專題20 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問題）（解析版）

專題20二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問題）1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點（點A在點的左側(cè)），直線是對稱軸．點在函數(shù)圖像上，其橫坐標大于4，連接，過點作，垂足為，以點為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點為．

(1)求點的坐標；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點，求長的取值范圍．【答案】(1)；(2)或或【分析】（1）令求得點的橫坐標即可解答；（2）由題意可得拋物線的對稱軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進而可得切線長為邊長的正方形的面積為；過點P作軸，垂足為H，可得；由題意可得，解得；然后再分當點M在點N的上方和下方兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：令，則有：，解得：或，∴．（2）解：∵拋物線過∴拋物線的對稱軸為，設(shè)，∵，∴,如圖：連接，則，∴，∴切線為邊長的正方形的面積為，過點P作軸，垂足為H，則：，∴∵，∴，

假設(shè)過點,則有以下兩種情況：①如圖1：當點M在點N的上方，即

∴，解得：或，∵∴；②如圖2：當點M在點N的上方，即

∴，解得：，∵∴；綜上，或．∴當不經(jīng)過點時，或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．（?。┊敃r，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）（?。└鶕?jù)題意畫出圖形，得出，，，繼而得出，，當時，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．（ⅱ）根據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，分和分別求得梯形的面積，根據(jù)四邊形的面積為建立方程，解方程進而即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，解得：，∴；（2）（?。┰O(shè)直線的解析式為，∵，∴解得：，∴直線，如圖所示，依題意，，，，

∴，，∴當時，與的面積之和為，（ⅱ）當點在對稱右側(cè)時，則，∴，當時，，∴，∴，解得：，

當時，，∴，∴，解得：（舍去）或（舍去）

綜上所述，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當時，求點的坐標；(3)如圖2，當點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）過點作，垂足為根據(jù)已知條件得出，進而列出方程，解方程，即可求解；（3）先求得直線的解析式為，設(shè)，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，根據(jù)等底兩三角形的面積比等于高之比，得出，進而得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，∴解得：∴拋物線解析式為；（2）解：如圖所示，過點作對稱軸的垂線，垂足為，

設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得：或，∵其中點在拋物線對稱軸的左側(cè)．∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∴；（3）解：依題意，點恰好在軸上，則，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，則，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：，∴，∴，∴當時，取得最大值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，平行線分線段比例，面積問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2022·江蘇連云港）已知二次函數(shù)，其中．(1)當該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，求此時函數(shù)圖像的頂點的坐標；(2)求證：二次函數(shù)的頂點在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負半軸的交點為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)最大值為【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案；（2）先根據(jù)頂點坐標公式求出頂點坐標為，然后分別證明頂點坐標的橫縱坐標都小于0即可；（3）設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為，則其頂點坐標為，然后求出點B的坐標，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點在直線上推出，過點作，垂足為，可以推出,由此即可求解．(1)解：將代入，解得．由，則符合題意，∴，∴．(2)解：由拋物線頂點坐標公式得頂點坐標為．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函數(shù)的頂點在第三象限．(3)解：設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為，則其頂點坐標為當時，，∴．將代入，解得．∵在軸的負半軸上，∴．∴．過點作，垂足為，∵，∴．在中，,∴當時，此時，面積有最大值，最大值為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的最值問題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)的最大面積為，；(3)存在，或或，，見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況進行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點代入解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，將點B、C代入得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，如圖所示：

∴，∴，∴，∴當時，的最大面積為，，∴（3）存在，或或或，，證明如下：∵，∵拋物線的解析式為，∴對稱軸為：，設(shè)點，若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；綜上可得：或或，．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．6.（2021·湖北中考真題）如圖，直線與，軸分別交于，，頂點為的拋物線過點．（1）求出點，的坐標及的值；（2）若函數(shù)在時有最大值為，求的值；（3）連接，過點作的垂線交軸于點．設(shè)的面積為．①直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；②結(jié)合與的函數(shù)圖象，直接寫出時的取值范圍．【答案】（1），，；（2）；（3）①；②且a≠0或．【分析】（1）令x=0，可得直線與y軸的交點A的坐標；令y=0，可得直線與x軸的交點B的坐標，把點A的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得c的值；（2）把配方后，分a>0和a<0兩種情況討論，當時，函數(shù)的最大值，根據(jù)題意可求得此時的a值；（3）①設(shè)直線AP交x軸于點N，易得Rt△AON∽Rt△MOA，由題意可求得ON的長，從而由相似的性質(zhì)可求得OM，分四種情況：當a<0時，當0<a<1時，當1<a<2時，當a>2時，分別就這些情況計算△BMP的面積即可；②畫出函數(shù)S的圖象，求得當時a的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得時a的取值范圍．【詳解】（1）當時，．得當時，，解得．得把代入，得（2）∵∴當，時，隨的增大而增大∴當時，的值最大由題意得解得當，時，隨的增大而減小∴當時，的值最大由題意得解得（不合題意，舍去）∴（3）①∵，∴直線AP的解析式為設(shè)直線AP交x軸于點N，令y=0，得∴，過P點作PC⊥x軸于點C，則當a<0時，如下圖所示∵AM⊥AP，OA⊥MN∴∠NAO+∠MAO=∠NAO+∠ANO=90゜∴Rt△AON∽Rt△MOA∴∵OA=1∴∵OB=2∴BM=OB+OM=2-a∵PC=1-a∴當0<a<1時，如下圖所示，同理得：，PC=1-a∴BM=OB-OM=2-a∴當1<a<2時，與上圖同，同理得：，PC=a-1∴BM=OB-OM=2-a∴當a>2時，如下圖所示，同理得：，PC=a-1∴BM=OM-OB=a-2∴當a=1或2時，此時△MBP不存在綜上所述，②畫出的函數(shù)S的圖象如下當時，解得或由圖象知，當且a≠0或時，S>1∴且a≠0或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求圖形面積等知識，涉及分類討論思想，且分類的情形比較多，數(shù)形結(jié)合思想，是一個比較難的題．7．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在中，，D為上一點，，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，到達點A時停止，以為邊作正方形設(shè)點P的運動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當點P由點C運動到點B時，①當時，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當點P由點B運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．(3)延伸探究：若存在3個時刻（）對應(yīng)的正方形的面積均相等．①_______；②當時，求正方形的面積．【答案】(1)①3；②；(2)，；(3)①4；②【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿照（1）①先求出，進而求出，則；（2）先由函數(shù)圖象可得當點P運動到B點時，，由此求出當時，，可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求出，進而求出當時，求得t的值即可得答案；（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點，則，是函數(shù)上的兩點，由此可得，則，根據(jù)題意可以看作，則；②由（3）①可得，再由，得到，繼而得答案．【詳解】（1）解：∵動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，∴當時，點P在上，且，∵，，∴，∴，故答案為：3；②∵動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在勻速運動，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由圖2可知當點P運動到B點時，，∴，解得，∴當時，，由圖2可知，對應(yīng)的二次函數(shù)的頂點坐標為，∴可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，在中，當時，解得或，∴；（3）解：①∵點P在上運動時，，點P在上運動時，∴可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點，則，是函數(shù)上的兩點，∴，∴，∵存在3個時刻（）對應(yīng)的正方形的面積均相等．∴可以看作，∴，故答案為：4；②由（3）①可得，∵，∴，∴，∴．

.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運動問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標原點，．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若，求P點的坐標．【答案】(1)；(2)30；(3)【分析】（1）用兩點式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點的坐標，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求得a的值，再將a代入解析式中即可．（2）先將二次函數(shù)變形為頂點式，求得頂點坐標，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案．（3）根據(jù)各點的坐標的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點P的坐標．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點．∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為∵，∴，即的坐標為則，得∴二次函數(shù)的表達式為；（2）∴頂點的坐標為過作于，作于，四邊形的面積；

（3）如圖，是拋物線上的一點，且在第一象限，當時，連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．由勾股定理得：，∵，∴，即，∴由，得，∴．∴是等腰直角三角形∴∴的坐標為所以過的直線的解析式為令解得，或所以直線與拋物線的兩個交點為即所求的坐標為【點睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標系幾何圖形的綜合證明計算問題，解題的關(guān)鍵是將所學的知識靈活運用．9.（2021·福建中考真題）已知拋物線與x軸只有一個公共點．（1）若拋物線過點，求的最小值；（2）已知點中恰有兩點在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點，點A在直線上，且，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點B，C．求證：與的面積相等．【答案】（1）-1；（2）①；②見解析【分析】（1）先求得c=1，根據(jù)拋物線與x軸只有一個公共點，轉(zhuǎn)化為判別式△=0，從而構(gòu)造二次函數(shù)求解即可；（2）①根據(jù)拋物線與x軸只有一個公共點，得拋物線上的點只能落在x軸的同側(cè)，據(jù)此判斷即可；②證明AB=BC即可【詳解】解：因為拋物線與x軸只有一個公共點，以方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，即．（1）因為拋物線過點，所以，所以，即．所以，當時，取到最小值．（2）①因為拋物線與x軸只有一個公共點，所以拋物線上的點只能落在x軸的同側(cè)．又點中恰有兩點在拋物線的圖象上，所以只能是在拋物線的圖象上，由對稱性可得拋物線的對稱軸為，所以，即，因為，所以．又點在拋物線的圖象上，所以，故拋物線的解析式為．②由題意設(shè)，則．記直線為m，分別過M，N作，垂足分別為E，F(xiàn)，即，因為，所以．又，所以，所以．所以，所以，即．所以，即．①把代入，得，解得，所以．②將②代入①，得，即，解得，即．所以過點A且與x軸垂直的直線為，將代入，得，即，將代入，得，即，所以，因此，所以與的面積相等．【點睛】本小題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積等基礎(chǔ)知識，突出運算能力、推理能力、空間觀念與幾何直觀、創(chuàng)新意識，靈活運用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想求解是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點A，經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點，與軸交于點C．

(1)求直線的函數(shù)表達式及點C的坐標；(2)點是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設(shè)點的橫坐標為．①當時，求的值；②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．【答案】(1)，點的坐標為；(2)①2或3或；②，S的最大值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達式，再求得點C的坐標即可；（2）①分當點在直線上方和點在直線下方時，兩種情況討論，根據(jù)列一元二次方程求解即可；②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數(shù)的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由得，當時，．解得．∵點A在軸正半軸上．∴點A的坐標為．設(shè)直線的函數(shù)表達式為．將兩點的坐標分別代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為．將代入，得．∴點C的坐標為；（2）①解：點在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，且軸于點，與直線交于點，其橫坐標為．∴點的坐標分別為．∴．∵點的坐標為，∴．∵，∴．如圖，當點在直線上方時，．

∵，∴．解得．如圖2，當點在直線下方時，．

∵，∴．解得，∵，∴．綜上所述，的值為2或3或；②解：如圖3，由（1）得，．

∵軸于點，交于點，點B的坐標為，∴．∵點在直線上方，∴．∵軸于點，∴．∴，，∴．∴．∴．∴．∴．∴四邊形為平行四邊形．∵軸，∴四邊形為矩形．∴．即．∵，∴當時，S的最大值為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．11.（2021·廣西中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線：交x軸于兩點，與y軸交于點．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接，過點B作，垂足為E，若，求點D的坐標；（3）如圖2，點M為第四象限拋物線上一動點，連接，交于點N，連接，記的面積為，的面程為，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解拋物線的函數(shù)解析式即可；（2）先根據(jù)和勾股定理求得，，過點E做平行于交y軸于T，易證，利用相似三角形的性質(zhì)求得，，進而求得點E坐標，求得直線OE的解析式，和拋物線聯(lián)立方程組，解之即可求得點D坐標；（3）延長于至點F，使軸，過A點作于點H，作軸交于點T，過M點作于點D，證明，利用相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式可得，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進而可求得AF，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求的MT的最大值，進而可求得的最大值．【詳解】解：（1）依題意，設(shè)，代入得：，解得：∴；（2）由，設(shè)=x，則，∵BE⊥OD，∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：，即，解得：（舍），∴，，過點E做平行于交y軸于T，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∴，∴直線的解析式為，∵的延長線交拋物線于點D，∴，解得：（舍），當時，，∴；（3）如圖所示，延長于至點F，使軸，過A點作于點H作軸交于點T，過M點作于點D，

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，設(shè)直線的解析式為，將B，C兩點代入得解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形、解一元二次方程、三角形的面積、勾股定理、求函數(shù)的最值等知識，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖象，添加合適的輔助線，運用相似三角形的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合法進行推理、探究和計算．12．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達式；(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標；(3)如圖②，當點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當m為何值時，面積最大，并求出最大值．【答案】(1)；(2)點Q坐標，或或；(3)時，有最大值，最大值為【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）由二次函數(shù)，求得點，設(shè)點，點，分類討論：當為邊，為對角線時，當為邊，為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，可證，；運用待定系數(shù)法求直線解析式，直線解析式；設(shè)點，，則，，，，運用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時，最大值為．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（2）二次函數(shù)，當時，∴點設(shè)點，點，當為邊，為對角線時，∵四邊形為平行四邊形，∴，互相平分∴解得，（舍去）或點Q坐標；當為邊，為對角線時，同理得，解得，或，∴∴點Q坐標或綜上，點Q坐標，或或；（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，∵，∴∴∵∴，同理可得設(shè)直線的解析式為：則，解得∴直線：同理由點，，可求得直線：設(shè)點，，則，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵∴時，，有最大值，最大值為．【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動點運動情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．13.（2021·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線交軸于，兩點，交軸于點．（1）求該拋物線的表達式；（2）點為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接，過點作交軸于點，連接，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過點時，得到新拋物線，點在新拋物線的對稱軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在一點，使得以、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．參考：若點、，則線段的中點的坐標為．【答案】（1）該拋物線的表達式為：；（2）面積最大值為8，此時P點的坐標為：P（2，-6）；（3）或或或【分析】（1）將兩個點分別代入拋物線可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，可解得a，b；（2）設(shè)出P、Q兩點坐標，應(yīng)用三角形相似，及三角形面積公式，代入化簡可得一個二次函數(shù)，求其最大值即可；（3）拋物線的平移可確定拋物線解析式及對稱軸，設(shè)出點E、F，應(yīng)用中點坐標公式及矩形特點分成的三角形為直角三角形，可得出答案．【詳解】解：（1）將A（-1,0），B（4,0）代入拋物線可得：，解得：，∴該拋物線的表達式為：；（2）過點P作PN⊥x軸于點N，如圖所示：設(shè)且，，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵點在拋物線上，∴，∴，，根據(jù)拋物線的基本性質(zhì)：對稱軸為在內(nèi)，∴在取得最大值，代入得：，當時，，∴面積的最大值為8，此時點P的坐標為：．（3）在（2）的條件下，原拋物線解析式為，將拋物線向右平移經(jīng)過點，可知拋物線向右平移了個單位長度，∴可得：，化簡得平移后的拋物線：，對稱軸為：，由（2）得：A（-1，0），，點E在對稱軸上，∴設(shè)E（3，e），點F（m，n），矩形AEPF，當以AP為矩形的對角線時，則AP的中點坐標為：，EF的中點坐標為：，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，兩個中點坐標相同，可得：解得：∵矩形AEPF，∴為直角三角形，∴，③，，，代入③化簡可得：，④∴將②代入④可得：，化簡得：，根據(jù)判別式得：，∴，∴或；當以AP為矩形的邊時，如圖所示：過點P分別作PG⊥x軸于點G，PH∥x軸，過點F作PH的垂線，垂足為H，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為M，如圖，∴，，AM=4，∴，∵四邊形是矩形，∴，AE=PF，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴FH=2，∵點，∴，當以AP為矩形的邊時，如圖所示：同理可得；綜上所述：以、、、為頂點的四邊形為矩形，或或或【點睛】題目考查確定二次函數(shù)解析式及其基本性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等，難點主要是依據(jù)圖像確定各點、線段間的關(guān)系，得出答案．14．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設(shè)的面積為，的面積為．①當點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．【答案】(1)0或2或；(2)①6，②存在，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標軸交點情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時候，按照圖像的性質(zhì)以及與坐標軸交點的情況即可求出值．（2）①根據(jù)和的坐標點即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標，從而求出長度，再利用和的坐標點即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點坐標，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．②觀察圖形，用值表示出點坐標，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長度，利用割補法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點式，利用取值范圍即可求出的最小值．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，，，，當函數(shù)為一次函數(shù)時，，．當函數(shù)為二次函數(shù)時，，若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，即與軸，軸分別只有一個交點時，，．當函數(shù)為二次函數(shù)時，函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，即其中一點經(jīng)過原點，，，．綜上所述，或0．故答案為：0或2或．（2）解：①如圖所示，設(shè)直線與交于點，直線與交于點．

依題意得：，解得：拋物線的解析式為：．點為拋物線頂點時，，，，，由，得直線的解析式為，在直線上，且在直線上，則的橫坐標等于的橫坐標，，，，，．故答案為：6．②存在最大值，理由如下：如圖，設(shè)直線交軸于．由①得：，，，，，，，，，，即，，，，，，，當時，有最大值，最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)與坐標軸交點問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標軸交點問題，以及二次函數(shù)最值問題．15.（2021·湖北中考真題）拋物線（）與軸相交于點，且拋物線的對稱軸為，為對稱軸與軸的交點．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，若是等腰直角三角形，求的面積；（3）若是對稱軸上一定點，是拋物線上的動點，求的最小值（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）4；（3）【分析】（1）與軸相交于點，得到，再根據(jù)拋物線對稱軸，求得，代入即可．（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，可知、兩點關(guān)于對稱軸對稱，是等腰直角三角形得到，設(shè)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得E點坐標，從而求得的面積．（3），根據(jù)距離公式求得，注意到的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對進行分類討論，從而求得的最小值．【詳解】解：（1）由拋物線（）與軸相交于點得到拋物線的對稱軸為，即，解得∴拋物線的方程為（2）過點E作交AB于點M，過點F作，交AB于點N，如下圖：∵是等腰直角三角形∴，又∵軸∴∴為等腰直角三角形∴設(shè)，則，∴又∵∴解得或當時，，符合題意，當時，，不符合題意綜上所述：．（3）設(shè)，在拋物線上，則將代入上式，得當時，，∴時，最小，即最小=當時，，∴時，最小，即最小，綜上所述【點睛】此題考查了二次函數(shù)的對稱軸、二次函數(shù)與三角形面積、等腰直角三角形的性質(zhì)以及距離公式等知識，熟練掌握距離公式和對代數(shù)式的計算是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點，為拋物線的頂點，為拋物線上不與重合的相異兩點，記中點為，直線的交點為．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若，且，求證：三點共線；(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運動，只要三點共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．【答案】(1)；(2)見解析；(3)的面積為定值，其面積為2【分析】（1）將代入，即可解得；（2），中點為，且，可求出過兩點所在直線的一次函數(shù)表達式，為拋物線上的一點，所以，此點在，可證得三點共線；（3）設(shè)與分別關(guān)于直線對稱，則關(guān)于直線對稱，且與的面積不相等，所以的面積不為定值；如圖，當分別運動到點的位置，且保持三點共線．此時與的交點到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值；故的面積為定值，由（2）求出，此時的面積為2．【詳解】（1）解：因為拋物線經(jīng)過點，所以解得所以拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：

設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為，因為為中點，所以．又因為，所以，解得，所以直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為．因為點在拋物線上，所以．解得，或．又因為，所以．所以．因為，即滿足直線對應(yīng)的函數(shù)表達式，所以點在直線上，即三點共線；（3）解：的面積為定值，其面積為2．理由如下：（考生不必寫出下列理由）如圖1，當分別運動到點的位置時，與分別關(guān)于直線對稱，此時仍有三點共線．設(shè)與的交點為，則關(guān)于直線對稱，即軸．此時，與不平行，且不平分線段，故，到直線的距離不相等，即在此情形下與的面積不相等，所以的面積不為定值．

如圖2，當分別運動到點的位置，且保持三點共線．此時與的交點到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值．又因為中存在面積為定值的三角形，故的面積為定值．在（2）的條件下，直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為，直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為，求得，此時的面積為2．【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎(chǔ)知識，如何利用數(shù)形結(jié)合求得點的坐標、函數(shù)的表達式等是解題的關(guān)鍵．17.（2021·黑龍江中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，，對稱軸為，點D為此拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C，D兩點之間的距離是__________；（3）點E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接BE和CE．求面積的最大值；（4）點P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或．【分析】（1）先根據(jù)對稱軸可得的值，再根據(jù)可得點的坐標，代入拋物線的解析式即可得；（2）利用拋物線的解析式分別求出點的坐標，再利用兩點之間的距離公式即可得；（3）過點作軸的垂線，交于點，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再設(shè)點的坐標為，從而可得和的坐標，然后根據(jù)可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得；（4）設(shè)點的坐標為，分①當為矩形的邊時，②當為矩形的邊時，③當為矩形的對角線時三種情況，再分別利用待定系數(shù)法求直線的解析式、矩形的性質(zhì)、點坐標的平移變換規(guī)律求解即可得．【詳解】解：（1）拋物線的對稱軸為，，，，且點在軸負半軸上，，將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為；（2）化成頂點式為，則頂點的坐標為，當時，，即，則拋物線上兩點之間的距離是，故答案為：；（3）如圖，過點作軸的垂線，交于點，，拋物線的對稱軸為，，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)點的坐標為，則，，，，，由二次函數(shù)的性質(zhì)得：在內(nèi)，當時，取最大值，最大值為，即面積的最大值為；（4）設(shè)點的坐標為，由題意，分以下三種情況：①當為矩形的邊時，則，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，則直線的解析式為，將點代入得：，即，將點先向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度可得到點，四邊形是矩形，點平移至點的方式與點平移至點的方式相同，，，即；②當為矩形的邊時，則，同（4）①的方法可得：點的坐標為；③當為矩形的對角線時，則，，即，解得或，或，當點的坐標為時，則將點先向左平移2個單位長度，再向下平移個單位長度可得到點，四邊形是矩形，點平移至點的方式與點平移至點的方式相同，，即；同理可得：當點的坐標為時，點的坐標為，綜上，點的坐標為或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)等知識點，較難的是題（4），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．18．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達式為，將代入求解即可；（2）作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，根據(jù)點坐特點及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點D，由對稱性，此時有最小值為AE的長，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達式為，直線的表達式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達式為；（2）作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，∵，，，∴，∵O、E關(guān)于直線對稱，∴四邊形為正方形，∴，連接，交于點D，由對稱性，此時有最小值為的長，∵的周長為，，的最小值為10，∴的周長的最小值為；

（3）由已知點，，，設(shè)直線的表達式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達式為，同理可得：直線的表達式為，∵，∴設(shè)直線表達式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達式得：，∴直線的表達式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當時，此時P點為.．

【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19.（2020?武威）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，且OA＝2OC＝8OB．點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點．（1）求此拋物線的表達式；（2）若PC∥AB，求點P的坐標；（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標．【分析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB=1（2）拋物線的對稱軸為x=-（3）△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC=1【解析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB=1故點A、B、C的坐標分別為（﹣4，0）、（12則y＝a（x+4）（x-12）＝a（x2+7故拋物線的表達式為：y＝x2+7（2）拋物線的對稱軸為x=-當PC∥AB時，點P、C的縱坐標相同，根據(jù)函數(shù)的對稱性得點P（-7（3）過點P作PH∥y軸交AC于點H，由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y=-則△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA=12×4×（-1∵﹣2＜0，∴S有最大值，當x＝﹣2時，S的最大值為8，此時點P（﹣2，﹣5）．20．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式及頂點坐標；(2)當點在軸上時，求點的坐標；(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為時，求的值．(4)當點在軸上方時，過點作軸于點，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設(shè)這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．【答案】(1)；頂點坐標為；(2)；(3)或或或；(4)或或【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求解；（2）當時，，求得拋物線與軸的交點坐標，根據(jù)拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中，得出，即可求解；（3）①如圖所示，當，即時，②當，即時，③當，即時，④當，即，分別畫出圖形，根據(jù)最高點與最低點的縱坐標之差為，建立方程，解方程即可求解；（4）根據(jù)在軸的上方，得出，根據(jù)題意分三種情況討論①當是的中點，②同理當為的中點時，③，根據(jù)題意分別得出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：將點代入拋物線，得，解得：∴拋物線解析式為；∵，∴頂點坐標為，（2）解：由，當時，，解得：，∵拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中．∴∴解得：，∵點的坐標為，∴；（3）①如圖所示，當，即時，

拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點為頂點，最低點為點，∵頂點坐標為，則縱坐標之差為依題意，解得：；②當，即時，

∵，即，依題意，，解得：或（舍去），③當，即時，

則，解得：或（舍去），④當，即，

則，解得：（舍去）或，綜上所述，或或或；（4）解：如圖所示，

∵在軸的上方，∴∴∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為∴∵,①當是的中點，如圖所示

則，∴代入，即，解得：（舍去）或；②同理當為的中點時，如圖所示，，，則點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，

∴，解得：，③如圖所示，

設(shè)，則，∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為∴即∴，∴，∴，∵關(guān)于對稱，∴，解得：，綜上所述，或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，根據(jù)題意畫出圖形，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.（2020?樂山）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=4（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連結(jié)PB，求35【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），可得對稱軸為直線x＝2，由銳角三角函數(shù)可求點C坐標，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直線BC解析式，設(shè)P（2，t），可得點E（5-34t，t），點②根據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，過點P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35【解析】（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴D（2，0），又∵tan∠CBD=4∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得a=-4∴二次函數(shù)的解析式為y=-49(x+1)(x-5)=-4（2）①設(shè)P（2，t），其中0＜t＜4，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴0=5k+b，解得k=-即直線BC的解析式為y=-4令y＝t，得：x=5-3∴點E（5-3把x=5-34t代入y=-即F(5-3∴EF=(2t-1∴△BCF的面積=12×EF×BD=32∴當t＝2時，△BCF的面積最大，且最大值為32②如圖，連接AC，根據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴sin∠ACD=AD過點P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，PG=PC?sin∠ACD=3∴35過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PH≥BH，∴線段BH的長就是35∵S△ABC又∵S△ABC∴52即BH=24∴35PC+PB的最小值為22.（2019·海南）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A（–5，0），B（–4，–3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連結(jié)CD．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），設(shè)點P的橫坐標為t．①當點P在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值；②該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=x2+6x+5．（2）①△PBC的面積的最大值為．②存在滿足條件的點P的坐標為（0，5）和（–，–）.【解析】（1）將點A、B坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得，故拋物線的表達式為：y=x2+6x+5．（2）①如圖1，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F.在拋物線y=x2+6x+5中，令y=0，則x2+6x+5=0，解得x=–5，x=–1，∴點C的坐標為（–1，0）.由點B（–4，–3）和C（–1，0），可得直線BC的表達式為y=x+1.設(shè)點P的坐標為（t，t2+6t+5），由題知–4<t<–1，則點F（t，t+1），∴FP=（t+1）–（t2+6t+5）=–t2–5t–4，∴S△PBC=S△FPB+S△FPC=·FP·3===.∵–4<–<–1，∴當t=–時，△PBC的面積的最大值為．②存在．∵y=x2+6r+5=（x+3）2–4，∴拋物線的頂點D的坐標為（–3，–4）.由點C（–l，0）和D（–3，–4），可得直線CD的表達式為y=2x+2.分兩種情況討論：（i）當點P在直線BC上方時，有∠PBC=∠BCD，如圖2.若∠PBC=∠BCD，則PB∥CD，∴設(shè)直線PB的表達式為y=2x+b.把B（–4，–3）代入y=2x+b，得b=5，∴直線PB的表達式為y=2x+5.由x2+6x+5=2x+5，解得x1=0，x2=–4（舍去），∴點P的坐標為（0，5）.（ii）當點P在直線BC下方時，有∠PBC=∠BCD，如圖3.設(shè)直線BP與CD交于點M，則MB=MC.過點B作BN⊥x軸于點N，則點N（–4，0），∴NB=NC=3，∴MN垂直平分線段BC.設(shè)直線MN與BC交于點G，則線段BC的中點G的坐標為，由點N（–4，0）和G，得直線NG的表達式為y=–x–4.∵直線CD:y=2x+2與直線NG:y=–x–4交于點M，由2x+2=–x–4，解得x=–2，∴點M的坐標為（–2，–2）.由B（–4，–3）和M（–2.–2），得直線BM的表達式為y=．由x2+6x+5=，解得x1=–，x2=–4（含去），∴點P的坐標為（–，–）.綜上所述，存在滿足條件的點P的坐標為（0，5）和（–，–）.【名師點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（2），要主要分類求解，避免遺漏．23.（2019?廣西南寧）如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，拋物線C2的頂點也在拋物線C1上時，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1=x2+x與C2：y2=ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點A，B分別是拋物線C1，C2的頂點，拋物線C2經(jīng)過點D（6，–1）．（1）直接寫出A，B的坐標和拋物線C2的解析式；（2）拋物線C2上是否存在點E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，點F（–6，3）在拋物線C1上，點M，N分別是拋物線C1，C2上的動點，且點M，N的橫坐標相同，記△AFM面積為S1（當點M與點A，F(xiàn)重合時S1=0），△ABN的面積為S2（當點N與點A，B重