【答案】B【詳解】解∶如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)M，設(shè)米，∵，∴米，根據(jù)題意得：四邊形是矩形，∴，∴，∴，即，解得：，∴米，即車寬的長(zhǎng)度為米．故選：B．1．如圖，在中，點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作分別交邊、于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，那么．【答案】/【分析】聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于，根據(jù)重心的概念得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：先證明：重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍；由點(diǎn)為的重心，聯(lián)結(jié)，，并延長(zhǎng)交，，于，，，則由三角形中線性質(zhì)可得：，，，，，則，，∴，則，即：，即：重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍；聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于，∵為的重心，∴，則，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴與的高相等，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．2．如圖，G是的重心，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，P、Q分別是和的重心，長(zhǎng)為6，則的長(zhǎng)為．【答案】1【分析】連接，延長(zhǎng)交于F點(diǎn)，連接，由G是的重心，可證是的中位線，從而可求出的長(zhǎng)．利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到，，再證明得到即可．【詳解】解：連接，延長(zhǎng)交于F點(diǎn)，連接，如圖，

∵G是的重心，∴D、E分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．∵P點(diǎn)是的重心，∴F點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∵Q點(diǎn)是的重心，∴點(diǎn)Q在中線上，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為．3．如圖，某水平地面上建筑物的高度為，在點(diǎn)和點(diǎn)處分別豎立高是的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿相隔，并且建筑物、標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退到點(diǎn)處，在處測(cè)得建筑物頂端和標(biāo)桿頂端在同一條直線上；從標(biāo)桿后退到點(diǎn)處，在處測(cè)得建筑物頂端和標(biāo)桿頂端在同一直線上，則建筑物的高是

【答案】54【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得出，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，解得：，解得：，即建筑物的高是．故答案為：54．4．如圖，數(shù)學(xué)興趣小組下午測(cè)得一根長(zhǎng)為的竹竿影長(zhǎng)是，同一時(shí)刻測(cè)量樹高時(shí)發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分落在教學(xué)樓的墻壁上，測(cè)得留在墻壁上的影高，地面上的影長(zhǎng)為．請(qǐng)你幫算一下，樹高是．【答案】【分析】此題考查了平行投影，相似三角形的應(yīng)用；在同一時(shí)刻任何物體的高與其影子的比值是相同的，所以竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同，利用這個(gè)結(jié)論可以求出樹高．【詳解】解：如圖，設(shè)是在地面的影子，樹高為，根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得，則，解得：，樹在地面的實(shí)際影子長(zhǎng)是，竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得：，解得：，樹高是．故答案為：．1．長(zhǎng)春軌道交通6號(hào)線預(yù)計(jì)于2024年開通運(yùn)營(yíng)，在比例尺為的地圖上，量得全線長(zhǎng)約為，則軌道交通6號(hào)線的實(shí)際距離約為．【答案】30【分析】本題考查了比例尺，關(guān)鍵是理解比例尺的概念，掌握計(jì)算方法，但要注意單位的轉(zhuǎn)換．根據(jù)比例尺圖上距離：實(shí)際距離，按題目要求解答即可．【詳解】解：根據(jù)比例尺圖上距離：實(shí)際距離，得：軌道交通6號(hào)線的實(shí)際距離約為：，．故答案為：30．2．已知線段b是線段a，c的比例中項(xiàng)，，，那么cm．【答案】【分析】本題考查線段的比例中項(xiàng)，根據(jù)線段比例中項(xiàng)定義得到是解答的關(guān)鍵．根據(jù)線段的比例中項(xiàng)定義求解即可．【詳解】解：∵線段b是線段a，c的比例中項(xiàng)，∴，又，，∴．故答案為：．3．“黃金分割”給人以美感，它不僅在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而且在大自然中處處有美的痕跡，一片小小的樹葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，P為的黃金分割點(diǎn)，如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度是cm．【答案】【分析】本題考查了黃金分割，難度較小，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義，可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵P為的黃金分割點(diǎn)，的長(zhǎng)度為，∴，故答案為．4．如圖，樂器上的一根弦的長(zhǎng)度為，兩個(gè)端點(diǎn)A、B固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C是弦靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為cm．（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：黃金分割數(shù)：）

【答案】【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義．根據(jù)黃金分割的定義直接求解即可．【詳解】解：∵C是弦靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，，∴，故答案為：．一、選擇題1．如圖，點(diǎn)為的重心，，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出．設(shè)，則．再根據(jù)重心的定義與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出，，然后利用平行線分線段成比例定理得出，進(jìn)而求出．本題考查了三角形重心的定義與性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，也考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，難度適中．【詳解】解：∵，，∴．設(shè)，則．∵點(diǎn)為的重心，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴．故選：B．2．如圖，點(diǎn)為的重心，若，則的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形重心的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)推出【詳解】連接并延長(zhǎng)交于,過作于M，過作于,

∴，，∴，∵是的重心，，，，，，，，故選:C.3．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，連接交于點(diǎn)，若，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，利用平行線判定，結(jié)合計(jì)算選擇即可．【詳解】．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．4．如圖，，相似比為2，已知的長(zhǎng)為2，則的長(zhǎng)為（）A．8 B． C．6 D．4【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，相似比為2，∴∵的長(zhǎng)為2，∴，，故選：A5．如圖，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，則稱點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°，若點(diǎn)Q為△DEF的布洛卡點(diǎn)，DQ＝1，則EQ+FQ＝（）A．5 B．4 C．3+ D．2+【答案】D【分析】根據(jù)新定義得∠2=∠3,△DQF∽△FQE,運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊成比例即可解題.【詳解】解：如下圖,在等腰直角三角形DEF中,∠EDF＝90°，DE=DF,∠1=∠2=∠3,∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°,∴∠QEF=∠DFQ,∵∠2=∠3∴△DQF∽△FQE,∴===,∵DQ＝1，∴FQ=,EQ=2,∴EQ+FQ＝2+故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義和三角形的相似,屬于簡(jiǎn)單題,通過新定義證明三角形的相似是解題關(guān)鍵.6．《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿，從木桿的頂端觀察井水水岸，視線與井口的直徑交于點(diǎn)，通過測(cè)量，，的長(zhǎng)度，可以推算出水面以上部分的高度，這種測(cè)量原理，就是我們所學(xué)的（

）A．圖形的平移 B．圖形的旋轉(zhuǎn) C．圖形的軸對(duì)稱 D．圖形的相似【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)；善于從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題是關(guān)鍵．【詳解】解：，∴，，，，∴根據(jù)測(cè)量，，的長(zhǎng)度可以求出的長(zhǎng)度，∴這種測(cè)量原理利用的是圖形的相似．故選：D．7．如圖，周末小新一家來到河北石家莊正定古城游元，一座古塔塔高為，小新在距離古塔的位置觀看古塔時(shí)，與觀看到的手中的景點(diǎn)地圖的古塔縮略圖感覺相同（），若縮略圖中的古塔高為，則縮略圖距離眼睛的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟練的利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解是關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，，，，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；故選A8．如圖1，一長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣．圖2是此時(shí)的示意圖，若，，水面離桌面的高度為，則此時(shí)點(diǎn)C離桌面的高度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)C作桌面的垂線，垂足為點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；過點(diǎn)B作桌面的垂線，垂足為點(diǎn)P；根據(jù)題意易得，通過證明，求出，再根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)C作桌面的垂線，垂足為點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；過點(diǎn)B作桌面的垂線，垂足為點(diǎn)P，∵水面離桌面的高度為，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，根據(jù)勾股定理可得：，∴，即此時(shí)點(diǎn)C離桌面的高度為．故選：C．二、解答題9．如圖，在中，點(diǎn)分別在上，，，，與交于點(diǎn).（1）求證：；（2）連接，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件先證明DG∥AC，EF∥AB，可得∠HGF=∠C，∠HFG=∠B，即可證明△HFG∽△ABC，從而可得結(jié)論；（2）連接DF，EG，DE，證明四邊形DFGE和ADHE是平行四邊形，即可證得結(jié)論.【詳解】∵AB=3AD，BF=FG=CG，∴BD=2AD，BG=2CG，∴,∴DG∥AC,同理可得，EF∥AB，∴∠HFG=∠ABC，∠HGF=∠ACB，∴△HFG∽△ABC，∴，即；（2）連接，DE,如圖所示，∵EF∥AB，∴,∵GF=FB∴=1，∴GH=HD，同理可證，F(xiàn)H=EH，∴四邊形DFGE是平行四邊形，∴DF∥EG，∴∠FDG=∠EGD，∴∠FHG=∠EGH+∠HEG，∵∠DHE=∠FHG，∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=，由EF∥AB，DG∥AC,得四邊形ADHE是平行四邊形，∴∠A=∠DHE，∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線分線段成比例的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相減的判定與性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.10．如圖1，是的高，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上，且．由“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比”可以得到以下結(jié)論：．

(1)如圖2，在中，，邊上的高為8，在內(nèi)放一個(gè)正方形，使其一邊在上，點(diǎn)M，N分別在，上，則正方形的邊長(zhǎng)＝______；(2)某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個(gè)腰長(zhǎng)為100cm，底邊長(zhǎng)為120cm的等腰三角形展臺(tái)．現(xiàn)需將展臺(tái)用平行于底邊的隔板，每間隔10cm分隔出一層，再將每一層盡可能多的分隔成若干個(gè)開口為正方形的長(zhǎng)方體格子，要求每個(gè)格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒，平面設(shè)計(jì)圖如圖3所示，將底邊的長(zhǎng)度看作是第0層隔板的長(zhǎng)度；①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)隔板厚度忽略不計(jì)時(shí)，每層平行于底邊的隔板長(zhǎng)度（單位：cm）隨著層數(shù)（單位：層）的變化而變化．請(qǐng)完成下表：層數(shù)/層0123…隔板長(zhǎng)度/cm120__________________…②在①的條件下，請(qǐng)直接寫出該展臺(tái)最多可以擺放多少瓶葡萄酒？【答案】(1)；(2)①105，90，75；②最多可以擺放40瓶葡萄酒.【分析】（1）過A點(diǎn)作于D，交于E，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)即可求出x的長(zhǎng)，即正方形的邊長(zhǎng).（2）①由等腰三角形的性質(zhì)可得cm，由勾股定理可求得cm.設(shè)第1層、第2層、第3層的隔板長(zhǎng)度分別為、、，由閱讀理解的結(jié)論可分別列方程求解.②設(shè)第n層隔板的長(zhǎng)度為，列出比例式，求出與n的關(guān)系式，則可求出最多可擺多少層，每層隔板的長(zhǎng)度及每層擺多少瓶，最后求出一共可擺多少瓶即可.【詳解】（1）

如圖，作于D，交于E，由閱讀理解的結(jié)論得，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，解得.故答案為：（2）

如圖，作于D，

①設(shè)第1層，第2層，第3層隔板的長(zhǎng)度的分別為，則，解得.，解得.，解得故答案為：105，90，75.②第n層隔板的長(zhǎng)度的分別為，則，得，因此得，∴最多可擺7層，第1層可擺（瓶），第2層可擺（瓶），第3層可擺（瓶），第4層可擺（瓶），

第5層可擺（瓶），第6層可擺（瓶），第7層可擺（瓶），

共（瓶），∴該展臺(tái)最多可擺40瓶葡萄酒.【點(diǎn)睛】本題主要考查了“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”，根據(jù)此比例式找出y與x之間的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.一、單選題1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別交于點(diǎn)D，E，交于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】先證得四邊形是平行四邊形，得到，再利用平行線截線段成比例列式求出即可．【詳解】∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解題的關(guān)鍵．2．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．若，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出，即可求解．【詳解】解：∵中，，∴，∵∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得對(duì)應(yīng)線段成比例”．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，①當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，

∴，②當(dāng)點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③當(dāng)時(shí)，A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)題意可得，則，即，又,即可判斷①；②設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，即可判斷②；過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)②的結(jié)論求得，勾股定理求得，即可判斷③．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴即，又,∴，故①正確；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴,∴,在中，，∴在中，∴，∵∴∴∴∴∴∴，故②正確；∵，∴,如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，

又∵，∴四邊形是矩形，∵是的角平分線，∴，∴四邊形是正方形，∴∵∴設(shè)，則在中，，∵∴解得：∴，∴，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)雕像的下部高為xm，由黃金分割的定義得求解即可．【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長(zhǎng)為（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m，∴

∴，即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6【答案】C【分析】根據(jù)題意得出A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，確定與△AOB位似的三角形為△GOH，利用銳角三角函數(shù)找出相應(yīng)規(guī)律得出OG=，再